专题12 数列的概念、求和及综合应用与拓展（知识清单）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题12 数列的概念、求和及综合应用与拓展 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 基础梳理・自主夯基 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 考点01 数列的概念 考点02 数列的分类 考点03 数列的两种常用的表示方法 考点04 常用结论 1 / 78 学科网（北京）股份有限公司 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 高考解密・母题探究 题型01 数列的应用 题型02 数列与函数的综合 题型03 数列与不等式的综合 题型04 等差数列与等比数列的综合 重点突破・考法深研 重点01 裂项相消法求和 重点02 等差数列与等比数列综合应用 重点03 无穷等比数列各项的和 重点04 数列不等式 重点05 分组(并项)法求和 技法提炼・审题点拨 方法点拨01 数列周期性的应用 方法点拨02 判断数列的增减性 方法点拨03 根据数列递推公式写出数列的项 方法点拨04由递推数列研究数列的有关性质 方法点拨05 数列的极限 易错剖析・避坑攻略 易错点01 确定数列中的最大(小)项 易错点02 数列新定义 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 数列的概念 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项； （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集，为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值； 注：数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要考虑函数的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性。 已知数列满足，，则__________． 若数列满足，则称数列为平方差递推数列.若数列是平方差递推数列，且，，则的前100项的和为______. 已知数列满足，则__________. 考点02 数列的分类 （1）按照项数有限和无限分： （2）按单调性来分： 观察数列：，，，，，，，，…，，…，随着n无限增大，第n项的值有怎样的趋势？ 已知函数，设，则下列说法中错误的是（    ） A．是无穷数列 B．是递增数列 C．不是常数列 D．中有最大项 设函数，数列满足，且数列是严格递增数列，则实数 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 考点03 数列的两种常用的表示方法 （1）通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 注：①并不是所有的数列都有通项公式： ②同一个数列的通项公式在形式上未必唯一。 （2）递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 通项公式和递推公式的异同点 不同点 相同点 通项公式 可根据某项的序号n的值，直接代人求出 都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项 递推公式 可根据第1项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，依次求出数列的项，直至求出所需的 已知正项数列，其前项和为，且( )．则数列的通项公式为 ______． 已知是数列的前项和，且.若，则__________ 若数列中，，则________． 考点04 常用结论 （1）若数列的前项和为，通项公式为，则 （2）在数列中，若最大，则；若最小，则 素养进阶·答题技法突破 题型01 数列的应用 考情定位：上海高考数列模块的中档至难题型，多以填空题压轴形式考查，单题分值5分，区分度较高；核心考查数列性质的深度应用与逻辑推理能力，常结合集合、区间、计数等背景综合命题. 核心考法： 1.以无穷等比数列为载体，结合项的范围分析集合/区间的开闭性，推导参数的取值范围； 2.给定数列项的大小约束条件，通过单调性分析与分类讨论，计算满足条件的有序数列对数. 解题要点： 1.无穷等比数列区间问题：先按公比的正负、绝对值大小分类，分析数列的单调性与摆动性，再将“集合为闭区间”的条件转化为项的最值恒成立关系，最终求解参数范围. 2.计数类问题：先通过假设变量顺序简化问题，结合单调性确定取值边界，再不重不漏地分类讨论所有符合条件的情况，最终汇总计数. 【典例01】（2024•上海）无穷等比数列满足首项，，记，，，，若对任意正整数，集合是闭区间，则的取值范围是 　 　 ． 【典例02】（2024•上海），，，，任意，，，，满足 ，求有序数列，，，有 　 　对． 题型02 数列与函数的综合 考情定位：上海高考数列中档题型，常以解答题前两问形式出现，单题分值6-8分；侧重考查数列与函数性质的融合应用，核心检验转化与化归的数学思想. 核心考法： 1.由函数过定点条件确定解析式，结合函数单调性，求解数列型不等式的解集； 2.根据等差数列的中项性质建立方程，转化为函数存在性问题，求解参数的取值范围. 解题要点： 1.不等式求解类：先利用条件求出函数解析式，结合函数的单调性，将函数值的大小关系等价转化为自变量的不等式，注意定义域限制. 2.参数范围类：将等差数列条件转化为等式后，通过分离参数、构造辅助函数，把“存在性问题”转化为函数值域问题，结合函数单调性或二次函数性质求解范围. 【典例01】（2024•上海）已知． （1）若过，求的解集； （2）存在使得、、成等差数列，求的取值范围． 题型03 数列与不等式的综合 考情定位：上海高考数列难题型，多为选择或填空压轴题，单题分值5分；以实际几何条件为载体，考查数列通项与不等式恒成立的结合，侧重归纳推理与分类讨论能力. 核心考法：以三角形三边关系等实际条件为背景，将问题转化为关于数列项的不等式组恒成立问题，通过分类讨论参数范围，求解满足条件的正整数项数. 解题要点： 1.先将几何条件（线段能构成三角形）等价转化为“两边之和大于第三边”的不等式组，核心是最大边小于另外两边之和. 2.按数列的单调性（公比/公差的取值范围）分类讨论，分别求解每类情况下不等式的解集，最后取交集得到公共可行域，统计其中的整数解个数. 【典例01】（2025•上海）设，，数列，数列．设．若对任意，，长为、、的线段均能构成三角形，则满足条件的有（　　） A．1个 B．3个 C．4个 D．无穷 题型04 等差数列与等比数列的综合 考情定位：上海高考数列基础至中档题型，选择、填空、解答题第一问均有涉及，单题分值4-6分；考查两类数列通项、求和公式的综合运算，是数列综合大题的运算基础. 核心考法： 1.结合等差数列的通项与前n项和公式，根据项的区间分布条件，求解公差的取值范围； 2.已知等差数列、等比数列的基本条件，结合通项公式与和的条件，求解公比等基本量. 解题要点： 1.范围类问题：先排除公差为0的特殊情况，再将“至少两项位于区间内”的条件转化为关于公差的不等式，注意验证边界取值是否符合题意. 2.基本量计算类：分别写出等差、等比数列的通项公式，根据条件列方程求解，注意舍去不符合数列定义的解（如公比为0、不符合正项要求等）. 【典例01】（2026•上海）已知为等差数列，，为公差，为的前项和，若中至少有两项位于之间，则公差的取值范围为________． 【典例02】（2025•上海）已知是首项为1、公差为1的等差数列，是首项为1、公比为的等比数列．若数列的前三项和为2，则________． 重点01 裂项相消法求和 裂项相消法求和的计算方法 （1）核心遵循＂通项裂差抵消＂原则，将数列通项拆解为两项的差，使求和时中间项相互抵消，仅保留首尾有限项再运算，是通项可拆分类数列求和的通用转化方法。 （2）对于标准裂项型数列求和，先对目标通项进行裂项变形，验证裂项前后等价并补全系数，再展开前n项和梳理抵消后的剩余项，代入化简后得到最终的和。 （3）记住下列常用裂项公式： ①； ②。 （4）若通项为等差乘积倒数、根式分母型等形式，均可直接对应裂项公式拆分；结构复杂的通项可先化简变形，再匹配对应裂项形式完成求和，注意准确判断剩余项的数量与符号。 （2026·上海杨浦·模拟预测）已知数列满足，，则数列前2026项的和为__________． （2024·上海嘉定·一模）已知数列的前n项和为，，其中． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． （2026·上海杨浦·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点，，…，，其中n为正整数，每一个点均位于抛物线 的图像上，点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切；若，且，所有幂函数均与抛物线交于点M． (1)设点Q是抛物线 上不与点M重合的动点，R是线段MQ上一点，且满足，求：动点R的轨迹方程； (2)设，求：数列前2026项的和； (3)已知直线与某个以点为圆心的相切，当最大时，设AB，CD是抛物线 的两条经过切点的动弦，满足AB⊥CD，点S与点T分别为弦AB，CD的中点，是否存在定点N，使得点N，T，S始终三点共线，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 重点02 等差数列与等比数列综合应用 等差数列与等比数列综合应用的解题方法 （1）核心遵循＂基本量先行、分型转化＂原则，将首项、公差、公比作为核心基本量建立方程（组），是解决等差等比综合问题的通用转化方法。 （2）对于两类数列的计算类综合题，先分别梳理对应数列的通项与前n项和公式，结合公共项、和式关联等条件联立求解基本量，再代入推导目标结论。 （3）记住下列核心公式： ①等差数列：； ②等比数列：时时。 （4）若涉及递推综合、实际应用模型等复杂场景，可通过构造新数列转化为单一等差或等比数列求解；遇到性质结合类题型，灵活运用中项、下标和等性质简化运算，注意验证项数与公比取值的合理性。 （2025·上海嘉定·一模）数列的前项和为，且对任意正整数，总存在正整数，使得，则下列命题中正确的是（    ） A．对任意正整数，总存在正整数，使得 B．数列一定是等差数列 C．存在公比为正整数的等比数列满足条件 D．对任意正整数，总存在正整数、，使得 （2026·上海浦东新·三模）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，若．已知，记和分别为数列和的前项和，则下列结论正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 （2026·上海普陀·二模）设，，是等差数列的前n项和，且公差，若，且，，成等比数列，则______________. 重点03 无穷等比数列各项的和 无穷等比数列各项的和的计算方法 （1）核心遵循＂收敛极限求和＂原则，将无穷多项的求和转化为前n项和的极限运算，仅当公比满足且时数列的和存在，是无穷等比数列求和的通用判定与转化方法。 （2）对于无穷等比数列求和问题，先判定公比的取值范围，确认数列收敛后，提取首项与公比，代入无穷求和公式直接计算；实际应用场景先抽象出等比数列模型，验证收敛性再求解总和。 （3）记住下列公式： ①无穷等比数列各项和：且； ②本质为前n项和的极限：，当时无穷等比数列各项的和不存在。 （4）若遇到循环小数化分数、递减型产值、无穷递缩图形面积等问题，均可转化为无穷等比数列求和模型；解题时务必先验证公比范围，不可直接套用公式，同时准确识别首项与公比，避免模型对应错误。 （2026·上海·模拟预测）已知数列满足，若，则__________． （2026·上海嘉定·二模）已知正四面体上的四个面上分别写有1、2、3、4，游戏中甲、乙轮流抛掷该四面体，谁抛出底面数字等于4则获胜且游戏结束．甲先开始，则甲获胜的概率为___________． （2026·上海·模拟预测）如图，已知直角三角形的两直角边和的长分别为5和12，直角三角形的斜边所在的直线与以、、…、、…为圆心，且依次外切的半圆都相切，其中半圆与边所在的直线相切，半圆圆心都在边上，半径分别为、、…、、…，前个半圆面积的总和，则_______． 重点04 数列不等式 数列不等式的解题方法 （1）核心遵循＂放缩转化、最值对应＂原则，将数列不等式问题转化为数列单调性分析、数列求和运算，结合放缩思想与函数性质推导，是数列不等式问题的通用转化方法。 （2）对于恒成立、能成立类数列不等式，先分离参数或构造目标数列，通过作差、作商判断数列单调性求得最值，再对应等价转化求解；证明类不等式先对通项进行合理放缩，转化为可求和的标准数列形式，求和后验证不等式结论。 （3）记住下列常用方法与结论： ①单调性判定：作差法、作商法判断数列增减，确定最值； ②放缩求和：将通项放缩为等差、等比或裂项型通项，求和后界定范围； \text { ⟺ } ③恒成立等价：恒成立等价于恒成立。 （4）若涉及复杂求和型不等式，可先尝试放缩为可求和数列，放缩尺度不足时调整放缩精度；遇到与函数结合的综合不等式，可借助函数单调性与最值辅助推导；解题时注意验证n的初始取值，避免放缩过度或忽略项数范围导致结论错误。 （2024·上海奉贤·三模）若数列的前项和为，关于正整数的方程记为，命题：对于任意的，存在等差数列使得有解；命题：对于任意的，存在等比数列使得有解；则下列说法中正确的是（    ） A．命题为真命题，命题为假命题； B．命题为假命题，命题为真命题； C．命题为假命题，命题为假命题； D．命题为真命题，命题为真命题； （2026·上海普陀·二模）设，，，是等比数列的前n项和，且，公比为3，令，若恰存在2个k的值，对任意的，皆有成立，则的取值范围为______. （2024·上海普陀·模拟预测）设，，，若正项数列满足，则称数列具有性质“”. (1)设，，若数列，，，，具有性质“”，求满足条件的的值； (2)设数列的通项公式为，问是否存在使得数列具有性质“”？若存在，求出满足条件的的取值范围，若不存在，请说明理由； (3)设函数的表达式为，数列的前项和为，且满足，，证明：数列具有性质“”，并比较与的大小. 重点05 分组（并项）法求和 分组（并项）法求和的计算方法 （1）核心遵循＂分组归类、化整为零＂原则，将无法直接套用公式求和的数列按内在规律拆分为若干组，每组单独求和后再汇总计算，是结构特殊数列求和的通用转化方法。 （2）对于正负交替、周期变化、等差等比组合型数列求和，先观察通项的结构特征，按奇偶项、周期长度或同类项进行分组并项，分别计算每组的和，再将各组结果合并得到前n项和。 （3）记住下列常用分组形式： ①奇偶并项：通项含时，按相邻两项并组，转化为常数列或等差数列求和； ②周期分组：数列周期为时，每项为一组，先求单组的和，再乘以组数加剩余项求和。 （4）若遇到符号交替、分段规律、等差与等比间隔排列的数列，均可采用分组并项法；解题时注意判断总项数的奇偶性，准确计算组数与剩余项数，避免漏项、错组导致结果偏差。 （2025·上海·三模）已知数列的通项公式为（为正整数），则数列的前项和的最小值为________. （2025·上海浦东新·二模）已知数列，，并且前项的和满足： ①存在小于的正整数，使得； ②对任意的正整数和，都有． 则满足以上条件的数列共有__________个． （2025·上海崇明·一模）设．数列满足下列条件：，且对任意的，都存在使得，其中互不相等，则数列的前20项和的最大值是_______． （2026·上海静安·二模）已知等差数列的首项，公差为，等比数列的首项，公比为，数列满足（n为正整数）． (1)依次写出数列的前项； (2)设数列的前项和为，求． 方法点拨01 数列周期性的应用 1．周期判定原则：处理周期数列问题，先通过迭代计算前几项、递推变形或定义验证确定数列的周期，明确周期长度与有效起始项，从根源简化大项数求解与批量求和运算。 2．项值转化技巧：依托周期数列的定义性质，将下标较大的项转化为一个周期内对应下标的项，通过（为正周期）的规律完成大项数的项值快速求解。 3．求和分组变形：遇到周期数列前项和问题，对应利用周期性将数列按完整周期分组，通过单周期内的和乘以完整周期数，再加剩余项的和推导最终总和。 4．综合巧解思路：求解递推型、新定义型的周期数列综合题，巧用＂迭代递推法＂验证周期，搭配递推式变形快速锁定周期长度，最后验证边界项的对应关系与周期适用的下标范围。 （2024·上海普陀·模拟预测）已知数列满足，，，则数列的前项积的最大值为______． （2026·上海·三模）已知是由复数组成的数列，（为虚数单位），且，则的值为____________. （2025·上海浦东新·三模）已知各项均为正整数的数列中，，，且对任意正整数，两个3项数列、、与、、中恰有一个为等差数列．若对一切正整数成立，则的最小值为__________ 方法点拨02 判断数列的增减性 1.判定方法优选原则:处理数列增减性问题，先根据通项形式选定作差法或作商法，再推导相邻两项的大小关系，从根源简化增减性的判定与后续最值推导。 2.作差作商技巧:依托不等式的基本性质，将数列相邻两项作差或作商后恒等变形，通过因式分解、配方、通分等方法完成增减性的判定。 3.特殊数列变形:遇到等差、等比或函数型通项的数列，对应利用基本数列性质或对应函数单调性转化判定，通过公差符号、公比取值范围快速推导增减趋势。 4.综合巧解思路:求解含参数、递推型的数列增减性综合题，巧用“先特值验证后一般推导”的方式，搭配分类讨论思想快速锁定参数范围，最后验证边界项与判定的适用范围。 （2024·上海普陀·模拟预测）设且，、、都是正整数，数列的通项公式为，记数列中前项的最小值为，由所有的值所组成的集合记为，若集合中仅有四个元素，则下列说法中错误的是（   ） A．当时，的取值范围是 B．不存在和的值，使得 C．当时，的取值范围是 D．存在和的值，使得 （2025·上海杨浦·二模）由若干个多边形所覆盖的区域，称为这些多边形的并集，例如图中，梯形是与矩形的并集.已知是正整数，在平面直角坐标系中，直线的方程为，若直线交轴于点，交轴于点，则的并集，其面积为__________.    （2025·上海杨浦·一模）数列：满足：，且，记集合.若数列满足：对任意，均有，则称数列是“好的”.“好的”数列的个数为_____. （2026·上海奉贤·二模）设定义域为的函数的表达式为，我们可以证明函数存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点作函数的切线与轴的交点为，设横坐标为，若，则过点作函数的切线与x轴的交点为，设横坐标为；若，则停止作切线．…依次类推，得到数列，记，． (1)若，，求； (2)求证：数列是严格递减数列； (3)若，比较与的大小，并说明理由． 方法点拨03 根据数列递推公式写出数列的项 1.递推代入原则:处理递推写项问题，先明确初始项与递推公式的对应关系，再按下标顺序依次迭代代入，从根源保障各项推导的准确性与有序性。 2.逐项迭代技巧:依托递推公式的运算关系，将前一项的项值代入递推式计算后一项，通过下标依次递进完成数列前若干项的书写。 3.分段递推变形:遇到分段递推、多阶递推的结构，对应利用递推规则转化计算顺序，通过初始项补齐、分段条件匹配推导对应各项。 4.规律巧解思路:求解项数较大、隐含周期规律的递推数列，巧用“先算前几项找规律”的方式，搭配周期性快速推导指定项，最后验证递推适用的下标范围与项的对应关系。 （2026·上海杨浦·模拟预测）已知数列满足，且对任意正整数，关于的实系数方程 都有两个相等的实根，若 ，则满足条件的不同实数的个数为（    ） A． B． C． D． （2026·上海·模拟预测）命题：已知为无穷数列，对于任意正整数，若令首项，由递推式生成的数列，最终都会从某一项起变为同一个常数． 命题：且的公差为； 命题：数列的通项公式为． 则下列说法正确的是（     ）． A．、都是的充分条件 B．只有是的充分条件 C．只有是的充分条件 D．、都不是的充分条件 （2025·上海徐汇·一模）已知数列满足：，对任意的正整数均有，若存在正整数，使得所有数列均满足，则的最大值为__________． 方法点拨04 由递推数列研究数列的有关性质 1.递推转化原则:处理递推数列性质问题，先对递推关系式进行恒等变形，转化为等差、等比或周期等熟悉的数列类型，再推导对应性质从根源简化后续的规律分析与运算。 2.迭代推导技巧:依托递推公式的运算关系，将递推式进行迭代、累加或累乘变形，通过逐项递推完成数列通项、增减性、周期性等性质的初步判断。 3.构造转化变形:遇到一阶线性、分式型、二阶线性递推的结构，对应利用构造法转化为等差或等比数列，通过待定系数、取倒数、特征根变形推导数列的核心性质。 4.归纳验证思路:求解含参数、复杂递推的数列性质综合题，巧用“归纳猜想+严谨证明"的方式，搭配分类讨论思想快速推导数列的规律特征，最后验证初始条件与结论的适用范围。 （2025·上海金山·三模）对于数列，若存在常数，对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．给出下列两个结论： ①若数列和均具有性质，则数列也具有性质 ②若数列和均具有性质，则数列也具有性质． 则下列判断正确的是（   ） A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 （2024·上海嘉定·一模）已知数列满足，给出以下四个结论： ①当时，存在有限个，使得对任意正整数，都有 ②当时，存在和正整数，当时， ③当时，存在和正整数，当时， ④当时，不存在，使得对任意正整数，且，都有 其中正确结论是（    ）. A．①② B．②③ C．③④ D．②④ （2026·上海嘉定·二模）设数列满足，且，其中．下列选项中错误的是（   ） A．存在，使得存在正整数N，当时，总有 B．存在，使得不存在正整数N，当时，总有 C．对任意，都不存在正整数N，使得当时，总有 D．存在，使得不存在正整数N，当时，总有 方法点拨05 数列的极限 1．极限判定原则：处理数列极限问题，先判断数列的收敛性与基本类型，再选取对应的极限运算法则，从根源简化极限的计算与存在性推导。 2．恒等变形技巧：依托极限四则运算法则，将目标数列变形为基本数列的组合形式，通过同除最高次项、分子有理化完成极限的计算。 3．特殊数列变形：遇到无穷等比、分式型、根式型的极限结构，对应利用常用极限结论转化，通过公比范围、阶数对比推导极限结果。 4．收敛验证思路：求解含参数、抽象递推的数列极限综合题，巧用＂单调有界定理＂判定极限存在性，搭配方程思想快速求解极限值，最后验证极限成立的条件与参数范围。 （2024·上海·三模）已知数列满足，点在双曲线上，则_______． （2024·上海·三模）已知数列的通项公式为，数列满足，则______ （2026·上海闵行·模拟预测）飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数．在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为，则__________． （2026·上海金山·二模）若函数，其值域为．若，则称函数在区间上为封闭函数． (1)已知，判断函数是否在区间上为封闭函数，并说明理由； (2)已知，若函数在区间上不为单调函数，但在区间上为封闭函数，求的最大值； (3)已知函数在区间上连续且为封闭函数，且对于任意的、，都有成立．若数列满足，且，证明：存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有． 易错点01 确定数列中的最大（小）项 易混易错提醒：确定数列中的最大（小）项类题型，相邻项比较法解题先明确下标n的取值边界，牢记比较与时n需从2开始，不可忽略首项的单独验证；函数单调性法先明确数列定义域为正整数集，不能直接套用连续函数的极值结论，需对极值附近的正整数项逐一比对，全程遵循＂边界先行、整数验证＂原侧，从源头避免最值项漏判与错判。 （2025·上海·三模）已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（） A．既有最大项也有最小项 B．只有最大项没有最小项 C．没有最大项只有最小项 D．没有最大项也没有最小项 （2025·上海·三模）设数列的各项均为非零的整数，其前项和为．设为正整数，若为正偶数时，都有恒成立，且，则的最小值为（    ） A．0 B．22 C．26 D．31 （2024·上海·模拟预测）数列的最小项的值为______. 易错点02 数列新定义 易混易错提醒：数列新定义应用类题型，规则辨析题先明确题目给出的新概念、新运算的定义内涵与适用范围，牢记新定义数列需严格遵循题目设定的规则迭代推导，不可直接套用等差、等比数列的固有结论与性质；规律推导题先由前几项验证初步特征，再结合递推逻辑严谨推导通项与相关性质，明确不能仅凭前几项特例就归纳通用结论，全程遵循＂明定义、严推导、验边界＂原则，从源头避免规则误解与结论偏差。 （2025·上海闵行·一模）从等差数列：、2、、、1000中取出若干数字按先后顺序构成数列．第一次取出数字“1”，然后从取出的“1”开始往后数2个数，再取出数到2的数字“3”，⋯，以此类推，如果某次取出的是数字“”，则下一次从取出的“”开始往后数个数，再取出数到的数字“”；当往后数的数字个数小于“”时，结束取数．那么 的最后一项是（    ） A．6 B．990 C．999 D．1000 （2025·上海黄浦·一模）若数列同时满足如下条件：（ⅰ）是无穷数列；（ⅱ）是递增数列；（ⅲ）存在正数M，使得对任意的，都有的前n项的和，则称具有性质P．关于如下结论：①存在等差数列具有性质P；②存在等比数列具有性质P．其中正确的说法是（   ） A．①和②均正确 B．①和②均错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 （2025·上海杨浦·模拟预测）已知是一个公差不为的等差数列，其前项和为.若存在正整数(其中)使得，则称具有性质，称有序数对是的一组“数对”，记由的全体“数对”所组成的集合为.关于命题①“若具有性质且，则”与命题②存在具有性质的及互不相同的正整数(其中且，使得且，下列说法正确的是（   ）. A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 优题精练·专题实战通关 （2025·上海黄浦·二模）设数列的前n项和为，若对任意的，都是数列中的项，则称数列为“T数列”.对于命题：①存在“T数列”，使得数列为公比不为1的等比数列；②对于任意的实数，都存在实数，使得以为首项、为公差的等差数列为“T数列”.下列判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 （2025·上海奉贤·一模）已知数列不是常数列，前项和为，．若对任意正整数，存在正整数，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题： ①若各项均为正整数的等差数列满足公差，则是“可控数列”； ②若等比数列是“可控数列”，则其公比． 则下列判断正确的是（    ） A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为真命题，②为假命题 （2025·上海虹口·一模）已知项数为10的数列中任一项均为集合中的元素，且相邻两项满足．若中任意两项都不相等，则满足条件的数列有_______个． （2025·上海普陀·模拟预测）设，，、，等差数列的首项，公差，若，则的值为________. （2024·上海·三模）无穷等比数列满足：，，则的各项和为______． （2026·上海杨浦·模拟预测）定义：将等差数列和等比数列中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，相同大小的项只保留中的项，其中等比数列中项在新数列中出现的“间隔数”（如：与之间的间隔数为）按从小到大顺序组成的数列为“间隔数列”，若公比和首项均为2的等比数列的“间隔数列”为等比数列本身，已知，则数列前项和为__________. （2026·上海浦东新·三模）已知平面向量序列，其中和均为非零整数，且．对任意正整数，都有．则的最小值为___________． （2024·上海·三模）已知． (1)无穷等比数列的首项，公比．求的值． (2)无穷等差数列的首项，公差．求的通项公式和． （2026·上海虹口·三模）对于定义域为的函数以及给定的个实数，，…，，若存在项数为且严格增的有限数列，，…，，满足，则称函数关于数列具有“性质”． (1)若 ，请分别判断，是否关于数列具有“性质”（无需说明理由）； (2)设，，，，，是否存在首项和公比相等且严格增的有限等比数列，使得函数关于数列具有“性质”？若存在，请写出一个满足要求的等比数列；若不存在，请说明理由； (3)若函数的图象是连续曲线，集合和均不为空集，且为有限集，求证：对于任意给定的个正数，，，，均存在严格增的有限等差数列，使得函数对数列具有“性质”． （2025·上海金山·一模）现给出“函数”的定义与性质． 定义：若函数在区间上连续，且对于区间内任意两数，如果都有成立，则称函数为区间上的“函数”； 性质：若函数为区间上的“函数”，则对于任意和满足的正数，有成立． (1)判断下列两个函数是否为其定义域上的“函数”（不需要说明理由） ①； ②． (2)若函数为区间上的“函数”，求实数的取值范围； (3)若，记为函数的图像与轴所围成的图形面积，当且时，求的最小值． 2 / 42 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $null 专题12 数列的概念、求和及综合应用与拓展 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 基础梳理・自主夯基 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 考点01 数列的概念 考点02 数列的分类 考点03 数列的两种常用的表示方法 考点04 常用结论 1 / 78 学科网（北京）股份有限公司 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 高考解密・母题探究 题型01 数列的应用 题型02 数列与函数的综合 题型03 数列与不等式的综合 题型04 等差数列与等比数列的综合 重点突破・考法深研 重点01 裂项相消法求和 重点02 等差数列与等比数列综合应用 重点03 无穷等比数列各项的和 重点04 数列不等式 重点05 分组(并项)法求和 技法提炼・审题点拨 方法点拨01 数列周期性的应用 方法点拨02 判断数列的增减性 方法点拨03 根据数列递推公式写出数列的项 方法点拨04由递推数列研究数列的有关性质 方法点拨05 数列的极限 易错剖析・避坑攻略 易错点01 确定数列中的最大(小)项 易错点02 数列新定义 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 数列的概念 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项； （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集，为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值； 注：数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要考虑函数的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性。 已知数列满足，，则__________． 【答案】 【分析】由递推公式，确定数列周期，即可求解. 【详解】由，， 得 ， ， ， 因此数列是周期为3的周期数列， 因为， 所以. 若数列满足，则称数列为平方差递推数列.若数列是平方差递推数列，且，，则的前100项的和为______. 【答案】1 【分析】通过赋值得出数列的周期即可求解. 【详解】由题意可知,, ,,, 所以数列是从第2项起，周期为3的数列. 则的前100项的和. 已知数列满足，则__________. 【答案】 【分析】利用递推公式先判断周期，利用周期数列即可求解. 【详解】由，所以， ，即，所以数列是以为周期的周期数列， 所以， 故答案为：. 考点02 数列的分类 （1）按照项数有限和无限分： （2）按单调性来分： 观察数列：，，，，，，，，…，，…，随着n无限增大，第n项的值有怎样的趋势？ 【答案】当无限增大时，第项的值无限趋近于零． 【分析】根据题意，结合指数函数的性质，得到数列的单调性，即可求解. 【详解】由题意，数列的第n项， 根据指数函数的性质得，可得为递减数列， 当无限增大时，第项的值无限趋近于零． 已知函数，设，则下列说法中错误的是（    ） A．是无穷数列 B．是递增数列 C．不是常数列 D．中有最大项 【答案】D 【分析】根据无穷数列的概念可知A正确；由恒成立可知B正确；根据常数列的概念可知C正确；根据数列的单调性可知D错误. 【详解】对于A ，显然是无穷数列，故A正确； 对于B，因为，即，即是递增数列，故B正确； 对于C，因为，，，故不是常数列，故C正确； 对于D，由B知，是递增数列，当趋近于无穷大时，也趋近于无穷大，所以中无最大项，故D错误. 故选：D 设函数，数列满足，且数列是严格递增数列，则实数 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，根据数列为递增数列，联立不等式组，即可求得答案. 【详解】由，得， 又数列为递增数列，得，解得.即：. 考点03 数列的两种常用的表示方法 （1）通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 注：①并不是所有的数列都有通项公式： ②同一个数列的通项公式在形式上未必唯一。 （2）递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 通项公式和递推公式的异同点 不同点 相同点 通项公式 可根据某项的序号n的值，直接代人求出 都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项 递推公式 可根据第1项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，依次求出数列的项，直至求出所需的 已知正项数列，其前项和为，且( )．则数列的通项公式为 ______． 【答案】 【详解】当时，，因此， 则，则， 同时，当时，， 因此， 所以， 而因为，所以， 即， 所以是首项，公差的等差数列， 因此， 当时，满足条件， 因此数列的通项公式为. 已知是数列的前项和，且.若，则__________ 【答案】 【详解】当时，， 当时，，所以， 又， 所以，令， 所以，所以， 当 所以. 若数列中，，则________． 【答案】 【分析】利用递推公式先求前几项，进而得周期，利用周期即可求解. 【详解】由题意得：，，， ，， 所以，所以数列是以为周期的周期数列， 所以. 考点04 常用结论 （1）若数列的前项和为，通项公式为，则 （2）在数列中，若最大，则；若最小，则 素养进阶·答题技法突破 题型01 数列的应用 考情定位：上海高考数列模块的中档至难题型，多以填空题压轴形式考查，单题分值5分，区分度较高；核心考查数列性质的深度应用与逻辑推理能力，常结合集合、区间、计数等背景综合命题. 核心考法： 1.以无穷等比数列为载体，结合项的范围分析集合/区间的开闭性，推导参数的取值范围； 2.给定数列项的大小约束条件，通过单调性分析与分类讨论，计算满足条件的有序数列对数. 解题要点： 1.无穷等比数列区间问题：先按公比的正负、绝对值大小分类，分析数列的单调性与摆动性，再将“集合为闭区间”的条件转化为项的最值恒成立关系，最终求解参数范围. 2.计数类问题：先通过假设变量顺序简化问题，结合单调性确定取值边界，再不重不漏地分类讨论所有符合条件的情况，最终汇总计数. 【典例01】（2024•上海）无穷等比数列满足首项，，记，，，，若对任意正整数，集合是闭区间，则的取值范围是 　 　 ． 【答案】， 【分析】当时，不妨设，则，，，，结合为闭区间可得对任意的恒成立，故可求的取值范围． 【解答】解：由题设有，因为，，故，故， 当时，，，，故，，此时为闭区间， 当时，不妨设，若，，，则，， 若，，，，则，， 若，，，则，， 综上，，，，， 又为闭区间等价于，，，为闭区间， 而，故对任意恒成立， 故，故， 故对任意的恒成立，因为， 故当时，，故即． 故答案为：，． 【点评】本题考查数列的应用，等比数列的性质的应用，是中档题． 【典例02】（2024•上海），，，，任意，，，，满足 ，求有序数列，，，有 　 　对． 【答案】48． 【分析】由题意得，10，12，18，20，，设，由单调性有，，，，分类讨论可求解． 【解答】解：由题意得，10，12，18，20，， 满足， 不妨设， 由单调性有，，，， 分两种情况讨论： ①，， 解得，，，， ②，， 解得，，，， 所以有2种， 综上共有对． 故答案为：48． 【点评】本题综合考查了数列，不等式的应用，属于难题． 题型02 数列与函数的综合 考情定位：上海高考数列中档题型，常以解答题前两问形式出现，单题分值6-8分；侧重考查数列与函数性质的融合应用，核心检验转化与化归的数学思想. 核心考法： 1.由函数过定点条件确定解析式，结合函数单调性，求解数列型不等式的解集； 2.根据等差数列的中项性质建立方程，转化为函数存在性问题，求解参数的取值范围. 解题要点： 1.不等式求解类：先利用条件求出函数解析式，结合函数的单调性，将函数值的大小关系等价转化为自变量的不等式，注意定义域限制. 2.参数范围类：将等差数列条件转化为等式后，通过分离参数、构造辅助函数，把“存在性问题”转化为函数值域问题，结合函数单调性或二次函数性质求解范围. 【典例01】（2024•上海）已知． （1）若过，求的解集； （2）存在使得、、成等差数列，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）先求出函数解析式，再结合函数的单调性，即可求解； （2）根据等差数列的性质，推得有解，再结合分离常数法，以及二次函数的性质，即可求解． 【解答】解：（1）由过可得， 则，解得（负值舍去）， 因为在上是严格增函数，， 则，解得， 故所求解集为； （2）因为、、成等差数列， 所以，即有解，化简可得， 则且， 故在上有解， 又，故在上，， 故，解得或， 又，所以， 故的取值范围为． 【点评】本题主要考查数列与函数的综合，考查转化能力，属于中档题． 题型03 数列与不等式的综合 考情定位：上海高考数列难题型，多为选择或填空压轴题，单题分值5分；以实际几何条件为载体，考查数列通项与不等式恒成立的结合，侧重归纳推理与分类讨论能力. 核心考法：以三角形三边关系等实际条件为背景，将问题转化为关于数列项的不等式组恒成立问题，通过分类讨论参数范围，求解满足条件的正整数项数. 解题要点： 1.先将几何条件（线段能构成三角形）等价转化为“两边之和大于第三边”的不等式组，核心是最大边小于另外两边之和. 2.按数列的单调性（公比/公差的取值范围）分类讨论，分别求解每类情况下不等式的解集，最后取交集得到公共可行域，统计其中的整数解个数. 【典例01】（2025•上海）设，，数列，数列．设．若对任意，，长为、、的线段均能构成三角形，则满足条件的有（　　） A．1个 B．3个 C．4个 D．无穷 【答案】 【分析】根据题意可得，进一步分别讨论三个不等式即可确定的取值范围，最后即可确定满足条件的的个数． 【解答】解：长为，，的线段均能构成三角形， ， 当时，有，即，又，， ，即恒成立； 当时，有，即， ，，解得，3，4，5，， 当时，有，即， ，，即解得，4，5，6，7， 综上，，5，， 满足条件的有3个． 故选：． 【点评】本题主要考查数列与不等式的综合问题，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于难题． 题型04 等差数列与等比数列的综合 考情定位：上海高考数列基础至中档题型，选择、填空、解答题第一问均有涉及，单题分值4-6分；考查两类数列通项、求和公式的综合运算，是数列综合大题的运算基础. 核心考法： 1.结合等差数列的通项与前n项和公式，根据项的区间分布条件，求解公差的取值范围； 2.已知等差数列、等比数列的基本条件，结合通项公式与和的条件，求解公比等基本量. 解题要点： 1.范围类问题：先排除公差为0的特殊情况，再将“至少两项位于区间内”的条件转化为关于公差的不等式，注意验证边界取值是否符合题意. 2.基本量计算类：分别写出等差、等比数列的通项公式，根据条件列方程求解，注意舍去不符合数列定义的解（如公比为0、不符合正项要求等）. 【典例01】（2026•上海）已知为等差数列，，为公差，为的前项和，若中至少有两项位于之间，则公差的取值范围为 ． 【答案】． 【分析】结合等差数列通项公式及求和公式即可求解． 【解答】解：若，显然，则不满足题意； 若，只需， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了等差数列通项公式及求和公式的应用，属于基础题． 【典例02】（2025•上海）已知是首项为1、公差为1的等差数列，是首项为1、公比为的等比数列．若数列的前三项和为2，则 ． 【答案】． 【分析】由已知结合等差数列与等比数列的通项公式即可求解． 【解答】解：由题意可得，，，， 若数列的前三项和为2，则， 解得或（舍． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的应用，属于基础题． 重点01 裂项相消法求和 裂项相消法求和的计算方法 （1）核心遵循＂通项裂差抵消＂原则，将数列通项拆解为两项的差，使求和时中间项相互抵消，仅保留首尾有限项再运算，是通项可拆分类数列求和的通用转化方法。 （2）对于标准裂项型数列求和，先对目标通项进行裂项变形，验证裂项前后等价并补全系数，再展开前n项和梳理抵消后的剩余项，代入化简后得到最终的和。 （3）记住下列常用裂项公式： ①； ②。 （4）若通项为等差乘积倒数、根式分母型等形式，均可直接对应裂项公式拆分；结构复杂的通项可先化简变形，再匹配对应裂项形式完成求和，注意准确判断剩余项的数量与符号。 （2026·上海杨浦·模拟预测）已知数列满足，，则数列前2026项的和为__________． 【答案】 【分析】变形可知数列是以首项为1，公比为2的等比数列，结合等比数列通项公式可得，利用裂项相消法运算求解. 【详解】因为，即， 且，可知数列是以首项为1，公比为2的等比数列， 则，可得， 所以数列前2026项的和为. （2024·上海嘉定·一模）已知数列的前n项和为，，其中． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1） 利用与的关系式，分类讨论与即可得解； （2）利用裂项相消求和法即可得解. 【详解】（1）因为， 当时，有， 当时，有， 所以， 经检验，满足上式， 所以，； （2）因为，； 所以， 因此. （2026·上海杨浦·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点，，…，，其中n为正整数，每一个点均位于抛物线 的图像上，点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切；若，且，所有幂函数均与抛物线交于点M． (1)设点Q是抛物线 上不与点M重合的动点，R是线段MQ上一点，且满足，求：动点R的轨迹方程； (2)设，求：数列前2026项的和； (3)已知直线与某个以点为圆心的相切，当最大时，设AB，CD是抛物线 的两条经过切点的动弦，满足AB⊥CD，点S与点T分别为弦AB，CD的中点，是否存在定点N，使得点N，T，S始终三点共线，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，且 (2) (3) 存在定点，使得点N，T，S始终三点共线，理由如下： 的方程为，显然与为两切线， 最大时，，由（2）知，，其单调递减，故最大值为， 故切点坐标为， 若过点的其中一条直线斜率不存在，此时直线与抛物线只有1个交点，不合要求， 故过点的直线斜率也不为0， 设过的直线方程为， 联立与得， 设，则， 则，故点横坐标为， 将代入中得， 故，同理可得， 由对称性可知在轴上，不妨设， 则，， 点N，T，S始终三点共线，故， ， ， 化简得，显然， 所以，即时，上式恒成立， 故存在定点，使得点N，T，S始终三点共线. 【分析】（1）求出，利用相关点法求轨迹方程； （2）推出为等差数列，求出，利用裂项相消法求和； （3）先求出切点坐标，联立求出与点坐标，由对称性可得在轴上，根据向量平行得到方程，求出答案. 【详解】（1）所有幂函数均过点，点在抛物线上，故， 设点，，则，， 由得， 故，所以， 又在抛物线上，且与点不重合， 所以，且，， 即，且， 化简得，且； （2）由题意得，设点，，， 则的半径为，，解得， 因为与外切，则， 即，整理可得， 又，所以，即， 故数列是为首项，公差为2的等差数列， 则，， ， ； （3）略 重点02 等差数列与等比数列综合应用 等差数列与等比数列综合应用的解题方法 （1）核心遵循＂基本量先行、分型转化＂原则，将首项、公差、公比作为核心基本量建立方程（组），是解决等差等比综合问题的通用转化方法。 （2）对于两类数列的计算类综合题，先分别梳理对应数列的通项与前n项和公式，结合公共项、和式关联等条件联立求解基本量，再代入推导目标结论。 （3）记住下列核心公式： ①等差数列：； ②等比数列：时时。 （4）若涉及递推综合、实际应用模型等复杂场景，可通过构造新数列转化为单一等差或等比数列求解；遇到性质结合类题型，灵活运用中项、下标和等性质简化运算，注意验证项数与公比取值的合理性。 （2025·上海嘉定·一模）数列的前项和为，且对任意正整数，总存在正整数，使得，则下列命题中正确的是（    ） A．对任意正整数，总存在正整数，使得 B．数列一定是等差数列 C．存在公比为正整数的等比数列满足条件 D．对任意正整数，总存在正整数、，使得 【答案】D 【分析】可根据数列的性质，对每一选项进行分析判断即可. 【详解】选项A：取数列，易知不存在正整数，使得，故该选项错误； 选项B：取数列，则，满足对任意正整数，总存在正整数，使得，但数列不是等差数列，故该选项错误； 选项C：设等比数列的公比为，首项为，则， 当时，，，则不恒为0，不符合题意； 当正整数时，，， 若，则， 由于正整数，则， 即…*， 由于单调递增，且在与之间不存在其他正整数，则*式不成立； 故C错误； 选项D：当正整数时，由题意，存在正整数使得， 且存在正整数使得，则符合题意； 当时，存在正整数使得，取，则符合题意； 故D正确. 故选：D. （2026·上海浦东新·三模）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，若．已知，记和分别为数列和的前项和，则下列结论正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】通过等差数列、等比数列的通项公式的图像性质作出判断；通过不等式放缩进行证明. 【详解】依题意得，，因为，所以是一条线性增长的直线，增长速度稳定； ，因为，所以是指数增长的曲线，前期增长慢，后期会加速增长， 因为，，所以当，， 当，， 因为，， 所以； ， ， 接下来先证明：． 设， 则， 设， 则， 因为，所以， 所以在上单调递增，所以，所以， 所以在上单调递增， 所以当，，即， 令，所以，所以 ，即， 所以， 所以. （2026·上海普陀·二模）设，，是等差数列的前n项和，且公差，若，且，，成等比数列，则______________. 【答案】 【分析】本题利用等差数列的通项公式和前n项和公式代入可得,然后代入前n项和公式计算即可。 【详解】，,计算可得； 又成等比数列， ,变换可得,代入，计算可得,。 重点03 无穷等比数列各项的和 无穷等比数列各项的和的计算方法 （1）核心遵循＂收敛极限求和＂原则，将无穷多项的求和转化为前n项和的极限运算，仅当公比满足且时数列的和存在，是无穷等比数列求和的通用判定与转化方法。 （2）对于无穷等比数列求和问题，先判定公比的取值范围，确认数列收敛后，提取首项与公比，代入无穷求和公式直接计算；实际应用场景先抽象出等比数列模型，验证收敛性再求解总和。 （3）记住下列公式： ①无穷等比数列各项和：且； ②本质为前n项和的极限：，当时无穷等比数列各项的和不存在。 （4）若遇到循环小数化分数、递减型产值、无穷递缩图形面积等问题，均可转化为无穷等比数列求和模型；解题时务必先验证公比范围，不可直接套用公式，同时准确识别首项与公比，避免模型对应错误。 （2026·上海·模拟预测）已知数列满足，若，则__________． 【答案】 【分析】求出，得到为等比数列，结合无穷等比数列的求和公式求解即可. 【详解】，， 所以是以3为首项，为公比的等比数列， 所以. （2026·上海嘉定·二模）已知正四面体上的四个面上分别写有1、2、3、4，游戏中甲、乙轮流抛掷该四面体，谁抛出底面数字等于4则获胜且游戏结束．甲先开始，则甲获胜的概率为___________． 【答案】 【分析】根据题意，求出甲在第（奇数）次获胜的概率，再由等比数列求和得解. 【详解】由题意，甲抛掷一次获胜的概率为，失败的概率为， 甲胜的概率分为无数种情况：第次掷获胜，第次掷获胜，，第次获胜，， 概率分别为，， 故为以为首项，为公比的等比数列， 故甲获胜的概率. （2026·上海·模拟预测）如图，已知直角三角形的两直角边和的长分别为5和12，直角三角形的斜边所在的直线与以、、…、、…为圆心，且依次外切的半圆都相切，其中半圆与边所在的直线相切，半圆圆心都在边上，半径分别为、、…、、…，前个半圆面积的总和，则_______． 【答案】 【详解】 设以为圆心的圆与AB相切于点，连接， 易得与相似，则有， 又，，所以，代入可得，解得. 同理可得，即，解得，依次可求得， 因为，所以是以为首项，以为公比的等比数列， 则是以为首项，以为公比的等比数列， 前n个半圆面积的总和为， . 重点04 数列不等式 数列不等式的解题方法 （1）核心遵循＂放缩转化、最值对应＂原则，将数列不等式问题转化为数列单调性分析、数列求和运算，结合放缩思想与函数性质推导，是数列不等式问题的通用转化方法。 （2）对于恒成立、能成立类数列不等式，先分离参数或构造目标数列，通过作差、作商判断数列单调性求得最值，再对应等价转化求解；证明类不等式先对通项进行合理放缩，转化为可求和的标准数列形式，求和后验证不等式结论。 （3）记住下列常用方法与结论： ①单调性判定：作差法、作商法判断数列增减，确定最值； ②放缩求和：将通项放缩为等差、等比或裂项型通项，求和后界定范围； \text { ⟺ } ③恒成立等价：恒成立等价于恒成立。 （4）若涉及复杂求和型不等式，可先尝试放缩为可求和数列，放缩尺度不足时调整放缩精度；遇到与函数结合的综合不等式，可借助函数单调性与最值辅助推导；解题时注意验证n的初始取值，避免放缩过度或忽略项数范围导致结论错误。 （2024·上海奉贤·三模）若数列的前项和为，关于正整数的方程记为，命题：对于任意的，存在等差数列使得有解；命题：对于任意的，存在等比数列使得有解；则下列说法中正确的是（    ） A．命题为真命题，命题为假命题； B．命题为假命题，命题为真命题； C．命题为假命题，命题为假命题； D．命题为真命题，命题为真命题； 【答案】D 【分析】根据题意，利用等差数列与等比数列的性质，结合有解，构造出满足条件的等差、等比数列，即可求解. 【详解】当时，可得且，显然满足； 当时，设等差数列的首项，公差为， 可得，此时， 满足，即存在等差数列使得有解， 当时，设等差数列的首项，公差为， 可得，此时， 满足，即存在等差数列使得有解， 综上可得，对于任意的，存在等差数列使得有解，所以命题为真命题； 当时，取等比数列的首项为，公比为，可得， 则，此时满足，即成立； 当时，取等比数列的首项为，公比为，可得， 此时，满足，即存在等比数列使得有解； 当时，令，即为首项，公比为的等比数列， 此时，满足，即存在等比数列使得有解； 综上可得，对于任意的，存在等比数列使得有解，所以命题为真命题. 故选：D. 【点睛】方法点睛：与数列有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 3、若数列中涉及到三角函数有关问题时，常利用三角函数的周期性等特征，寻找计算规律求解； 4、若数列与向量有关问题时，应根据条件将向量式转化为与数列有关的代数式进行求解； 5、若数列与不等式有关问题时，一把采用放缩法进行判定证明，有时也可通过构造函数进行证明； 6、若数列与二项式有关的问题时，可结合二项展开式的性质，进行变换求解. （2026·上海普陀·二模）设，，，是等比数列的前n项和，且，公比为3，令，若恰存在2个k的值，对任意的，皆有成立，则的取值范围为______. 【答案】． 【分析】由的结构，可先研究函数在正数范围内的大小变化规律，再结合等比数列前 项和公式把题意转化为关于的不等式组求解． 【详解】由题意知，等比数列的首项为，公比为，所以， 从而， 设，因为，且随的增大而增大， 所以数列的变化只与函数在正数范围内的比较性质有关． 对任意，， 因此对任意正整数，有 又因为单调递增，所以也随的增大而增大． 题意“恰存在个的值，使得对任意的 ， 皆有成立”表示数列恰好连续下降两次， 即，等价于， 代入上式，得， 即解得， 综合可得. （2024·上海普陀·模拟预测）设，，，若正项数列满足，则称数列具有性质“”. (1)设，，若数列，，，，具有性质“”，求满足条件的的值； (2)设数列的通项公式为，问是否存在使得数列具有性质“”？若存在，求出满足条件的的取值范围，若不存在，请说明理由； (3)设函数的表达式为，数列的前项和为，且满足，，证明：数列具有性质“”，并比较与的大小. 【答案】(1)或； (2)； (3)证明如下： 令，则， 所以在上单调递减， 所以，即， 所以， 所以当时，，故， 所以，且函数的定义域为， 又，， 所以，， 因为， 所以， 令，， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，， 所以当时，，又， 故 所以， 因为， 所以 令， ， 令， 则， 令，， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，， 所以当时，， 所以函数在上单调递增， 所以当时，， 所以当时，， 故， 所以当时，， 又，所以， 所以， 综上，数列具有性质“”， 因为，所以， 所以当，时，， 所以，当时，， 当，时， ， 所以. 综上，数列具有性质“”，且. 【分析】（1）根据条件数列，，，，具有性质“”，结合新定义列不等式求的取值； （2）假设存在，满足条件，根据定义列不等式，等价转化不等式可求结论； （3）先证明，再结合作差法和导数方法证明，，由此证明数列具有性质“”，再通过放缩求，比较其与的大小. 【详解】（1）已知数列具有性质， 则，，，， 由，可得， 由，可得， 综合可得，又因为，所以或； （2）假设存在使得数列具有性质“”， 则，即. 由可得：， 即， 所以， 因为，， 所以， 则，又，所以， 由，可得， 所以， 因为，，所以，且时，， 综上，， 所以存在使得数列具有性质“”，的取值范围是； （3）略 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 重点05 分组（并项）法求和 分组（并项）法求和的计算方法 （1）核心遵循＂分组归类、化整为零＂原则，将无法直接套用公式求和的数列按内在规律拆分为若干组，每组单独求和后再汇总计算，是结构特殊数列求和的通用转化方法。 （2）对于正负交替、周期变化、等差等比组合型数列求和，先观察通项的结构特征，按奇偶项、周期长度或同类项进行分组并项，分别计算每组的和，再将各组结果合并得到前n项和。 （3）记住下列常用分组形式： ①奇偶并项：通项含时，按相邻两项并组，转化为常数列或等差数列求和； ②周期分组：数列周期为时，每项为一组，先求单组的和，再乘以组数加剩余项求和。 （4）若遇到符号交替、分段规律、等差与等比间隔排列的数列，均可采用分组并项法；解题时注意判断总项数的奇偶性，准确计算组数与剩余项数，避免漏项、错组导致结果偏差。 （2025·上海·三模）已知数列的通项公式为（为正整数），则数列的前项和的最小值为________. 【答案】 【分析】根据数列的单调性，结合数列通项的正负得出数列和的最小值即可. 【详解】为单调递增的数列， 当时，当时， 所以. 故答案为：. （2025·上海浦东新·二模）已知数列，，并且前项的和满足： ①存在小于的正整数，使得； ②对任意的正整数和，都有． 则满足以上条件的数列共有__________个． 