专题13 空间直线与平面、简单几何体（知识清单）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题13 空间直线与平面、简单几何体 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 基础梳理・自主夯基 试卷第1页（共3页） 1 / 129 学科网（北京）股份有限公司 考点01 平面及其基本性质 考点02 直线与直线的位置关系 考点03 直线与平面的位置关系 考点04 平面与平面的位置关系 考点05 柱体 考点06 锥体 考点07 多面体与旋转体 考点08 球 1 / 129 学科网（北京）股份有限公司 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 高考解密・母题探究 题型01 空间中直线与平面之间的位置关系 题型02 空间中直线与直线之间的位置关系 题型03 异面直线及其所成的角 题型04 棱柱、棱锥、棱台的体积 题型05 圆锥的侧面积和表面积 重点突破・考法深研 重点1 异面直线的判定 重点2 线面关系有关命题的判断 重点3 面面关系有关命题的判断 重点4 线面平行的判定 重点5 面面平行的判定 重点6 线面平行的性质 重点7 面面平行的性质 重点8 线面垂直的判定 重点9 点面距离 重点10 线面角 重点11 面面垂直的判定 重点12 二面角 重点13 线面垂直的性质 重点14 面面垂直的性质 技法提炼・审题点拨 方法技巧一 多面体与球体内切外接问题 方法技巧二 证明异面直线垂直 方法技巧三 求异面直线所成的角 方法技巧四 由线面角的大小求值 方法技巧五 线面垂直证明线线垂直 易错剖析・避坑攻略 易错点01 计算组合体表面积时易忽视重叠部分 易错点02 判断线面垂直时忽视平面内两条直线需要相交 易错点03 忽略对空间角取值范围的讨 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 平面及其基本性质 1．空间的点、直线与平面 空间点与直线、点与平面的位置关系： 位置关系 符号表示 图形 点与直线 点在直线上，也称直线经过点 点不在直线上，也称直线不经过点 点与平面 点在平面上，也称平面经过点 点不在平面上，也称平面不经过点 2．平面的基本性质 名称 内容 作用 公理1 如果一条直线上有两点在一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上 判定直线在平面上 公理2 不在同一直线上的三点确定一个平面 确定一个平面 推论1 一条直线和这条直线外的一点确定一个平面 推论2 两条相交直线确定一个平面 推论3 两条平行直线确定一个平面 公理3 如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 两个平面相交 3．空间图形的平面直观图的画法 斜二测画法规则： ①原图形中轴、轴、轴两两垂直，直观图中，轴、轴的夹角为（或），轴与轴和轴所在平面垂直； ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于轴和轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 是两个不同的点，为两个不同的平面，下列推理错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A、B可由书上的公理可直接判断；C可由与相交时，交点为A点的情况进行判断；D可直接根据线面位置关系来判断点面位置关系. 【详解】A，直线上两个不同点在某个平面内，则直线在该平面内，故正确； B，两个不同点同时在两个不同平面内，则两点所在直线为两平面的交线，故正确； C，有两种情况，与相交或，其中与相交，且交点为A点，则C错误； D，直线在面内，则直线上的点都在面内，故结论正确； 故选：C. 如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜二测画法的规则，由直观图的特征推出原平面图形的形状及相关边长，再利用梯形面积公式计算原平面图形的面积． 【详解】在直观图中作，垂足分别为E，F， 则    确定原平面图形的形状及部分边长： 在斜二测画法中，平行于y轴的线段，在原图形中长度变为直观图中对应线段长度的倍． 已知直观图是底角为，腰和上底均为的等腰梯形，因为直观图中腰长为且平行于y轴，所以原平面图形为直角梯形，其直角腰长为直观图中腰长的倍，即；上底边长在斜二测画法中长度不变，所以原平面图形上底边长为． 原图如下：    将原平面图形上底，下底，高代入公式，可得． 原平面图形的面积是． 故选：A． 考点02 直线与直线的位置关系 1．平行公理（公理4） 平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．等角定理 如果两条相交直线与另外两条直线分别平行，那么这两组相交直线所成的锐角（或直角）相等. 3．空间两条直线的位置关系 位置关系 图示 表示方法 公共点个数 两直线共面 相交 一个 平行 没有 异面 是异面直线 没有 4．异面直线 （1）概念：不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线． （2）异面直线判定： ①用定义（多用反证法）； ②异面直线判定定理：过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线； （3）异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）.为了简便，点通常取在异面直线的一条上．异面直线所成的角的范围：；若 两条异面直线所成角是直角，则称两异面直线垂直； （4）异面直线的公垂线与公垂线段：和两条异面直线都垂直且相交的直线叫异面直线的公垂线，任意两条异面直线有且只有一条公垂线．两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段是分别连接两条异面直线上两点的线段中最短的一条； （5）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度．两条异面直线的距离即为直线到平面的距离.即两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离． [2025·上海长宁·一模]如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用异面直线的定义依次判断选项即可. 【详解】如图取正方体底边的中点，和正方体的顶点M，N，P，Q， 连接， 在正方体中有， 所以，所以点四点共面；同理可知点四点共面，点四点共面，点四点共面，所以六点共面, 所以直线与直线、直线与直线共面、直线与直线共面， 直线平面AFG， 直线平面，所以直线与直线是异面直线. 综上可知ABC错误D正确. 故选：D. [2024·上海·三模]在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】利用异面直线的定义及充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】直线a、b为异面直线，则直线a、b不相交， 反之，直线a、b不相交，直线a、b可能平行，也可能是异面直线， 所以在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的充分非必要条件. 故选：A 考点03 直线与平面的位置关系 1．直线与平面的位置关系 位置关系 图示 表示方法 公共点个数 直线在平面上 无数个 直线不在平面上 直线与平面平行 没有 直线与平面相交 直线与平面斜交 一个 直线与平面垂直 一个 2．线面平行的判定定理 直线与平面平行的判定定理：如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行. 推理：不在平面上，.（线线平行，可推出线面平行） 3．线面平行的性质定理 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的一个平面与此平面相交，那么其交线必与该直线平行. 推理：.（线面平行，可推出线线平行） 4．线面垂直定义 如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直.其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足，直线与平面垂直简称线面垂直，记作：. 5．线面垂直判定定理 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直，那么此直线与该平面垂直. 6．直线与平面垂直的性质定理 直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两直线互相平行. 推论1：过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直. 推论2：过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直. 7．点到平面的距离 已知点是平面外的任意一点，过点作，垂足为，则唯一，是点到平面的距离.即一点到它在一个平面内的射影的距离叫做这一点到这个平面的距离. 结论：连接平面外一点与内一点所得的线段中，垂线段最短. 8．三垂线定理 三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直. [2026·上海虹口·三模]设，分别为空间中的两条不同的直线，平面，“”是“”的（     ）条件： A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】D 【分析】结合线面平行的判定定理验证充分性，结合线面平行的性质验证必要性. 【详解】已知，：如果本身也在平面内（是不同直线）， 此时，不满足，因此充分性不成立； 若，则和平面无公共点，与内的直线可以平行，也可以异面， 不一定满足，因此必要性不成立， 综上，“”是“”的既非充分又非必要条件. [2026·上海黄浦·二模]若a，b是空间中的两条直线，则“”是“存在平面，使，”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】根据空间中线、面关系结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，可知直线a，b是共面直线，则存在平面，使，，即充分性成立； 若存在平面，使，，则直线a，b可能相交，即必要性不成立； 综上所述：“”是“存在平面，使，”的充分非必要条件. [2026·上海·一模]已知平面ABC，，若与以A，B，C为顶点的三角形全等，则的形状为_______. 【答案】等边三角形或直角三角形 【分析】由平面ABC可得，，，再结合可得，为等腰直角三角形，进而分为直角顶点、为直角顶点，两种情况讨论求解即可. 【详解】由平面ABC，平面ABC，可得，，， 又，则为等腰直角三角形，且， 由于与以A，B，C为顶点的三角形全等， 则为等腰直角三角形， 当为直角顶点时，， 结合勾股定理可知，则为等边三角形； 当为直角顶点时，， 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，所以为直角三角形. 综上所述，为等边三角形或直角三角形. 考点04 平面与平面的位置关系 1．平面与平面的位置关系 平行；相交. 2．两个平面平行的判定定理 两个平面平行的判定定理：如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 3．两个平面平行的性质定理 两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 4．二面角 平面上的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．若棱为，两个面分别为的二面角记为. 5．二面角的平面角 过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内分别作棱的两条垂线，则叫做二面角的平面角.二面角的平面角范围是；二面角的平面角为直角时，则称为直二面角.组成直二面角的两个平面互相垂直. 6．平面与平面垂直的判定定理 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直. 7．平面与平面垂直的性质定理 平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两平面交线的直线与另一个平面垂直. 8．距离 点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离这七种距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其他几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求. 第十章简单几何体 [2025·上海普陀·一模]已知直线和平面，且，，则下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】由空间线面、线线位置关系逐项判断即可. 【详解】由，，可得， 对于A，，，则直线可能相交、平行或异面，故错误； 对于B，若，则或，故错误； 对于C，因为，，所以，又， 所以，正确； 对于D，要证明，需垂直平面内两条相交直线，现在只有，条件不够，故错误； 故选：C [25-26高三下·上海金山·阶段检测]已知，，是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【详解】对于A：若，，则或和相交，故A错误； 对于B：若，，根据线面垂直的性质定理可得，故B正确； 对于C：若，，则或和异面，故C错误； 对于D：若，，则和可能平行也可能相交，故D错误； 考点05 柱体 1．棱柱的结构特征 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱． 2．棱柱的分类 ①棱体 3．棱柱的性质 ①侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； （2）两底面是全等多边形且互相平行； （3）平行于底面的截面和底面全等. 4．棱柱的面积和体积公式 （是底周长，是高） 5．圆柱的结构特征 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转面形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 6．圆柱的性质 （1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆； （2）过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 7．圆柱的侧面展开图 圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 8．圆柱的面积和体积公式 （为底面半径，为圆柱的高） 如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知，结合正方体的结构特征及平行公理推、情感教练的判定定理逐项分析判断. 【详解】对于A，如图，，四点共面，A不是； 对于B，如图，，四点共面，B不是； 对于C，如图，，四点共面，C不是； 对于D，如图，平面，平面，平面，直线， 则与是异面直线，D是. 故选：D [2026·上海·二模]已知一个直三棱柱的侧棱长为2，底面面积为2，则该三棱柱的体积为________． 【答案】4 【分析】根据三棱柱的体积公式计算求解. 【详解】设一个直三棱柱的侧棱长为，底面面积为，则该三棱柱的体积为. [2026·上海静安·模拟预测]一个圆柱的体积为100，若将其高扩大为原来的3倍，底面半径缩小为原来的，得到的新圆柱的体积是_________． 【答案】 【分析】由题意可得新圆柱的高和底面半径，由圆柱的体积公式计算即可得解． 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则， 若将其高扩大为原来的3倍，底面半径缩小为原来的，则得到的新圆柱的高为，底面半径为， 所以得到的新圆柱的体积为. [2025·上海宝山·二模]已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为_________. 【答案】 【分析】根据圆柱的底面积和侧面积公式求出圆柱的底面圆半径和高，再根据圆柱的体积公式即可得解. 【详解】设圆柱的底面圆的半径为，高为， 由题意可得，解得， 所以圆柱的体积. 故答案为：. [24-25高三上·上海黄浦·期末]若圆柱的底面半径与高均为1，则其侧面积为________． 【答案】 【分析】根据圆柱的侧面积公式直接计算可得. 【详解】由题意，圆柱的侧面积为：. 故答案为： 考点06 锥体 1.棱锥 1．棱锥的结构特征 （1）棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥； （2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 2．正棱锥的结构特征 （1）平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； 它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比； （2）正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； （3）正棱锥侧面积：（为底周长，为斜高）. 3．棱锥的体积 （为底面积，为高） 4．正四面体 棱长为的正四面体，可将它补成一个边长为的正方体. 对棱间的距离为（正方体的边长）； 正四面体的高（等于）； 正四面体的距离为 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为 说明：正四面体，可补全为一个正方体，如右图所示，在正方体中研究正四面体的相应问题，是化归思想的很好体现． 2.棱台 1．棱台的结构特征 棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。 2．正棱台的结构特征 （1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形； （2）正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形； （3）正棱台的对角面是等腰梯形； （4）各侧棱的延长线交于一点。 3.圆锥 1．圆锥的结构特征 圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 2．圆锥的性质 （1）平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； （2）轴截面是等腰三角形。 3．母线的平方等于底面半径与高的平方和，即 4．圆锥的侧面展开图 圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形． 4.圆台 1．圆台的结构特征 圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台． 2．圆台的性质 （1）圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆； （2）圆台的截面是等腰梯形； （3）圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究。 3．圆台的面积和体积公式 为上下底面半径， 为圆台的母线长 （ 为圆台的母线长） 为圆台的高） [2026·上海长宁·二模]将下列平面图形沿等边三角形的边折起，不能折成如图所示几何体的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】该几何体上的点是一条棱的两端点.对于A，C，D项，在折叠时，这两点会被带到几何体的两个不同顶点，所有面可以无重叠地闭合，形成完整的双三棱锥. 而对于B，折叠后，点和点是相对的两个顶点. [2025·上海金山·一模]已知某正四棱锥的高为2，体积为24，则该正四棱锥的底面边长为（   ） A．9 B．8 C．6 D． 【答案】C 【分析】设底面边长为a，代入体积公式，即可得答案. 【详解】设底面边长为a，则正四棱锥的体积，解得. 故选：C [2025·上海金山·三模]已知圆锥的底面直径和母线长都是2，则该圆锥的侧面积为__________．（结果保留） 【答案】 【分析】由圆锥的底面直径得出圆锥的底面半径，再利用母线长和底面半径结合侧面积公式求解． 【详解】圆锥的底面直径， 圆锥的底面半径， 又母线长， ． 故答案为：． [2025·上海金山·二模]已知圆锥底面半径为1，高为，则过圆锥母线的截面面积的最大值为__________. 【答案】 【分析】依题意求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，由此得解． 【详解】依题意，设圆锥的母线长为， 圆锥的底面半径为，高为， ， 设圆锥的轴截面的两母线夹角为，显然， 则过该圆锥的母线作截面，截面上的两母线夹角设为， 故截面的面积为，当且仅当时，等号成立， 故截面的面积的最大值为． 