3.1函数的概念及其表示 第1课时 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学函数的概念及其三要素（定义域、对应关系、值域），衔接初中变量说法，通过集合语言建立函数定义，引入符号y=f(x)。作为第三章起点，为后续单调性、指数函数等学习奠基，也为第二课时同一函数判定等内容铺垫。 资料特色在于以四个问题情境（列车运行、工资计算等）引导学生用数学眼光抽象函数本质，通过问题链培养数学思维辨析定义关键（如“任意”“唯一”），用集合语言规范表达。课中助教师引导概念生成，课后题型精练与易错点分析帮学生查漏补缺。

3.1　函数的概念及其表示（第1课时） 函数的概念·讲义（教师用）　人教A版　必修第一册　本节共4课时，本课时是第1课时 一、课标要求与教材位置 本节在人教A版必修第一册第60—73页，是第三章的起点，也是整个高中函数学习的地基。全节共4课时：第一课时学函数的概念与三要素，第二课时学区间、定义域的求法与同一函数的判定，第三课时学函数的三种表示法与解析式的求法，第四课时学分段函数及其应用。本课时对应教材第60—63页，任务是把初中的变量说法换成集合说法，建立函数的定义与三要素，引进符号y＝f(x)。 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》对这一部分的要求是：在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念；理解函数的三要素。动词层级要注意：函数概念是“理解”，不是“了解”，学生要能复述、能辨析、能用它判断，而不只是背下来。 这一课时在三年里的位置很靠前但分量很重。函数的单调性、奇偶性、最值都建立在“定义域—对应关系—值域”这套语言上，指数函数、对数函数、三角函数、数列（定义域为正整数集的函数）无一不是它的具体化。学生这一课时学不透，高三复习时会一直在定义域上丢分。 高考中本课时内容直接命题不多，常见于选择题第一二题：判断一个对应是不是函数、求函数值。间接的作用更大——任何一道函数题在动笔前都要先看定义域，而“先看定义域”这个习惯就是从这一课时的四个问题里养出来的。 二、知识精讲 （一）从变量说法到集合说法 初中的说法是：在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，就说y是x的函数。这个说法抓住了“唯一对应”，但把变量的取值范围放在了背景里，没有明说。教材开篇用四个问题把这个背景逼到台前。 问题1（教材第60页）　某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程s（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为 s＝350t。 教材紧接着抛出一个反问：有人说“根据对应关系s＝350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km”，这个说法正确吗？不正确。题目只说匀速运行了半小时，1h以后的情况题目没有交代，写不出来。显然，其原因是没有关注到t的变化范围。 把范围写明白：t的变化范围是数集A₁＝{t|0≤t≤0.5}，s的变化范围是数集B₁＝{s|0≤s≤175}。对于A₁中的任一时刻t，按照对应关系s＝350t，在B₁中都有唯一确定的路程s和它对应。 问题2（教材第61页）　某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多6天。工资标准是每人每天350元，每周付一次工资。工资w（单位：元）与工作天数d的对应关系是 w＝350d，其中 dA₂＝{1，2，3，4，5，6}，wB₂＝{350，700，1050，1400，1750，2100}。 教材在这里插了一句关键的追问：问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？不是。对应关系都写成“乘350”，但一个的自变量跑遍0到0.5之间的每一个实数，另一个只取1到6这六个整数，两者的定义域不同。这一问是第二课时“同一函数”的伏笔，本课时就要让学生撞一下，但不展开。 问题3（教材第61页）　图3.1—1是某市某日的空气质量指数（AQI）变化图。t的变化范围是数集A₃＝{t|0≤t≤24}，AQI的值I都在数集B₃＝{I|0＜I＜150}中。对于A₃中的任一时刻t，按照图中曲线所给定的对应关系，在B₃中都有唯一确定的I与之对应。因此，这里的I是t的函数。 问题3的价值在于：这里根本没有解析式，对应关系是一条曲线。学生凭初中经验容易认为“没有式子就不是函数”，这一问要专门停下来讲。教材旁注还问了一句“你能根据图3.1—1找到中午12时的AQI的值吗”，可以让学生上台在图上指一指，这一指就把“对应关系”这四个字落实了。 