【答案】 【分析】根据的奇偶性结合，分析可知，进而可得，，即可求数列个数，同时排除不满足条件①的情况. 【详解】因为，，可知的奇偶性与的奇偶性一致， 对于①：存在小于的正整数，使得， 对于②：对任意的正整数和，都有， 可知为奇数，即， 令，则，可得或； 令，则，可得或； 综上所述：对任意的正整数，. 且，可得，， 即确定，不相等，有2种可能， 此时，条件②满足， 对于数列可知：均有2种可能， 则满足条件的数列共有个， 又因为存在小于的正整数，使得， 可知对任意，不成立，即这种情况不符合题意， 综上所述：符合题意的数列共有个. 故答案为：. （2025·上海崇明·一模）设．数列满足下列条件：，且对任意的，都存在使得，其中互不相等，则数列的前20项和的最大值是_______． 【答案】 【分析】根据题意，数列为非递减数列，设数列中分别有个，分析可得，，，，，即可求其前20项和的最大值. 【详解】数列满足下列条件：， 则数列为非递减数列， 设数列中分别有个， 对任意的，都存在使得，其中互不相等， 对于数列中，由于，所以， 对于数列中，同理可得， 对于数列中，由于， 所以， 对于数列中，由于， 所以， 对于数列中，由于， 所以， 若数列的前20项和要最大，则， 所以数列的前20项和为. 故答案为： （2026·上海静安·二模）已知等差数列的首项，公差为，等比数列的首项，公比为，数列满足（n为正整数）． (1)依次写出数列的前项； (2)设数列的前项和为，求． 【答案】(1)数列的前项依次为 (2) 【分析】（1）先根据等差数列、等比数列的通项公式，分别求出和的通项，再按​的分段定义，依次代入到，区分奇偶项计算得到前项； （2）将​拆分为前项中的奇数项和与偶数项和两部分：奇数项是的前个奇数项，构成新等差数列，用等差数列求和公式计算；偶数项是的前个偶数项，构成新等比数列，用等比数列求和公式计算，最后将两部分和相加得到​． 【详解】（1）根据题意可得，， 所以，，， ，，， 所以数列的前项依次为． （2） ． 所以． 方法点拨01 数列周期性的应用 1．周期判定原则：处理周期数列问题，先通过迭代计算前几项、递推变形或定义验证确定数列的周期，明确周期长度与有效起始项，从根源简化大项数求解与批量求和运算。 2．项值转化技巧：依托周期数列的定义性质，将下标较大的项转化为一个周期内对应下标的项，通过（为正周期）的规律完成大项数的项值快速求解。 3．求和分组变形：遇到周期数列前项和问题，对应利用周期性将数列按完整周期分组，通过单周期内的和乘以完整周期数，再加剩余项的和推导最终总和。 4．综合巧解思路：求解递推型、新定义型的周期数列综合题，巧用＂迭代递推法＂验证周期，搭配递推式变形快速锁定周期长度，最后验证边界项的对应关系与周期适用的下标范围。 （2024·上海普陀·模拟预测）已知数列满足，，，则数列的前项积的最大值为______． 【答案】1 【分析】根据，判断出是一个周期数列，从而求前项积即可. 【详解】, ，两式相除得：， 所以数列是以3 为周期的周期数列,由，，得： 记数列的前n 项积为 ,结合数列的周期性，，当时, ， ， ， 所以数列的前项积的最大值为1. 故答案为：1 （2026·上海·三模）已知是由复数组成的数列，（为虚数单位），且，则的值为____________. 【答案】 【分析】通过已知条件推出数列为周期数列，再利用周期性求和即可. 【详解】因为， 所以，即数列周期为， 已知，计算得，，以此类推，奇数项都为， 偶数项都为. . 因为，所以总和为， 所以. （2025·上海浦东新·三模）已知各项均为正整数的数列中，，，且对任意正整数，两个3项数列、、与、、中恰有一个为等差数列．若对一切正整数成立，则的最小值为__________ 【答案】 【分析】题目等价于要求满足使得数列从第项开始为固定的常数的最小正整数，依题，可考虑从，，时，分别求得关于数列的项的等式，分析讨论是否满足题意，进行取舍即可. 【详解】由已知，， ①若，则， 因为对任意正整数，两个3项数列、、与、、中恰有一个为等差数列， 所以或， 若，则与矛盾； 若，则，均不符合题意，故； ②若，则，与①同理，可得或， 由①分析知，故考虑，同理或， 由于2024不能被5整除且不能被7整除，故均不符合题意，即； ③若，则，与①同理，可得或， 由②知，，故考虑，同理，或， 若，则或，因2024不能被7和13整除，故不成立； 若，同理，或， 由2024能被11整除不能被17整除，故且符合题意. 故，此时数列为2024，1288，552，184，184，. 故答案为：4. 方法点拨02 判断数列的增减性 1.判定方法优选原则:处理数列增减性问题，先根据通项形式选定作差法或作商法，再推导相邻两项的大小关系，从根源简化增减性的判定与后续最值推导。 2.作差作商技巧:依托不等式的基本性质，将数列相邻两项作差或作商后恒等变形，通过因式分解、配方、通分等方法完成增减性的判定。 3.特殊数列变形:遇到等差、等比或函数型通项的数列，对应利用基本数列性质或对应函数单调性转化判定，通过公差符号、公比取值范围快速推导增减趋势。 4.综合巧解思路:求解含参数、递推型的数列增减性综合题，巧用“先特值验证后一般推导”的方式，搭配分类讨论思想快速锁定参数范围，最后验证边界项与判定的适用范围。 （2024·上海普陀·模拟预测）设且，、、都是正整数，数列的通项公式为，记数列中前项的最小值为，由所有的值所组成的集合记为，若集合中仅有四个元素，则下列说法中错误的是（   ） A．当时，的取值范围是 B．不存在和的值，使得 C．当时，的取值范围是 D．存在和的值，使得 【答案】C 【分析】根据不同的取值范围分析分段函数的性质，结合函数单调性，反证法，进而判断关于集合元素个数等命题的正确性，逐个判断真假即可. 【详解】对于A选项,当时，对于，根据分段函数的性质，会得到， 由于在这个区间内，这样的递推会一直进行下去，所以集合有无数个元素. 当时，要满足，通过对分段函数的计算和分析，正好解得， 此时.并且当，两个分段函数都是增函数，中最多只存在两个元素.所以选项正确.   对于B选项，当时，有且. 要想有个元素，根据函数的递推关系，如果，那么根据函数性质会继续产生更多的元素， 所以必有，不然会有无数个元素.但是当时，中元素个数就不是个了， 这就产生了矛盾，所以原命题正确，即选项正确.   对于C选项，当时，，令，通过对分段函数的计算解得. 由于，此时，这与选项中说的情况不符，所以选项错误.   对于D选项，从前面的分析经验来看，要想，根据分段函数的性质，只能令，. 由此得到方程，整理得，解得或， 因为（根据前面的取值范围等条件），所以，选项正确.   故选：C. （2025·上海杨浦·二模）由若干个多边形所覆盖的区域，称为这些多边形的并集，例如图中，梯形是与矩形的并集.已知是正整数，在平面直角坐标系中，直线的方程为，若直线交轴于点，交轴于点，则的并集，其面积为__________.    【答案】 【分析】先计算点，再通过数列的增减性检验点列的变化趋势，则图形每次增加一个小三角形，设直线与直线的交点为，计算，此为增加的面积，再得出前个三角形的面积之和构成的数列的递推关系，即可利用累加法求出，再计算即可. 【详解】由题意可得，， 令，则， 当时，；当时，，即， 则随着三角形的个数增加，所有三角形围成的图形每次增加一个小三角形， 设直线与直线的交点为， 联立，解得，即， 则， 设前个三角形围成图形的面积为，则， 且， 则，，，，， 由累加法可得，， 则，而符合上式，则， 故， 则的并集，其面积为. 故答案为：.    （2025·上海杨浦·一模）数列：满足：，且，记集合.若数列满足：对任意，均有，则称数列是“好的”.“好的”数列的个数为_____. 【答案】1926 【分析】由题意，要，则要满足，可得，设，则，分析可得k的范围，进而得到答案. 【详解】由题意，要，则需满足， 即，即， 由已知数列为递增数列，， 则有， 设，则， 又，则，则； ，则，则， 所以，则整数个数为， 则“好的”数列的个数为1926. 故答案为：1926. （2026·上海奉贤·二模）设定义域为的函数的表达式为，我们可以证明函数存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点作函数的切线与轴的交点为，设横坐标为，若，则过点作函数的切线与x轴的交点为，设横坐标为；若，则停止作切线．…依次类推，得到数列，记，． (1)若，，求； (2)求证：数列是严格递减数列； (3)若，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明：设，，，，所以，，则直线为. 令，则. ，因为，且，所以， 所以数列是严格递减数列. (3)，理由如下： 当时，，，令，则，令.所以.构造函数，令，，求导， 构造函数，，所以单调递增，且，所以， 所以函数在上单调递增，当，，根据零点存在定理，存在唯一的使得， 所以结合数列的单调递减性，当，，此时； 当，，此时；当，，此时. 【分析】（1）根据导数的几何意义建立切线方程，直接代入即可. （2）根据切线方程构造递推公式作差，再通过零点与交点横坐标的关系化简即可证明. （3）先将条件作差，再将递推公式代入化简，构造函数，通过求导分析函数单调性，最后确定零点，可判断大小. 【详解】（1）已知，， 当，，设切线斜率为， 则，直线为， 令，. （2）略 （3）略 方法点拨03 根据数列递推公式写出数列的项 1.递推代入原则:处理递推写项问题，先明确初始项与递推公式的对应关系，再按下标顺序依次迭代代入，从根源保障各项推导的准确性与有序性。 2.逐项迭代技巧:依托递推公式的运算关系，将前一项的项值代入递推式计算后一项，通过下标依次递进完成数列前若干项的书写。 3.分段递推变形:遇到分段递推、多阶递推的结构，对应利用递推规则转化计算顺序，通过初始项补齐、分段条件匹配推导对应各项。 4.规律巧解思路:求解项数较大、隐含周期规律的递推数列，巧用“先算前几项找规律”的方式，搭配周期性快速推导指定项，最后验证递推适用的下标范围与项的对应关系。 （2026·上海杨浦·模拟预测）已知数列满足，且对任意正整数，关于的实系数方程 都有两个相等的实根，若 ，则满足条件的不同实数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意得到(*)，记满足(*)式的不同实数的个数为，再结合二次函数的性质即可逐个求得，，，，，...，再通过观察得到数列的递推公式，再构造等比数列，从而得到它的通项公式，进而即可求解 【详解】依题意可得，即(*)， 记满足(*)式的不同实数的个数为， 将看成自变量，看成参数，则为与的交点个数， 当时，有一个交点，即有一个根； 当时，有2个交点，即有两个不同的根和，且， 当时，有2个交点，即有两个不同的根和， 由，则或，即； 则或或，即； 同理可得，，，... 通过观察可得，则，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为，即，， 所以满足(*)式的不同实数的个数为， 故满足条件的不同实数的个数为． 【点睛】记满足(*)式的不同实数个数为，结合二次函数的性质求得，，，，，...，再观察得到递推公式，再构造等比数列是解答本题的关键． （2026·上海·模拟预测）命题：已知为无穷数列，对于任意正整数，若令首项，由递推式生成的数列，最终都会从某一项起变为同一个常数． 命题：且的公差为； 命题：数列的通项公式为． 则下列说法正确的是（     ）． A．、都是的充分条件 B．只有是的充分条件 C．只有是的充分条件 D．、都不是的充分条件 【答案】B 【分析】结合递推关系及充分条件的定义，结合特殊值法判断即可. 