故答案为：. [2026·上海·三模]若一圆锥底面半径为3，母线长为5，则其体积为________．（结果保留） 【答案】 【分析】先根据圆锥母线、底面半径和高的勾股关系求出高，再代入圆锥体积公式计算即可 【详解】设圆锥的高为，因为圆锥母线、底面半径，则 . 所以圆锥的体积为 [2026·上海·三模]若圆锥的侧面积与底面积之比为2，则其母线与轴的夹角大小为________． 【答案】 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，底面积为，侧面积为， 所以，可得， 设其母线与轴的夹角为，则，所以. 考点07 多面体与旋转体 1.多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且相等 多边形 互相平行且相似 侧棱 互相平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2.旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 长度相等且相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 3．面积和体积公式 （1）多面体 表中表示面积，分别表示上、下底面周长，表示高，表示斜高，表示侧棱长． 名称 侧面积 表面积 体积 棱柱 棱柱 直截面周长 直棱柱 棱锥 棱锥 各侧面积之和 正棱锥 棱台 棱台 各侧面面积之和 正棱台 （2）旋转体 表中、分别表示母线、高，表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，、分别表示圆台上、下底面半径，表示半径. 圆柱 圆锥 圆台 侧面积 表面积 体积 （即） 正六棱台上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则它的体积是____________． 【答案】 【分析】由正六边形性质求相应长度和面积，借助于轴截面求高，进而可得体积. 【详解】对于正六棱台， 由正六边形性质可知，， 且上、下底面面积分别为， 根据轴截面，可知为等腰梯形， 则高，即正六棱台的高为， 所以正六棱台的体积是. 故答案为：. 如图，在正方体中，是的中点，平面将正方体分成体积分别为，（） 的两部分，则_______     【答案】 【分析】利用线面平行的性质，得出线线平行，从而求作出平面与平面的交线，进而得出平面分正方体为两部分，再利用棱台的体积公式即可求出结果. 【详解】取的中点，连，因为平面，故平行于平面与面的交线，又分别为的中点，易知，即平面平面，故平面分正方体为两部分， 设正方体的边长为2，则正方体的体积为8，， 故, 故答案为：. [2026·上海普陀·二模]在中，，，过点A作直线，将绕直线l旋转一周所得到的几何体记为Ω，若Ω的体积是，则Ω的表面积为______. 【答案】 【分析】将绕直线旋转一周，生成的几何体是一个大圆柱挖去一个小圆锥的组合体，利用圆柱与圆锥的体积以及表面积公式求解即可. 【详解】为直角三角形，，，直线l∥BC且过点A， 设，所以斜边， 将绕直线旋转一周，生成的几何体是一个大圆柱挖去一个小圆锥的组合体， 所以圆柱上底面半径，高， 被挖去的圆锥的底面半径，高与圆柱相同，即， 则圆柱体积：， 圆锥体积：， 所以组合体体积：， 则，即，所以， 几何体Ω的表面积由三部分构成： 圆柱的侧面积：， 圆柱的上底面面积：， 圆锥的侧面积：圆锥母线长为，， 所以总表面积：. 考点08 球 1．球的结构特征 球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体．空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体。 2．球的性质 （1）球心与截面圆心的连线垂直于截面； （2）截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差： 3．球与其他多面体的组合体的问题 球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，解决此类问题的基本思路是： （1）根据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形； （2）找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适的切割面，然后作出剖面图； （3）将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题； （4）注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线；球外切正方体，球直径等于正方体的边长． 4．球的面积和体积公式 （ 为球半径）； [2026·上海杨浦·模拟预测]已知正三棱柱的各顶点都在球O的球面上，且，若球O的体积为，则这个正三棱柱的体积为__________． 【答案】 【分析】先求出的外接圆半径和正三棱柱的外接球半径，再根据勾股定理求出，即可求出正三棱柱的高，然后利用柱体的体积公式计算体积即可. 【详解】如图所示，作出的外接圆圆心，连接. 正中，，由正弦定理可得，. 又正三棱柱的外接球体积为，. 在中，. 所以正三棱柱的高. 所以正三棱柱的体积. [2026·上海静安·二模]直径为的球的表面积为______．（计算结果保留） 【答案】 【详解】由题意知球的半径， 所以球的表面积. [2025·上海徐汇·一模]一个底面积为的正四棱柱的所有顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正四棱柱的高为__________． 【答案】 【分析】求出正四棱柱底边的边长以及外接球半径，分析可知该正四棱柱的外接球直径即为该正四棱柱的体对角线长，即可得解. 【详解】设该正四棱柱底边的边长为，高为，则，可得， 设该正四棱柱的外接球的半径为，则，解得， 由题意可知，该正四棱柱的外接球直径即为该正四棱柱的体对角线长， 即，解得， 因此该正四棱柱的高为. 故答案为： 素养进阶·答题技法突破 题型01 空间中直线与平面之间的位置关系 考情定位：上海高考立体几何模块基础必考点，以选择题基础题形式考查，难度偏低，单题分值4分；是空间位置关系分析的核心基础，为异面直线夹角、线面关系判定提供思维支撑。 核心考法： 1.以正四棱台为载体，判定各组直线是否为异面直线； 2.利用棱台侧棱延长共点、底面对边平行的结构性质，判断直线平行、相交关系； 3.通过四点共面性推导，排除平行、相交直线，确定异面直线。 解题要点： 1.异面直线的判定核心：两条直线既不平行，也不相交，且无法处于同一平面； 2.棱台的所有侧棱延长后交于同一点，因此任意两条侧棱所在直线均为相交直线； 3.解题优先用排除法，先验证平行、相交两种情况，均不成立则为异面直线。 （2024•上海）空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是（　　） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】 【分析】根据题意，由直线与平面平行、垂直的性质分析选项，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，若，，则或，又，所以，故正确； 对于，若，，则或，由，则与斜交、垂直、平行均有可能，故错误； 对于，若，，则或，由，则与相交、平行、异面均有可能，故错误； 对于，若，，则或，又，则或，故错误． 故选：． 【点评】本题考查空间直线与平面间的位置关系，涉及直线与平面平行、垂直的判断，属于基础题． 题型02 空间中直线与直线之间的位置关系 考情定位：上海高考立体几何模块核心基础考点，以选择题形式考查，难度中等偏低，单题分值4分；是线面平行、垂直证明的逻辑基础，贯穿立体几何所有位置关系的推导与判定。 核心考法： 1．给出多组线线、线面平行／垂直条件，推导最终的线线或线面位置关系； 2．结合线面平行、线面垂直的性质定理，考查位置关系的多种可能性； 3．渗透分类讨论思想，辨析＂线在平面内＂＂线面斜交＂等易忽略的特殊情况。 解题要点： 1．严格依据线面平行、垂直的判定定理与性质定理推导，不依赖直观感觉判断； 2．遇到＂直线平行于平面＂的条件，优先考虑＂直线在平面内＂的特殊情况； 3．选项辨析采用反例排除法，只要存在一种不成立的场景，即可排除该选项。 （2025•上海）如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】 【分析】根据棱台的性质及直线与直线的位置关系即可判断． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，因为是正四棱台，所以，故错误， 对于，棱台的侧棱延长后交于一点，所以与相交，故错误， 对于，同理，与也相交，所以，，，四点共面，所以与相交，故错误， 对于，与既不相交，也不平行，是异面直线，故正确． 故选：． 【点评】本题考查空间直线的位置关系，涉及异面直线的判断，属于基础题． 题型03 异面直线及其所成的角 考情定位：上海高考立体几何模块高频考点，多以填空题形式考查，难度中等，单题分值 分；重点考查空间想象能力与三角运算能力，是空间角计算的核心题型之一。 核心考法： 1．以圆锥为载体，结合底面动点场景，求解异面直线所成角的最小值； 2．通过平移法构造相交夹角，将异面直线问题转化为平面三角形的边角计算； 3．结合余弦定理与余弦函数的单调性，分析角度的取值范围与最值。 解题要点： 1．异面直线所成角的取值范围为 ，平移后取锐角或直角作为最终结果； 2．通过平行线构造夹角后，在三角形中利用余弦定理计算夹角的余弦值； 3．涉及动点最值时，先写出夹角的三角函数表达式，再根据函数单调性确定取最值的临界位置。 （2025•上海）已知是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．、分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为________． 【答案】． 【分析】过作交底面圆锥于点，则为异面直线与所成角，结合余弦定理与余弦函数的性质即可得的取值范围，从而得所求最值． 【解答】解：是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1， 、分别在圆锥的底面上， 如图，过作交底面圆锥于点，连接， ，，则为异面直线与所成角， ， 又， ，即， ，函数在上单调递减， ， 异面直线与所成角的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查异面直线所成角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 题型04 棱柱、棱锥、棱台的体积 考情定位：上海高考立体几何模块必考基础题型，以填空、解答题第一问为主，难度中等偏低，单题分值 4－6 分；是空间几何体计算的核心，常与旋转体、勾股定理综合考查。 核心考法： 1．正四棱锥背景下，分析三角形绕轴旋转形成的几何体，计算旋转体体积； 2．正四棱柱中，结合棱长条件，通过勾股定理反推底面边长，再计算棱柱体积； 3．紧扣正多面体的结构特征，直接套用体积公式求解。 解题要点： 1．正棱锥的高垂直于底面且过底面中心，正棱柱侧棱垂直于底面，二者即为对应几何体的高； 2．直角三角形绕直角边旋转一周形成圆锥，准确匹配底面半径与对应高的长度； 3．正棱柱中体对角线、高、底面对角线满足勾股定理，注意公式的准确套用。 （2024•上海第1问）如图为正四棱锥，为底面的中心． （1）若，，求△绕旋转一周形成的几何体的体积； 【分析】根据已知条件，先求出，再结合棱锥的体积公式，即可求解． 【解答】解：因为是正四棱锥， 所以底面是正方形，且底面， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以△绕旋转一周形成的几何体是以3为底面半径，4为高的圆锥， 所以； （2025•上海）如图，在正四棱柱中，，，则该正四棱柱的体积为________． 【答案】112． 【分析】由四棱柱为正四棱柱可得底面为正方形且底面，再结合勾股定理求得，，再由棱柱的体积公式即可求得． 【解答】解：由题知，底面为正方形，所以，所以， 因为四棱柱为正四棱柱， 所以底面，因为底面， 所以，所以， 所以， 所以该正四棱柱的体积为． 故答案为：112． 【点评】本题考查棱柱的体积求解，属于基础题． 题型05 圆锥的侧面积和表面积 考情定位：上海高考立体几何模块解答题高频题型，通常设置两小问，难度中等，整题分值约 12 分；第一问侧重几何计算，第二问侧重逻辑证明，兼顾运算能力与空间推理能力。 核心考法： 1．结合直线与底面所成角的条件，求解圆锥的母线与底面半径，计算圆锥侧面积； 2．结合底面弧长、圆心角条件，构造平行四边形证明线面平行； 3．通过证明两组相交直线分别平行，推导面面平行，进而证得线面平行。 解题要点： 1．圆锥侧面积公式为 （ 为底面半径， 为母线长），注意区分母线长与圆锥的高； 2．直线与平面所成角，是直线与其在平面内射影的夹角，对应直角三角形中的边角关系； 3．证明线面平行优先用＂线线平行→线面平行＂，复杂场景可通过＂面面平行一线面平行＂间接证明。 （2025•上海）如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面直径，且． （1）若直线与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积； （2）已知是母线的中点，点、在底面圆周上，且弧的长为，．设点在线段上，证明：直线平面． 【答案】（1）；（2）证明见解答． 【分析】（1）由题意及圆锥的性质，结合圆锥侧面积公式计算即可； （2）利用证明面和面平行证线面平行． 【解答】解：（1）如图，连接，依题意及圆锥的性质得，，， 所以， 所以圆锥的侧面积． （2）证明：连接，，， 因为是母线的中点，是底面圆的直径， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为， 所以， 因为， 所以， 则△为等边三角形，， 所以， 所以△为等边三角形，， 所以， 所以四边形是平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面， 而，，平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面． 【点评】本题考查圆锥的性质及侧面积的求解，考查了空间中直线与平面平行的证明，属于中档题． 重点1 异面直线的判定 异面直线的定义是不同在任何一个平面内的两条直线，主要作用是判断空间两直线的位置关系，常见的题型有：①正方体动点背景下判断异面直线；②圆锥、棱台背景下证明异面直线；③位置关系命题辨析选择题。 其中证明异面直线时，一般根据异面直线判定定理，找准面内、面外的点与直线，验证直线不过该点，再根据定理直接判定。另外，若为选择题型，一般代入端点特殊值，排除平行、相交两种情况，既不平行也不相交即为异面直线，以简化推导过程。 [2026·上海浦东新·三模]如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（   ） A．直线与直线始终异面 B．直线与直线始终垂直 C．存在点使得直线与平面垂直 D．直线与平面始终平行 【答案】D 【分析】A. 由点M与点D重合时判断；B.由点M与点重合时判断；C.由垂直于同一平面的两条直线平行判断；D.先证平面平面，再由平面判断. 【详解】对于A：当点M与点D重合时，直线即为BD，而BD与直线相交，故A错误； 对于B：当点M与点重合时，是等边三角形，则直线与直线成，故B错误； 对于C：如图所示： 连接，因为，且， 所以平面，又平面，所以， 同理，又，则平面， 若平面，则，而，故C错误； 对于D：易知，又平面，平面，所以平面, 同理平面，又，所以平面平面， 又平面，所以平面，故D正确； 已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列说法不正确的是（   ） A．存在点，使得； B．存在点，使得； C．直线始终与直线异面； D．直线始终与直线异面. 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合线面垂直度的判定定理，异面直线的定义，中位线定理，逐项判定，即可求解. 【详解】在正方体中，可得， 又由平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 由点在直线上，为线段的中点， 当点和重合时，可得平面，所以，所以A正确； 连接，如图所示， 当点为线段的中点时，为的中位线，即，所以B正确； 因为平面，当点和点重合时，平面， 则直线和在同一平面内，所以C错误； 由平面，平面，且， 所以直线始终与直线不相交，且不平行，所以与是异面直线，所以D正确. 故选：C. [2025·上海奉贤·一模]如图，将直角三角形绕直角边所在直线旋转一周形成圆锥．已知圆锥的底面半径为3cm，圆锥的侧面积．设、是底面圆周上的两点，线段不经过点． (1)求圆锥的体积； (2)求证：直线与直线是异面直线； (3)二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1) (2)证明如下： 因为平面，平面， 所以直线与直线是异面直线； (3) 【分析】（1）由侧面积公式求得母线长，进而得到圆锥高，结合体积公式即可求解； （2）由异面直线判定定理即可求解； （3）过点作于，连接，确定为直线与平面所成角，进而可求解. 【详解】（1）设圆锥的母线长为，底面半径为， 由题意可得：， 所以， 所以圆锥的体积 （2）略 （3）因为二面角的大小为， 由圆锥的结构可知：， 所以即为二面角的平面角， 所以，又， 所以， 过点作于，连接， 因为，为平面两条相交直线， 所以平面 所以即为直线与平面所成角， 又， 又平面，在平面内， 所以， 所以， 所以， 即直线与平面所成角大小为. 重点2 线面关系有关命题的判断 判断命题真假时，一般先回忆对应判定定理与性质定理，逐项验证条件是否完整，再结合正方体模型构造反例排除错误选项。另外，遇到充分必要性判断，一般分别推导充分性与必要性，注意＂线在平面内＂以及＂平面斜交＂等易忽略的特殊情况。 【典例01】[2026·上海普陀·二模]已知直线l、m和平面，若，则“l与m不相交”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】根据线面判断及线线位置关系结合必要非充分条件定义判断. 【详解】当直线l与平面相交，且交点不在直线m上时，满足“l与m不相交”， 但“”不成立，故充分性不成立； 若，则与无交点，所以“l与m不相交”，故必要性成立； 所以“l与m不相交”是“”的必要非充分条件. 【典例02】[2026·上海·一模]将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”，则下列命题中不是“可换命题”的有（    ） A．过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 B．垂直于同一平面的两条直线平行 C．平行于同一直线的两条直线平行 D．平行于同一平面的两直线平行 【答案】D 【分析】将每个选项中的命题进行变换，结合空间中线面、面面位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，将该选项中的命题变换为：过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行， 变换后的命题为真命题，A选项中的命题为“可换命题”； 对于B选项，将选项中的命题变换为：垂直于同一直线的两个平面平行， 根据线面垂直的性质定理可知变换后的命题为真命题，B选项中的命题为“可换命题”； 对于C选项，将选项中的命题变换为：平行于同一个平面的两个平面平行， 根据平面平行的传递性可知变换后的命题为真命题，C选项中的命题为“可换命题”； 对于D选项，平行于同一平面的两直线平行、相交或异面，D选项中的命题为假命题，D选项不满足要求. 【典例03】[2025·上海静安·一模]在三维空间中，下列命题是真命题的一个是（     ） A．垂直于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一个平面的两个平面平行 C．若一条直线垂直于一个平面，另一条直线与这个平面平行，则这两条直线互相垂直 D．若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直 【答案】C 【分析】ABD在正方体中找反例；C利用线面线面平行的性质定理、线面垂直的性质定理可判断. 【详解】如图为正方体， ，但，故A错误； 平面平面，平面平面， 但平面平面，故B错误； ，与平面平行的所有平面均与平行，故D错误； 如图， ，由线面平行的性质定理可知，平面内一定存在直线与平行， 由线面垂直的性质定理可知，，则有，故C正确. 故选：C 重点3 面面关系有关命题的判断 【典例01】[2025·上海嘉定·二模]已知平面α和平面β，直线，直线 则下列结论一定成立的是 （    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若m与n是异面直线，则 【答案】B 【分析】由空间点、线、面的位置关系，逐项判断即可 【详解】对于A，直线，直线，若，则或平面和平面相交，故A错误； 对于B，直线，直线，若，则，故B正确； 对于C，直线，直线，若，则或平面和平面相交，故C错误； 对于D，直线，直线，若与为异面直线，则或平面和平面相交，故D错误. 故选：B 【典例02】[2025·上海·模拟预测]已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）. A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【分析】由空间线面位置关系逐项判断即可； 【详解】若，，，则平行或异面，错误； 若，，，则平行，或异面，或相交，错误； 若，，取直线的方向向量作为的法向量， 取直线的方向向量为作为的法向量，， 因为，即两平面所成角为，所以， 所以，即正确； 若，，，则平行或异面、或相交，错误； 故选：C 【典例03】[2024·上海静安·二模]设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中真命题是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 【答案】C 【分析】ABD可举出反例；C选项，由线面平行的性质得到，由线面垂直得到，从而得到. 【详解】A选项，，，则可能平行，也可能异面，也可能相交，A错误； B选项，，，，则可能平行，也可能相交，B错误； C选项，如图，，，， 由线面平行的性质得到， 因为，，所以，则，C正确； D选项，满足，，，，则或相交， 如图，满足，，，，但相交，D错误. 故选：C 重点4 线面平行的判定 线面平行的判定方法 （1）线线平行法：构造中位线或平行四边形得到线线平行，结合线面平行判定定理证明，是基础常规方法。 （2）面面平行法：先证明直线所在平面与目标平面平行，再由面面平行性质推导线面平行，适用于复杂多面体。 构造平行的技巧 证明线面平行时，核心是找到平面内与已知直线平行的直线，优先取中点构造中位线，若中点条件不足，可连接对角线交点构造比例线段。如正四棱锥中连接底面正方形对角线交点，与侧棱中点连线即为中位线。遇到翻折类题型，注意翻折前后平行关系不变，利用原有平行关系推导，注意验证＂直线在平面外＂的前提条件。 【典例01】[2025·上海杨浦·一模]若为两条不同直线，为两个不同平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理可判断AB，利用面面垂直的判定定理和性质定理可判断CD. 【详解】若，，则或为异面直线，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，则，满足面面垂直的判定定理，故C正确； 若，，这缺少了2个条件，即，才可以得到，故D错误； 故选：C. 【典例02】[24-25高三上·上海浦东新·期末]设、为两条直线，、为两个平面，且．下述四个命题中为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则或 【答案】B 【分析】选项A，利用线面垂直的性质，即可求解；选项B，在正方体中，通过取特例，即可求解；选项C和D，利用线面平行的性质和判定，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以，又，所以，故选项A是真命题， 对于选项B，如图，取平面为，平面为，则直线为直线，取为直线， 显然有，但与异面，所以选项B为假命题， 对于选项C，在内任取不在直线上的一点，过确定，则，因为，所以， 同理可得，，所以，又，故， 又，所以，得到，故选项C为真命题， 对于选项D，因为，所以，，若，因为，则， 若，易知，又，，所以，故选项D为真命题， 故选：B. 【典例03】[2026·上海杨浦·模拟预测]如图所示正四棱台，其中，，棱台高为3. (1)证明： 平面求：三棱锥的体积； (2)设是中点，在直线、上各取一个点，使得三点共线，求：的长. 【答案】(1) 取中点为中点为，，如下图以下底面中心为坐标原点， 所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则由题设可得. 则. 设平面法向量为，则， 取，因，又平面，则 平面； 三棱锥体积为 (2). 【分析】（1）如下图建立空间直角坐标系，求出平面法向量，通过说明可完成证明；通过证明平面，可得所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和，据此可得答案； （2）设， ，据此可得，，然后结合三点共线，可得存在使 ，据此可得答案. 【详解】（1）略； 由正棱台性质，与上下底面均垂直，则， 因为，平面， 所以平面，则所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和， 即： （2）由题意可得，设， 则，即. 又设 ， 则，即. 从而. 结合三点共线，则存在使 ， 则 ， 解得：  ， 则，， . 【典例04】[2026·上海·三模]如图，在四棱锥中，是等边三角形，且，，，，为的中点，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线和平面所成的角的大小． 【答案】(1)取中点，连接，由为中点，得且， 又，，则且，四边形为平行四边形， 因此，又平面，平面， 所以平面. (2)由为的中点，，，得四边形为平行四边形， 则，而，则，由是等边三角形，得， 又平面，因此平面，而平面. 所以平面平面. (3) 【分析】（1）取中点，利用线面平行的判定推理得证. （2）利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. （3）以中点为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）在正中，，取中点，连接，则， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，在平面内作，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由（2）知，则， ，设平面的法向量为， 则，令，得， 设与平面所成角为，则 ， 所以直线与平面所成的角为. 重点5 面面平行的判定 面面平行的判定思路 面面平行的核心判定定理是：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则两平面平行，常见的题型有：①棱锥、组合体背景下证明面面平行；②结合翻折变换证明面面平行。 证明时一般先证线线平行，再证线面平行，最后推面面平行，其中＂两条直线相交＂是最易遗漏的核心条件。另外，也可证明两个平面都垂直于同一条直线，由垂直于同一直线的两个平面平行间接推导。 【典例01】[2026·上海松江·模拟预测]在如图所示的多面体中，已知四边形ABCD是菱形，平面平面，点G为线段AF的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明如下： 连接与，相交于点，连接，， 因为菱形，所以点是的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面， 所以， 又，，所以四边形是平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为，、平面， 所以平面平面； (2) 【分析】（1）连接与，相交于点，连接，，分别证明，，再由面面平行判定定理即可得证； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，确定直线BC的方向向量与平面BDG的法向量，根据线面夹角的坐标运算求解即可． 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接， 因为，四边形是菱形， 所以是等边三角形，则， 则建立以为原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，如图所示： 则， 所以，， 设平面的法向量为， 则，取，则，，所以， 所以， 直线与平面所成角的正弦值为． 【典例02】[2026·上海金山·二模]已知长方形中，，点、分别为边、的中点（如图1）．若将长方形沿着边翻折，得到二面角（如图2）．已知二面角的大小为． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小．（结果用反三角表示） 【答案】(1)因为长方形中， ，折叠过程中，， 又 平面， 平面，故平面， 同理可得平面， 又，平面，所以平面平面； (2) 【分析】（1）由线线平行得到线面平行，进而得到面面平行； （2）先由二面角大小得到各边长，作出辅助线，得到线面垂直，进而求出线面角的大小 【详解】（1）略 （2）因为长方形中，点、分别为边、的中点， 故，二面角的平面角为，即， 又，所以，为等边三角形， 同理可得为等边三角形， 取的中点，连接，则⊥， 又⊥平面， 平面，故⊥， 因为 ，平面，故⊥平面， 故直线与平面所成角为， ，，故，由勾股定理得， 则， 直线与平面所成角的大小为. 【典例03】[2025·上海杨浦·三模]如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，点E，F，G分别为PD，AB，AC的中点. (1)求证：平面平面PBC； (2)若， （i）求点F到平面AEG的距离. （ii）画出四边形ABCD的斜二测直观图，并求斜二测直观图面积 【答案】(1) 由分别为的中点，得，而平面，平面， 则平面，延长交于点，连结，由，得， 由是的中点，得是的中点，又是的中点， 则，而平面，平面， 因此平面，又平面，且， 所以平面平面. (2)（i）；（ii），面积为. 【分析】（1）延长交于点，利用线面平行的判定、面面平行的判定推理得证. （2）（i）在三棱锥中由等体积法求得点F到平面AEG的距离；（ii）用斜二测画法作图，并进行计算. 【详解】（1）略 （2）（i）设点到平面的距离为，取的中点，连结， 则，且， 由平面，得平面，由， 得， 在△中,，则， 又，于是，解得， 所以点F到平面AEG的距离. （ii）取直角梯形底边的中点，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系， 作坐标系，使，在上取点，使，且为的中点， 在轴上取点，使，过作轴，且使， 连接，则梯形是直角梯形的斜二测直观图，如图， 梯形的面积. 重点6 线面平行的性质 【典例01】[2026·上海·模拟预测]如图，在五面体中，四边形是矩形，平面平面，是正三角形，，，． (1)求证：； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)因为，平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以； (2) 【分析】（1）证明平面，再根据线面平行的性质即可得证； （2）分别取的中点，连接，根据面面垂直的性质可得平面，再以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）略 （2）如图，分别取，的中点，，连接，，则，， 因为是正三角形，所以，， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，，，， 故，， 设平面的法向量为， 则有，令，得， 则可取， 因为平面， 所以即为平面的一个法向量， 则， 所以二面角的大小为． 【典例02】[2025·上海普陀·一模]如图所示，过圆柱的轴的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为2的正方形是该圆柱底面圆周上异于两点的点． (1)设平面平面，求证：； (2)当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值． 【答案】(1)由已知得，又平面，在平面外， 则平面， 又平面平面平面 则. (2). 【分析】（1）由平面，结合线面平行的性质定理即可求解； （2）由线面垂直得到是二面角的平面角，进而可求解. 【详解】（1）略 （2）设 的边上的高为，则， 当三棱锥的体积最大时，，即 为的中点， 又 平面在平面 上，所以 又，为平面内两条相交直线， 所以 平面，又 在平面内， 所以， 则是二面角的平面角， 在直角三角形中，，则， 即所求的二面角的余弦值为. 【典例03】[2026·上海杨浦·模拟预测]如图1，在梯形中，，， 的中点且，的内角的对边分别为，且满足，点为边上一点，当面积最大时，将沿翻折得到四棱锥（如图2），点为线段的中点． (1)若，求的长； (2)若四棱锥的体积等于2，是否存在点N使得MN与平面PBC所成角的余弦值为，若存在，求出点N位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1). (2)存在，，. 【分析】（1）利用余弦定理和面积公式可得面积最大时为等边三角形、四边形为菱形，结合空间平行关系的转化可求的长. （2） 翻折后面积最大时对应平面平面，结合几何关系或空间向量法求解线面平行、线面角问题. 【详解】（1）∵ 在中，由射影定理得， 又，故，∵ ，∴ ， 由余弦定理可得，故， 当且仅当时等号成立， 故， 此时为等边三角形，且，. ∵ 为中点，故，故， 故四边形为菱形，取中点，连接、， ∵ 为中点，为中点，∴ ， ∵ 四边形为平行四边形，故，∴ ， ∵ 平面，平面，∴ 平面， ∵ 平面，，平面， ∴ 平面平面，∵ 平面平面， 平面平面，∴ ， ∵ 为中点，∴ 为中点，故. （2）由（1）可知为边长为的等边三角形，四边形为边长为的菱形 故边上的高为，翻折后四棱锥体积为2， ∵ 底面平行四边形的面积， 设四棱锥高为，∴ 由体积公式，代入得，解得， ∴ 翻折后平面平面，取中点为原点，则， 而平面平面，平面，故平面， 故建立如图所示的空间直角坐标系： 各点坐标为，，，，， ∵ 为中点，∴ ， 设（），则的坐标为， ∴ ， 设平面的法向量为，，， ∵ ，，∴ ，取， 设与平面所成角为，则且，∴ ， 故， 整理得，解得， ∵ 不符合取值范围，舍去，∴ ，即存在点，. 重点7 面面平行的性质 【典例01】[2026·上海·模拟预测]如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为4和6，，分别为圆台的上、下底面圆的圆心，，为圆台的两条不同的母线． (1)求证：； (2)已知，，求二面角的大小． 【答案】(1)∵圆台可以看作是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到， 所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分． ∴母线与母线的延长线必交于一点， ，，，四点共面， ∵圆面圆面，且平面圆面，平面圆面． ． (2) 【分析】（1）根据圆台母线延长线交于一点，得到四点共面，再借助圆台上、下底面平行，根据面面平行性质得出线线平行. （2）先取线段、的中点分别记作点、，连接，，，根据二面角的平面角的定义证得即为所求的二面角的平面角，再求得的值，进而表示. 【详解】（1）略 （2）取线段、的中点分别记作点、，连接，，， 过点作平行线，交于点，连接， 又，故， 四边形是等腰梯形，故， 于是，即为所求的二面角的平面角， 又，，， 故，，则， ， 故． 故二面角的大小为． 【典例02】[2025·上海松江·二模]已知梯形中，，为上的一点且，，，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接、，为棱的中点. (1)求证：平面； (2)当时，求直线和平面所成角的大小. 【答案】(1) 取的中点，连接、， 因为点为棱的中点，且，所以且， ，平面，平面， 所以平面，同理可得平面.                                                 因为平面，平面，且， 所以平面平面.                                                             因为平面，所以平面. (2). 【分析】（1）取的中点，连接、，所以且，根据线面平行的判定定理可得平面，平面，从而可得平面平面，由面面平行的性质定理即可证明； （2）过点作于点，连接，由题意得平面. 所以就是直线和平面所成角. 二面角的平面角为，由（1）易得，取中点为，连接，可得，利用勾股定理求出，可得.继而即可求解. 【详解】（1）略 （2）过点作于点，连接， 因为，，，平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，且， 所以平面.                                                                     所以就是直线和平面所成角. 由题意得：二面角的平面角为， 由（1）易得， 在中，由，，得， 取中点为，连接， 因为分别为的中点， 所以，且，又， 所以四边形为平行四边形，所以， 在中，由，，得，则. 在中，由，得， 即得直线和平面所成角为. 【典例03】[24-25高三下·上海·阶段检测]如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，．    (1)求证：平面PBC； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明：由正方形，得，而平面，平面，则平面， 又，平面，平面，则平面， 又平面，因此平面平面，而平面， 所以平面. (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用面面平行的判定、性质推理即得. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）略 （2）由平面，且四边形为正方形，得直线两两垂直， 以B为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    令，则， ， 设平面的法向量，则，取，得， 设平面的法向量，则，取，得， 设二面角的大小为，则，， 所以二面角的正弦值为. 重点8 线面垂直的判定 线面垂直的判定方法 （1）线线垂直法：找到平面内两条相交直线，分别与已知直线垂直，结合线面垂直判定定理证明。 （2）面面垂直法：利用面面垂直的性质定理，在一个平面内作交线的垂线，直接得到线面垂直。 构造垂直的技巧 证明线面垂直时，常借助等腰三角形三线合一、勾股定理逆定理构造线线垂直。如三棱锥中取底边中点，连接顶点与中点，由等腰三角形得垂直。遇到面面垂直条件，优先作两平面交线的垂线，快速得到线面垂直。注意两条直线必须相交，这是判定定理成立的前提。 【典例01】[2026·上海黄浦·三模]如图，三棱锥中，，，，为的中点． (1)证明：； (2)点满足，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明和均为等腰三角形，利用三线合一性质得到和，进而证明平面，最后利用线面垂直的性质得证； （2）根据（1）中的垂直关系及勾股定理逆定理证明，从而建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角的正弦值。 【详解】（1）因为， 所以为等边三角形，则. 同理，因为， 所以为等边三角形，则，所以. 因为为的中点，所以. 又因为,为的中点，所以. 因为平面， 所以平面, 因为平面， 所以. （2）不妨设由（1）可知. 在中，，， 所以. 因为为的中点，所以，. 在中，， 所以 在中，， 所以. 由（1）知平面，且平面， 所以， 故两两垂直. 以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系 则 所以,. 因为， 所以 所以. 设平面的法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 则, 所以直线与平面所成角的正弦值为 【典例02】[2026·上海浦东新·三模]如图，平行六面体，点在底面上的投影落在线段上（不含端点）． (1)求证：直线平面； (2)若侧棱与底面所成的角为，求平面与底面所成二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【分析】（1）作底面于，得，再由题意得，然后由线面垂直的判定定理证明线面垂直； （2）作于，连接，证明即为二面角的平面角，然后在直角三角形中计算（求其正切值），也可建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求解（解题过程中先确定为底面对角线交点）. 【详解】（1）连接、，作底面于， 由题，底面，又底面，故， 因为四边形为平行四边形，且， 因此四边形为菱形， 平面，平面， 因此，平面; （2）解法一：作于，连接， 由题，底面，即在底面的射影， 所以，即侧棱与底面所成的角， 在直角中，由，知． 设，则由题意可知， 又底面，是底面的斜线，是在底面的射影． 因为，所以（三垂线定理），（注：可用线面垂直证明） 所以即为二面角的平面角 ，又平面平面， 因此，平面与底面所成角为或； 解法二：作于，连接 由题，底面，即在底面的射影， 所以，即侧棱与底面所成的角． 在直角中，由，知． 故为菱形的中心，即此时． 以为坐标原点，分别以、与的方向为、与轴的正方向，建立空间直角坐标系． 令，则、、 则 设平面的法向量为，则， 从而得到平面的一个法向量为， 又底面的一个法向量为， 从而 所以，平面与底面的二面角是或． 【典例03】[2026·上海徐汇·二模]如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为直角梯形，，. (1)求证：； (2)若四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)取的中点，连接， 因为，， 则，所以四边形是平行四边形， 又，四边形是矩形， 所以， 为等边三角形，为的中点， 所以 ， ，平面 ， 所以平面 ， 平面 ，所以. (2) 【分析】（1）取的中点，利用等边三角形性质和直角梯形的性质证明面 ，进而证明 ； （2）首先利用体积公式求出四棱锥的高，结合几何特征得到面，然后建立空间直角坐标系，求出面的法向量，利用向量夹角公式求出线面角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）梯形的面积为， 设四棱锥的高为，体积为， 得， 所以平面， 以所在直线分别为轴、轴、 轴建立空间直角坐标系， ， ，，， 设面的法向量为， ，， ，， 取， 则，， 设直线与平面所成角为 ， . 直线与平面所成角的大小为. 重点9 点面距离 点面距离的求解思路 点到平面的距离是棱锥体积计算的核心，常见的题型有：①求定点到平面的距离；②判断动点下棱锥体积是否为定值. 常用两种方法：①等体积法，转换三棱推的顶点与底面，由变形得，通过体积不变求距离；②向量法，取平面内一点，平面法向量为，由公式计算.另外，体积定值问题可通过线面平行判定点到平面距离为定值. 【典例01】[2025·上海松江·二模]在正三棱柱中，，动点满足，，则下列几何体体积为定值的是（    ） A．四棱锥 B．四棱锥 C．三棱锥 D．三棱锥 【答案】D 【分析】根据题设在上运动，结合棱柱的结构特征及线面平行的性质判断各棱锥的体积是否为定值即可. 【详解】对于正三棱柱，且，， 则在上运动， 所以到平面、平面、平面的距离均是变化的，棱锥底面积都是定值，故A、B、C不符合条件， 由，平面，平面，则//平面， 所以P到平面的距离为定值，且底面的面积是定值， 所以三棱锥的体积为定值，D符合， 故选：D 【典例02】[2026·上海普陀·二模]如图，在正三棱柱中，D、E分别是棱、的中点，且. (1)求证：直线平面； (2)求点A到平面的距离. 【答案】(1) 如图1，连接， 由正三棱柱的结构特征可知， 在正三棱柱中是正三角形，侧面均为矩形，平面. 因为D是棱的中点，所以， 因为平面，所以平面平面. 又平面平面，所以平面. 又平面，所以. 因为，所以矩形为正方形，所以， 又，所以， 因为平面，，所以直线平面. (2) 【分析】（1）根据正三棱柱的结构可判断四边形的形状，进行面面垂直、线面垂直、线线垂直之间的转化；（2）根据三棱锥的体积相等可求距离，也可利用空间向量求解距离问题. 【详解】（1）略 （2）方法一：设点A到平面的距离为h， 因为平面，所以到平面的距离相等，都为. 由（1）知，侧面均为正方形，所以，， 又，所以为等腰三角形，所以. 又，即， 所以，解得，即点A到平面的距离为. 方法二：取的中点，连接，由（1）可知两两互相垂直， 所以以D为原点，建立如图2所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 即，所以点A到平面的距离为. 【典例03】[2025·上海静安·一模]已知正四棱柱的底面边长为1，点、分别在边、上，且，．    (1)证明：平面； (2)若2，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)因为，，则，可得， 且平面， 平面，所以平面. (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，进而可证线面平行； （2）方法一：建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角；方法二：利用等体积法求点 到平面的距离，进而求线面夹角. 【详解】（1）略 （2）方法一：以 为坐标原点，以 ， ，所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示：    则， 可得， 设平面的法向量为 ，则， 令，则，，可得， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值是． 方法二：由题意可知：，，， 则， ， 设点 到平面的距离为 ， 因为三棱锥的体积即为三棱锥 -的体积， 则，解得， 设直线与平面所成角为 ，则， 所以直线与平面所成角的正弦值． 【典例04】[2025·上海杨浦·二模]坐落于杨浦滨江的世界技能博物馆由百年历史文化保护建筑改建而成，其中的支柱保留了原有的正八棱柱，既考虑了结构力学优势，又体现了对历史建筑的尊重和传承.如图，分别为正八棱柱的上下两个底面的中心，已知.    (1)求证：； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)    连接， 因为底面为正八边形，所以， 又正八棱柱侧棱底面，底面， 所以， 平面， 所以平面， 又平面，所以. (2) 【分析】（1）结合图中几何关系由线面垂直的判定定理证明平面即可； （2）结合图中几何关系由等体积法即求解即可. 【详解】（1）略 （2）    连接， 因为， 由正八边形的性质可得，，为到底面的距离，， 所以， 由勾股定理可得，， 又，所以， 又，所以， 因为，所以，即， 设点到平面的距离为， 则，即，即， 解得，所以点到平面的距离为. 重点10 线面角 线面角的求解思路 直线与平面所成角的取值范围是，核心是找到直线在平面内的射影，常见的题型有：①圆锥、棱锥背景下求线面角；②结合面面垂直条件求线面角. 常用两种方法：①几何法，过直线上一点作平面的垂线，连接垂足与斜足，射影与直线的夹角即为线面角，在直角三角形中计算；②向量法，求出直线方向向量与平面法向量，由公式计算. 【典例01】[2026·上海静安·二模]在代表我国古代数学成就的经典著作《九章算术》中，称如下图中的多面体为“刍（chu）甍（meng）”．若底面是边长为4的正方形，，且，和是等腰直角三角形，，则与底面所成角的正弦值为______． 【答案】/ 【分析】设的中点为，在底面的投影为，则就是与底面所成角，再解三角形求正弦值即可． 【详解】设的中点为，在底面的投影为，如图， 由对称性可知在上， 就是与底面所成角， 又 ，， 又是等腰直角三角形，， ，， ． 【典例02】[2026·上海长宁·二模]如图，是圆锥顶点，是底面圆心，点、在底面圆周上，，. (1)若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积； (2)若直线与平面所成角为，求二面角的平面角的正切值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求圆锥的高，再求体积； （2）首先根据线面角求，再根据垂直关系，构造二面角的平面角，即可求解. 【详解】（1）设圆锥的底面半径为，母线为，， 圆锥的侧面积，所以， 则圆锥的高， 则圆锥的体积； （2）因为平面，平面， 所以，又因为，，平面， 所以平面，则与平面所成角为，所以， 又因为，所以，取的中点，连结，， 因为，， 所以，，为二面角的平面角, 因为，， 所以，， 所以二面角的平面角的正切值为. 【典例03】[2026·上海黄浦·二模]如图，在直三棱柱中，点、分别是棱、上的点（点异于点），且． (1)求证：平面平面； (2)若是正三角形，，且三棱柱的体积是三棱锥的体积的倍，求与平面所成的角的大小． 【答案】(1)证明如下： 因为三棱柱是直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又，，、平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． (2) 【分析】（1）证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）解法一：设，由可求出的长，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与平面所成的角的大小； 解法二：连接，过作平面，垂足为，连接，则就是直线与平面所成的角，取的中点，连接，取的中点，连接， 证明出平面，利用等体积法求出的长，结合线面角的定义求解即可； 解法三：设是的中点，连接、、，证明出平面，可知点与到平面的距离相等，证明出平面，可得出点到平面的距离等于的长，并求出的长，结合线面角的定义求解即可. 【详解】（1）略 （2）解法一：由平面，平面，可知， 又因为是正三角形，所以． 设，由，， 可得，故， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 设与平面所成的角为，则， 所以与平面所成的角的大小为． 解法二：连接，过作平面，垂足为，连接， 则就是直线与平面所成的角， 取的中点，连接，取的中点，连接， 因为为等边三角形，为的中点，所以， 因为、分别为、的中点，所以，则， 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以平面，且， 因为，故， 因为平面，平面，所以， 又因为，， 所以， 所以，解得， 又， 故，则， 所以与平面所成的角的大小为． 解法三：设是的中点，连接、、， 因为，，故四边形为平行四边形， 所以，， 因为、分别为、的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，所以，， 又因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 点与到平面的距离相等． 由四边形是正方形，、、分别为、、的中点， 故，所以，故，即， 又平面平面，平面，平面平面， 故平面，易知，故到平面的距离也为， 又， 设与平面所成的角为，则，故， 所以与平面所成的角的大小为． 重点11 面面垂直的判定 【典例01】[2025·上海嘉定·一模]如图，在四面体中，，从顶点作平面的垂线，垂足恰好落在的中线上. (1)如果，直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的大小； (2)证明：平面平面 【答案】(1) (2)由，，，平面,故 平面， 而 平面，则平面平面 【分析】利用几何法找到线面成角，利用线面垂直证明面面垂直. 【详解】（1）连接 ，如图. 由题可知，平面，平面 ,则， 且即为直线与平面所成角， 即.由 ， 为 边的中线， 可得.而，可得，. 而即为直线与平面所成角，且, 则，可得直线与平面所成角为. （2）略 【典例02】[2026·上海·三模]在四棱锥中，底面为等腰梯形，平面底面，其中，，，，点E为中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)取的中点，连接. 因为为的中点，所以，且. 又因为，，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）取的中点，连接，利用中位线定理及已知条件证明四边形为平行四边形，从而得到，再利用线面平行的判定定理即可证明； （2）取的中点，连接，证明平面，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式求解. 【详解】（1）略 （2）分别取的中点，连接. 因为，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 在等腰梯形中，过点作于点. 因为，所以， 又，所以. 以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点且垂直于的直线为轴， 所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则， 则，设平面的法向量为， 则，即，取，得， 易知平面的一个法向量为， 设二面角的大小为，由图可知为锐角， 则， 所以二面角的大小为. 【典例03】[2025·上海金山·一模]如图，已知圆锥，点在底面圆周上，，且，动点 落在劣弧上． (1)求证：平面平面； (2)若点 平分劣弧，过点 分别作，垂足分别为两点，求二面角的大小． 【答案】(1)证明：在圆锥中，平面，∴ ∵，∴ ∵，平面，∴平面， ∵平面 ∴平面平面 (2). 【分析】（1）先证明线面垂直，然后得出面面垂直； （2）先建立空间直角坐标系，通过求平面的法向量解决二面角问题. 【详解】（1）略 （2）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OA为z轴，如图建立空间直角坐标系 由题意，，，，， 则，，，， 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 设平面与平面夹角为， 则， ∴平面与平面夹角的余弦值为. 则根据法向量朝向可知二面角的大小为. 重点12 二面角 二面角的求解方法 （1）几何法：利用三垂线定理作二面角的平面角，在三角形中计算角度，适用于结构规则的几何体。 （2）向量法：建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量 ，由公式 计算，再根据图形判断二面角的锐钝。 找平面角的技巧 找二面角的平面角时，优先在棱上取特殊点，分别在两个平面内作棱的垂线。若其中一个平面内有已知的垂线，可用三垂线定理直接构造。遇到翻折类题型，注意翻折前后垂直于棱的直线的夹角即为二面角的平面角，是常用的隐含条件。 【典例01】[2025·上海闵行·一模]如图，三棱锥中，侧面PAC与底面ABC都是以AC为斜边的等腰直角三角形， 为AC中点． (1)求证： (2)若，求二面角的大小． 【答案】(1)证明：因为侧面PAC与底面ABC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，O为AC中点， 所以， 因为平面，所以平面POB， 因平面，所以； (2). 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理得出平面POB，再根据线面垂直的性质定理求证； （2）取边中点H，求证为二面角的平面角，在中计算即可. 【详解】（1）略 （2）取边中点H， 因为侧面PAC与底面ABC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，O为AC中点， 所以， 设，则， 因，则，所以， 所以，则为二面角的平面角， 因平面，则平面， 因平面，则， 又，则，则， 所以二面角的大小为. 【点睛】 【典例02】[25-26高三下·上海·阶段检测]如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，平面． (1)证明：平面平面； (2)若线段上存在一点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角大小． 【答案】(1)由平面，且平面，则， 又为半圆的直径，则， 又，，平面，则平面， 又平面，所以平面平面． (2) 【分析】（1）先根据线线垂直证明平面，再根据面面垂直的判定即可证明结论； 要证明面面垂直，即需要证明线面垂直，那么过这条线的平面就会垂直于另一平面． （2）先根据三棱锥体积取得最大这个条件得出的结论，再找出二面角的平面角，再根据线段关系和相似三角形求出该二面角的平面角的正切值，进而即可求出其大小． 【详解】（1）略 （2）由平面，为半圆的直径，且， ， 当且仅当时，达到最大， 设圆心为，连接，作，且点F在BE上， 连接，作，且点在上，如下图所示， 由，，则，且， 又平面，且平面，则平面平面， 由平面，平面平面，且，则平面， 又平面，则， 又，且，平面，则平面， 又平面，则，所以为二面角的平面角， 在平面上，有，且，， 则，得， 则，， 又，有，得， 则，所以， 故二面角大小为． 【典例03】[2026·上海虹口·三模]如图，已知正四棱柱的底面边长为2，高为4．    (1)求正四棱柱的侧面积；并求二面角的余弦值； (2)若棱上的点满足，点是线段（含端点和）上的动点，求证：恒成立． 【答案】(1)32； (2)证明详见解析. 【分析】（1）由四棱柱为正四棱柱，得侧面是全等矩形，根据底面边长和高，用侧面积公式计算即可；取中点，由正四棱柱，得，，可得是二面角的平面角，计算各边长度，用余弦定理求角的余弦值. （2）由正四棱柱，得，，两两垂直；以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系；根据已知条件分别求出向量和，得，即可证明恒成立． 【详解】（1）四棱柱为正四棱柱，四棱柱的四个侧面为全等的矩形； 正四棱柱的底面边长为2，高为4， ，即正四棱柱的侧面积为32. 连接，交于点，连接，；   四棱柱为正四棱柱，四边形是正方形，四个侧面为全等的矩形. 是的中点. 由，，得； ； 四边形是正方形，； 是二面角的平面角. 由，，得，，； 在中，； 二面角的余弦值为. （2）四棱柱为正四棱柱，，，两两垂直；以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系.    则，，，，，， ，； ，点是线段（含端点和）上的动点，，，得，； ，； ； ； 恒成立 重点13 线面垂直的性质 【典例01】[2025·上海长宁·二模]如图，等腰直角三角形ABC中，，点E是边AC的中点，点D是边BC上一点（不与C重合），将三角形DCE沿DE逆时针翻折，点C的对应点是，连接，设为二面角大小，．在翻折过程中，下列说法当中不正确的是（   ） A．存在点D和，使得 B．存在点D和，使得 C．存在点D和，使得 D．存在点D和，使得 【答案】B 【分析】取特例判断ACD，利用反证法判断B后可得正确的选项. 【详解】对于AD，取为中点，，则，而， 故，故在几何体中，， 而，故为二面角的平面角，故， 故，而平面， 故平面，而平面，故，故A成立. 因，，平面， 故平面，而平面，故，故D成立. 对于C，过作，为垂足，取，同理可证平面， 而平面，故，故C成立. 对于B，过作平面，垂足为， 因为平面，故， 若，因为平面， 故平面，而平面，故， 而，故在上， 因为，平面，故平面， 而平面，故，故，但， 矛盾，故不成立即B不成立， 故选：B. 【典例02】[2026·上海·三模]如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，，点O是AB的中点． (1)求证：； (2)求直线CP与平面POD所成角的大小． 【答案】(1)因，点O是AB的中点，则， 因平面平面ABCD，且平面平面，平面PAB， 故平面ABCD，又平面ABCD，故． (2) 【分析】（1）由且点O是AB的中点得到，由面面垂直的性质得到平面ABCD，利用线面垂直的定义得到． （2）利用空间向量求解，求出平面POD的一个法向量，设直线CP与平面POD所成角为，利用向量的数量积公式得到，通过计算得到直线CP与平面POD所成角的大小． 【详解】（1）略 （2）如图，取CD中点E，连接OE，由（1）知平面ABCD， 因为为的中点，为的中点，，可得， 因，故，则可分别以，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系． 又，，，， 则，，， 于是，，，， 设平面POD的一个法向量为， 则，故可取， 设直线CP与平面POD所成角为，则， 即直线CP与平面POD所成角的大小为． 【典例03】[2026·上海杨浦·模拟预测]如图，在正三棱台中，，，点为的重心．    (1)求证：． (2)求：直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）延长交于点，取的中点，连接和，由线面垂直的判断定理可得平面，再由性质定理即可得证； （2）法1：利用空间向理求解即可； 法2：先根据直线与平面所成角的定义，作出此角，在中，根据正弦的定义求解即可； 法3：利用补形法求解即可. 【详解】（1）如图，延长交于点，取的中点，连接和，    ∵点为的重心，为正三角形， ∴点为的中点，， 又点为的中点，侧面是等腰梯形， ， ，平面， 平面， 平面， . （2）法1：    如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系． 则，，． 在梯形中，作交于点，作交于点， 由正三角形的性质可得，， 由勾股定理得， 由， 即,可得， 由勾股定理得． ，， ，，. 设平面的法向量为． 由，得， 令，则，． ． 设直线与平面所成角的大小为， ∴， ∴直线与平面所成角的大小为； 法2：    如图，过点作交于点，连接． 平面平面， ∴平面平面. 又平面平面，平面，， 平面， 是直线与平面所成角． 在梯形中，作交于点，作交于点， 由正三角形的性质可得，，由勾股定理得， 由， 即,可得， 所以，所以． ． 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为． ∴直线与平面所成角的大小为； 法3：    如图，补形为正三棱锥． 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为． ，， 由，，知，， 由勾股定理得，即， ， 即直线与平面所成角的正弦值为． ∴直线与平面所成角的大小为． 【典例04】[2025·上海虹口·一模]如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，点为中点.    (1)若点是线段上的动点，求证：直线与直线不相交； (2)若平面，，，求点到平面的距离. 【答案】(1) 连接交于点，连接， 如图所示：    因为四边形为菱形，所以为的中点， 所以在中有，由分别是的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以直线与直线没有公共点， 即直线与直线不相交. (2) 【分析】（1）先证明平面，然后分析直线与直线交点情况即可证明； （2）利用等体积法求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，点为中点， 所以平面即平面， 所以为三棱锥的高，且， 因为四边形为菱形，且， 所以菱形为边长是2正方形， 所以， 且，即， 又， 在中，， 即为的高， 所以， 设点到平面的距离为， 由等体积法得：， 即， 解得：， 所以点到平面的距离为. 重点14 面面垂直的性质 【典例01】如图，在多面体中，平面平面，四边形是直角梯形，，，，且． (1)证明：平面． (2)求多面体的体积． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) 证明：因为平面平面，， 且平面平面，平面， 所以平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面； (2) (3) 【分析】（1）先由题意求证平面得到，再结合和线面垂直的判定定理即可求证； （2）依次求出和即可求解多面体的体积； （3）建立适当空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用平面夹角的向量法公式即可计算求解. 【详解】（1）略 （2）由题意可知，所以由平面得平面， 因为平面，平面，所以， 所以由可知四边形是边长为2的正方形， 所以， 又，所以， 所以多面体的体积为； （3）由平面和可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 因为，平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，则， 所以，取，则， 所以， 平面与平面夹角的余弦值为. 【典例02】如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． (1)证明：； (2)若点是中点，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明： 因为，，故，故. 因为平面平面，平面平面， 平面，故平面，而平面， 故. (2) 【分析】（1）利用勾股定理可得，结合面面垂直的性质定理可得平面，从而可得. （2）根据（1）的结果可建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求点面距. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得平面，而， 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为， 故，所以，故， 而，设平面的法向量为， 则即，取， 故到平面的距离为. 【典例03】[2025·上海长宁·二模]如图，在直三棱柱中，，点D是棱的中点． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离以及三棱锥的体积． 【答案】(1)证明：连接，取的中点，连接，， ，， 在直三棱柱中，平面平面， 平面平面，平面， 平面， 分别为，的中点，且， 点D是棱的中点，且， 且，四边形是平行四边形， ，平面， 平面，平面平面； (2)； 【分析】(1)利用面面垂直的判定定理进行证明； (2)利用等体积法求解即可. 【详解】（1）略 （2），，， 点D是棱的中点，， ，， 由(1)知平面，， ， ，， 设点到平面的距离为， ， ，， 点到平面的距离为，三棱锥的体积为. 方法技巧一 多面体与球体内切外接问题 外接球核心思路为找球心、定半径，先找底面多边形的外心，过外心作底面的垂线，球心必在该垂线上，结合顶点到底面的距离，由（为球心到底面距离，为底面外接圆半径）列方程求解.内切球通用等体积法，由变形得算半径.正棱柱、正棱锥等规则几何体可直接套用模型结论，快速定位球心简化计算. 【典例01】（2025·上海浦东新·三模）已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且，，，．若点到底面的距离为1，则球的表面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据线面垂直的判定定理来确定线面垂直关系，再利用长方体的体对角线与外接球直径的关系求出球的直径，进而求出球的半径和表面积. 【详解】因为平面，所以底面， 因为点到底面的距离为1．所以． 因为平面， 所以平面，而平面，故，， 即该球的直径为 所以球的半径为． 故选：B 【典例02】（2025·上海浦东新·模拟预测）将一个圆心角为、面积为的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为_________． 【答案】 【分析】由已知可求圆锥底面圆的半径与母线，设轴截面的内切圆半径为，进而由，可求得，进而可求得球的表面积. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，则，解得，， 易知半径最大的球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中，，且点为边上的中点， 设内切圆的圆心为，由于， 故， 设内切圆半径为，则， 解得，其表面积为. 故答案为：. 【典例03】（2025·上海黄浦·三模）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则该鳖臑的体积为________． 【答案】 【分析】利用已知条件将三棱锥放入长方体中可求出三棱锥的高，再应用体积公式计算求解. 【详解】 如图，根据已知条件可以将三棱锥放在长方体中， 则三棱锥 的外接球即为长方体的外接球， 设三棱锥 的外接球的半径为， 三棱锥 的外接球的表面积为，，， ，，解得， . 故答案为：. 方法技巧二 证明异面直线垂直 核心思路是将异面垂直转化为线面垂直，是空间垂直证明的常用题型.优先采用线面垂直法：证明其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面，再由线面垂直的性质推得两直线垂直；也可通过平移法将异面直线转化为共面直线，证明相交垂直；向量法可计算两直线方向向量的数量积，由数量积为0直接判定垂直.解题优先选择线面垂直路径，构造清晰的垂直关系链. 【典例01】[2026·上海浦东新·三模]如图，在圆台中，上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，圆台的侧面积为．是圆的一条弦，．是圆台的一条母线． (1)若，证明：； (2)若是圆的直径，求二面角的正切值． 【答案】(1)侧面积（母线长）． 圆台高． 建系：，． 上底面圆方程为（平面）． 下底面圆方程为（平面）． 是圆的弦，，圆半径， 由． 即弦对应的圆心角为． 不妨取，． （此时，，验证正确）． 是圆台母线：母线上、下端点在两底面的对应方位角相同． 即若在圆上方位角为，则在圆上同方位角处， ，． 时，在的垂直平分面上． 中点，垂直平分面为． 在圆上且满足． 取，对应． ，． ，故．证毕． (2) 【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，写出关键点坐标，利用向量的数量积证垂直； （2）先求出两平面的法向量，再根据面面角向量法计算可解. 【详解】（1）略 （2）是圆的直径，故与关于对称， ，． 在圆上与同方位：． 平面：三点，，均在平面上（上底面所在平面）， 故平面的法向量（竖直向上）． 平面：设其法向量为． ，． 两式相减：．代入第二式：． 取，得． 二面角的余弦：． ． 【典例02】[2026·上海奉贤·二模]在四棱锥中，四边形是菱形，，，，点F为的中点，点E为上的点，，，平面与棱交于点G． (1)求证：异面直线与垂直； (2)当时，求与底面所成的线面角大小． 【答案】(1)证明：已知四边形是菱形，则，设，则是的中点， ，，， ，且平面，平面， 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立下图所示空间直角坐标系， ，，，， ，F为的中点，， 点E为上的点，，，，则， ，，，故， 异面直线与垂直． (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出，计算求出，从而证明结论； （2）求出，进而求出点，进而求出，利用向量夹角的余弦公式求出线面角的大小． 【详解】（1）略 （2）当时，，， 设为平面的法向量，则，令， 则， ， 平面方程为：，即， ， ，直线参数方程为：， 参数方程代入平面方程得，解得， ，故， 底面的法向量为， 设与底面所成角为，则 ， 与底面所成的线面角为． 【典例03】[2024·上海静安·一模]如图所示，正三棱锥的侧面是边长为2的正三角形. (1)求正三棱锥的体积； (2)设分别是线段的中点. 求证：①平面；②若平面交于点，则四边形是正方形. 【答案】(1)； (2)①证明如下： 由分别是线段的中点，得， 而平面，平面， 所以平面. ②证明如下： 由平面交于点，得面平面，而平面， 平面，则，而是的中点，则是的中点， 因此，而，则四边形是平行四边形， 又，于是为菱形，而， 平面，则平面，又平面， 因此，于是，所以四边形是正方形. 【分析】（1）取正的中心，求出长，再利用锥体体积公式计算得解. （2）①利用线面平行的判定推理得证；②借助平行公理证四边形是平行四边形，由中位线性质证，再利用线面垂直的判定与性质，结合异面直线夹角定义推理得证. 【详解】（1）由正三棱锥的侧面是边长为2的正三角形，得正三棱锥为正四面体， 取正的中心，连接，延长交于，连接，则平面， 是的中点，，，则， 所以正三棱锥的体积. （2）①略 ②略 方法技巧三 求异面直线所成的角 异面直线所成角的取值范围为，常用两种方法求解.一是平移法：选取特殊点平移异面直线，使其相交于一点，在构造的三角形中计算夹角，取锐角或直角作为结果；二是向量法：分别取两直线的方向向量，由计算夹角的余弦值.解题注意角度范围，最终结果必须取0到之间的角. 【典例01】[2025·上海虹口·一模]如图，已知点在表面积为的球的球面上，且，平面，点为中点，当二面角的大小为时，则有（ ） A．异面直线和所成角的大小为 B．直线与平面所成角的大小为 C． D．的面积为 【答案】D 【分析】设球的半径为，求得，证得平面，得到，得到，进而得到，把异面直线和所成角转化为直线和所成角，可判定A不正确；作，证得平面，得到即为直线与平面所成角，可判定B不正确；在直角中，求得，结合二倍角公式，可得判定C不正确；结合面积公式，可判定D正确. 【详解】设球的半径为，因为球的表面积为，可得，可得， 因为和分别为的中点，所以，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以， 在直角中，可得， 对于A，由，可得异面直线和所成角，即为直线和所成角， 因为，所以异面直线和所成角的大小为，所以A不正确； 对于B，过点作，垂足为， 因为平面，平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 所以即为直线与平面所成角， 在直角中，，可得，则， 所以，所以B不正确； 对于C，在直角中，，可得， 所以，则， 所以，所以C不正确； 对于D，由的面积为，所以D正确. 故选：D. 【典例02】[2026·上海·二模]在正四棱台中，，，异面直线与所成角为，设二面角的大小为，则________． 【答案】 【分析】法一在正四棱台中，由异面直线所成角可得，再根据面面角定义计算求解即可，法二建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，进而利用二面角的向量求法并结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】法一：在正四棱台中，， 因为，，所以为异面直线与所成的角， 即，过点作平面的垂线，垂足为， 作直线的垂线，垂足为，连接，如图所示： 由正四棱台性质可知，点在线段上，， 所以，，， 由二面角定义可知即为二面角的平面角， 而，故. 法二：如图，作出符合题意的图形，作下底面中心，上底面中心， 以为原点，建立空间直角坐标系，设正四棱台的高为， 由题意得，，则，， ，，则，， 因为异面直线与所成角为， 所以，解得， 由题意得面的法向量为， 则，，， 设面的法向量为， 则，令，解得，， 得到，由图可知，是锐角，则， 由已知得，由同角三角函数的基本关系得， 故. 【典例03】[2024·上海宝山·一模]如图，四棱锥中，底面 为矩形，，且该四棱锥的体积为.    (1)证明：平面底面 ； (2)求异面直线和 所成角的余弦值. 【答案】(1)证明：设该四棱锥的高为，则体积 ， 从而， 等腰中，设边 的中点为 ，易知， 在中，，所以，     所以该四棱锥的高为即为，                       即底面 ，又平面， 所以面底面 .                         (2) 【分析】（1）由四棱锥的体积为得到高 ，取 的中点为 ，计算出，从而底面 即可得证. （2）因为，所以即为异面直线和 所成的角或其补角，最后在中利用余弦定理即可求出夹角. 【详解】（1）略 （2）因为， 所以即为异面直线和 所成的角或其补角；             由（1）知平面底面 ，且平面底面， 在矩形 中，，所以平面， 因为平面，从而，      中，，所以，            同理可得，       中，， 由余弦定理可得， 所以异面直线和 所成角的余弦值为. 方法技巧四 由线面角的大小求值 该类题型以线面角为已知条件，反求几何体的边长、高、体积等未知量，核心是线面角的定义转化.解题先找到直线在平面内的射影，确定线面角所在的直角三角形，由（为垂线段长，为斜线段长）建立边长与角度的方程；代入已知角度解出未知边长，进而求解体积、长度等目标量.关键是抓住垂线段长度不变，将角度条件直接转化为线段比例关系. 【典例01】[2025·上海长宁·一模]如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，直线与平面所成的角的大小为． (1)求四棱锥的体积； (2)点在线段上，直线平面，求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据棱锥的体积公式，结合线面角的定义进行求解即可； （2）建立空间直角坐标系，利用线面平行的性质、空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以，因此， 因为平面ABCD，直线与平面所成的角的大小为， 所以， 四棱锥的体积为； （2）因为平面ABCD，平面ABCD， 所以，，又因为， 所以可以建立如图所示的空间直角坐标系， ， 显然平面的法向量为， 因为点在线段上，所以设 ， 设平面的法向量为，又，， 因为直线平面， 所以当直线平面，显然点不与点重合， 则当时，，取 因为直线平面， 所以，即， ， 由图可知二面角是锐二面角， 所以二面角的余弦值为. 【典例02】[2024·上海嘉定·一模]如图所示，在三棱柱中，，侧面底面，点分别为梭和的中点. (1)若底面为边长为2的正三角形，且，侧棱与底面所成的角为，求三棱柱的体积； (2)求证：平面. 【答案】(1)3； (2)证明：在三棱柱中，取的中点，连接，， 在中，由是的中点，得，且， 而且，又为棱的中点，则，且， 则四边形为平行四边形，，又平面，平面， 所以平面. 【分析】（1）根据给定条件，可得点在平面上的射影在直线上，进而求出三棱柱的高及体积. （2）利用线面平行的判定推理即得. 【详解】（1）在三棱柱中，平面平面， 由平面平面，得点在平面上的射影在直线上， 点与其在平面上的射影的距离为点到平面的距离， 直线与直线的夹角即为侧棱与底面所成的角为， 因此，而正的面积， 所以三棱柱的体积. （2）略 方法技巧五 线面垂直证明线线垂直 这是空间垂直关系推导的核心转化逻辑，广泛应用于异面垂直证明、空间角构造等场景.基本路径：先证明其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面，再由线面垂直的性质定理——若，则，直接推导线线垂直.构造线面垂直时，常借助等腰三角形三线合一、勾股定理逆定理、面面垂直性质定理得到线线垂直，满足＂两条相交直线＂条件后完成推导. 【典例01】[2025·上海杨浦·模拟预测]如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面. (1)求证:直线； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1) 由题意知，所以， 又因为，所以，所以； 又因为平面，平面，所以， 又因为平面， 所以平面，又在平面内， 所以直线； (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用线面垂直的性质定理即可证明； （2）先证明平明，从而得到为直线与平面所成角，再在中求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面，所以， 因为，，平明，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 在中，因为， 所以 所以直线与平面所成角的大小为. 【典例02】[2025·上海宝山·二模]如图，在四面体中，是边长为的正三角形，且. (1)证明：； (2)若是的中点，且二面角的大小为，求与平面所成角的大小. 【答案】(1)取中点，连接， 由已知条件是边长为的正三角形，得. 平面，所以平面 ， 又平面 ，所以. (2) 【分析】（1）先取中点，连．利用等腰三角形三线合一得．再根据线面垂直判定定理证平面 ，最后由线面垂直性质得. （2）已知二面角为，即面面垂直.由面面垂直性质定理得平面，所以是线面角，求出角大小. 【详解】（1）略 （2） 二面角的大小为，即平面平面. 由平面平面，且由（1）知，平面， 所以平面，从而即为与平面所成角 在中，，从而， 在中，， 因为平面，且平面，所以， 所以在中，，且， 易求得，即与平面所成角的大小为. 【典例03】[2025·上海嘉定·二模]如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，，． (1)若AD平面PBC，证明：； (2)在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特殊的三棱锥——鳖臑，其四个面均为直角三角形，找出本题图中的一个鳖臑，并计算它的体积和表面积． 【答案】(1) 由题设，则， 由PA⊥平面，平面，则， 而都在面内，则面， 由AD平面PBC，面，面面， 所以，则面，面，故. (2)为一个鳖臑，体积为，表面积为. 【分析】 （1）根据已知有，线面垂直的性质得，再应用线面垂直的判定、线面平行的性质得面，再由线面垂直性质证结论； （2）根据已知得到，，，结合题设定义及棱锥体积公式求得. 【详解】（1）略 （2）由PA⊥平面，平面，则， 由（1）知，且面，面，则， 所以都是直角三角形，且， 根据题设定义，为一个鳖臑，体积， 表面积. 易错点01 计算组合体表面积时易忽视重叠部分 组合体拼接处的面相互遮挡，不属于外表面，直接累加各几何体表面积会重复计算重叠面，常见于棱柱与棱台拼接、古建筑类组合体的表面积计算. 避坑技巧：先明确组合体的外露面，拼接重叠的两个面均需全额扣除；分别计算各几何体的侧面积与外露底面积，再合并求和.正棱台斜高斜高：（为下底边长，为上底边长，为棱台的高）.表面积计算遵循＂不露不算、重叠扣除＂原则，遇＂不含底面＂的组合体，需对应减去封闭底面的面积. 1．下图是正三棱柱和正四棱台的组合体.已知正四棱台的侧棱、下底的长度分别为4、6，侧面与底面所成二面角的正切值均为，则该组合体的表面积为_____. 【答案】/ 【分析】设正四棱台的高为，侧面与底面所成二面角为，上底为，利用几何关系构建方程组解出，再求表面积即可. 【详解】 设正四棱台的高为，侧面与底面所成二面角为，上底为， 由题意可得， 结合侧棱关系可得， 联立两方程可得， 所以正四棱台的斜高为， 所以，该几何体的表面积为. 故答案为：. 2．中国的古建筑榫卯咬合、斗拱层叠，不用一钉一铆，却撑起千年不倒的殿宇廊檐．攒尖是中国古建筑中屋顶常见的一种结构形式，它可以看作是正三棱柱和不含下底面的正四棱台的组合体，如图．已知图中正四棱台上底、下底的长度分别为米，米，侧棱长为5米，正三棱柱各棱长均相等，则该结构的体积为______立方米． 【答案】70 【详解】图中正四棱台如下图，的中点为,的中点为，连接，过作于， 则,， 故图中正四棱台的体积为：立方米， 图中正三棱柱的体积为： 立方米， 所以该结构的体积为：立方米 3．中国古代的建筑形式多样，如赫赫有名的苏州园林（如图1），其几何模型可以简化为如图2所示的几何体，其中是长方体，且，，是棱台，侧面的梯形均为等腰梯形，，棱台的高为2，则该几何体的表面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据棱柱棱台的几何特征，求解每个面的面积相加可得结论. 【详解】先求下半部分，表面积为. 再求上半部分， 由于，则， 所以上长方形的面积为. 由已知， 则， 由于棱台侧面为等腰梯形，故， 前后两部分的梯形的高为，， 则这两个梯形的面积之和为. 左右两部分的梯形的高为， 则这两个梯形的面积之和为， 因此总表面积为. 故选：C. 4．如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，求出正六棱台的侧高，从而求出正六棱台的侧面积，再求出正六棱台的下底面面积，圆柱的侧面积和底面积，相加得到该花灯的表面积. 【详解】正六棱柱的六个侧面面积之和为， 正六棱柱的底面面积为， 如图所示，正六棱台中，， 过点分别作垂直于底面于点， 连接相交于点，则分别为的中点， 过点作⊥于点，连接，则为正六棱台的斜高， 其中，，， 由勾股定理得，故，    所以正六棱台的斜高为， 故正六棱台的侧面积为， 又正六棱台的下底面面积为， 所以该花灯的表面积为． 故选：A． 易错点02 判断线面垂直时忽视平面内两条直线需要相交 核心错因是套用线面垂直判定定理时，忽略＂两条直线必须相交＂的前提条件，仅由两条直线分别垂直就误判线面垂直，常见于空间位置关系命题辨析选择题。 避坑技巧：牢记线面垂直判定定理： ，＂两直线相交＂是必备条件。解题时逐项验证定理完整条件，缺相交条件的命题直接判定为假；可借助正方体模型构造反例，直观验证平行直线无法推出线面垂直。 5．设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系判断即可. 【详解】对于A中，由，只有当与相交时才能得到，所以A错误； 对于B中，由，，可得，又由，所以，所以B错误； 对于C中，若，，所以，又，所以，所以C正确； 对于D中，由，，则或， 当时，由，则或与异面； 当时，由，则或与相交，所以D错误． 故选：C 6．空间中，设、是两条直线，、是两个平面，下列命题中，正确的是（    ） A．对于空间中的直线，若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若直线上存在两点到平面的距离相等，则 【答案】B 【分析】根据线面垂直的判定定理可判断A；利用平面的法向量的定义可判断B；利用线面位置关系可判断CD. 【详解】对于A，当，，，时，只有相交时才有，故A错误； 对于B，若，，则分别是平面的一个法向量， 又，则，则，故B正确； 对于C，若，，，则与可以相交，故C错误； 对于D，若直线上存在两点到平面的距离相等，则或与相交，故D错误. 故选：B. 易错点03 忽略对空间角取值范围的讨论 核心错因是计算出三角函数值后，直接默认取锐角结果，忽略二面角、异面直线所成角等空间角的取值范围，导致漏解、多解或角度范围错误，常见于二面角求解、翻折类空间角计算. 避坑技巧：熟记各类空间角的取值范围：异面直线所成角，线面角，二面角.计算出三角函数值后，结合角度范围确定最终结果；翻折类二面角注意区分锐角与钝角两种可能，结合向量方向或几何图形特征判断取角. 7．已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段，分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，，则这个二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设二面角的大小为，则，又，根据向量数量积的运算律可求得，进而可求得. 【详解】如图，设二面角的大小为，因线段，分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，则， 根据题意可得， 所以， 因为，，， 所以， 解得，又因为，所以， 所以这个二面角的度数为. 故选：B. 8．直角坐标系中直线上的横坐标分别为的两点A、B，沿轴将坐标平面折成大小为的二面角，若折叠后A、B两点间的距离是6，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点的坐标，利用空间向量基本定理可得，再结合模长及数量积运算律求出的余弦值即可. 【详解】直线上的横坐标分别为的点， 给定的图形中，轴于点C，轴于点D，则， 又，， ，则 ，解得，而，所以. 故选：A. 优题精练·专题实战通关 [2026·上海·模拟预测]已知圆柱的底面半径为3，侧面积为，则此圆柱的体积为__________． 【答案】 【详解】设圆柱的高为，因为圆柱的底面半径为3，侧面积为， 所以，解得， 因此圆柱的体积为. [2026·上海·二模]已知一个直三棱柱的侧棱长为2，底面面积为2，则该三棱柱的体积为________． 【答案】4 【分析】根据三棱柱的体积公式计算求解. 【详解】设一个直三棱柱的侧棱长为，底面面积为，则该三棱柱的体积为. [2026·上海普陀·二模]在中，，，过点A作直线，将绕直线l旋转一周所得到的几何体记为Ω，若Ω的体积是，则Ω的表面积为______. 【答案】 【分析】将绕直线旋转一周，生成的几何体是一个大圆柱挖去一个小圆锥的组合体，利用圆柱与圆锥的体积以及表面积公式求解即可. 【详解】为直角三角形，，，直线l∥BC且过点A， 设，所以斜边， 将绕直线旋转一周，生成的几何体是一个大圆柱挖去一个小圆锥的组合体， 所以圆柱上底面半径，高， 被挖去的圆锥的底面半径，高与圆柱相同，即， 则圆柱体积：， 圆锥体积：， 所以组合体体积：， 则，即，所以， 几何体Ω的表面积由三部分构成： 圆柱的侧面积：， 圆柱的上底面面积：， 圆锥的侧面积：圆锥母线长为，， 所以总表面积：. [2026·上海杨浦·模拟预测]如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，水面高度.将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 __________. 【答案】/ 【分析】延长，交直线于点,设,由水的体积不变可列式求出，再求出，由二倍角的正弦公式和同角三角函数的平方公式化简已知式，代入即可得出答案. 【详解】如图，延长，交直线于点， 由题意可得：，， 设，则， 因为密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为的斜坡上， 容器里的水的体积不变，且放在坡角为的斜坡上时， 水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为的长方体的体积与长为9cm、宽为9cm、高为的长方体的体积的一半之和， 因为，解得：，即， 因为，所以， 因为，所以， 所以， . [2026·上海·三模]已知点为平面直角坐标系内的圆上的动点，定点，现将坐标平面沿轴折成的二面角，使点翻折至，则两点间距离的最大值是______． 【答案】7 【分析】当与位于同一半圆时，可知当三点共线时取得最小值，当位于时，取得最大值；当与分别在两个半平面中时，作出二面角的平面角及在平面上的投影点，设，利用勾股定理和三角恒等变换知识，结合三角函数值域求法可求得所处的范围；综合两种情况可得结果. 【详解】由圆的方程知，圆的半径为，当与位于同一半圆时， 作出该半圆所在的平面图，如下图所示， ， 当且仅当三点共线时取等号， 当位于图中处时，取得最小值； 又当位于图中处时，取得最大值； 当与分别在两个半平面中时，作平面，垂足为， 作轴，垂足为，连接，则三点共线， 设为延长线上的点，则即为翻折后的二面角的平面角， ，，， ，，； 为圆右半圆上的点，可设，， ， ， 其中，，，当， 即时，，则； 又，，即； 可得两点间的距离的取值范围为. 综上所述，两点间距离的最大值是. [25-26高一下·云南普洱·期中]一个正方体的展开图如图所示，若将它还原为正方体，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将正方体的展开图还原，即可根据正方体的性质逐一求解. 【详解】以所在平面作为下底面还原，还原成如图所示的正方体， 由图可得与异面，A错误． 显然B正确． 与异面，C错误． 连接，则为等边三角形，D错误．    [2026·上海杨浦·模拟预测]圆锥的底面半径为12，高为12，现于圆锥内放置一个圆柱，使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合，则该圆柱体积的最大值为（   ） A．64 B．128 C．144 D．256 【答案】D 【详解】如图，依题意，，，设此时的圆柱的半径为， 则，，所以， 所以该圆柱体积为，， ，令，得， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以，当，取得最大值，此时.    [2026·上海·一模]将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”，则下列命题中不是“可换命题”的有（    ） A．过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 B．垂直于同一平面的两条直线平行 C．平行于同一直线的两条直线平行 D．平行于同一平面的两直线平行 【答案】D 【分析】将每个选项中的命题进行变换，结合空间中线面、面面位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，将该选项中的命题变换为：过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行， 变换后的命题为真命题，A选项中的命题为“可换命题”； 对于B选项，将选项中的命题变换为：垂直于同一直线的两个平面平行， 根据线面垂直的性质定理可知变换后的命题为真命题，B选项中的命题为“可换命题”； 对于C选项，将选项中的命题变换为：平行于同一个平面的两个平面平行， 根据平面平行的传递性可知变换后的命题为真命题，C选项中的命题为“可换命题”； 对于D选项，平行于同一平面的两直线平行、相交或异面，D选项中的命题为假命题，D选项不满足要求. [2026·上海浦东新·三模]如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（   ） A．直线与直线始终异面 B．直线与直线始终垂直 C．存在点使得直线与平面垂直 D．直线与平面始终平行 【答案】D 【分析】A. 由点M与点D重合时判断；B.由点M与点重合时判断；C.由垂直于同一平面的两条直线平行判断；D.先证平面平面，再由平面判断. 【详解】对于A：当点M与点D重合时，直线即为BD，而BD与直线相交，故A错误； 对于B：当点M与点重合时，是等边三角形，则直线与直线成，故B错误； 对于C：如图所示： 连接，因为，且， 所以平面，又平面，所以， 同理，又，则平面， 若平面，则，而，故C错误； 对于D：易知，又平面，平面，所以平面, 同理平面，又，所以平面平面， 又平面，所以平面，故D正确； [2026·上海·三模]在三棱锥中，平面平面，，，是棱的中点，在棱上，且 平面． (1)证明：是棱的中点； (2)证明：平面，并求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析， 【分析】（1）根据三棱锥的性质，利用线面平行证明线线平行，进而根据中线的性质证明结论； （2）根据三棱锥的性质及三角形的性质，利用线面垂直定理证明线面垂直，结合已知条件利用几何法求出相关线段长度，进而求出，再利用三棱锥的体积公式计算求解． 【详解】（1）平面，平面，平面平面， ， 又是棱的中点， 是棱的中点． （2）连接，，是棱的中点， ， 平面平面，平面平面， 平面， 平面， ， ，，， ， 又，由勾股定理得， 又平面， 三棱锥的体积． 2 / 129 学科网（北京）股份有限公司 $空间直线与平面、简单几何体 公理1：直线上两点在平面内→直线在平面内 公理2：不共线三点确定一个平面 推论：直线+线外一点；相交直线；平行直线，均可确定平面 一、 平面及其基本性质 公理3：两平面有公共点→有且仅有一条公共交线 斜二测画法：平行x、z长度不变，平行y长度减半 共面：相交(1个交点)、平行（无交点） 异面直线所成角：(0°，90]，取平移后锐角/直角 二、空间两直线位置关系 异面：不同在任一平面，无交点 公垂线段长度=异面直线距离 平行公理：平行于同一直线两直线互相平行 位置：①直线在面内（无数点）②线面平行（无点③线面相交(1点，垂直/斜交） 判定：线线平行→线面平行 线面平行 性质：线面平行→线交线 三、直线与平面 判定：垂直平面内两条相交直线→线面垂直 线面垂直 性质：垂直同一平面，两直线平行 点面距离：垂线段长；三垂线定理：斜线垂直台射影垂直 位置：平行、相交 判定：面内两条相交直线另一平面→面面平行 面面平行 性质：两平行面与第三面相交，交线平行 四、平面与平面 二面角：平面角范围[0°，180]，直角为直二面角 判定：一面过另一面垂线→面面垂直 面面垂直 性质：两面垂直，面内垂直交线的直线⊥另一平面 距离：均可化归为点点、点线、点面距离，可用体积法 棱柱：侧棱平行相等，底面全等；V=S底h 棱柱|圆柱 圆柱：S侧=2rrh,V=π2h 棱锥：侧棱共顶点；V= 五、柱体、锥体、台体 棱锥圆锥 维：母线=V十限，S=ml,V=h 由锥体平行底面截得：V=3h(SL十VS上S乐+S下) 棱台圆台 圆台侧面积：S侧=π(r1十r2)儿 截面：2=R2-d2 六、球 内接正方体：2R=体对角线：外切正方体：2R=棱长 4 S-AnR,V-3TR 专题13 空间直线与平面、简单几何体 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 基础梳理・自主夯基 试卷第1页（共3页） 1 / 129 学科网（北京）股份有限公司 考点01 平面及其基本性质 考点02 直线与直线的位置关系 考点03 直线与平面的位置关系 考点04 平面与平面的位置关系 考点05 柱体 考点06 锥体 考点07 多面体与旋转体 考点08 球 1 / 129 学科网（北京）股份有限公司 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 高考解密・母题探究 题型01 空间中直线与平面之间的位置关系 题型02 空间中直线与直线之间的位置关系 题型03 异面直线及其所成的角 题型04 棱柱、棱锥、棱台的体积 题型05 圆锥的侧面积和表面积 重点突破・考法深研 重点1 异面直线的判定 重点2 线面关系有关命题的判断 重点3 面面关系有关命题的判断 重点4 线面平行的判定 重点5 面面平行的判定 重点6 线面平行的性质 重点7 面面平行的性质 重点8 线面垂直的判定 重点9 点面距离 重点10 线面角 重点11 面面垂直的判定 重点12 二面角 重点13 线面垂直的性质 重点14 面面垂直的性质 技法提炼・审题点拨 方法技巧一 多面体与球体内切外接问题 方法技巧二 证明异面直线垂直 方法技巧三 求异面直线所成的角 方法技巧四 由线面角的大小求值 方法技巧五 线面垂直证明线线垂直 易错剖析・避坑攻略 易错点01 计算组合体表面积时易忽视重叠部分 易错点02 判断线面垂直时忽视平面内两条直线需要相交 易错点03 忽略对空间角取值范围的讨 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 平面及其基本性质 1．空间的点、直线与平面 空间点与直线、点与平面的位置关系： 位置关系 符号表示 图形 点与直线 点在直线上，也称直线经过点 点不在直线上，也称直线不经过点 点与平面 点在平面上，也称平面经过点 点不在平面上，也称平面不经过点 2．平面的基本性质 名称 内容 作用 公理1 如果一条直线上有两点在一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上 判定直线在平面上 公理2 不在同一直线上的三点确定一个平面 确定一个平面 推论1 一条直线和这条直线外的一点确定一个平面 推论2 两条相交直线确定一个平面 推论3 两条平行直线确定一个平面 公理3 如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 两个平面相交 3．空间图形的平面直观图的画法 斜二测画法规则： ①原图形中轴、轴、轴两两垂直，直观图中，轴、轴的夹角为（或），轴与轴和轴所在平面垂直； ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于轴和轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 是两个不同的点，为两个不同的平面，下列推理错误的是（    ） A． B． C． D． 如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（    ）    A． B． C． D． 考点02 直线与直线的位置关系 1．平行公理（公理4） 平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．等角定理 如果两条相交直线与另外两条直线分别平行，那么这两组相交直线所成的锐角（或直角）相等. 3．空间两条直线的位置关系 位置关系 图示 表示方法 公共点个数 两直线共面 相交 一个 平行 没有 异面 是异面直线 没有 4．异面直线 （1）概念：不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线． （2）异面直线判定： ①用定义（多用反证法）； ②异面直线判定定理：过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线； （3）异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）.为了简便， 点通常取在异面直线的一条上．异面直线所成的角的范围：；若 两条异面直线所成角是直角，则称两异面直线垂直； （4）异面直线的公垂线与公垂线段：和两条异面直线都垂直且相交的直线叫异面直线的公垂线，任意两条异面直线有且只有一条公垂线．两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段是分别连接两条异面直线上两点的线段中最短的一条； （5）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度．两条异面直线的距离即为直线到平面的距离.即两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离． [2025·上海长宁·一模]如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（　） A． B． C． D． [2024·上海·三模]在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 考点03 直线与平面的位置关系 1．直线与平面的位置关系 位置关系 图示 表示方法 公共点个数 直线在平面上 无数个 直线不在平面上 直线与平面平行 没有 直线与平面相交 直线与平面斜交 一个 直线与平面垂直 一个 2．线面平行的判定定理 直线与平面平行的判定定理：如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行. 推理：不在平面上，.（线线平行，可推出线面平行） 3．线面平行的性质定理 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的一个平面与此平面相交，那么其交线必与该直线平行. 推理：.（线面平行，可推出线线平行） 4．线面垂直定义 如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直.其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足，直线与平面垂直简称线面垂直，记作：. 5．线面垂直判定定理 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直，那么此直线与该平面垂直. 6．直线与平面垂直的性质定理 直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两直线互相平行. 推论1：过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直. 推论2：过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直. 7．点到平面的距离 已知点是平面外的任意一点，过点作，垂足为，则唯一，是点到平面的距离.即一点到它在一个平面内的射影的距离叫做这一点到这个平面的距离. 结论：连接平面外一点与内一点所得的线段中，垂线段最短. 8．三垂线定理 三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直. [2026·上海虹口·三模]设，分别为空间中的两条不同的直线，平面，“”是“”的（     ）条件： A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 [2026·上海黄浦·二模]若a，b是空间中的两条直线，则“”是“存在平面，使，”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 [2026·上海·一模]已知平面ABC，，若与以A，B，C为顶点的三角形全等，则的形状为_______. 考点04 平面与平面的位置关系 1．平面与平面的位置关系 平行；相交. 2．两个平面平行的判定定理 两个平面平行的判定定理：如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 3．两个平面平行的性质定理 两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 4．二面角 平面上的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．若棱为，两个面分别为的二面角记为. 5．二面角的平面角 过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内分别作棱的两条垂线，则叫做二面角的平面角.二面角的平面角范围是；二面角的平面角为直角时，则称为直二面角.组成直二面角的两个平面互相垂直. 6．平面与平面垂直的判定定理 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直. 7．平面与平面垂直的性质定理 平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两平面交线的直线与另一个平面垂直. 8．距离 点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离这七种距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其他几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求. 第十章简单几何体 [2025·上海普陀·一模]已知直线和平面，且，，则下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 [25-26高三下·上海金山·阶段检测]已知，，是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 考点05 柱体 1．棱柱的结构特征 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱． 2．棱柱的分类 ①棱体 3．棱柱的性质 ①侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； （2）两底面是全等多边形且互相平行； （3）平行于底面的截面和底面全等. 4．棱柱的面积和体积公式 （是底周长，是高） 5．圆柱的结构特征 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转面形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 6．圆柱的性质 （1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆； （2）过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 7．圆柱的侧面展开图 圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 8．圆柱的面积和体积公式 （为底面半径，为圆柱的高） 如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（   ） A． B． C． D． [2026·上海·二模]已知一个直三棱柱的侧棱长为2，底面面积为2，则该三棱柱的体积为________． [2026·上海静安·模拟预测]一个圆柱的体积为100，若将其高扩大为原来的3倍，底面半径缩小为原来的，得到的新圆柱的体积是_________． [2025·上海宝山·二模]已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为_________. [24-25高三上·上海黄浦·期末]若圆柱的底面半径与高均为1，则其侧面积为________． 考点06 锥体 1.棱锥 1．棱锥的结构特征 （1）棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥； （2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 2．正棱锥的结构特征 （1）平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； 它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比； （2）正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； （3）正棱锥侧面积：（为底周长，为斜高）. 3．棱锥的体积 （为底面积，为高） 4．正四面体 棱长为的正四面体，可将它补成一个边长为的正方体. 对棱间的距离为（正方体的边长）； 正四面体的高（等于）； 正四面体的距离为 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为 说明：正四面体，可补全为一个正方体，如右图所示，在正方体中研究正四面体的相应问题，是化归思想的很好体现． 2.棱台 1．棱台的结构特征 棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。 2．正棱台的结构特征 （1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形； （2）正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形； （3）正棱台的对角面是等腰梯形； （4）各侧棱的延长线交于一点。 3.圆锥 1．圆锥的结构特征 圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 2．圆锥的性质 （1）平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； （2）轴截面是等腰三角形。 3．母线的平方等于底面半径与高的平方和，即 4．圆锥的侧面展开图 圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形． 4.圆台 1．圆台的结构特征 圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台． 2．圆台的性质 （1）圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆； （2）圆台的截面是等腰梯形； （3）圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究。 3．圆台的面积和体积公式 为上下底面半径， 为圆台的母线长 （ 为圆台的母线长） 为圆台的高） [2026·上海长宁·二模]将下列平面图形沿等边三角形的边折起，不能折成如图所示几何体的是（    ）. A． B． C． D． [2025·上海金山·一模]已知某正四棱锥的高为2，体积为24，则该正四棱锥的底面边长为（   ） A．9 B．8 C．6 D． [2025·上海金山·三模]已知圆锥的底面直径和母线长都是2，则该圆锥的侧面积为__________．（结果保留） [2025·上海金山·二模]已知圆锥底面半径为1，高为，则过圆锥母线的截面面积的最大值为__________. [2026·上海·三模]若一圆锥底面半径为3，母线长为5，则其体积为________．（结果保留） [2026·上海·三模]若圆锥的侧面积与底面积之比为2，则其母线与轴的夹角大小为________． 考点07 多面体与旋转体 1.多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且相等 多边形 互相平行且相似 侧棱 互相平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2.旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 长度相等且相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 3．面积和体积公式 （1）多面体 表中表示面积，分别表示上、下底面周长，表示高，表示斜高，表示侧棱长． 名称 侧面积 表面积 体积 棱柱 棱柱 直截面周长 直棱柱 棱锥 棱锥 各侧面积之和 正棱锥 棱台 棱台 各侧面面积之和 正棱台 （2）旋转体 表中、分别表示母线、高，表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，、分别表示圆台上、下底面半径，表示半径. 圆柱 圆锥 圆台 侧面积 表面积 体积 （即） 正六棱台上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则它的体积是____________． 如图，在正方体中，是的中点，平面将正方体分成体积分别为，（） 的两部分，则_______     [2026·上海普陀·二模]在中，，，过点A作直线，将绕直线l旋转一周所得到的几何体记为Ω，若Ω的体积是，则Ω的表面积为______. 考点08 球 1．球的结构特征 球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体．空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体。 2．球的性质 （1）球心与截面圆心的连线垂直于截面； （2）截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差： 3．球与其他多面体的组合体的问题 球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，解决此类问题的基本思路是： （1）根据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形； （2）找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适的切割面，然后作出剖面图； （3）将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题； （4）注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线；球外切正方体，球直径等于正方体的边长． 4．球的面积和体积公式 （ 为球半径）； [2026·上海杨浦·模拟预测]已知正三棱柱的各顶点都在球O的球面上，且，若球O的体积为，则这个正三棱柱的体积为__________． [2026·上海静安·二模]直径为的球的表面积为______．（计算结果保留） [2025·上海徐汇·一模]一个底面积为的正四棱柱的所有顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正四棱柱的高为__________． 素养进阶·答题技法突破 题型01 空间中直线与平面之间的位置关系 考情定位：上海高考立体几何模块基础必考点，以选择题基础题形式考查，难度偏低，单题分值4分；是空间位置关系分析的核心基础，为异面直线夹角、线面关系判定提供思维支撑。 核心考法： 1.以正四棱台为载体，判定各组直线是否为异面直线； 2.利用棱台侧棱延长共点、底面对边平行的结构性质，判断直线平行、相交关系； 3.通过四点共面性推导，排除平行、相交直线，确定异面直线。 解题要点： 1.异面直线的判定核心：两条直线既不平行，也不相交，且无法处于同一平面； 2.棱台的所有侧棱延长后交于同一点，因此任意两条侧棱所在直线均为相交直线； 3.解题优先用排除法，先验证平行、相交两种情况，均不成立则为异面直线。 （2024•上海）空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是（　　） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 题型02 空间中直线与直线之间的位置关系 考情定位：上海高考立体几何模块核心基础考点，以选择题形式考查，难度中等偏低，单题分值4分；是线面平行、垂直证明的逻辑基础，贯穿立体几何所有位置关系的推导与判定。 核心考法： 1．给出多组线线、线面平行／垂直条件，推导最终的线线或线面位置关系； 2．结合线面平行、线面垂直的性质定理，考查位置关系的多种可能性； 3．渗透分类讨论思想，辨析＂线在平面内＂＂线面斜交＂等易忽略的特殊情况。 解题要点： 1．严格依据线面平行、垂直的判定定理与性质定理推导，不依赖直观感觉判断； 2．遇到＂直线平行于平面＂的条件，优先考虑＂直线在平面内＂的特殊情况； 3．选项辨析采用反例排除法，只要存在一种不成立的场景，即可排除该选项。 （2025•上海）如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 题型03 异面直线及其所成的角 考情定位：上海高考立体几何模块高频考点，多以填空题形式考查，难度中等，单题分值 分；重点考查空间想象能力与三角运算能力，是空间角计算的核心题型之一。 核心考法： 1．以圆锥为载体，结合底面动点场景，求解异面直线所成角的最小值； 2．通过平移法构造相交夹角，将异面直线问题转化为平面三角形的边角计算； 3．结合余弦定理与余弦函数的单调性，分析角度的取值范围与最值。 解题要点： 1．异面直线所成角的取值范围为 ，平移后取锐角或直角作为最终结果； 2．通过平行线构造夹角后，在三角形中利用余弦定理计算夹角的余弦值； 3．涉及动点最值时，先写出夹角的三角函数表达式，再根据函数单调性确定取最值的临界位置。 （2025•上海）已知是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．、分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为________． 题型04 棱柱、棱锥、棱台的体积 考情定位：上海高考立体几何模块必考基础题型，以填空、解答题第一问为主，难度中等偏低，单题分值 4－6 分；是空间几何体计算的核心，常与旋转体、勾股定理综合考查。 核心考法： 1．正四棱锥背景下，分析三角形绕轴旋转形成的几何体，计算旋转体体积； 2．正四棱柱中，结合棱长条件，通过勾股定理反推底面边长，再计算棱柱体积； 3．紧扣正多面体的结构特征，直接套用体积公式求解。 解题要点： 1．正棱锥的高垂直于底面且过底面中心，正棱柱侧棱垂直于底面，二者即为对应几何体的高； 2．直角三角形绕直角边旋转一周形成圆锥，准确匹配底面半径与对应高的长度； 3．正棱柱中体对角线、高、底面对角线满足勾股定理，注意公式的准确套用。 （2024•上海节选）如图为正四棱锥，为底面的中心． （1）若，，求△绕旋转一周形成的几何体的体积； （2025•上海）如图，在正四棱柱中，，，则该正四棱柱的体积为________． 题型05 圆锥的侧面积和表面积 考情定位：上海高考立体几何模块解答题高频题型，通常设置两小问，难度中等，整题分值约 12 分；第一问侧重几何计算，第二问侧重逻辑证明，兼顾运算能力与空间推理能力。 核心考法： 1．结合直线与底面所成角的条件，求解圆锥的母线与底面半径，计算圆锥侧面积； 2．结合底面弧长、圆心角条件，构造平行四边形证明线面平行； 3．通过证明两组相交直线分别平行，推导面面平行，进而证得线面平行。 解题要点： 1．圆锥侧面积公式为 （ 为底面半径， 为母线长），注意区分母线长与圆锥的高； 2．直线与平面所成角，是直线与其在平面内射影的夹角，对应直角三角形中的边角关系； 3．证明线面平行优先用＂线线平行→线面平行＂，复杂场景可通过＂面面平行一线面平行＂间接证明。 （2025•上海）如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面直径，且． （1）若直线与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积； （2）已知是母线的中点，点、在底面圆周上，且弧的长为，．设点在线段上，证明：直线平面． 重点1 异面直线的判定 异面直线的定义是不同在任何一个平面内的两条直线，主要作用是判断空间两直线的位置关系，常见的题型有：①正方体动点背景下判断异面直线；②圆锥、棱台背景下证明异面直线；③位置关系命题辨析选择题。 其中证明异面直线时，一般根据异面直线判定定理，找准面内、面外的点与直线，验证直线不过该点，再根据定理直接判定。另外，若为选择题型，一般代入端点特殊值，排除平行、相交两种情况，既不平行也不相交即为异面直线，以简化推导过程。 [2026·上海浦东新·三模]如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（   ） A．直线与直线始终异面 B．直线与直线始终垂直 C．存在点使得直线与平面垂直 D．直线与平面始终平行 已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列说法不正确的是（   ） A．存在点，使得； B．存在点，使得； C．直线始终与直线异面； D．直线始终与直线异面. [2025·上海奉贤·一模]如图，将直角三角形绕直角边所在直线旋转一周形成圆锥．已知圆锥的底面半径为3cm，圆锥的侧面积．设、是底面圆周上的两点，线段不经过点． (1)求圆锥的体积； (2)求证：直线与直线是异面直线； (3)二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小． 重点2 线面关系有关命题的判断 判断命题真假时，一般先回忆对应判定定理与性质定理，逐项验证条件是否完整，再结合正方体模型构造反例排除错误选项。另外，遇到充分必要性判断，一般分别推导充分性与必要性，注意＂线在平面内＂以及＂平面斜交＂等易忽略的特殊情况。 【典例01】[2026·上海普陀·二模]已知直线l、m和平面，若，则“l与m不相交”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【典例02】[2026·上海·一模]将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”，则下列命题中不是“可换命题”的有（    ） A．过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 B．垂直于同一平面的两条直线平行 C．平行于同一直线的两条直线平行 D．平行于同一平面的两直线平行 【典例03】[2025·上海静安·一模]在三维空间中，下列命题是真命题的一个是（     ） A．垂直于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一个平面的两个平面平行 C．若一条直线垂直于一个平面，另一条直线与这个平面平行，则这两条直线互相垂直 D．若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直 重点3 面面关系有关命题的判断 【典例01】[2025·上海嘉定·二模]已知平面α和平面β，直线，直线 则下列结论一定成立的是 （    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若m与n是异面直线，则 【典例02】[2025·上海·模拟预测]已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）. A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【典例03】[2024·上海静安·二模]设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中真命题是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 重点4 线面平行的判定 线面平行的判定方法 （1）线线平行法：构造中位线或平行四边形得到线线平行，结合线面平行判定定理证明，是基础常规方法。 （2）面面平行法：先证明直线所在平面与目标平面平行，再由面面平行性质推导线面平行，适用于复杂多面体。 构造平行的技巧 证明线面平行时，核心是找到平面内与已知直线平行的直线，优先取中点构造中位线，若中点条件不足，可连接对角线交点构造比例线段。如正四棱锥中连接底面正方形对角线交点，与侧棱中点连线即为中位线。遇到翻折类题型，注意翻折前后平行关系不变，利用原有平行关系推导，注意验证＂直线在平面外＂的前提条件。 【典例01】[2025·上海杨浦·一模]若为两条不同直线，为两个不同平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【典例02】[24-25高三上·上海浦东新·期末]设、为两条直线，、为两个平面，且．下述四个命题中为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则或 【典例03】[2026·上海杨浦·模拟预测]如图所示正四棱台，其中，，棱台高为3. (1)证明： 平面求：三棱锥的体积； (2)设是中点，在直线、上各取一个点，使得三点共线，求：的长. 【典例04】[2026·上海·三模]如图，在四棱锥中，是等边三角形，且，，，，为的中点，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线和平面所成的角的大小． 重点5 面面平行的判定 面面平行的判定思路 面面平行的核心判定定理是：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则两平面平行，常见的题型有：①棱锥、组合体背景下证明面面平行；②结合翻折变换证明面面平行。 证明时一般先证线线平行，再证线面平行，最后推面面平行，其中＂两条直线相交＂是最易遗漏的核心条件。另外，也可证明两个平面都垂直于同一条直线，由垂直于同一直线的两个平面平行间接推导。 【典例01】[2026·上海松江·模拟预测]在如图所示的多面体中，已知四边形ABCD是菱形，平面平面，点G为线段AF的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【典例02】[2026·上海金山·二模]已知长方形中，，点、分别为边、的中点（如图1）．若将长方形沿着边翻折，得到二面角（如图2）．已知二面角的大小为． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小．（结果用反三角表示） 【典例03】[2025·上海杨浦·三模]如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，点E，F，G分别为PD，AB，AC的中点. (1)求证：平面平面PBC； (2)若， （i）求点F到平面AEG的距离. （ii）画出四边形ABCD的斜二测直观图，并求斜二测直观图面积 重点6 线面平行的性质 【典例01】[2026·上海·模拟预测]如图，在五面体中，四边形是矩形，平面平面，是正三角形，，，． (1)求证：； (2)求二面角的大小． 【典例02】[2025·上海普陀·一模]如图所示，过圆柱的轴的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为2的正方形是该圆柱底面圆周上异于两点的点． (1)设平面平面，求证：； (2)当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值． 【典例03】[2026·上海杨浦·模拟预测]如图1，在梯形中，，， 的中点且，的内角的对边分别为，且满足，点为边上一点，当面积最大时，将沿翻折得到四棱锥（如图2），点为线段的中点． (1)若，求的长； (2)若四棱锥的体积等于2，是否存在点N使得MN与平面PBC所成角的余弦值为，若存在，求出点N位置，若不存在，请说明理由． 重点7 面面平行的性质 【典例01】[2026·上海·模拟预测]如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为4和6，，分别为圆台的上、下底面圆的圆心，，为圆台的两条不同的母线． (1)求证：； (2)已知，，求二面角的大小． 【典例02】[2025·上海松江·二模]已知梯形中，，为上的一点且，，，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接、，为棱的中点. (1)求证：平面； (2)当时，求直线和平面所成角的大小. 【典例03】[24-25高三下·上海·阶段检测]如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，． (1)求证：平面PBC； (2)求二面角的正弦值． 重点8 线面垂直的判定 线面垂直的判定方法 （1）线线垂直法：找到平面内两条相交直线，分别与已知直线垂直，结合线面垂直判定定理证明。 （2）面面垂直法：利用面面垂直的性质定理，在一个平面内作交线的垂线，直接得到线面垂直。 构造垂直的技巧 证明线面垂直时，常借助等腰三角形三线合一、勾股定理逆定理构造线线垂直。如三棱锥中取底边中点，连接顶点与中点，由等腰三角形得垂直。遇到面面垂直条件，优先作两平面交线的垂线，快速得到线面垂直。注意两条直线必须相交，这是判定定理成立的前提。 【典例01】[2026·上海黄浦·三模]如图，三棱锥中，，，，为的中点． (1)证明：； (2)点满足，求直线与平面所成角的正弦值． 【典例02】[2026·上海浦东新·三模]如图，平行六面体，点在底面上的投影落在线段上（不含端点）． (1)求证：直线平面； (2)若侧棱与底面所成的角为，求平面与底面所成二面角的大小． 【典例03】[2026·上海徐汇·二模]如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为直角梯形，，. (1)求证：； (2)若四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的大小. 重点9 点面距离 点面距离的求解思路 点到平面的距离是棱锥体积计算的核心，常见的题型有：①求定点到平面的距离；②判断动点下棱锥体积是否为定值. 常用两种方法：①等体积法，转换三棱推的顶点与底面，由变形得，通过体积不变求距离；②向量法，取平面内一点，平面法向量为，由公式计算.另外，体积定值问题可通过线面平行判定点到平面距离为定值. 【典例01】[2025·上海松江·二模]在正三棱柱中，，动点满足，，则下列几何体体积为定值的是（    ） A．四棱锥 B．四棱锥 C．三棱锥 D．三棱锥 【典例02】[2026·上海普陀·二模]如图，在正三棱柱中，D、E分别是棱、的中点，且. (1)求证：直线平面； (2)求点A到平面的距离. 【典例03】[2025·上海静安·一模]已知正四棱柱的底面边长为1，点、分别在边、上，且，．   (1)证明：平面； (2)若2，求直线与平面所成角的正弦值． 【典例04】[2025·上海杨浦·二模]坐落于杨浦滨江的世界技能博物馆由百年历史文化保护建筑改建而成，其中的支柱保留了原有的正八棱柱，既考虑了结构力学优势，又体现了对历史建筑的尊重和传承.如图，分别为正八棱柱的上下两个底面的中心，已知. (1)求证：； (2)求点到平面的距离. 重点10 线面角 线面角的求解思路 直线与平面所成角的取值范围是，核心是找到直线在平面内的射影，常见的题型有：①圆锥、棱锥背景下求线面角；②结合面面垂直条件求线面角. 常用两种方法：①几何法，过直线上一点作平面的垂线，连接垂足与斜足，射影与直线的夹角即为线面角，在直角三角形中计算；②向量法，求出直线方向向量与平面法向量，由公式计算. 【典例01】[2026·上海静安·二模]在代表我国古代数学成就的经典著作《九章算术》中，称如下图中的多面体为“刍（chu）甍（meng）”．若底面是边长为4的正方形，，且，和是等腰直角三角形，，则与底面所成角的正弦值为______． 【典例02】[2026·上海长宁·二模]如图，是圆锥顶点，是底面圆心，点、在底面圆周上，，. (1)若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积； (2)若直线与平面所成角为，求二面角的平面角的正切值 【典例03】[2026·上海黄浦·二模]如图，在直三棱柱中，点、分别是棱、上的点（点异于点），且． (1)求证：平面平面； (2)若是正三角形，，且三棱柱的体积是三棱锥的体积的倍，求与平面所成的角的大小． 重点11 面面垂直的判定 【典例01】[2025·上海嘉定·一模]如图，在四面体中，，从顶点作平面的垂线，垂足恰好落在的中线上. (1)如果，直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的大小； (2)证明：平面平面 【典例02】[2026·上海·三模]在四棱锥中，底面为等腰梯形，平面底面，其中，，，，点E为中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小. 【典例03】[2025·上海金山·一模]如图，已知圆锥，点在底面圆周上，，且，动点 落在劣弧上． (1)求证：平面平面； (2)若点 平分劣弧，过点 分别作，垂足分别为两点，求二面角的大小． 重点12 二面角 二面角的求解方法 （1）几何法：利用三垂线定理作二面角的平面角，在三角形中计算角度，适用于结构规则的几何体。 （2）向量法：建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量 ，由公式 计算，再根据图形判断二面角的锐钝。 找平面角的技巧 找二面角的平面角时，优先在棱上取特殊点，分别在两个平面内作棱的垂线。若其中一个平面内有已知的垂线，可用三垂线定理直接构造。遇到翻折类题型，注意翻折前后垂直于棱的直线的夹角即为二面角的平面角，是常用的隐含条件。 【典例01】[2025·上海闵行·一模]如图，三棱锥中，侧面PAC与底面ABC都是以AC为斜边的等腰直角三角形， 为AC中点． (1)求证： (2)若，求二面角的大小． 【典例02】[25-26高三下·上海·阶段检测]如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，平面． (1)证明：平面平面； (2)若线段上存在一点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角大小． 【典例03】[2026·上海虹口·三模]如图，已知正四棱柱的底面边长为2，高为4．   (1)求正四棱柱的侧面积；并求二面角的余弦值； (2)若棱上的点满足，点是线段（含端点和）上的动点，求证：恒成立． 重点13 线面垂直的性质 【典例01】[2025·上海长宁·二模]如图，等腰直角三角形ABC中，，点E是边AC的中点，点D是边BC上一点（不与C重合），将三角形DCE沿DE逆时针翻折，点C的对应点是，连接，设为二面角大小，．在翻折过程中，下列说法当中不正确的是（   ） A．存在点D和，使得 B．存在点D和，使得 C．存在点D和，使得 D．存在点D和，使得 【典例02】[2026·上海·三模]如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，，点O是AB的中点． (1)求证：； (2)求直线CP与平面POD所成角的大小． 【典例03】[2026·上海杨浦·模拟预测]如图，在正三棱台中，，，点为的重心． (1)求证：． (2)求：直线与平面所成角的大小． 【典例04】[2025·上海虹口·一模]如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，点为中点. (1)若点是线段上的动点，求证：直线与直线不相交； (2)若平面，，，求点到平面的距离. 重点14 面面垂直的性质 【典例01】如图，在多面体中，平面平面，四边形是直角梯形，，，，且． (1)证明：平面． (2)求多面体的体积． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【典例02】如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． (1)证明：； (2)若点是中点，求点到平面的距离． 【典例03】[2025·上海长宁·二模]如图，在直三棱柱中，，点D是棱的中点． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离以及三棱锥的体积． 方法技巧一 多面体与球体内切外接问题 外接球核心思路为找球心、定半径，先找底面多边形的外心，过外心作底面的垂线，球心必在该垂线上，结合顶点到底面的距离，由（为球心到底面距离，为底面外接圆半径）列方程求解.内切球通用等体积法，由变形得算半径.正棱柱、正棱锥等规则几何体可直接套用模型结论，快速定位球心简化计算. 【典例01】（2025·上海浦东新·三模）已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且，，，．若点到底面的距离为1，则球的表面积为（    ）． A． B． C． D． 【典例02】（2025·上海浦东新·模拟预测）将一个圆心角为、面积为的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为_________． 【典例03】（2025·上海黄浦·三模）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则该鳖臑的体积为________． 方法技巧二 证明异面直线垂直 核心思路是将异面垂直转化为线面垂直，是空间垂直证明的常用题型.优先采用线面垂直法：证明其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面，再由线面垂直的性质推得两直线垂直；也可通过平移法将异面直线转化为共面直线，证明相交垂直；向量法可计算两直线方向向量的数量积，由数量积为0直接判定垂直.解题优先选择线面垂直路径，构造清晰的垂直关系链. 【典例01】[2026·上海浦东新·三模]如图，在圆台中，上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，圆台的侧面积为．是圆的一条弦，．是圆台的一条母线． (1)若，证明：； (2)若是圆的直径，求二面角的正切值． 【典例02】[2026·上海奉贤·二模]在四棱锥中，四边形是菱形，，，，点F为的中点，点E为上的点，，，平面与棱交于点G． (1)求证：异面直线与垂直； (2)当时，求与底面所成的线面角大小． 【典例03】[2024·上海静安·一模]如图所示，正三棱锥的侧面是边长为2的正三角形. (1)求正三棱锥的体积； (2)设分别是线段的中点. 求证：①平面；②若平面交于点，则四边形是正方形. 方法技巧三 求异面直线所成的角 异面直线所成角的取值范围为，常用两种方法求解.一是平移法：选取特殊点平移异面直线，使其相交于一点，在构造的三角形中计算夹角，取锐角或直角作为结果；二是向量法：分别取两直线的方向向量，由计算夹角的余弦值.解题注意角度范围，最终结果必须取0到之间的角. 【典例01】[2025·上海虹口·一模]如图，已知点在表面积为的球的球面上，且，平面，点为中点，当二面角的大小为时，则有（ ） A．异面直线和所成角的大小为 B．直线与平面所成角的大小为 C． D．的面积为 【典例02】[2026·上海·二模]在正四棱台中，，，异面直线与所成角为，设二面角的大小为，则________． 【典例03】[2024·上海宝山·一模]如图，四棱锥中，底面 为矩形，，且该四棱锥的体积为.   (1)证明：平面底面 ； (2)求异面直线和 所成角的余弦值. 方法技巧四 由线面角的大小求值 该类题型以线面角为已知条件，反求几何体的边长、高、体积等未知量，核心是线面角的定义转化.解题先找到直线在平面内的射影，确定线面角所在的直角三角形，由（为垂线段长，为斜线段长）建立边长与角度的方程；代入已知角度解出未知边长，进而求解体积、长度等目标量.关键是抓住垂线段长度不变，将角度条件直接转化为线段比例关系. 【典例01】[2025·上海长宁·一模]如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，直线与平面所成的角的大小为． (1)求四棱锥的体积； (2)点在线段上，直线平面，求二面角的余弦值． 【典例02】[2024·上海嘉定·一模]如图所示，在三棱柱中，，侧面底面，点分别为梭和的中点. (1)若底面为边长为2的正三角形，且，侧棱与底面所成的角为，求三棱柱的体积； (2)求证：平面. 方法技巧五 线面垂直证明线线垂直 这是空间垂直关系推导的核心转化逻辑，广泛应用于异面垂直证明、空间角构造等场景.基本路径：先证明其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面，再由线面垂直的性质定理——若，则，直接推导线线垂直.构造线面垂直时，常借助等腰三角形三线合一、勾股定理逆定理、面面垂直性质定理得到线线垂直，满足＂两条相交直线＂条件后完成推导. 【典例01】[2025·上海杨浦·模拟预测]如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面. (1)求证:直线； (2)求直线与平面所成角的大小. 【典例02】[2025·上海宝山·二模]如图，在四面体中，是边长为的正三角形，且. (1)证明：； (2)若是的中点，且二面角的大小为，求与平面所成角的大小. 【典例03】[2025·上海嘉定·二模]如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，，． (1)若AD平面PBC，证明：； (2)在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特殊的三棱锥——鳖臑，其四个面均为直角三角形，找出本题图中的一个鳖臑，并计算它的体积和表面积． 易错点01 计算组合体表面积时易忽视重叠部分 组合体拼接处的面相互遮挡，不属于外表面，直接累加各几何体表面积会重复计算重叠面，常见于棱柱与棱台拼接、古建筑类组合体的表面积计算. 避坑技巧：先明确组合体的外露面，拼接重叠的两个面均需全额扣除；分别计算各几何体的侧面积与外露底面积，再合并求和.正棱台斜高斜高：（为下底边长，为上底边长，为棱台的高）.表面积计算遵循＂不露不算、重叠扣除＂原则，遇＂不含底面＂的组合体，需对应减去封闭底面的面积. 【典例01】下图是正三棱柱和正四棱台的组合体.已知正四棱台的侧棱、下底的长度分别为4、6，侧面与底面所成二面角的正切值均为，则该组合体的表面积为_____. 【典例02】中国的古建筑榫卯咬合、斗拱层叠，不用一钉一铆，却撑起千年不倒的殿宇廊檐．攒尖是中国古建筑中屋顶常见的一种结构形式，它可以看作是正三棱柱和不含下底面的正四棱台的组合体，如图．已知图中正四棱台上底、下底的长度分别为米，米，侧棱长为5米，正三棱柱各棱长均相等，则该结构的体积为______立方米． 【典例03】中国古代的建筑形式多样，如赫赫有名的苏州园林（如图1），其几何模型可以简化为如图2所示的几何体，其中是长方体，且，，是棱台，侧面的梯形均为等腰梯形，，棱台的高为2，则该几何体的表面积为（   ）    A． B． C． D． 【典例04】如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（    ）    A． B． C． D． 易错点02 判断线面垂直时忽视平面内两条直线需要相交 核心错因是套用线面垂直判定定理时，忽略＂两条直线必须相交＂的前提条件，仅由两条直线分别垂直就误判线面垂直，常见于空间位置关系命题辨析选择题。 避坑技巧：牢记线面垂直判定定理： ，＂两直线相交＂是必备条件。解题时逐项验证定理完整条件，缺相交条件的命题直接判定为假；可借助正方体模型构造反例，直观验证平行直线无法推出线面垂直。 【典例01】设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【典例02】空间中，设、是两条直线，、是两个平面，下列命题中，正确的是（    ） A．对于空间中的直线，若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若直线上存在两点到平面的距离相等，则 易错点03 忽略对空间角取值范围的讨论 核心错因是计算出三角函数值后，直接默认取锐角结果，忽略二面角、异面直线所成角等空间角的取值范围，导致漏解、多解或角度范围错误，常见于二面角求解、翻折类空间角计算. 避坑技巧：熟记各类空间角的取值范围：异面直线所成角，线面角，二面角.计算出三角函数值后，结合角度范围确定最终结果；翻折类二面角注意区分锐角与钝角两种可能，结合向量方向或几何图形特征判断取角. 【典例01】已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段，分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，，则这个二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【典例02】直角坐标系中直线上的横坐标分别为的两点A、B，沿轴将坐标平面折成大小为的二面角，若折叠后A、B两点间的距离是6，则的大小为（    ） A． B． C． D． 优题精练·专题实战通关 [2026·上海·模拟预测]已知圆柱的底面半径为3，侧面积为，则此圆柱的体积为__________． [2026·上海·二模]已知一个直三棱柱的侧棱长为2，底面面积为2，则该三棱柱的体积为________． [2026·上海普陀·二模]在中，，，过点A作直线，将绕直线l旋转一周所得到的几何体记为Ω，若Ω的体积是，则Ω的表面积为______. [2026·上海杨浦·模拟预测]如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，水面高度.将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 __________. [2026·上海·三模]已知点为平面直角坐标系内的圆上的动点，定点，现将坐标平面沿轴折成的二面角，使点翻折至，则两点间距离的最大值是______． [25-26高一下·云南普洱·期中]一个正方体的展开图如图所示，若将它还原为正方体，则（   ）    A． B． C． D． [2026·上海杨浦·模拟预测]圆锥的底面半径为12，高为12，现于圆锥内放置一个圆柱，使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合，则该圆柱体积的最大值为（   ） A．64 B．128 C．144 D．256 [2026·上海·一模]将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”，则下列命题中不是“可换命题”的有（    ） A．过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 B．垂直于同一平面的两条直线平行 C．平行于同一直线的两条直线平行 D．平行于同一平面的两直线平行 [2026·上海浦东新·三模]如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（   ） A．直线与直线始终异面 B．直线与直线始终垂直 C．存在点使得直线与平面垂直 D．直线与平面始终平行 [2026·上海·三模]在三棱锥中，平面平面，，，是棱的中点，在棱上，且 平面． (1)证明：是棱的中点； (2)证明：平面，并求三棱锥的体积． 2 / 129 学科网（北京）股份有限公司 $