问题4（教材第61—62页）　表3.1—1是我国城镇居民恩格尔系数变化情况。年份y的取值范围是数集A₄＝{2012，2013，…，2021}，根据恩格尔系数的定义可知，r的取值范围是数集B₄＝{r|0＜r≤1}。对于A₄中的任意一个年份y，根据表所给定的对应关系，在B₄中都有唯一确定的恩格尔系数r与之对应。所以，r是y的函数。 至此四个问题给出了四种对应关系的表达方式：解析式两次、图象一次、表格一次。教材归纳的共同特征有三条：（1）都包含两个非空数集，用A、B来表示；（2）都有一个对应关系；（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性——对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应。教材接着说：事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法。为了表示方便，我们引进符号f统一表示对应关系。 教学处理提示　四个问题一个都不能跳。问题1逼出取值范围，问题2逼出“定义域不同不是同一个函数”，问题3、4逼出“对应关系不止解析式”。定义是四问的自然收口，不是外来的。若时间紧，宁可把区间挪到第二课时，也不要压缩这四问。 （二）函数的定义 函数的定义（教材第62页，要求学生逐字抄写） 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作 y＝f(x)，xA。 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域（range）。显然，值域是集合B的子集。 教材随即用问题1到问题4验证了这句话：在问题1与问题2中，值域就是B₁和B₂；在问题3中，值域是数集B₃的真子集；在问题4中，值域C₄＝{0.32，0.301，0.3，0.297，0.293，0.286，0.277，0.276，0.292}，是数集B₄的真子集。这一段要读给学生听，它说明B只是一个“大盘子”，值域未必把盘子装满。 逐句拆解（讲课时一句一停）： “非空的实数集”　两个要求，一是非空，二是实数集。集合A里装的必须是数，装三角形、装人名都不行。定义域为空集时函数不存在。 “任意一个数x”　管的是A，A中的元素一个都不能漏。学生常犯的错是只验证几个特殊值就下结论。 “唯一确定的数y”　管的是B，一个x只能配一个y。一对一是函数，多对一也是函数，一对多不是函数。 “f：A→B”　f是对应关系本身，不是数，也不能单独运算。 教材同时给了一段函数史：17世纪后期，德国数学家莱布尼茨第一次将“function”一词作为专门的数学术语；19世纪，李善兰首次将function翻译成“函数”。这段话适合放在概念讲完之后，用一分钟带过。 （三）函数的三要素 由定义可知，一个函数的构成要素是定义域、对应关系和值域。值域由定义域和对应关系决定，所以真正独立的是前两个：定义域和对应关系一旦确定，函数就确定了。这句话是第二课时判断同一函数的全部依据，本课时先说出来，不展开。 教材用熟悉的三个函数把定义验证了一遍。一次函数y＝ax＋b（a0）的定义域是R，值域也是R，对应关系f把R中的任意一个数x，对应到R中唯一确定的数ax＋b。二次函数y＝ax²＋bx＋c（a0）的定义域是R，值域是B：当a＞0时，B＝{y|y≥}；当a＜0时，B＝{y|y≤}。教材还留了一道思考题：反比例函数y＝（k0）的定义域、对应关系和值域各是什么？答案是——定义域{x|x0}，对应关系“取倒数再乘k”，值域{y|y0}。这道思考题当堂口答即可。 （四）符号 f(x) 符号f(x)的三层意思（本课时的难点，要反复说）： ① f(x)表示x对应的函数值，是一个数，不是f与x的乘积。教材第65页旁注专门强调了这一点：在函数定义中，我们用符号y＝f(x)表示函数，其中f(x)表示x对应的函数值，而不是f乘x。 ② f表示对应关系，在不同的函数里f的具体含义不一样；同一道题里出现f(x)与g(x)，说明是两套不同的对应关系。 ③ f(a)表示自变量取a时的函数值，是一个确定的数；f(x)表示自变量取x时的函数值，x在定义域内变动。 由此可以直接得到一条：一般来说f(a＋b)与f(a)＋f(b)没有关系。反例现成：f(x)＝x²时，f(1＋2)＝9，而f(1)＋f(2)＝1＋4＝5。这个反例要写在黑板上，学生自己算一遍比讲十遍管用。 （五）教材例1 例1（教材第63页）　函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律。例如，正比例函数y＝kx（k0）可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等。试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝x(10－x)来描述。 解： 　　把y＝x(10－x)看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是B＝{y|y≤25}。对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数x(10－x)。 　　如果对x的取值范围作出限制，例如x{x|0＜x＜10}，那么可以构建如下情境： 　　长方形的周长为20，设一边长为x，面积为y，那么y＝x(10－x)。 　　其中，x的取值范围是A＝{x|0＜x＜10}，y的取值范围是B＝{y|0＜y≤25}。对应关系f把每一个长方形的边长x，对应到唯一确定的面积x(10－x)。 教学处理提示　这道题是“反着来”的：平时给情境求解析式，这里给解析式造情境。学生第一次做会愣住，可以先问一句“x(10－x)让你想到什么图形的面积”。要强调的是，同一个解析式配不同的定义域就是不同的函数——把x限制在(0，10)，y的取值范围就从{y|y≤25}缩成了{y|0＜y≤25}。教材后面还留了一个练习：构建其他可用解析式y＝x(10－x)描述其中变量关系的问题情境，可以让学生课后想一个，下节课口头交流。 三、概念辨析与易错点 1．A、B必须是非空实数集。　有学生把“A＝{三角形}，B＝{x|x＞0}，f：求面积”当作函数。集合A中的元素是三角形，不是数，不符合定义。集合的元素必须是实数，这一条在教材定义里写得很清楚，学生读得太快会漏掉。 2．“非空”这两个字也管事。　定义域为空集时函数不存在。例如f(x)＝，被开方数恒为负，没有一个实数能代进去，这样的式子不表示函数。 3．“任意一个”管的是A中每一个元素。　判断“A＝N，B＝N₊，f：取绝对值”时，只验证1、2、3是不够的。0N，取绝对值仍得0，而0N₊，A中的0在B中没有像，所以不是函数。 4．“唯一确定”管的是y，不是x。　一对一是函数，多对一也是函数（如y＝x²中x＝2与x＝－2都对应4），一对多不是函数（如y²＝x，x＝4时y＝±2）。判断图象时用竖线判别法：任作一条竖直线，与图象至多一个交点。 5．值域是B的子集，不一定等于B。　教材问题3中值域是B₃的真子集，问题4中值域C₄也是B₄的真子集。学生常直接把B当值域。 6．f(x)不是f乘x。　教材第65页旁注专门点了这一条。f是对应关系的代号，f(x)是x对应的函数值。同理f(a＋b)f(a)＋f(b)，反例f(x)＝x²时f(3)＝9而f(1)＋f(2)＝5。 7．f(a)与f(x)的区别。　f(a)是一个确定的数，f(x)中的x在定义域内变动。学生写“f(a)是函数”是不准确的说法，f(a)是函数值。 8．对应关系不一定是解析式。　问题3的曲线、问题4的表格都没有式子，但都是函数。学生的直觉正相反，要专门纠。 9．字母只是名字。　y＝f(x)与u＝f(t)只要定义域与对应关系一致，就是同一个函数。这一条第二课时会正式讲，本课时先埋下。 10．求定义域时不能先化简。　y＝的定义域是{x|x0}，化简成y＝x再求就错了。定义域由原式决定，化简是求出定义域之后的事。这条纪律从本课时立起，后面三个课时反复引用。 四、题型归纳 题型一　判断一个对应关系是不是函数 例1　判断下列对应f是不是从集合A到集合B的函数。 （1）A＝N，B＝N₊，f：对A中的元素取绝对值； （2）A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，4}，f：x→y＝x²； （3）A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，2，4}，f：x→y＝x²； （4）A＝{三角形}，B＝{x|x＞0}，f：对A中元素求面积。 解析： 　　（1）不是。0A，取绝对值仍得0，而0N₊，即A中的元素0在B中没有像。 　　（2）是。A中四个元素的像依次是1、1、4、4，都在B中，且每个元素的像唯一。 　　（3）是。像的集合是{1，4}，它是B的真子集。值域可以比B小，不影响函数的成立。 　　（4）不是。集合A的元素是三角形，不是实数，不满足“A、B是非空实数集”。 方法点拨　四查：一查A、B是不是非空数集；二查A中元素是否个个有像；三查像是否唯一；四查像是否落在B中。图象题另有一招——竖线判别法：任作一条垂直于x轴的直线，与图象至多有一个交点才是函数图象。 题型二　求函数值 例2（教材习题3.1第4题）　已知函数f(x)＝3x²－5x＋2，求f(－)、f(－a)、f(a＋3)、f(a)＋f(3)的值。 解析： 　　f(－)＝3×2－5×(－)＋2＝8＋5； 　　f(－a)＝3a²＋5a＋2； 　　f(a＋3)＝3(a＋3)²－5(a＋3)＋2＝3a²＋13a＋14； 　　f(3)＝27－15＋2＝14，所以f(a)＋f(3)＝3a²－5a＋16。 方法点拨　把f看成一台机器：括号里放什么，就把解析式中的x整体换成什么，一处都不能漏。求f(a＋3)时“a＋3”要整体加括号再平方，这是最容易掉的分。求f(a)＋f(3)是先各自算再相加，与f(a＋3)完全不同，学生常把这两者混起来。 题型三　由三要素辨析函数 例3　判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）函数的定义域和值域可以是空集； （2）函数值域中的每一个数，在定义域中只有一个数与之对应； （3）定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了； （4）已知定义域和对应关系就可以确定一个函数。 解析： 　　（1）不正确。定义要求A、B是非空的实数集，定义域和值域都不能是空集。 　　（2）不正确。多对一也是函数，例如y＝x²中值域里的4，对应x＝2与x＝－2两个数。 　　（3）不正确。定义域和值域都相同，对应关系仍可能不同，函数未必唯一。 　　（4）正确。值域由定义域和对应关系决定，所以这两者一定，函数就定了。 方法点拨　这类题全考定义的字面意思，逐字回到定义去核对，不要凭印象。“非空”“任意”“唯一”“值域是B的子集”这四处是命题的常用落点。 题型四　求简单函数的值域 例4　求下列函数的值域：（1）y＝3x＋1，x{0，1，2}；（2）y＝x²＋2x，xR；（3）y＝，x{x|x＞0}。 解析： 　　（1）定义域只有三个数，逐个代入得1、4、7，值域是{1，4，7}。 　　（2）y＝(x＋1)²－1，因为(x＋1)²≥0，所以y≥－1，值域是[－1，＋∞)。 　　（3）当x＞0时＞0，且能取到任意正数，值域是(0，＋∞)。 方法点拨　本课时只要求三类：定义域是有限个数的，逐个代入列举，答案写成集合不写成区间；二次函数配方后看顶点；简单的反比例型直接看正负。系统的值域求法要等学完3.2的单调性，这里不要展开。 五、附：常见书写错误例析 1．把定义域写成不等式与区间的混合体。　“定义域为x≥－3且x－2”只是把条件重述了一遍，规范写法是{x|x≥－3，且x－2}或[－3，－2)∪(－2，＋∞)。用集合就用集合的写法，用区间就用区间的写法，不要拼在一起。 2．把有限个数的值域写成区间。　y＝3x＋1（x{0，1，2}）的值域是{1，4，7}，写成[1，7]是错的，中间的数取不到。 3．把f(x)当成f与x的乘积参与运算。　写出“f(a＋b)＝f(a)＋f(b)”这类式子是概念性错误，除非题目本身给了这个条件。 4．求f(a＋3)时不加括号。　写成3a＋3²－5a＋3＋2，错在没有把a＋3当作一个整体。规范写法是先写3(a＋3)²－5(a＋3)＋2，再展开。 5．求值域时不交代依据。　直接写“值域为[－1，＋∞)”，中间的配方过程要写出来：y＝(x＋1)²－1≥－1。 六、与考试的对应 月考与期中：本课时内容通常出现在选择题第1—2题、填空题第1题的位置。高频的三类是——判断一个对应是不是函数（给四组对应关系或四个图象让你挑）；求函数值（含f(a＋3)这类整体代入）；由三要素辨析说法的正误。 期末与高考：本课时几乎不单独成题，但会渗进每一道函数题。抽象函数的赋值问题（如f(x＋y)＝f(x)＋f(y)型）以选择填空的形式出现在压轴位置，用的正是“f是对应关系、括号里放什么就代什么”这一条。 为后续铺垫：第二课时的同一函数判定，全部依据是本课时的“定义域和对应关系一定，函数就定了”；3.2讲单调性与奇偶性，定义都要用“对定义域内任意x”这句话，本课时的“任意”“唯一”若没有讲透，那里会重新卡壳。 七、初高中衔接与教学提醒 学生的初中基础　初中学过一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数，会画这四类图象，会用“对x的每一个值y都有唯一的值与之对应”判断。缺的是集合语言，以及对定义域的自觉。 最大的认知障碍　不是定义本身难记，而是学生不理解“为什么要换一套说法”。要靠问题1的反问把必要性逼出来，不要直接抛定义。 进度建议　情境引入5分钟、概念生成15分钟、概念辨析与符号10分钟、例题10分钟、检测与小结5分钟。四个问题不要图快跳过，宁可把区间挪到第二课时。 两班分层　优生班：例1之后追加“同一解析式配不同定义域”的追问，可以再问一句“y＝x(10－x)还能描述什么”；普通班：重心放在定义的默写与四查上，例1由教师带着做完即可。 当堂过关项　函数定义默写（下课前或下节课开头）；四查口答三题；f(x)与f·x的区别口答。 需要预告的后续联系　讲完值域可以说一句：怎么系统地求值域，要等学完单调性；讲完“定义域不同不是同一个函数”可以说一句：下节课专门讲。不要展开。 八、题型精练（附详解） 一、选择题 1．下列对应关系中，能构成从集合A到集合B的函数的是（　　） 　A．A＝R，B＝R，f：x→y＝　　B．A＝R，B＝R，f：x→y＝x² 　C．A＝R，B＝R，f：x→y＝±x　　D．A＝N，B＝N，f：x→y＝ 2．已知f(x)＝x²－3x，则f(－2)＝（　　） 　A．－2　B．2　C．10　D．－10 3．已知f(x)＝2x－1，则f(a＋1)＝（　　） 　A．2a　B．2a＋1　C．2a－1　D．2a＋2 4．下列说法正确的是（　　） 　A．函数的定义域和值域可以是空集 　B．函数的定义域和值域一定是数集 　C．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应 　D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了 5．已知f(x)＝x²＋1，则f(f(1))＝（　　） 　A．2　B．5　C．3　D．10 6．函数y＝2x－1（x{1，2，3}）的值域是（　　） 　A．[1，5]　B．{1，3，5}　C．[1，＋∞)　D．{1，2，3} 二、填空题 7．已知f(x)＝3x²－5x＋2，则f(－a)＝＿＿＿＿＿＿＿＿，f(a＋3)＝＿＿＿＿＿＿＿＿。 8．函数y＝x²，x{－2，－1，0，1，2}的值域是＿＿＿＿＿＿＿＿。 9．若f(x)＝x²，则f(a＋b)＿＿＿＿f(a)＋f(b)（填“＝”或“不一定等于”），当a＝1，b＝2时，f(a＋b)＝＿＿＿＿，f(a)＋f(b)＝＿＿＿＿。 三、解答题 10．已知f(x)＝x²＋2x。（1）求f(2)与f(a－1)；（2）求f(x)的值域。 11．判断下列对应是不是从A到B的函数，说明理由：（1）A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，f：1→4，2→5，3→4；（2）A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，f：1→4，2→5；（3）A＝R，B＝{y|y≥0}，f：x→y＝x²。 12．（★）已知函数f(x)对任意实数x、y都满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(1)＝2，求f(0)与f(3)。 参考答案与详解 1．B。　A项：x＝0时无意义，A中的元素0没有像；C项：x＝1时y＝±1，一个自变量对应两个值，违反“唯一确定”；D项：x＝1时y＝，不属于B＝N。B项对每个实数x，x²都是唯一确定的实数，符合定义。本题瞄准“非空、有像、唯一、落在B中”四查。 2．C。　f(－2)＝(－2)²－3×(－2)＝4＋6＝10。误选A是把(－2)²算成了－4；误选D是漏了负号带来的加法。 3．B。　f(a＋1)＝2(a＋1)－1＝2a＋1。误选C是把a直接代进去没换整体。 4．B。　A项：定义要求A、B非空，定义域和值域都不能是空集；C项：多对一也是函数，如y＝x²中值域里的4对应两个自变量；D项：定义域和值域确定，对应关系未必确定。 5．B。　f(1)＝1²＋1＝2，f(2)＝2²＋1＝5。误选A是只算了一层。 6．B。　定义域只有三个数，逐个代入得1、3、5，值域是{1，3，5}。误选A是把有限个数的值域写成了区间，中间的2、4取不到。 7．　3a²＋5a＋2；3a²＋13a＋14。第二个由3(a＋3)²－5(a＋3)＋2展开得到，注意“a＋3”要整体加括号。 8．　{0，1，4}。五个自变量代入得4、1、0、1、4，重复的只写一次（集合的互异性）。 9．　不一定等于；9；5。f是对应关系的代号，不能像乘法那样拆开。 10． 　　（1）f(2)＝2²＋2×2＝8； 　　f(a－1)＝(a－1)²＋2(a－1)＝a²－2a＋1＋2a－2＝a²－1。 　　（2）f(x)＝x²＋2x＝(x＋1)²－1，因为(x＋1)²≥0，所以f(x)≥－1， 　　值域为[－1，＋∞)。（求f(a－1)时“a－1”必须整体加括号，这是最常见的失分处。） 11． 　　（1）是。A中三个元素各有唯一的像，且像4、5都在B中。 　　（2）不是。A中的元素3没有像，违反“A中的任意一个数都有像”。 　　（3）是。对每个实数x，x²是唯一确定的非负数，落在B中；值域恰好等于B。 12． 　　令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0。 　　令x＝y＝1，得f(2)＝f(1)＋f(1)＝4； 　　再令x＝2，y＝1，得f(3)＝f(2)＋f(1)＝6。 　　（抽象函数没有解析式，唯一的抓手是赋值。赋什么值由目标决定：要f(0)就令自变量都取0，要f(3)就用已知的f(1)一步步搭上去。普通班了解思路即可。） 学科网（北京）股份有限公司 $