【详解】对于首项，由递推式生成的数列，最终都会从某一项起变为同一个常数， 若数列最终为常数，则，解得，即最终稳定为. 命题：且的公差为，所以， 取，则，则，， ，，从起恒为. 取任意正整数，， 递推过程中数值会逐渐减小，最终都会到达并保持， 所以，是的充分条件. 命题：，对，，且， 递推得，， ，， 数列在和之间循环，不会稳定为同一常数， 不满足命题，所以推不出，不是的充分条件. 综上，只有是的充分条件. （2025·上海徐汇·一模）已知数列满足：，对任意的正整数均有，若存在正整数，使得所有数列均满足，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】根据题目条件列出到，要使不等式恒成立，的最大值小于等于的最小值，验证即可. 【详解】由题可知：， 则：， ， ， ， 要使不等式恒成立，的最大值小于等于的最小值， 当时，取， ，，符合； 当时，取， ，此时：， ，符合； 当时，取， ，此时：， ，不符；故当时，不符； 当时，取， ，此时：，，不符； 当时，取， ，此时：，，不符； 综上：的最大值为. 故答案为： 方法点拨04 由递推数列研究数列的有关性质 1.递推转化原则:处理递推数列性质问题，先对递推关系式进行恒等变形，转化为等差、等比或周期等熟悉的数列类型，再推导对应性质从根源简化后续的规律分析与运算。 2.迭代推导技巧:依托递推公式的运算关系，将递推式进行迭代、累加或累乘变形，通过逐项递推完成数列通项、增减性、周期性等性质的初步判断。 3.构造转化变形:遇到一阶线性、分式型、二阶线性递推的结构，对应利用构造法转化为等差或等比数列，通过待定系数、取倒数、特征根变形推导数列的核心性质。 4.归纳验证思路:求解含参数、复杂递推的数列性质综合题，巧用“归纳猜想+严谨证明"的方式，搭配分类讨论思想快速推导数列的规律特征，最后验证初始条件与结论的适用范围。 （2025·上海金山·三模）对于数列，若存在常数，对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．给出下列两个结论： ①若数列和均具有性质，则数列也具有性质 ②若数列和均具有性质，则数列也具有性质． 则下列判断正确的是（   ） A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】A 【分析】根据题目条件，利用不等式，对各条件中的代数式进行放缩. 【详解】数列具有性质，故存在常数，对任意的，有. 数列具有性质，故存在常数，对任意的，有. 对于命题①. 存在常数，对任意的，有 故 即数列具有性质.命题①为真命题. 对于命题②. 存在常数，对任意的，有 故数列具有性质.命题②为真命题. 故选： （2024·上海嘉定·一模）已知数列满足，给出以下四个结论： ①当时，存在有限个，使得对任意正整数，都有 ②当时，存在和正整数，当时， ③当时，存在和正整数，当时， ④当时，不存在，使得对任意正整数，且，都有 其中正确结论是（    ）. A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】对于①②，利用作差法可得一元二次不等式，求得数列中的项的取值范围，可得其正误； 对于③④，根据递推公式，利用赋值法求得当数列为常数列时所取的数值，进而求得首项，结合举例，可得答案. 【详解】对于①，当时，，，解得， 当时，恒成立，故①错误； 对于②，当时，，，解得或， 易知，由①可知，当时，数列单调递增，， 所以一定存在，当时，，故②正确； 对于③，当时，，令，可得，解得或， 令，解得或， 当时，可得当时，，故③正确； 对于④，当时，，令，则，解得或， 令，可得，解得或， 令，可得，解得， 当时，当时，，故④错误. 故选：B. （2026·上海嘉定·二模）设数列满足，且，其中．下列选项中错误的是（   ） A．存在，使得存在正整数N，当时，总有 B．存在，使得不存在正整数N，当时，总有 C．对任意，都不存在正整数N，使得当时，总有 D．存在，使得不存在正整数N，当时，总有 【答案】C 【详解】对于A，令，则， 存在，当时，有且，所以，故A正确； 对于B，令，则， 当时，， 当时，， 由A当时，总有， 因此不存在正整数，对所有的，总有，故B正确； 对于C，令，则， 当时，有， 又因为，，而，所以， 则时，总有， 因此当时，存在，当时，有，故C错误； 对于D，令，则，数列正负交替出现， 因此不存在正整数，对所有的，总有，故D正确； 方法点拨05 数列的极限 1．极限判定原则：处理数列极限问题，先判断数列的收敛性与基本类型，再选取对应的极限运算法则，从根源简化极限的计算与存在性推导。 2．恒等变形技巧：依托极限四则运算法则，将目标数列变形为基本数列的组合形式，通过同除最高次项、分子有理化完成极限的计算。 3．特殊数列变形：遇到无穷等比、分式型、根式型的极限结构，对应利用常用极限结论转化，通过公比范围、阶数对比推导极限结果。 4．收敛验证思路：求解含参数、抽象递推的数列极限综合题，巧用＂单调有界定理＂判定极限存在性，搭配方程思想快速求解极限值，最后验证极限成立的条件与参数范围。 （2024·上海·三模）已知数列满足，点在双曲线上，则_______． 【答案】4 【分析】根据向量法，当时，与渐近线平行，且在轴的投影为2，渐近线倾斜角为，则，即可求出. 【详解】作出示意图如图所示： 当时，与渐近线平行，在轴的投影为2， 不妨取渐近线，令其倾斜角为，则， 所以，所以. 故答案为：4. （2024·上海·三模）已知数列的通项公式为，数列满足，则______ 【答案】/ 【分析】由已知可得，计算即可. 【详解】因为，， 所以， ， . 故答案为：. （2026·上海闵行·模拟预测）飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数．在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为，则__________． 【答案】 【分析】先确定的分布列，再结合错位相减法及无穷数列的和求期望. 【详解】每次投掷，到达终点的概率为，不能到达终点的概率为， ，，，， ， 设①， ②， 则①②得 ， 所以， 所以. （2026·上海金山·二模）若函数，其值域为．若，则称函数在区间上为封闭函数． (1)已知，判断函数是否在区间上为封闭函数，并说明理由； (2)已知，若函数在区间上不为单调函数，但在区间上为封闭函数，求的最大值； (3)已知函数在区间上连续且为封闭函数，且对于任意的、，都有成立．若数列满足，且，证明：存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有． 【答案】(1)是，理由：由， 由，得，从而有，即得， 即， 从而函数在区间上为封闭函数； (2)2； (3)证明：由函数在区间上连续且为封闭函数，令， 从而函数在区间上连续， 函数在区间上为封闭函数， 从而，，即有，， 由函数在区间上连续，且， 故存在，使得，即， 假设存在，且，使得，， 则， 又因为任意的、，都有成立， 所以矛盾， 所以存在唯一的常数，使得， 数列满足，且， 当，那么，那么， ， 可知数列中的，且， 那么由，则， ， 由，所以， 则，即有. 故存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有． 【分析】（1）利用不等式性质求出函数的值域，利用定义判断即可； （2）二次函数在闭区间的最值在顶点或端点取得，只需保证即可； （3）可先利用零点存在性定理证明存在性，再用反证法证明唯一性，最后根据证明. 【详解】（1）略 （2）由，， 函数的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线， 根据题意在区间上不为单调函数，得， 从而函数在区间单调递减，在区间单调递增， 从而，， 由函数在区间上为封闭函数，即有， 从而，即， 那么，即得， 即的最大值为 ； （3）略 易错点01 确定数列中的最大（小）项 易混易错提醒：确定数列中的最大（小）项类题型，相邻项比较法解题先明确下标n的取值边界，牢记比较与时n需从2开始，不可忽略首项的单独验证；函数单调性法先明确数列定义域为正整数集，不能直接套用连续函数的极值结论，需对极值附近的正整数项逐一比对，全程遵循＂边界先行、整数验证＂原侧，从源头避免最值项漏判与错判。 （2025·上海·三模）已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（） A．既有最大项也有最小项 B．只有最大项没有最小项 C．没有最大项只有最小项 D．没有最大项也没有最小项 【答案】A 【分析】把数列的通项公式看作函数解析式，令，换元后是二次函数解析式，结合二次函数的性质判断即可． 【详解】令，因为，所以当时， 而， 所以当时，即时，取最大值； 因为，且，，因为，所以距离最近， 所以当，即时，取最小值； 所以该数列既有最大项又有最小项， 故选：A． （2025·上海·三模）设数列的各项均为非零的整数，其前项和为．设为正整数，若为正偶数时，都有恒成立，且，则的最小值为（    ） A．0 B．22 C．26 D．31 【答案】B 【分析】不妨设，要使得取最小值，且各项尽可能小，根据题意，分别列出，，，，，，，满足的不等式组，，得到的最小值，进而求得时，有最小值，即可求解. 【详解】因为，所以互为相反数，不妨设， 要使得取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小， 由题意知，满足，取的最小值为， 则满足，因为，故取的最小值， 满足，因为，，故取的最小值， 同理，取的最小值，所以， 满足，取的最小值， 满足，因为，所以，取的最小值， 满足，因为，所以，取的最小值， 同理，取的最小值，所以， 所以， 因为数列的各项均为非零的整数，，所以当时，有最小值22． 故选：B． （2024·上海·模拟预测）数列的最小项的值为______. 【答案】 【分析】直接根据反比例函数的单调性即可得解. 【详解】令，得， 令，得， 所以当时，，当时，， 而函数在上单调递减， 所以当时，取得最小值， 即数列的最小项的值为. 故答案为：. 易错点02 数列新定义 易混易错提醒：数列新定义应用类题型，规则辨析题先明确题目给出的新概念、新运算的定义内涵与适用范围，牢记新定义数列需严格遵循题目设定的规则迭代推导，不可直接套用等差、等比数列的固有结论与性质；规律推导题先由前几项验证初步特征，再结合递推逻辑严谨推导通项与相关性质，明确不能仅凭前几项特例就归纳通用结论，全程遵循＂明定义、严推导、验边界＂原则，从源头避免规则误解与结论偏差。 （2025·上海闵行·一模）从等差数列：、2、、、1000中取出若干数字按先后顺序构成数列．第一次取出数字“1”，然后从取出的“1”开始往后数2个数，再取出数到2的数字“3”，⋯，以此类推，如果某次取出的是数字“”，则下一次从取出的“”开始往后数个数，再取出数到的数字“”；当往后数的数字个数小于“”时，结束取数．那么 的最后一项是（    ） A．6 B．990 C．999 D．1000 【答案】B 【分析】由题意得到的通项公式，即可求解. 【详解】由题知：， 则，， 所以的最后一项是990， 故选：B. （2025·上海黄浦·一模）若数列同时满足如下条件：（ⅰ）是无穷数列；（ⅱ）是递增数列；（ⅲ）存在正数M，使得对任意的，都有的前n项的和，则称具有性质P．关于如下结论：①存在等差数列具有性质P；②存在等比数列具有性质P．其中正确的说法是（   ） A．①和②均正确 B．①和②均错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】D 【分析】利用等差和等比数列的性质以及前项和公式的性质结合题意推导可得. 【详解】对①，对于任意等差数列，若是递增数列，则，，当时，，与的前n项的和矛盾，故不存在； 对于②，构造等比数列，令，则， ，故为递增数列. 由等比数列前项和公式得， 因为，所以，取，则对于任意的都有. 综上分析，可知①错误，②正确. 故选：D. （2025·上海杨浦·模拟预测）已知是一个公差不为的等差数列，其前项和为.若存在正整数(其中)使得，则称具有性质，称有序数对是的一组“数对”，记由的全体“数对”所组成的集合为.关于命题①“若具有性质且，则”与命题②存在具有性质的及互不相同的正整数(其中且，使得且，下列说法正确的是（   ）. A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【分析】根据等差数列的前项和公式，依据题目所给定义，判断命题真假. 【详解】解析：， ，带入，得，解得， ， 当，得， 化简得，又 若，则，，所以或（舍去）， 若，则，，所以（舍去）或（舍去）， 若，则，，所以（舍去）或（舍去）， 若，则， 因为，， 所以，故无整数解，所以①是真命题； 设，，所以②是真命题； 故选：A. 优题精练·专题实战通关 1（2024·上海黄浦·二模）设数列的前n项和为，若对任意的，都是数列中的项，则称数列为“T数列”.对于命题：①存在“T数列”，使得数列为公比不为1的等比数列；②对于任意的实数，都存在实数，使得以为首项、为公差的等差数列为“T数列”.下列判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】A 【分析】根据题意，结合“T数列”的定义，举出实例说明①②，即可得出答案. 【详解】对于命题①，对于数列， 令，则， 数列为公比不为1的等比数列， 当时，是数列中的项， 当时，是数列中的项， 所以对任意的，都是数列中的项， 故命题①正确； 对于命题②，等差数列，令，则， 则， 因为且， ，且， 所以对任意的，都是数列中的项， 所以对于任意的实数，都存在实数，使得以为首项、为公差的等差数列为“T数列”， 故命题②正确； 故选：A. 2（2024·上海奉贤·一模）已知数列不是常数列，前项和为，．若对任意正整数，存在正整数，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题： ①若各项均为正整数的等差数列满足公差，则是“可控数列”； ②若等比数列是“可控数列”，则其公比． 则下列判断正确的是（    ） A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为真命题，②为假命题 【答案】C 【分析】给出①的反例，然后结合可控数列的含义以及等比数列的性质证明②是真命题，即可得到答案. 【详解】对于①，由于数列的各项均为正整数，且公差， 但对，有对任意正整数恒成立（否则，矛盾）， 故对时有. 这表明不是“可控数列”，故①错误； 对于②，若等比数列是“可控数列”，由于数列不是常数列，，故公比. 所以， 从而， 则， 当时，则， 令，则可知当时，不成立； 当时，显然成立，而对于恒成立， 由于为严格增数列，且时，， 故问题等价于存在，使得， 记，随m的增大，减小，故， 故只需，解得，故②正确. 综上，①是假命题，②是真命题. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于②的判断，解答时要利用等比数列的性质并结合不等式恒成立进行求解. 3．（2024·上海虹口·一模）已知项数为10的数列中任一项均为集合中的元素，且相邻两项满足．若中任意两项都不相等，则满足条件的数列有_______个． 【答案】 【分析】先将任意排列，依次将到插入该数列，考虑满足条件，求出其方法总数，即可得出答案. 【详解】由于，可以先将任意排列， 再将插入该数列，但不能在的左边且与相邻，共有种， 再将插入该数列，同样不能在和的左边且与，相邻，共有种， 再将插入该数列，同样不能在，和3的左边且与相邻，共有种， 以此类推，将插入该数列，共有种. 故答案为：. 4．（2024·上海普陀·模拟预测）设，，、，等差数列的首项，公差，若，则的值为________. 【答案】56 【分析】由等差数列通项公式及求和公式列出等式即可求解. 【详解】由，， 可得，又， 解得：. 故答案为：56. 5（2024·上海·三模）无穷等比数列满足：，，则的各项和为______． 【答案】 【分析】设无穷等比数列的公比为，的前项和为，根据所给条件求出、，即可求出，再取极限即可. 【详解】设无穷等比数列的公比为，的前项和为， 则，解得或， 当时，解得， 所以， 所以； 当时，解得， 所以， 所以； 综上可得的各项和为. 故答案为： 6．（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：将等差数列和等比数列中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，相同大小的项只保留中的项，其中等比数列中项在新数列中出现的“间隔数”（如：与之间的间隔数为）按从小到大顺序组成的数列为“间隔数列”，若公比和首项均为2的等比数列的“间隔数列”为等比数列本身，已知，则数列前项和为__________. 【答案】 【分析】由题意可得．根据，先确定等差数列的首项为，再利用相邻两项与在中的间隔数为，推出在内恰有个等差数列的项，从而确定等差数列的公差为，进而得到，最后求前项和． 【详解】由题意得，等比数列的首项和公比均为，所以. 因为，且，所以新数列的最小项为，从而等差数列的首项为． 设等差数列的公差为，则. 由题意可知，与在中的间隔数为． 也就是说，在与之间，除去右端点本身外，恰有个等差数列的项． 下面证明． 若，设大于的第一个等差数列的项为，则前一项不大于，所以. 于是. 这说明在内至少有个等差数列的项，与题意中恰有个矛盾．故. 若，因为可以取得足够大，所以可取正整数，使. 若内有个等差数列的项，设其中第一个为，则最后一个为. 又，所以，这与最后一个项应小于矛盾． 故. 综上，，所以. 此时把等差数列与等比数列合并，并把相同大小的项只保留中的项，所得新数列仍为. 因此数列前项和为. 7．（2026·上海浦东新·三模）已知平面向量序列，其中和均为非零整数，且．对任意正整数，都有．则的最小值为___________． 【答案】 【分析】根据题意有当和均取得最小值时，有最小值，不妨取，可得，，运算得解. 【详解】由题意可知，当和均取得最小值时，有最小值. 因为，则，，且均为非零整数， 不妨取，则， 因为对任意的正整数，都有，取，得， 所以， ，当时，，即， 同理，由对任意的正整数，都有， 可得，， 所以，， 所以. 8．（2024·上海·三模）已知． (1)无穷等比数列的首项，公比．求的值． (2)无穷等差数列的首项，公差．求的通项公式和． 【答案】(1)5 (2)，． 【分析】（1）先求出展开式的通项，从而可求出等比数列的首项与公比，再根据等比数列前项和公式即可得解； （2）先求出等差数列的首项和公差，进而可求出等差数列的通项，再根据等差数列前项和公式即可得解. 【详解】（1）二项式展开式的通项公式为：， 因为， 所以， 所以, 故； （2）由（1）知，等差数列首项，公差， 所以等差数列的通项公式为， 等差数列的前项和为． 9．（2026·上海虹口·三模）对于定义域为的函数以及给定的个实数，，…，，若存在项数为且严格增的有限数列，，…，，满足，则称函数关于数列具有“性质”． (1)若 ，请分别判断，是否关于数列具有“性质”（无需说明理由）； (2)设，，，，，是否存在首项和公比相等且严格增的有限等比数列，使得函数关于数列具有“性质”？若存在，请写出一个满足要求的等比数列；若不存在，请说明理由； (3)若函数的图象是连续曲线，集合和均不为空集，且为有限集，求证：对于任意给定的个正数，，，，均存在严格增的有限等差数列，使得函数对数列具有“性质”． 【答案】(1)关于数列不具有“性质”， 关于数列具有“性质” (2)不存在满足要求的等比数列 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“性质”的定义，判断是否存在严格增的有限数列，，…，，使得和. （2）假设存在满足条件的等比数列，根据“性质”的定义列出等式，通过分析等式是否成立来判断是否存在这样的等比数列. （3）利用函数的连续性、零点存在定理以及等差数列的性质，构造出满足“性质”的严格增的有限等差数列. 【详解】（1）假设存在严格增的有限数列，，…，， 使得， 因为，所以， 由于，，…，是严格增的有限数列，所以，，…，不都为0， 那么，与矛盾， 所以关于数列不具有“性质”； 若关于数列具有“性质”， 则需存在严格增的有限数列，，…，， 使得，即， 取数列，该数列是严格增的有限数列， 则 ， 所以存在严格增的有限数列，使得， 所以关于数列具有“性质”； 综上，关于数列不具有“性质”， 关于数列具有“性质”. （2）假设存在满足条件的等比数列，设等比数列的首项和公比都为， 则，若函数关于数列具有“性质”， 则， 因为，，，，，所以， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 又， 即，与矛盾， 所以不存在满足要求的等比数列. （3）设严格增的等差数列，其中公差， 令， 因为函数的图象是连续曲线，所以是关于t的连续函数， 已知集合 和 均不为空集， 因此存在实数使得，， 取足够小的正数d，令，此时所有的， 当时，所有，可得， 将数列整体向右平移，令， 此时所有的， 当时，可得， 根据连续函数零点存在定理，必然存在使得， 对应的等差数列严格递增，满足， 因此，对于任意给定的个正数，，，， 均存在严格增的有限等差数列， 使得函数对数列具有“性质”． 10．（2025·上海金山·一模）现给出“函数”的定义与性质． 定义：若函数在区间上连续，且对于区间内任意两数，如果都有成立，则称函数为区间上的“函数”； 性质：若函数为区间上的“函数”，则对于任意和满足的正数，有成立． (1)判断下列两个函数是否为其定义域上的“函数”（不需要说明理由） ①； ②． (2)若函数为区间上的“函数”，求实数的取值范围； (3)若，记为函数的图像与轴所围成的图形面积，当且时，求的最小值． 【答案】(1)①不是；②是； (2)； (3). 【分析】（1）设，，由“U函数”定义，比较以及与0的大小关系，可完成判断； （2）设，由题可得，据此可得答案； （3）由题可得，，，，据此可得大致图像以及 ，设，由题可得为区间上的“U函数”.然后由题干提供信息结合取可得答案. 【详解】（1）设，取 则，， 则， 因，则，， 从而，，则， 即，当且仅当时取等号， 则不是定义域上的“U函数”； 设，， ，， ， 当且仅当时取等号，则是定义域上的“U函数”； （2）设，因是上的“U函数”， 则对，， 注意到，则； （3）由题可得， 当时，，则； 当，，则； 当时，，则； 当，，则； 依次类推可得：，， ，. 据此可得大致图像如下： 则， 则. 设，则 取， 因，则，，， ，从而， 即为区间上的“U函数”. 由题干提供信息可得：取， 则 2 / 42 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $