3.1 函数的概念及其表示讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1 函数的概念及其表示 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：函数的概念 3 知识点二：函数的表示法 4 知识点三：函数定义域的求法 4 知识点四：函数值域的求法 4 03 题型精讲 6 题型一：函数定义辨析 6 题型二：已知解析式求定义域 7 题型三：抽象函数定义域求解 7 题型四：判定两函数是否相同 8 题型五：由定义域求参数取值范围 9 题型六：代入自变量求函数值 10 题型七：分段函数求值与解不等式 11 题型八：区间定义及表示方法 13 题型九：函数解析式求解 14 题型十：函数值域求解 16 04 课后精练 19 05 培优拓展 23 知识点一：函数的概念 1、函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数． 记作：，． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 知识点诠释： （1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性． 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关． 3、区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示． 区间表示： ； ； ； ； ． 知识点二：函数的表示法 1、函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值． 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势． 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值． 2、分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 知识点三：函数定义域的求法 （1）确定函数定义域的原则 ①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件． ②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义． ③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合． （2）抽象函数定义域的确定 所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内． （3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示． 知识点四：函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域． 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约． 题型一：函数定义辨析 【典例1-1】（2026·高一·广西钦州·开学考试）在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 【典例1-2】（2026·高一·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则下列组合中可以构成函数的图象的是（   ）    A．和 B．和 C．和 D．的三边 【变式1-1】（2026·高一·江西南昌·期中）已知集合，. 给出下列四个对应法则：①；②；③；④.请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（ ） A．①③ B．①② C．③④ D．②④ 【变式1-2】（2026·高一·广东佛山·阶段检测）某校有一班级，设变量是该班同学的姓名，变量是该班同学的学号，变量是该班同学的身高，变量是该班同学的数学考试成绩，则下列选项中正确的是（    ） A．是的函数 B．是的函数 C．是的函数 D．是的函数 【变式1-3】（2026·高一·河南郑州·阶段检测）下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（    ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【方法技巧与总结】 函数的定义（特别是它的“取元任意性，取值唯一性”）是解决某些问题的关键． 题型二：已知解析式求定义域 【典例2-1】函数的定义域是（    ） A． B． C． D．或 【典例2-2】函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高一·广东汕尾·期末）函数的定义域为（     ） A． B． C．R D． 【变式2-2】（2026·高二·全国·阶段检测）已知集合，．则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高二·贵州遵义·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 小结几类函数的定义域： （1）如果是整式，那么函数的定义域是实数集R； （2）如果是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合； （3）如果是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合； （4）如果是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；（即求各集合的交集） （5）满足实际问题有意义． 当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义 的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解． 题型三：抽象函数定义域求解 【典例3-1】（2026·高一·江西南昌·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026·高一·江苏镇江·阶段检测）已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高一·河北邢台·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高三·湖南邵阳·期中）已知函数的定义域为，则的定义域是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·高一·重庆·期中）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 求抽象函数的定义域，一要理解定义域的含义是的取值范围；二要运用整体思想，也就是在同一对应关系下括号内的范围是一样的． 题型四：判定两函数是否相同 【典例4-1】（2026·高一·广东汕头·期中）与函数是同一函数的是（　　） A． B． C． D． 【典例4-2】（2026·高一·重庆·期中）下列各组函数中，与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·高一·宁夏银川·期中）下列各组函数中，不是同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式4-2】（2026·高一·河北衡水·阶段检测）下列各组函数表示相同函数的是（    ） A． B．和 C．和 D．和 【变式4-3】（2026·高一·安徽安庆·阶段检测）下列各组函数中，同组的两个函数是相同函数的有（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【方法技巧与总结】 函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则，其中核心是对应法则，它是函数关系的本质特征．只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是： （1）定义域不同，两个函数也就不同； （2）对应法则不同，两个函数也是不同的． （3）即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则． 题型五：由定义域求参数取值范围 【典例5-1】（2026·高一·广东深圳·期中）若函数 的定义域为，则实数的取值范围是________. 【典例5-2】（2026·高一·浙江杭州·期中）若函数的定义域为，则实数m的取值范围为______． 【变式5-1】（2026·高一·上海普陀·阶段检测）已知，函数的定义域为，则k的取值范围是________． 【变式5-2】（2026·高一·广东东莞·阶段检测）若函数的定义域为，则实数的取值范围为__________. 【变式5-3】（2026·高二·黑龙江牡丹江·期末）若函数的定义域为，则实数取值范围是______. 【方法技巧与总结】 利用转化与化归思想． 题型六：代入自变量求函数值 【典例6-1】（2026·高一·天津宝坻·阶段检测）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求的值； (3)当时，求的值. 【典例6-2】（030限时小练19函数的概念高中数学必修第一册�SJ）已知函数． (1)求的值； (2)求证：是定值； (3)求的值． 【变式6-1】（2026·高一·广东深圳·阶段检测）已知函数. (1)求的值； (2)探索； (3)利用（2）中结论，求的值. 【变式6-2】（2026·高一·广西南宁·期中）已知函数． (1)求； (2)若，求的值． 【变式6-3】（2026·高一·广东茂名·阶段检测）已知函数． (1)求与，与； (2)由（1）中求得结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现； (3)求． 【方法技巧与总结】 求函数值时，遇到复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f（g（x）），里层函数就是g（x），外层函数就是f（x），其对应关系可以理解为，类似的g（f（x））为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果． 题型七：分段函数求值与解不等式 【典例7-1】求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 【典例7-2】（第五单元函数及其表示方法）求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 【变式7-1】求下列函数的值域： (1)； (2). 【变式7-2】（2026·高一·全国·期中）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 【变式7-3】求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)（）； (4). 【方法技巧与总结】 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． （1）由实际问题决定的分段函数，要写出它的解析式，就是根据实际问题需要分成几类，就分成几段，求解析式时，先分段分别求出它的解析式，在综合在一起即可． （2）注意分段函数的解析式，最后要把各段综合在一起写成一个函数，分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数． 题型八：区间定义及表示方法 【典例8-1】（2026·高二·内蒙古呼和浩特·期末）求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 【典例8-2】（2026·高一·甘肃兰州·阶段检测）（1）已知，求的解析式； （2）已知函数是二次函数，且，，求的解析式. 【变式8-1】（2026·高一·甘肃武威·期中）（1）已知函数是一次函数，若，求的解析式． （2）已知函数对任意的都有，求的解析式． （3）已知函数对任意实数，满足，求的解析式． 【变式8-2】（2026·高一·内蒙古乌兰察布·期中）（1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）若对任意实数x，均有，求的解析式. 【变式8-3】（2026·高一·广东揭阳·期中）(1)已知函数对任意的满足等式，求的解析式. （2）若函数，求的解析式. （3）已知函数满足，求的解析式. 题型九：函数解析式求解 【典例9-1】已知． (1)求的值； (2)若且，求实数的值． 【典例9-2】（2026·高一·天津滨海新区·阶段检测）已知函数． (1)求的值； (2)若，求a的值； (3)求不等式的解集． 【变式9-1】（2026·高一·广东佛山·阶段检测）已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 【变式9-2】（2026·高一·重庆·期中）已知函数    (1)在所给坐标系中，画出的图象. (2)求，的值. (3)若，，，求. 【变式9-3】（2026·高一·广西来宾·期中）已知函数，. (1)求和的值； (2)求的值域； (3)求不等式的解集. 【方法技巧与总结】 （1）解析式类型已知的，如本例（1），一般用待定系数法，对于二次函数问题要注意对一般式，顶点式和两点式的选择． （2）已知求的问题，方法一是用配凑法；方法二是用换元法． （3）函数方程问题，需建立关于的方程组，如本例（3），若函数方程中同时出现、，则一般用代之，构造另一个方程． 题型十：函数值域求解 【典例10-1】用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)或. 【典例10-2】将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1)； (2)或； (3)且； (4). 【变式10-1】用区间表示下列集合： (1)； (2)． 【变式10-2】把下列数集用区间表示： (1)； (2)； (3)； (4)或. 【变式10-3】用区间表示下列集合 ： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合. 【方法技巧与总结】 求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域． 1．（2026·高一·天津和平·开学考试）满足式子的图象形状大致是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·湖南娄底·期末）已知集合，集合，求（   ） A． B． C． D． 4．（2026·高二·河北承德·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高二·河南开封·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·福建泉州·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域是 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 10．（多选题）已知定义域为的函数可表示为 1 2 3 4 则下列结论正确的是（    ） A． B．的值域是 C．的值域是 D．若，则 11．（多选题）（2026·高一·广西桂林·阶段检测）下列命题是真命题的是（   ） A． B．函数的图象与直线至多有1个交点 C．方程的解集为 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 12．（2026·高一·广东深圳·期末）已知函数，则__________． 13．（2026·高一·甘肃庆阳·开学考试）函数的自变量x的取值范围是______． 14．（2026·高一·上海浦东新·开学考试）已知函数，那么___________． 15．（2026·高一·湖南长沙·期末）已知． (1)若的解集为，求关于的不等式的解集； (2)若，解关于的不等式． 16．（2026·高一·广东肇庆·期中）解下列各小题. (1)解不等式； (2)求函数的定义域； (3)已知，其中A，B为常数，则的值为多少? 17．（2026·高一·江苏连云港·期末）已知 (1)求函数的解析式. (2)若，求关于的不等式的解集; (3)若，成立，求的取值范围. 18．（2026·高一·江西宜春·期末）（1），求的解析式; （2）已知，求; （3）已知（且），求. 1．（2026·高一·浙江金华·期末）已知函数满足：对任意的实数，，都有成立，则下列结论一定成立的是（    ） A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 2．（2026·高一·辽宁·阶段检测）已知函数，则（    ） A．4046 B．4048 C．8092 D．8096 3．（2026·高一·河北保定·期中）已知函数的定义域为，若，且当时，，则当时，的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·重庆·期中）函数的定义域为A，值域为B，若区域表示一个正方形区域，则该区域的面积为（   ） A．3 B．6 C．9 D．不确定 5．（多选题）（2026·高一·山东德州·阶段检测）德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（    ） A．存在，有 B．对任意，都存在， C．若，，则有 D．存在三个点，，，使为等腰直角三角形 6．（2026·高一·江苏南京·开学考试）已知函数，设a为正实数，若方程有实数解，则a的取值范围是______． 7．（2026·高一·上海虹口·期末）用表示实数中较大的数，表示实数中较小的数．已知函数满足：对任意的实数，都有，则的值为___________． 8．（2026·高一·四川广安·期中）设定义域为的函数且，则的值所组成的集合为______. 9．（2026·高一·陕西西安·期末）已知函数的定义域为R，且，若. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)已知，，求的最小值. 10．已知，求函数的值域. 11．（2026·高一·安徽芜湖·阶段检测）设函数. (1)若的定义域为，求实数的值； (2)若，，且，求的最大值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 函数的概念及其表示 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：函数的概念 3 知识点二：函数的表示法 4 知识点三：函数定义域的求法 4 知识点四：函数值域的求法 4 03 题型精讲 6 题型一：函数定义辨析 6 题型二：已知解析式求定义域 7 题型三：抽象函数定义域求解 9 题型四：判定两函数是否相同 11 题型五：由定义域求参数取值范围 14 题型六：代入自变量求函数值 16 题型七：分段函数求值与解不等式 19 题型八：区间定义及表示方法 22 题型九：函数解析式求解 25 题型十：函数值域求解 29 04 课后精练 32 05 培优拓展 40 知识点一：函数的概念 1、函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数． 记作：，． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 知识点诠释： （1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性． 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关． 3、区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示． 区间表示： ； ； ； ； ． 知识点二：函数的表示法 1、函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值． 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势． 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值． 2、分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 知识点三：函数定义域的求法 （1）确定函数定义域的原则 ①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件． ②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义． ③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合． （2）抽象函数定义域的确定 所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内． （3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示． 知识点四：函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域． 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约． 题型一：函数定义辨析 【典例1-1】（2026·高一·广西钦州·开学考试）在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 【答案】C 【解析】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个，只有唯一的与之对应， 若在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为1， 若不在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为0， 所以函数的图象与直线的交点个数为0或1. 【典例1-2】（2026·高一·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则下列组合中可以构成函数的图象的是（   ）    A．和 B．和 C．和 D．的三边 【答案】A 【解析】根据函数的定义可知：对定义域内的任意的，都有唯一的与之对应，故A符合，BCD均不符合， 故选：A 【变式1-1】（2026·高一·江西南昌·期中）已知集合，. 给出下列四个对应法则：①；②；③；④.请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（ ） A．①③ B．①② C．③④ D．②④ 【答案】C 【解析】对于①，，当时，，故①不满足题意； 对于②，，当时，，故②不满足题意； 对于③，，当时，，当时，， 当时，，当时，，故③满足题意； 对于④，，当时，，当时，， 当时，，当时，，故④满足题意． 故选：C 【变式1-2】（2026·高一·广东佛山·阶段检测）某校有一班级，设变量是该班同学的姓名，变量是该班同学的学号，变量是该班同学的身高，变量是该班同学的数学考试成绩，则下列选项中正确的是（    ） A．是的函数 B．是的函数 C．是的函数 D．是的函数 【答案】B 【解析】对于AD，由于同班同学有可能重名，导致对应的函数值不唯一，故AD错误； 对于B，任意一个学号都对应一位确定的同学，则该同学的数学成绩也是唯一确定的，故B正确； 对于C，假设班级中有两位身高不相同的同学数学成绩相同，则这一个成绩对应两个不同同学的身高，故C错误； 故选：B. 【变式1-3】（2026·高一·河南郑州·阶段检测）下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（    ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】C 【解析】对于A，因为，但是没有意义，0在中无对应的元素，A不符合题意； 对于B，因为对于任意一个实数，当时，无意义，B不符合题意； 对于C，任意一个实数，，因此同时满足任意性和唯一性，C符合题意； 对于D，当时，，不满足函数值的唯一性，D不符合题意. 故选：C. 【方法技巧与总结】 函数的定义（特别是它的“取元任意性，取值唯一性”）是解决某些问题的关键． 题型二：已知解析式求定义域 【典例2-1】函数的定义域是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】函数有意义， 则需满足， 解得， 故函数的定义域为． 【典例2-2】函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由条件可得：， 所以的定义域为． 【变式2-1】（2026·高一·广东汕尾·期末）函数的定义域为（     ） A． B． C．R D． 【答案】C 【解析】由题意知，， 又恒成立， 所以函数的定义域为. 【变式2-2】（2026·高二·全国·阶段检测）已知集合，．则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合是函数的定义域，要求根号内的被开方数非负： ，即. 集合是函数​的值域，对任意实数有， 因此： ​​，即. . 【变式2-3】（2026·高二·贵州遵义·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，解得或， 故的定义域是. 故选：B 【方法技巧与总结】 小结几类函数的定义域： （1）如果是整式，那么函数的定义域是实数集R； （2）如果是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合； （3）如果是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合； （4）如果是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；（即求各集合的交集） （5）满足实际问题有意义． 当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义 的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解． 题型三：抽象函数定义域求解 【典例3-1】（2026·高一·江西南昌·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，所以的定义域为. 故选：A. 【典例3-2】（2026·高一·江苏镇江·阶段检测）已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由. 所以函数的定义域为. 故选：C 【变式3-1】（2026·高一·河北邢台·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数的定义域为，所以， 所以的定义域为， 故函数中的需满足得， 故函数的定义域为． 故选：A. 【变式3-2】（2026·高三·湖南邵阳·期中）已知函数的定义域为，则的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数的定义域为，得此式中，所以， 因此在函数中，，解得：， 所以函数的定义域为. 故选：C 【变式3-3】（2026·高一·重庆·期中）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的定义域为，则，所以的定义域是， 所以函数中，解得， 故选：B． 【方法技巧与总结】 求抽象函数的定义域，一要理解定义域的含义是的取值范围；二要运用整体思想，也就是在同一对应关系下括号内的范围是一样的． 题型四：判定两函数是否相同 【典例4-1】（2026·高一·广东汕头·期中）与函数是同一函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为. 对于A，函数的定义域为，所以与函数不是同一函数，所以A不正确； 对于B，函数的定义域为，所以与函数不是同一函数，所以B不正确； 对于C，函数的定义域为，且对应关系相同，所以与函数是同一函数，所以C正确； 对于D，函数的定义域为，所以与函数不是同一函数，所以D不正确. 故选：C. 【典例4-2】（2026·高一·重庆·期中）下列各组函数中，与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，函数与的定义域都是，且对应关系也相同， 所以两个函数为同一函数，所以A符合题意； 对于B，的定义域为，的定义为， 两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以B不符合题意； 对于C，函数的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以C不符合题意； 对于D，由函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域和对应关系都不同，所以两个函数不是同一函数，所以D不符合题意. 故选：A. 【变式4-1】（2026·高一·宁夏银川·期中）下列各组函数中，不是同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】对于A，函数与的定义域都是， 且两个函数的对应关系也相同，所以两个函数是同一函数，所以A不符合题意； 对于B，函数与的定义域都是，且对应关系也相同， 所以两个函数是同一函数，所以B不符合题意； 对于C，函数满足，解得， 即函数的定义域为， 又由满足，解得，即的定义域为， 所以两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，所以C符合题意； 对于D，函数与，所以两个函数的定义域相同， 且两个函数的对应关系也相同，所以两个函数是同一函数，所以D不符合题意. 故选：C. 【变式4-2】（2026·高一·河北衡水·阶段检测）下列各组函数表示相同函数的是（    ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】B 【解析】对于A：，由且，可得， 即定义域为， ，由，得或， 即的定义域为，两函数定义域不同，故不是相同函数，错误； 对于B：的定义域为R，的定义域为R， 且，所以两函数定义域相同，对应关系也相同，故是相同函数，正确； 对于C：的定义域为R，的定义域为，两个函数的定义域不同， 所以不是相同函数，错误； 对于D：的定义域为R，的定义域为，两个函数的定义域不同， 所以不是相同函数，错误. 故选：B 【变式4-3】（2026·高一·安徽安庆·阶段检测）下列各组函数中，同组的两个函数是相同函数的有（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】对于A：，定义域为，定义域为，所以两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一个函数，故A不正确； 对于B：，，这两个函数的解析式不同，故不是同一函数，故B不正确； 对于C：，两个函数解析式，定义域都相同，故是同一函数，故C正确. 对于D：的定义域为，而的定义域为，两个函数定义域不同，故不是同一函数，故D不正确. 故选：C. 【方法技巧与总结】 函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则，其中核心是对应法则，它是函数关系的本质特征．只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是： （1）定义域不同，两个函数也就不同； （2）对应法则不同，两个函数也是不同的． （3）即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则． 题型五：由定义域求参数取值范围 【典例5-1】（2026·高一·广东深圳·期中）若函数 的定义域为，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】函数 的定义域为，则对任意恒成立， 当时，不是恒成立， 当时，则,解得：， 所以实数的取值范围是. 【典例5-2】（2026·高一·浙江杭州·期中）若函数的定义域为，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【解析】要使有意义，则有， 因为函数的定义域为，故在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 【变式5-1】（2026·高一·上海普陀·阶段检测）已知，函数的定义域为，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】由题意可得不等式对于任意实数成立， 当时，不等式即为，符合题意； 当时，则有，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 【变式5-2】（2026·高一·广东东莞·阶段检测）若函数的定义域为，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】， 所以的定义域为R，即，对任意恒成立， 当时，不等式变为，符合题意； 当时，可得，解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式5-3】（2026·高二·黑龙江牡丹江·期末）若函数的定义域为，则实数取值范围是______. 【答案】 【解析】函数的定义域为，则恒成立， 当时显然不成立； 当时，则恒成立， 当时，，解得. 综上所述：实数取值范围是. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 利用转化与化归思想． 题型六：代入自变量求函数值 【典例6-1】（2026·高一·天津宝坻·阶段检测）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求的值； (3)当时，求的值. 【解析】（1）令，解得且， 所以函数的定义域为. （2）因为， 则，， 所以. （3）当时，则， 所以. 【典例6-2】（030限时小练19函数的概念高中数学必修第一册�SJ）已知函数． (1)求的值； (2)求证：是定值； (3)求的值． 【解析】（1）因为， 所以， ． （2）证明：． （3）由（2）知， 所以， 所以． 【变式6-1】（2026·高一·广东深圳·阶段检测）已知函数. (1)求的值； (2)探索； (3)利用（2）中结论，求的值. 【解析】（1）因为函数， 所以， 所以. （2）由函数，可得， 所以. （3）由函数可得. 根据（2）的结论， 所以 . 【变式6-2】（2026·高一·广西南宁·期中）已知函数． (1)求； (2)若，求的值． 【解析】（1）； （2） 【变式6-3】（2026·高一·广东茂名·阶段检测）已知函数． (1)求与，与； (2)由（1）中求得结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现； (3)求． 【解析】（1）因为，所以， ． （2）由（1）发现． 证明如下：． （3）． 由（2）知， 所以原式， . 【方法技巧与总结】 求函数值时，遇到复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f（g（x）），里层函数就是g（x），外层函数就是f（x），其对应关系可以理解为，类似的g（f（x））为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果． 题型七：分段函数求值与解不等式 【典例7-1】求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 【解析】（1），且，则． 所以函数的值域为． （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为． （3）函数图象的对称轴为， 当时，， 所以函数的值域为． （4）因为，则，可得， 所以在的值域为． 【典例7-2】（第五单元函数及其表示方法）求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 【解析】（1）， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的值域为． （2）设，，则， 所以， 所以函数的值域为． （3）， 则，所以函数的值域为． 【变式7-1】求下列函数的值域： (1)； (2). 【解析】（1）因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以函数的值域为. （2）由，得， 由，得， 所以， 所以函数的值域为. 【变式7-2】（2026·高一·全国·期中）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 【解析】（1）因为，所以．故值域为． （2）因为，且，所以，所以，故函数的值域为． （3）令，则，且， 所以（）．故函数的值域． （4），其中，， 当时，． 又因为，所以． 故函数的值域为． （5）因为，所以，所以， 当且仅当，即时，取等号，即取得最小值8． 故函数的值域为． 【变式7-3】求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)（）； (4). 【解析】（1）∵，∴, ∴的值域为. （2），显然,所以, 故函数的值域为. （3）由,知. 则, 当且仅当,即时,上式取“”． ∴（）的最小值为8. 故函数（）的值域为. （4）设,则,且, 所以， 由,结合函数的图象得原函数的值域为. 【方法技巧与总结】 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． （1）由实际问题决定的分段函数，要写出它的解析式，就是根据实际问题需要分成几类，就分成几段，求解析式时，先分段分别求出它的解析式，在综合在一起即可． （2）注意分段函数的解析式，最后要把各段综合在一起写成一个函数，分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数． 题型八：区间定义及表示方法 【典例8-1】（2026·高二·内蒙古呼和浩特·期末）求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 【解析】（1）令，则， 所以，则． （2）∵ ，① ∴ ，② 由得 解得： ． （3）设 ，则 . 又 ，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 【典例8-2】（2026·高一·甘肃兰州·阶段检测）（1）已知，求的解析式； （2）已知函数是二次函数，且，，求的解析式. 【解析】（1）令， 由， 所以的解析式为：； （2）令， 因为，所以， ， 所以的解析式为. 【变式8-1】（2026·高一·甘肃武威·期中）（1）已知函数是一次函数，若，求的解析式． （2）已知函数对任意的都有，求的解析式． （3）已知函数对任意实数，满足，求的解析式． 【解析】（1）设， 则， 所以，解得或， 即或； （2）令，则，可得； （3）因为， 所以， 联立方程解得. 【变式8-2】（2026·高一·内蒙古乌兰察布·期中）（1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）若对任意实数x，均有，求的解析式. 【解析】（1）是一次函数，设， 由题可知：， 化简得， 因为，所以，解得. 所以函数的解析式为. （2）， 又，当且仅当，即时等号成立. 设，则， ， 函数的解析式为 （3），①，② 由①②得， 函数的解析式为. 【变式8-3】（2026·高一·广东揭阳·期中）(1)已知函数对任意的满足等式，求的解析式. （2）若函数，求的解析式. （3）已知函数满足，求的解析式. 【解析】（1）令，则。 代入已知等式可得， ， 所以. （2）依题意，，又的值域为， 所以. （3）由，得， 两式联立消去得，解得， 所以的解析式为. 题型九：函数解析式求解 【典例9-1】已知． (1)求的值； (2)若且，求实数的值． 【解析】（1）由题意得． （2）当时，由，解得； 当时，由，得或（舍去）． 综上所述，或． 【典例9-2】（2026·高一·天津滨海新区·阶段检测）已知函数． (1)求的值； (2)若，求a的值； (3)求不等式的解集． 【解析】（1）因为函数， 所以，，； （2）当时，，解得或（舍去）； 当时，，解得． 所以的值为或； （3）当时，，所以； 当时，，所以． 所以的取值范围为. 【变式9-1】（2026·高一·广东佛山·阶段检测）已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 【解析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，取得最大值4． （2），，， 即. （3）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 【变式9-2】（2026·高一·重庆·期中）已知函数    (1)在所给坐标系中，画出的图象. (2)求，的值. (3)若，，，求. 【解析】（1） 作出函数的图象如图所示： （2）， （3）因为，所以， 即， 又因为，所以，即， 消元得：， 解得或， 因为，所以. 【变式9-3】（2026·高一·广西来宾·期中）已知函数，. (1)求和的值； (2)求的值域； (3)求不等式的解集. 【解析】（1）由函数，，得，， 所以，. （2）当时，；当时，，则， 所以的值域为. （3）当时，，则； 当时，，， 因此， 不等式化为或，解得或， 所以原不等式的解集为或. 【方法技巧与总结】 （1）解析式类型已知的，如本例（1），一般用待定系数法，对于二次函数问题要注意对一般式，顶点式和两点式的选择． （2）已知求的问题，方法一是用配凑法；方法二是用换元法． （3）函数方程问题，需建立关于的方程组，如本例（3），若函数方程中同时出现、，则一般用代之，构造另一个方程． 题型十：函数值域求解 【典例10-1】用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)或. 【解析】（1）集合为，对应区间为. （2）集合为，对应区间为. （3）集合为，对应区间为. （4）集合为，对应区间为. （5）集合为或，对应区间为. 【典例10-2】将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1)； (2)或； (3)且； (4). 【解析】（1） 用区间表示为，用数轴表示如图： （2）或用区间表示为，用数轴表示如图： （3）且用区间表示为，用数轴表示如图: （4）用区间表示为，用数轴表示如图： 【变式10-1】用区间表示下列集合： (1)； (2)． 【解析】（1）由题意可知：. （2）因为对任意恒成立， 所以. 【变式10-2】把下列数集用区间表示： (1)； (2)； (3)； (4)或. 【解析】（1） （2） （3） （4）或 【变式10-3】用区间表示下列集合 ： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合. 【解析】（1），故集合可用区间表示； （2）由可得，所以不等式的解集为，即用区间表示为. 【方法技巧与总结】 求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域． 1．（2026·高一·天津和平·开学考试）满足式子的图象形状大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，关系式为，即，所以或， 当时，关系式为，即，所以或， 所以解析式为， 即函数图象如下，故C正确. 2．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要使函数的定义域为， 需满足对任意，被开方数恒成立， 二次函数的二次项系数为，图像开口向上， 其恒大于等于0的充要条件为判别式， ， 解不等式，得， 即实数的取值范围是. 3．（2026·高一·湖南娄底·期末）已知集合，集合，求（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为集合，， 所以. 故选：A. 4．（2026·高二·河北承德·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则． 5．（2026·高二·河南开封·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知，要使函数有意义，需满足被开方数大于0， 即，综上所述，，C正确. 6．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． 7．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． 8．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以， ， ， ，，，， 故选项C正确. 9．（多选题）（2026·高一·福建泉州·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域是 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【答案】AD 【解析】对于A，由题意可得，解得，所以函数的定义域是，A选项正确； 对于B，的定义域为，的定义域为，不是同一个函数，B选项不正确； 对于C，因为，所以，即函数的值域为，C选项不正确； 对于D，由可得， 所以由可得，D选项正确. 10．（多选题）已知定义域为的函数可表示为 1 2 3 4 则下列结论正确的是（    ） A． B．的值域是 C．的值域是 D．若，则 【答案】ABD 【解析】，A正确；的值域是，B正确，C错误； 因为，所以，所以，所以，D正确. 11．（多选题）（2026·高一·广西桂林·阶段检测）下列命题是真命题的是（   ） A． B．函数的图象与直线至多有1个交点 C．方程的解集为 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BD 【解析】对于选项A，将两边平方，得， 因为，所以.所以选项A不正确. 对于选项B，根据函数定义，定义域内任意一个自变量对应唯一的函数值. 若在定义域内，与有1个交点；若不在定义域内，则二者无交点，因此最多有1个交点，所以选项B正确. 对于选项C，解分式不等式或.所以解集是.故选项C不正确. 对于选项D，因为的定义域是，则，即的定义域为.选项D正确. 12．（2026·高一·广东深圳·期末）已知函数，则__________． 【答案】 6 【解析】首先，因，代入对应的分段解析式，可得：. 又，代入对应的分段解析式，可得： . 因此. 13．（2026·高一·甘肃庆阳·开学考试）函数的自变量x的取值范围是______． 【答案】且（或写成） 【解析】要使函数有意义，需同时满足两类定义域约束： 对于二次根式，被开方数需满足非负要求，即，解该不等式得； 对于分式，分母不能为0，即. 综合上述两个约束条件，可得自变量的取值范围为且. 14．（2026·高一·上海浦东新·开学考试）已知函数，那么___________． 【答案】 【解析】因为，所以. 15．（2026·高一·湖南长沙·期末）已知． (1)若的解集为，求关于的不等式的解集； (2)若，解关于的不等式． 【解析】（1）已知的解集为，说明和是方程的根． 由韦达定理：，可得，         将代入不等式，得 所以．因此，不等式的解集为． （2）， 即解，需要根据的取值分类讨论： （1）当，即时，不等式的解为或； （2）当，即时，不等式变为，解集为R； （3）当，即时，不等式的解为或． 综上所述：当时，； 当时，； 当时，. 16．（2026·高一·广东肇庆·期中）解下列各小题. (1)解不等式； (2)求函数的定义域； (3)已知，其中A，B为常数，则的值为多少? 【解析】（1）将不等式化简为，因为，该不等式无实数解，即解集为； （2）根据根式函数和分式函数的定义域求法求解. 由解得且， 所以的定义域为. （3）∵， 且， ∴， 即，解得：，， ∴. 17．（2026·高一·江苏连云港·期末）已知 (1)求函数的解析式. (2)若，求关于的不等式的解集; (3)若，成立，求的取值范围. 【解析】（1）因为，令则，化简得，所以. （2）即，即，即，当时； 当； 当 综上：当时原不等式的解集为； 当时原不等式的解集为； 当时原不等式的解集为. （3）由题意得恒成立， 当时显然成立； 当，即，解得. 综上：的取值范围是 18．（2026·高一·江西宜春·期末）（1），求的解析式; （2）已知，求; （3）已知（且），求. 【解析】（1）因为，所以； （2）因为，令，则， 所以，故； （3）因为①（且），所以②， 联立①②可得. 1．（2026·高一·浙江金华·期末）已知函数满足：对任意的实数，，都有成立，则下列结论一定成立的是（    ） A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 【答案】C 【解析】令， 令，则 ， 即，； 由此可知具有可加性，比如令，则，，以此类推， 设，则，得， ，， ，故，， 对于A，，则，则， 即时，，A错误； 对于B，，即，结合A的分析可知，B错误； 对于C，，即，即，则， 故，C正确； 对于D，，即，即，此时，D错误. 2．（2026·高一·辽宁·阶段检测）已知函数，则（    ） A．4046 B．4048 C．8092 D．8096 【答案】C 【解析】， 定义域为， 则， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 3．（2026·高一·河北保定·期中）已知函数的定义域为，若，且当时，，则当时，的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项A，当时,，则， ，， ，， ， ， 不满足，故选项A错误； 选项B，当时,，则， ，， ，， ， ， 不满足，故选项B错误； 选项C，当时,，则， ，， ，， ， ， 不满足，故选项C错误； 选项D，当时,，则， 当时，，， ，， ， ， ，符合题意； 当时，，， ， ， ， ， ， ，符合题意； 当时，，， ， ， ， ， ， ，符合题意； 当时，则，， ， ， ， ， ， ，符合题意； 综上可知，当时,满足题意，故选项D正确. 故选：D. 4．（2026·高一·重庆·期中）函数的定义域为A，值域为B，若区域表示一个正方形区域，则该区域的面积为（   ） A．3 B．6 C．9 D．不确定 【答案】B 【解析】由区域表示一个正方形区域，知. 由，得 令，则 记的解集为,， 则 所以，解得. 所以该区域的面积为. 故选：B. 5．（多选题）（2026·高一·山东德州·阶段检测）德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（    ） A．存在，有 B．对任意，都存在， C．若，，则有 D．存在三个点，，，使为等腰直角三角形 【答案】AC 【解析】由题意，当是有理数时，；当是无理数时，. 对于A ，当是无理数时，也是无理数，， ，故A正确； 对于B，当是无理数时，若为有理数，则是无理数，，，，故B错误； 对于C，由题意知函数的值域为，当且时，，， 所以，故 C正确； 对于D，由函数的值域为，可知△三个顶点的纵坐标要么有两个和一个，要么有两个和一个， 不妨设，，如图，在等腰直角△中，取斜边AC的中点D， ，所以， 故当即是有理数时，也是有理数，从而有，这与矛盾，故D错误. 6．（2026·高一·江苏南京·开学考试）已知函数，设a为正实数，若方程有实数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】情况1: ，则， 所以方程即为，解得，不符合； 情况2: ，则， 所以方程即为，所以， 两边平方得，值域为； 情况3: ，当 时，由于 ，则 ， 则， 所以方程即为，解得，不符合； 情况4: ，不可能，因. 综上，a的取值范围是. 7．（2026·高一·上海虹口·期末）用表示实数中较大的数，表示实数中较小的数．已知函数满足：对任意的实数，都有，则的值为___________． 【答案】35 【解析】令，则. 所以. 所以. 所以. 故答案为：35 8．（2026·高一·四川广安·期中）设定义域为的函数且，则的值所组成的集合为______. 【答案】 【解析】令，则， 若，则，解得； 若，恒成立，解得； 若，则，解得. 综上，或，即或. 若，解得；，解得； 结合的函数图象可知，若，则； 若，，解得. 综上所述，. 故答案为：. 9．（2026·高一·陕西西安·期末）已知函数的定义域为R，且，若. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)已知，，求的最小值. 【解析】（1）令，则，即， 解得或， 当时，令，则，即（舍去）， 当时，令，则， 又，， . （2）令，得， 即， 故的解析式为. （3）由题意得，， 令，，，， ，. ， 当且仅当，即时等号成立. 此时，解得. 故的最小值为. 10．已知，求函数的值域. 【解析】设，则，因为，所以， 故； 因为，所以，当且仅当时，即时，等号成立； 所以函数的值域为. 11．（2026·高一·安徽芜湖·阶段检测）设函数. (1)若的定义域为，求实数的值； (2)若，，且，求的最大值. 【解析】（1）因为的定义域为，所以关于的不等式的解集为， 所以和是方程的两根，且，根据韦达定理， 可得，解得. （2）因为，所以，整理得. 又，，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为24. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $