专题11 等比数列（知识清单）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题11 等比数列 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 基础梳理・自主夯基 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 考点01 等比数列的有关概念 考点02 等比数列的有关公式 考点03 常用结论 1 / 78 学科网（北京）股份有限公司 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 高考解密・母题探究 题型01 等比数列通项公式的基本量计算 题型02 等比数列的概念与判定 题型03 由等比数列中若干项求通项公式或其中的项 重点突破・考法深研 重点01 等比数列前n项和的基本量计算 重点02 由递推关系证明等比数列 重点03 等比中项的应用 技法提炼・审题点拨 方法点拨01 等比数列的定义 方法点拨02 写出等比数列的通项公式 方法点拨03 由定义判定等比数列 易错剖析・避坑攻略 易错点01 求等比数列前n项和 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01等比数列的有关概念 1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为； 2.等比中项：如果a, G, b成等比数列，那么叫做与的等比中项，即是与的等比中项成等比数列。 注：只有当两个项同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个。 对于下列两个命题真假的判断的正确选项是（    ） 命题甲：存在某个等差数列同时含有三项． 命题乙：存在某个等比数列同时含有三项． A．甲真乙假 B．甲假乙真 C．甲乙都真 D．甲乙都假 设数列是首项为，公差为的等差数列. (1)若，求数列的前项和； (2)记，证明数列是等比数列；并求出当时，数列的前项和. 如果一个数列从第______项起，每一项与其前一项的______都等于______非零常数，这个数列就叫做等比数列，而这个常数叫做等比数列的______． 考点02等比数列的有关公式 1.通项公式：； 2.前项和公式： 注：当时，，若十，则 3.无穷递缩等比数列的各项和公式 （26-27高三上·上海普陀·开学考试）若等比数列的前项和为，且，，则________． 已知为递增等比数列，其前项和为，若，，则_____ 已知数列为递减的等比数列，且，则公比___________． 考点03常用结论 （1）若且均，则； （2）若（项数相同）是等比数列，则仍是等比数列； （3）在等比数列中，等距离取出若干项依次构成一个等比数列，即，为等比数列，公比为； （4）为等比数列，若，则成等比数列； （5）当时，是成等比数列的充要条件，此时; （6）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，等于中间项的平方． 素养进阶·答题技法突破 题型01 等比数列通项公式的基本量计算 考情定位：上海高考基础必考点，以选择填空基础题、解答题第一问计算为主，难度中等偏低，单题分值4－6分；同时作为核心计算工具，贯穿等比数列求和、递推证明、综合应用等大题的运算与推导。 核心考法：1利用通项公式与基本量关系直接计算，求解数列的指定项、首项或公比；2结合两项条件、等比中项条件，通过联立方程组求解首项与公比；3逆用通项公式的指数特征，结合方程、不等式考查参数取值与项数判定。 解题要点：1先观察条件形式，两项已知优先列方程组，中项条件优先用性质转化，合理选择运算路径；2求公比必先理清项数与幂次的对应关系，注意公比多解与数列非零的隐含条件；3参数范围问题优先转化为关于公比的指数方程或不等式，正向计算与性质逆用灵活切换。 （2026·上海黄浦·二模）在公比q为正数的等比数列中，，，则q的值为______． （2025·上海·模拟预测）设为各项均为正数的等比数列的前项和，若，则________． （2026·上海闵行·二模）已知等比数列的公比为，若，则的取值范围是______. 题型02 等比数列的概念与判定 考情定位：上海高考等比数列模块的入门基础考点，以选择题辨析形式考查为主，单题分值4分，难度低，属于基础必拿分题型；核心考查对等差、等比数列定义的精准理解，是后续性质运算与综合应用的概念基础。 核心考法：给出多组数列，辨析数列是否为等差数列、是否为等比数列，或判断同时满足两类数列特征的选项，重点围绕常数列、摆动数列等特殊数列的属性设置干扰项。 解题要点： 1．严格紧扣定义判断：等差数列满足「后项减前项为定值公差」；等比数列满足「后项比前项为非零定值公比」，且等比数列任意一项不能为0。 2．牢记结论快速排除：非零常数列既是等差数列也是等比数列；正负交替的摆动数列仅为等比数列；均匀递增／递减的数列仅为等差数列。 【典例01】（2026•上海）下列数列中是等差数列也是等比数列的是（　　） A．1，，1，，1 B．1，2，3，4，5 C．5，5，5，5，5 D．1，2，3，5，7 1，2，3，5，7既不是等差数列也不是等比数列，故错误． 故选：． 题型03 由等比数列中若干项求通项公式或其中的项 考情定位：上海高考等比数列核心计算考点，以填空题直接计算为主，单题分值 分，难度中等偏低；是等比数列最基础的计算题型，也是数列求和、递推证明、综合大题的运算根基。 核心考法：已知等比数列的两项或多项条件，利用通项公式或数列性质，求解指定项、首项或公比，侧重考查基本量运算与性质的灵活运用。 解题要点： 1．优先用性质简化运算：已知两项的下标存在和差对应关系时，优先利用等比数列的下标和性质、等比中项性质直接推导结课，无需单独求解首项与公比。 2．基本量法通用求解：设首项 和公比 ，结合通项公式 列方程组计算，注意理清项数与指数的对应关系，避免幂次计算出错。 【典例01】（2026•上海）已知数列是等比数列，且，，则　 　 ． 重点01 等比数列前n项和的基本量计算 等比数列前项和的基本量计算方法 ①核心遵循＂基本量方程化＂原则，将求和运算转化为首项、公比等基本量的方程运算，利用求和公式建立关系推导，是等比数列前n项和问题的通用转化方法。 ②对于含已知条件的等比数列求和计算，先根据已知项与参数的类型选定对应求和公式，先判断公比是否为1再分类展开，拆解为关于首项、公比或项数的运算，代入条件计算后得到前n项和结果。 （3）记住下列公式： ①当时，； ②当时，。 （4）若已知等比中项、下标和等性质条件，则可先利用性质简化运算。其中为首项，为公比，为项数，可结合等比数列的性质结论直接简化求和计算，全程注意公比为1的特殊情况单独验证。 （2025·上海青浦·三模）已知数列的前项和为，若，则不可能是（    ） A．公差大于0的等差数列 B．公差小于0的等差数列 C．公比大于0的等比数列 D．公比小于0的等比数列 （2025·上海嘉定·二模）已知等比数列的首项为1，公比为q，其前n项和为．若，则q的取值范围为______． （2025·上海黄浦·二模）已知等比数列为严格增数列，其前项和为若，，则该数列的公比为________． （2025·上海·模拟预测）已知为等比数列，其前项和为，若，则其公比__________. 重点02 由递推关系证明等比数列 由递推关系证明等比数列的方法 （1）核心遵循＂递推定义化＂原则，将递推关系转化为相邻项比值为定值的推导，利用等比数列定义严谨论证，是递推型等比证明的通用转化方法。 (2)对于含线性运算的递推式证明，先对目标递推式变形构造新数列，展开后拆解为新数列相邻项的比值为非零常数，代入条件验证后还原证明原数列的等比属性。 （3）记住下列核心结论： ①为等比数列； ②形如，可构造为等比数列。 （4）若递推式含前n项和与通项的混合形式，则先利用消元转化。其中的首项情况需单独验证，可结合等比数列的定义全程验证数列的项均非零。 （2024·上海·三模）如图，已知正方体顶点处有一质点，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点的初始位置位于点A处，记点移动次后仍在底面上的概率为． (1)求； (2)证明：数列是等比数列；若，求的最大值． （2024·上海·三模）某集团投资一工厂，第一年年初投入资金5000万元作为初始资金，工厂每年的生产经营能使资金在年初的基础上增长50%．每年年底，工厂向集团上缴万元，并将剩余资金全部作为下一年的初始资金，设第n年的初始资金为万元． (1)判断是否为等比数列？并说明理由； (2)若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用，则工厂在这一年转型升级．设，则该工厂在第几年转型升级？ （2026·上海·二模）班主任小明查阅了某大学发表的一项本市高三学生手机使用情况的研究报告.报告指出，高三学生每周手机使用时长（单位:小时）总体上服从正态分布. (1)小明老师将自己所带班级（共50名学生）视为从本市高三学生总体中随机抽取的一个样本，能以此正态分布模型估算出全班每周平均手机使用时长超过16小时的人数，在此估算基础上若在全班任选3位同学，则至少有2位同学的每周手机使用时长超过16小时的概率是多少?（结果用最简分数表示） 参考数据:若，则. (2)小明老师发现小虹同学每周手机使用时长超过16小时，对其进行疏导劝解，并跟进统计出之后5周小虹每周手机使用时长与该周数学练习得分（每周练习的难度相同且满分均为150分），制成表1.以这5组数据建立回归方程.请求出实数的值 表1 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 手机使用时长 20 18 22 16 14 练习得分 80 88 73 92 m (3)受到鼓励的小虹制定了寒假复习计划表递交给小明老师，严格控制手机使用时长.小明老师统计发现该计划表中若第n天能复习时长超过5小时（记为“高效复习”），则第天也能“高效复习”的概率为;若第天不能“高效复习”，则第天还能“高效复习”的概率为.设（，为正整数）表示第天能“高效复习”的概率，，若表示复习计划表第天有效.求证:数列是等比数列，并说明小虹的该复习计划表是否在寒假每一天均有效. 重点03 等比中项的应用 等比中项的应用方法 （1）核心遵循＂中项等量转化＂原则，将项间关系运算转化为等比中项的平方等量运算，利用等比中项性质建立等式推导，是等比数列项间关系问题的通用转化方法。 （2）对于含对称下标、三项成等比的数列计算，先定位对应中项与两端项，拆解为两项乘积等于中项平方的等量关系，代入条件计算后求解目标项或参数。 （3）记住下列公式： ①若a, G, b成等比数列，则； ②若，则。 （4）若遇到连续多项成等比、多组等比关系的场景，则可利用中项性质批量代换简化运算。其中数列各项均不为零，可结合等比数列的下标性质直接简化乘积计算，全程注意等比中项的正负双解验证。 （2025·上海浦东新·三模）已知，，，，是各项均为实数的等比数列，则__________ （2025·上海杨浦·一模）等差数列的公差不为，前项和为，若，，成等比数列，则______. （2025·上海闵行·一模）已知是等比数列，若、是函数的两个零点，则________ （2026·上海奉贤·二模）已知函数的表达式为，． (1)，求的值； (2)若，，依次成等比数列，求的值． 方法点拨01 等比数列的定义 1．定义应用原侧：处理等比数列判定与推导问题，先紧扣等比定义明确公比与各项非零的前提，再进行比值验证与递推推导，从根源简化后续等比判定与通项的运算。 2．定义判定技巧：依托等比数列的定义内涵，将判定目标拆解为相邻两项的比值为非零常数，通过作商法完成等比数列的标准判定。 3．递推转化变形：遇到相邻项递推式、乘积式的结构，对应利用等比数列定义转化为公比定值，通过迭代递推、比例变形推导数列的等比属性。 4．首项校验思路：求解含递推关系、分段型的等比判定题，巧用＂首项回验法＂（验证首项符合比值规侧）推导，搭配特值检验思想快速确认结论，最后验证数列各项均不为零的适用范围。 （2026·上海·三模）已知，则等比数列的公比为（     ） A． B． C． D． （2024·上海长宁·一模）数列为严格增数列，且对任意的正整数n，都有，则称数列满足“性质Ω”． ①存在等差数列满足“性质Ω”； ②任意等比数列，若首项，则满足“性质Ω”； 下列选项中正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题； B．①是真命题，②是假命题； C．①是假命题，②是真命题； D．①是假命题，②是假命题． （2026·上海·模拟预测）已知数列满足，若，则__________． （2025·上海宝山·三模）把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为（是正整数），为的导函数.记，. (1)若，求证：是等比数列； (2)若，是否存在正数，使得； (3)已知在上有最小值，求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 方法点拨02写出等比数列的通项公式 1．通项构建原则：处理等比数列通项书写问题，先确定首项与公比两个核心基本量，再按指数递推规律构建通项表达式，从根源简化后续通项的书写与代入运算。 2．基本量书写技巧：依托等比数列的定义递推关系，将目标通项拆解为首项与公比幂次的乘积形式，通过累乘迭代完成通项公式的标准书写。 3．下标转化变形：遇到已知任意项、下标差的结构，对应利用通项推广式转化书写形式，通过下标代换、幂次运算变形推导不同形式的通项公式。 4．构造书写思路：求解含递推关系、构造型的等比数列通项题，巧用＂构造新数列法＂（变形递推式得到标准等比数列）推导，搭配基本量回代思想快速写出通项，最后验证首项与通项的适用范围。 （2025·上海闵行·二模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，若，则实数的取值范围为______． （2024·上海·三模）设，．若存在公比的无穷等比数列，使得对任意正整数都成立，则的取值范围是________． （2026·上海杨浦·模拟预测）已知数列满足，，则数列前2026项的和为__________． （2025·上海·模拟预测）已知数列为等差数列，是公比为的等比数列，且 (1)证明:; (2)若集合，求集合中所有元素的和. 方法点拨03 由定义判定等比数列 1．定义优先原则：处理等比数列判定问题，先紧扣等比数列定义明确公比为非零常数的核心前提，再进行相邻项的比值验证，从根源简化后续等比判定的推导与运算。 2．作商判定技巧：依托等比数列的定义式，将判定目标拆解为后项比前项的定值验证，通过作商法完成等比数列的标准判定。 3．递推转化变形：遇到递推式、和通项混合的结构，对应利用等比数列定义转化为比值关系，通过递推作商、消元变形推导数列的等比属性。 4．首项回验思路：求解含前n项和、分段型的等比判定题，巧用＂首项回验法＂（验证首项符合整体比值规律）推导，搭配的递推推导完整结论，最后验证数列各项均不为零的适用范围。 （2025·上海黄浦·三模）已知数列各项为正，满足，m、n是正整数，是等比数列，则P是Q的（   ） A．充分必要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件． （2026·上海·一模）若直线的方向向量为，平面的一个法向量，若构成的数列既是等差数列，又是等比数列，则直线与平面的位置关系为__________. （2025·上海静安·模拟预测）定义函数，对于数列，若，则称 为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”． (1)已知，为函数的“生成数列”，求数列的前n项和； (2)已知，为函数的“源数列”，求证：对任意正整数n，均有； (3)已知，为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 易错点01 求等比数列前n项和 易混易错提醒：等比数列前n项和应用类题型，直接求和计算题先明确求和公式分公比等于1与公比不等于1两类形式，牢记公比为1时不能套用分式型求和公式，再按分类规则逐步代入计算；含参数公比的综合题先由等比数列定义分析公比的取值限制与公式中指数的对应关系，明确不能随意默认公比不为1而省略分类讨论，全程遵循＂分类先行＂原则，从源头避免求和公式误用。 （2025·上海·模拟预测）有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球．若第一局中甲先摸球，记第n局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（   ） ①； ②． A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 （2025·上海·三模）已知数列的通项公式为（为正整数），则数列的前项和的最小值为________. （2025·上海杨浦·二模）由若干个多边形所覆盖的区域，称为这些多边形的并集，例如图中，梯形是与矩形的并集.已知是正整数，在平面直角坐标系中，直线的方程为，若直线交轴于点，交轴于点，则的并集，其面积为__________.    （2025·上海松江·二模）已知函数，当时函数取得最大值4，记. (1)求函数的表达式； (2)若数列为等差数列，，记，求数列的前项和. 优题精练·专题实战通关 （2025·上海青浦·二模）设是首项为，公比为q的等比数列的前项和，且，则（    ）． A． B． C． D． （2025·上海普陀·二模）设是数列的前项和，若数列满足：对任意的，存在大于1的整数，使得成立，则称数列是“数列”.现给出如下两个结论：①存在等差数列是“数列”；②任意等比数列都不是“数列”.则（    ） A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立 （2026·上海闵行·模拟预测）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“攀登数列”．有下列命题： ①存在递增数列，使得它是“攀登数列”； ②存在周期数列，使得它是“攀登数列”； ③存在等差数列，使得它是“攀登数列”； ④若数列为公比为的等比数列，对于任意，存在，使得为攀登数列． 其中所有正确命题的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ （2025·上海闵行·三模）设是等比数列的前项和，若，，则_________. （2024·上海普陀·二模）设，，是正整数，是数列的前项和，，，若，且，记，则______. （2026·上海崇明·二模）已知首项为1的等比数列满足对任意的正整数m，n都有，则等比数列的公比q的取值范围是________． （2024·上海奉贤·一模）已知函数，其中（常数且）． (1)若函数的图象过点，求关于的不等式的解集； (2)若存在，使得数列是等比数列，求实数的取值范围. （2025·上海奉贤·二模）函数，其中，定义域是一切实数． (1)计算的值并指出其几何意义； (2)当时，方程只有一个解，求实数的取值范围； (3)设，，，，，．求证：． （2025·上海静安·一模）如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数. ①对任意的，有； ②对于任意的，若，则. 求证： (1)是型函数； (2)型函数在上为增函数； (3)对于型函数，有（为正整数）. 2 / 22 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 等比数列 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 基础梳理・自主夯基 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 考点01 等比数列的有关概念 考点02 等比数列的有关公式 考点03 常用结论 1 / 78 学科网（北京）股份有限公司 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 高考解密・母题探究 题型01 等比数列通项公式的基本量计算 题型02 等比数列的概念与判定 题型03 由等比数列中若干项求通项公式或其中的项 重点突破・考法深研 重点01 等比数列前n项和的基本量计算 重点02 由递推关系证明等比数列 重点03 等比中项的应用 技法提炼・审题点拨 方法点拨01 等比数列的定义 方法点拨02 写出等比数列的通项公式 方法点拨03 由定义判定等比数列 易错剖析・避坑攻略 易错点01 求等比数列前n项和 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01等比数列的有关概念 1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为； 2.等比中项：如果a, G, b成等比数列，那么叫做与的等比中项，即是与的等比中项成等比数列。 注：只有当两个项同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个。 对于下列两个命题真假的判断的正确选项是（    ） 命题甲：存在某个等差数列同时含有三项． 命题乙：存在某个等比数列同时含有三项． A．甲真乙假 B．甲假乙真 C．甲乙都真 D．甲乙都假 【答案】D 【分析】利用等差数列和等比数列的定义进行判断. 【详解】对于命题甲：假设存在等差数列， 设这三项对应的项数分别为，公差为， 则 两式相除得：， 又为无理数， 右边，所以假设不成立，故命题甲为假命题； 对于命题乙：假设存在等比数列， 设这三项对应的项数分别为，公比为， 则，， 不妨设，则， 可得，， 两边分别取以为底的对数，得，， 若，则，矛盾； 若，则， 两式相除得：， 即， 因为为互不相等的正整数，所以为有理数，而为无理数， 有理数不可能等于无理数，产生矛盾。 所以假设不成立， 故命题乙是假命题； 故选：D 设数列是首项为，公差为的等差数列. (1)若，求数列的前项和； (2)记，证明数列是等比数列；并求出当时，数列的前项和. 【答案】(1) (2) 已知，则，那么， 因为是等差数列，所以，则，由于为常数，所以为常数，且， 根据等比数列的定义可得数列是以为首项，为公比的等比数列； 当时，等比数列的首项，公比， 得：， 因此，数列是以为首项，为公比的等比数列；当时，数列的前项和. 【分析】（1）先根据等差数列的通项公式求出公差，再利用等差数列的前n项和公式求出； （2）根据等比数列的定义，证明为常数；再根据等比数列的前项和公式求出. 【详解】（1）已知数列是首项，公差为的等差数列，可得， 因为，所以，解得， 根据等差数列的前项和公式可得：， 因此，数列的前项和； （2）略 如果一个数列从第______项起，每一项与其前一项的______都等于______非零常数，这个数列就叫做等比数列，而这个常数叫做等比数列的______． 【答案】 2； 比； 同一个； 公比. 【分析】略 【详解】略 考点02等比数列的有关公式 1.通项公式：； 2.前项和公式： 注：当时，，若十，则 3.无穷递缩等比数列的各项和公式 （26-27高三上·上海普陀·开学考试）若等比数列的前项和为，且，，则________． 【答案】 【详解】设的公比为， 由得，解得 所以， 则. 已知为递增等比数列，其前项和为，若，，则_____ 【答案】81 【详解】设等比数列的公比为， 由题意可得，解得或， 又数列为递增等比数列，所以，所以. 已知数列为递减的等比数列，且，则公比___________． 【答案】/ 【分析】先根据等比数列的性质联立方程组，求出与的值，再结合数列的单调性确定与的具体取值，最后根据等比数列通项公式求出公比q即可. 【详解】因为为等比数列，且，所以， 又因为，则联立方程组得， 解得或， 因为递减，所以，且， 所以，则或（舍）． 故． 考点03常用结论 （1）若且均，则； （2）若（项数相同）是等比数列，则仍是等比数列； （3）在等比数列中，等距离取出若干项依次构成一个等比数列，即，为等比数列，公比为； （4）为等比数列，若，则成等比数列； （5）当时，是成等比数列的充要条件，此时; （6）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，等于中间项的平方． 素养进阶·答题技法突破 题型01 等比数列通项公式的基本量计算 考情定位：上海高考基础必考点，以选择填空基础题、解答题第一问计算为主，难度中等偏低，单题分值4－6分；同时作为核心计算工具，贯穿等比数列求和、递推证明、综合应用等大题的运算与推导。 核心考法：1利用通项公式与基本量关系直接计算，求解数列的指定项、首项或公比；2结合两项条件、等比中项条件，通过联立方程组求解首项与公比；3逆用通项公式的指数特征，结合方程、不等式考查参数取值与项数判定。 解题要点：1先观察条件形式，两项已知优先列方程组，中项条件优先用性质转化，合理选择运算路径；2求公比必先理清项数与幂次的对应关系，注意公比多解与数列非零的隐含条件；3参数范围问题优先转化为关于公比的指数方程或不等式，正向计算与性质逆用灵活切换。 （2026·上海黄浦·二模）在公比q为正数的等比数列中，，，则q的值为______． 【答案】/ 【分析】根据题意结合等比数列性质运算求解即可. 【详解】因为，，则， 且，所以. （2025·上海·模拟预测）设为各项均为正数的等比数列的前项和，若，则________． 【答案】 9 【分析】先利用等比数列通项公式化简已知等式求出公比，再结合等比数列前项和公式化简所求比值后代入计算结果. 【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为，则，首项， 因为，，所以由得，又，则整理得 ， 解得或，又，故， 则. （2026·上海闵行·二模）已知等比数列的公比为，若，则的取值范围是______. 【答案】. 【详解】根据题意可知，即或. 因为，所以. 所以. 故取值范围为. 题型02 等比数列的概念与判定 考情定位：上海高考等比数列模块的入门基础考点，以选择题辨析形式考查为主，单题分值4分，难度低，属于基础必拿分题型；核心考查对等差、等比数列定义的精准理解，是后续性质运算与综合应用的概念基础。 核心考法：给出多组数列，辨析数列是否为等差数列、是否为等比数列，或判断同时满足两类数列特征的选项，重点围绕常数列、摆动数列等特殊数列的属性设置干扰项。 解题要点： 1．严格紧扣定义判断：等差数列满足「后项减前项为定值公差」；等比数列满足「后项比前项为非零定值公比」，且等比数列任意一项不能为0。 2．牢记结论快速排除：非零常数列既是等差数列也是等比数列；正负交替的摆动数列仅为等比数列；均匀递增／递减的数列仅为等差数列。 【典例01】（2026•上海）下列数列中是等差数列也是等比数列的是（　　） A．1，，1，，1 B．1，2，3，4，5 C．5，5，5，5，5 D．1，2，3，5，7 【答案】 【分析】直接由等差数列与等比数列的定义判断． 【解答】解：数列1，，1，，1是等比数列，不是等差数列，故错误； 数列1，2，3，4，5是等差数列，不是等比数列，故错误； 数列5，5，5，5，5既是等差数列，又是等比数列，故正确； 1，2，3，5，7既不是等差数列也不是等比数列，故错误． 故选：． 【点评】本题考查等差数列与等比数列的定义，是基础题． 题型03 由等比数列中若干项求通项公式或其中的项 考情定位：上海高考等比数列核心计算考点，以填空题直接计算为主，单题分值 分，难度中等偏低；是等比数列最基础的计算题型，也是数列求和、递推证明、综合大题的运算根基。 核心考法：已知等比数列的两项或多项条件，利用通项公式或数列性质，求解指定项、首项或公比，侧重考查基本量运算与性质的灵活运用。 解题要点： 1．优先用性质简化运算：已知两项的下标存在和差对应关系时，优先利用等比数列的下标和性质、等比中项性质直接推导结课，无需单独求解首项与公比。 2．基本量法通用求解：设首项 和公比 ，结合通项公式 列方程组计算，注意理清项数与指数的对应关系，避免幂次计算出错。 【典例01】（2026•上海）已知数列是等比数列，且，，则　 　 ． 【答案】54． 【分析】结合等比数列的性质即可求解． 【解答】解：数列是等比数列，且，， 由题意，． 故答案为：54． 【点评】本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题． 重点01 等比数列前n项和的基本量计算 等比数列前项和的基本量计算方法 ①核心遵循＂基本量方程化＂原则，将求和运算转化为首项、公比等基本量的方程运算，利用求和公式建立关系推导，是等比数列前n项和问题的通用转化方法。 ②对于含已知条件的等比数列求和计算，先根据已知项与参数的类型选定对应求和公式，先判断公比是否为1再分类展开，拆解为关于首项、公比或项数的运算，代入条件计算后得到前n项和结果。 （3）记住下列公式： ①当时，； ②当时，。 （4）若已知等比中项、下标和等性质条件，则可先利用性质简化运算。其中为首项，为公比，为项数，可结合等比数列的性质结论直接简化求和计算，全程注意公比为1的特殊情况单独验证。 （2025·上海青浦·三模）已知数列的前项和为，若，则不可能是（    ） A．公差大于0的等差数列 B．公差小于0的等差数列 C．公比大于0的等比数列 D．公比小于0的等比数列 【答案】C 【分析】首先由题意可得，再利用等差数列及等比数列的前项和公式进行验证即可. 【详解】，，， 若数列是等差数列，设其公差为， ，，即， ，可正可负，可正可负； 若数列是等比数列，设其公比为， 若，则是公比为的等比数列，满足， 当时，若，则，，不成立， 若且，则，，不成立. 不可能是公比大于的等比数列. 故选：C. （2025·上海嘉定·二模）已知等比数列的首项为1，公比为q，其前n项和为．若，则q的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据等比数列的知识化简已知条件，从而求得正确答案. 【详解】依题意，，即， 所以. 故答案为： （2025·上海黄浦·二模）已知等比数列为严格增数列，其前项和为若，，则该数列的公比为________． 【答案】 【分析】设出等比数列公比，由题意建立方程，解方程并验根，可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，由，则，解得， 由，则，代入上式可得， 去分母可得，易知， 可得，分解因式可得， 易知，解得或， 当时，，则，单调递减，不合题意. 故答案为：. （2025·上海·模拟预测）已知为等比数列，其前项和为，若，则其公比__________. 【答案】 【分析】由等比数列求和公式代入即可求解； 【详解】由， 当时，显然不成立； 当时，可得， 即， 所以， 故答案为： 重点02 由递推关系证明等比数列 由递推关系证明等比数列的方法 （1）核心遵循＂递推定义化＂原则，将递推关系转化为相邻项比值为定值的推导，利用等比数列定义严谨论证，是递推型等比证明的通用转化方法。 (2)对于含线性运算的递推式证明，先对目标递推式变形构造新数列，展开后拆解为新数列相邻项的比值为非零常数，代入条件验证后还原证明原数列的等比属性。 （3）记住下列核心结论： ①为等比数列； ②形如，可构造为等比数列。 （4）若递推式含前n项和与通项的混合形式，则先利用消元转化。其中的首项情况需单独验证，可结合等比数列的定义全程验证数列的项均非零。 （2024·上海·三模）如图，已知正方体顶点处有一质点，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点的初始位置位于点A处，记点移动次后仍在底面上的概率为． (1)求； (2)证明：数列是等比数列；若，求的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值为,理由如下： ， 所以， 又因为，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； ，， 若，则，所以， 又，，，所以，的最大值为. 【分析】（1）每个顶点相邻的顶点有3个，其中2个在同一底面，据此计算概率即可； （2）根据题意先得出递推关系，再化简变形即可得数列是等比数列；求等比数列的通项，进而得到，再解不等式即可. 【详解】（1）依题意，每一个顶点有3个相邻的顶点，其中两个在同一底面， 所以当点在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为， 当点在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为， 所以，. （2）的最大值为，理由略. （2024·上海·三模）某集团投资一工厂，第一年年初投入资金5000万元作为初始资金，工厂每年的生产经营能使资金在年初的基础上增长50%．每年年底，工厂向集团上缴万元，并将剩余资金全部作为下一年的初始资金，设第n年的初始资金为万元． (1)判断是否为等比数列？并说明理由； (2)若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用，则工厂在这一年转型升级．设，则该工厂在第几年转型升级？ 【答案】(1)是等比数列，理由如下： 依题意，，， ，即， 而当，即时，不是等比数列； 当且时，数列是一个以为公比，为首项的等比数列. (2)9. 【分析】（1）根据给定条件，可得，再利用构造法推理得解. （2）由（1）的结论，取，再结合已知利用单调性解指数不等式即得. 【详解】（1）略 （2）当时，由（1）知数列是一个以为首项，为公比的等比数列， 则，即， 设第年转型升级，则，则， 数列是递增数列，，而，则， 所以该工厂在第9年转型升级. （2026·上海·二模）班主任小明查阅了某大学发表的一项本市高三学生手机使用情况的研究报告.报告指出，高三学生每周手机使用时长（单位:小时）总体上服从正态分布. (1)小明老师将自己所带班级（共50名学生）视为从本市高三学生总体中随机抽取的一个样本，能以此正态分布模型估算出全班每周平均手机使用时长超过16小时的人数，在此估算基础上若在全班任选3位同学，则至少有2位同学的每周手机使用时长超过16小时的概率是多少?（结果用最简分数表示） 参考数据:若，则. (2)小明老师发现小虹同学每周手机使用时长超过16小时，对其进行疏导劝解，并跟进统计出之后5周小虹每周手机使用时长与该周数学练习得分（每周练习的难度相同且满分均为150分），制成表1.以这5组数据建立回归方程.请求出实数的值 表1 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 手机使用时长 20 18 22 16 14 练习得分 80 88 73 92 m (3)受到鼓励的小虹制定了寒假复习计划表递交给小明老师，严格控制手机使用时长.小明老师统计发现该计划表中若第n天能复习时长超过5小时（记为“高效复习”），则第天也能“高效复习”的概率为;若第天不能“高效复习”，则第天还能“高效复习”的概率为.设（，为正整数）表示第天能“高效复习”的概率，，若表示复习计划表第天有效.求证:数列是等比数列，并说明小虹的该复习计划表是否在寒假每一天均有效. 【答案】(1) (2)100 (3)证明：由题意知， 所以 所以是以为公比的等比数列. 所以. 因为时，恒成立，所以. 所以小虹的该复习计划表在寒假每一天均有效. 【分析】（1）根据正态分布的性质和概率相关知识计算即可. （2）先求出的平均值，然后代入回归方程即可求出结果. （3）先根据题意列出递推式，然后证明数列是以为公比的等比数列，进而可根据等比数列的通项公式求出，并根据的范围证明结论即可. 【详解】（1）由题意知，因为. 所以任取1人使用手机超过16小时的概率为， 50名同学中有位超过16小时， 那么至少2位同学使用手机超过16小时的概率为. （2）由题意得，. 代入回归方程有，解得. （3）略 重点03 等比中项的应用 等比中项的应用方法 （1）核心遵循＂中项等量转化＂原则，将项间关系运算转化为等比中项的平方等量运算，利用等比中项性质建立等式推导，是等比数列项间关系问题的通用转化方法。 （2）对于含对称下标、三项成等比的数列计算，先定位对应中项与两端项，拆解为两项乘积等于中项平方的等量关系，代入条件计算后求解目标项或参数。 （3）记住下列公式： ①若a, G, b成等比数列，则； ②若，则。 （4）若遇到连续多项成等比、多组等比关系的场景，则可利用中项性质批量代换简化运算。其中数列各项均不为零，可结合等比数列的下标性质直接简化乘积计算，全程注意等比中项的正负双解验证。 （2025·上海浦东新·三模）已知，，，，是各项均为实数的等比数列，则__________ 【答案】 【分析】根据等比数列的基本性质，求出公比，求出数列的项 【详解】设等比数列公比为，则，所以，所以. 故答案为：. （2025·上海杨浦·一模）等差数列的公差不为，前项和为，若，，成等比数列，则______. 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，根据条件得，再利用等差数列的前项和公式及等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列， 则，所以，整理得到， 所以， 故答案为：. （2025·上海闵行·一模）已知是等比数列，若、是函数的两个零点，则________ 【答案】 【分析】首先利用韦达定理可得，再利用等比数列的性质即可求解. 【详解】由题意可知的两根为，，所以由韦达定理可知 ， 所以， 因为是等比数列，其通项满足 ，公比的平方 （若则，不符题意）， 所以 与 同号，故 ,又因为 ， 综上可得 . 故答案为：. （2026·上海奉贤·二模）已知函数的表达式为，． (1)，求的值； (2)若，，依次成等比数列，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，，得， 则. （2）由，，， 因成等比数列，故， 即，得； 若，，依次成等比数列，则； 所以，，又，故，此时，，依次 为，符合题意； 综上，. 方法点拨01 等比数列的定义 1．定义应用原侧：处理等比数列判定与推导问题，先紧扣等比定义明确公比与各项非零的前提，再进行比值验证与递推推导，从根源简化后续等比判定与通项的运算。 2．定义判定技巧：依托等比数列的定义内涵，将判定目标拆解为相邻两项的比值为非零常数，通过作商法完成等比数列的标准判定。 3．递推转化变形：遇到相邻项递推式、乘积式的结构，对应利用等比数列定义转化为公比定值，通过迭代递推、比例变形推导数列的等比属性。 4．首项校验思路：求解含递推关系、分段型的等比判定题，巧用＂首项回验法＂（验证首项符合比值规侧）推导，搭配特值检验思想快速确认结论，最后验证数列各项均不为零的适用范围。 （2026·上海·三模）已知，则等比数列的公比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，进而根据等比中项，结合对数的运算性质得，再代入计算公比即可. 【详解】因为为等比数列， 所以， 因为，， 令，则，整理得， 所以，，， 所以，该数列的公比为. （2024·上海长宁·一模）数列为严格增数列，且对任意的正整数n，都有，则称数列满足“性质Ω”． ①存在等差数列满足“性质Ω”； ②任意等比数列，若首项，则满足“性质Ω”； 下列选项中正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题； B．①是真命题，②是假命题； C．①是假命题，②是真命题； D．①是假命题，②是假命题． 【答案】B 【分析】根据等差数列基本量的计算即可判断①，根据等比数列为常数列时，即可判断②. 【详解】设等差数列的首项和公差分别为， 若等差数列满足“性质Ω”； 由可得，故，即，故只需要即可满足“性质Ω”；故①是真命题， 设等比数列的首项和公比分别为，则， 因此存在等比数列不满足“性质Ω”；故②是假命题 故选：B （2026·上海·模拟预测）已知数列满足，若，则__________． 【答案】 【分析】求出，得到为等比数列，结合无穷等比数列的求和公式求解即可. 【详解】，， 所以是以3为首项，为公比的等比数列， 所以. （2025·上海宝山·三模）把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为（是正整数），为的导函数.记，. (1)若，求证：是等比数列； (2)若，是否存在正数，使得； (3)已知在上有最小值，求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 【答案】(1) ，因为， 所以是以为公比的等比数列； (2)不存在， (3) 必要性：若为偶函数，则 ， 当，因为，故； 同理可证，故. 充分性：若对于任意正实数，均有，其中， 因为有最小值，不妨设， 由于任意，令，则， 故最小元素为中最小元素为， 又，则对任意成立， 则， 若，则对任意成立是偶函数， 若，此后取， 最小元素是，且最小元素是， 则 综上，任意，即是偶函数. 故“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 【分析】（1）首先求的导数，再根据等比数列的定义，即可证明； （2）首先求和集合，再利用导数讨论函数的单调性，由，讨论得到取值范围； （3）首先证明必要性，若函数为偶函数，根据偶函数的性质，证明，再证明充分性，若对于任意正实数，均有，分和两种情况证明. 【详解】（1）略 （2），所以 且 令 则得：在严格增，在严格减 ①当时，，所以与矛盾； ②当时，，所以] 令 则，所以在上严格减，所以， 而当时，,从而矛盾，综上，不存在正数，使得. （3）略 方法点拨02写出等比数列的通项公式 1．通项构建原则：处理等比数列通项书写问题，先确定首项与公比两个核心基本量，再按指数递推规律构建通项表达式，从根源简化后续通项的书写与代入运算。 2．基本量书写技巧：依托等比数列的定义递推关系，将目标通项拆解为首项与公比幂次的乘积形式，通过累乘迭代完成通项公式的标准书写。 3．下标转化变形：遇到已知任意项、下标差的结构，对应利用通项推广式转化书写形式，通过下标代换、幂次运算变形推导不同形式的通项公式。 4．构造书写思路：求解含递推关系、构造型的等比数列通项题，巧用＂构造新数列法＂（变形递推式得到标准等比数列）推导，搭配基本量回代思想快速写出通项，最后验证首项与通项的适用范围。 （2025·上海闵行·二模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，若，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】先结合题意由等差和等比数列的基本量法求出两数列的通项进而求出，再构成函数，分析单调性和根即可. 【详解】由题意可得等差数列的公差为，所以，所以， 等比数列的公比为，则， 因为，即，即， 设， 由复合函数的单调性可得在上单调递增， 再由二分法确定当时，， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. （2024·上海·三模）设，．若存在公比的无穷等比数列，使得对任意正整数都成立，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据题意得有非零解，利用数列的收敛性得即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，则，代入得： 整理得： 由于是无穷等比数列，所以 因时左边无界，时右边有界，均矛盾， 所以，此时，则： ， 设，则，即， 因为对成立且，为使方程有非零解， 则即， 所以的取值范围是. 故答案为：. （2026·上海杨浦·模拟预测）已知数列满足，，则数列前2026项的和为__________． 【答案】 【分析】变形可知数列是以首项为1，公比为2的等比数列，结合等比数列通项公式可得，利用裂项相消法运算求解. 【详解】因为，即， 且，可知数列是以首项为1，公比为2的等比数列， 则，可得， 所以数列前2026项的和为. （2025·上海·模拟预测）已知数列为等差数列，是公比为的等比数列，且 (1)证明:; (2)若集合，求集合中所有元素的和. 【答案】(1) 设数列的公差为，则， 即， 所以原命题得证. (2)2047 【分析】（1）设数列的公差为，根据等差数列、等比数列的通项公式得到方程，解得即可； （2）由（1）可得，进而可得，利用等比数列前项和公式可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 所以， 因为，所以， 对应的， 所以集合中所有元素的和为. 方法点拨03 由定义判定等比数列 1．定义优先原则：处理等比数列判定问题，先紧扣等比数列定义明确公比为非零常数的核心前提，再进行相邻项的比值验证，从根源简化后续等比判定的推导与运算。 2．作商判定技巧：依托等比数列的定义式，将判定目标拆解为后项比前项的定值验证，通过作商法完成等比数列的标准判定。 3．递推转化变形：遇到递推式、和通项混合的结构，对应利用等比数列定义转化为比值关系，通过递推作商、消元变形推导数列的等比属性。 4．首项回验思路：求解含前n项和、分段型的等比判定题，巧用＂首项回验法＂（验证首项符合整体比值规律）推导，搭配的递推推导完整结论，最后验证数列各项均不为零的适用范围。 （2025·上海黄浦·三模）已知数列各项为正，满足，m、n是正整数，是等比数列，则P是Q的（   ） A．充分必要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件． 【答案】B 【分析】设，令得，充分性成立，举出反例得到必要性不成立，得到结论. 【详解】设，中，令得， 即，所以是等比数列，充分性成立； 但必要性不成立，理由如下： 不妨设的首项为1，公比为2，取得， 但，不满足，从而必要性不成立， 综上，P是Q的充分非必要条件. 故选：B （2026·上海·一模）若直线的方向向量为，平面的一个法向量，若构成的数列既是等差数列，又是等比数列，则直线与平面的位置关系为__________. 【答案】或 【分析】由，可得，即可得出直线l与平面的位置关系． 【详解】因为构成的数列既是等差数列，又是等比数列，则， 因为，所以. 所以或. （2025·上海静安·模拟预测）定义函数，对于数列，若，则称 为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”． (1)已知，为函数的“生成数列”，求数列的前n项和； (2)已知，为函数的“源数列”，求证：对任意正整数n，均有； (3)已知，为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 【答案】(1)； (2)，，故， 构造函数，，则， 函数在上单调递增，， 故在恒成立，单调递增， 故，即，， 当时，， 综上所述：恒成立，即. (3)不存在，，则，， 设，即，则， 设函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等，单调递增， 故， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，， 故，整理得到，无正整数解. 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列. 【分析】（1）写出，再利用等差数列求和公式即可得到答案. （2）确定，构造，求导得到函数单调递增，计算最值得到证明. （3）确定，，根据得到，确定，再假设存在得到，整理得到，无解，得到答案. 【详解】（1），，. （2）略 （3）略 易错点01 求等比数列前n项和 易混易错提醒：等比数列前n项和应用类题型，直接求和计算题先明确求和公式分公比等于1与公比不等于1两类形式，牢记公比为1时不能套用分式型求和公式，再按分类规则逐步代入计算；含参数公比的综合题先由等比数列定义分析公比的取值限制与公式中指数的对应关系，明确不能随意默认公比不为1而省略分类讨论，全程遵循＂分类先行＂原则，从源头避免求和公式误用。 （2025·上海·模拟预测）有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球．若第一局中甲先摸球，记第n局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（   ） ①； ②． A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【分析】分别计算在第一局中：摸1次、摸3次、…，摸次甲获胜概率，利用等比数列前项和公式求和，再求极限即可求；根据第局甲获胜包括两种情况：第局甲赢且第局甲后摸球和第局甲输且第局甲先摸球即可求得. 【详解】第一局：摸一次甲获胜概率为，摸3次甲获胜概率为， 摸5次甲获胜概率为，…, 摸甲获胜概率为， 所以， 所以，①正确； 第局甲获胜包括两种情况：第局甲赢且第局甲后摸球和第局甲输且第局甲先摸球， 则，②正确； 故选：A. （2025·上海·三模）已知数列的通项公式为（为正整数），则数列的前项和的最小值为________. 【答案】 【分析】根据数列的单调性，结合数列通项的正负得出数列和的最小值即可. 【详解】为单调递增的数列， 当时，当时， 所以. 故答案为：. （2025·上海杨浦·二模）由若干个多边形所覆盖的区域，称为这些多边形的并集，例如图中，梯形是与矩形的并集.已知是正整数，在平面直角坐标系中，直线的方程为，若直线交轴于点，交轴于点，则的并集，其面积为__________.    【答案】 【分析】先计算点，再通过数列的增减性检验点列的变化趋势，则图形每次增加一个小三角形，设直线与直线的交点为，计算，此为增加的面积，再得出前个三角形的面积之和构成的数列的递推关系，即可利用累加法求出，再计算即可. 【详解】由题意可得，， 令，则， 当时，；当时，，即， 则随着三角形的个数增加，所有三角形围成的图形每次增加一个小三角形， 设直线与直线的交点为， 联立，解得，即， 则， 设前个三角形围成图形的面积为，则， 且， 则，，，，， 由累加法可得，， 则，而符合上式，则， 故， 则的并集，其面积为. 故答案为：.    （2025·上海松江·二模）已知函数，当时函数取得最大值4，记. (1)求函数的表达式； (2)若数列为等差数列，，记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由时函数取得最大值4，可知值及关于的方程，由其范围可求得值，得解； （2）由（1）求得，进而求得，得，由等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）已知当时函数取得最大值4， 因为，所以.此时， 又，解得， 所以函数的表达式为. （2）由（1）知，则，. 因为是等差数列，设公差为，则，解得，， 所以. 又，数列是以为首项，为公比的等比数列， 可得. 优题精练·专题实战通关 （2025·上海青浦·二模）设是首项为，公比为q的等比数列的前项和，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意算出，可得且，由此对各项的结论加以判断，即可得结论． 【详解】， ，，即且， ，且，两边都除以，得，可得． 对于A，由，可得，故A项不正确； 对于B，由于，所以不成立，故B不正确； 对于C，因为，所以，可得． 结合，可得，故C正确； 对于D，根据且，当，时，， 此时不成立，故D不正确． 故选：C． （2025·上海普陀·二模）设是数列的前项和，若数列满足：对任意的，存在大于1的整数，使得成立，则称数列是“数列”.现给出如下两个结论：①存在等差数列是“数列”；②任意等比数列都不是“数列”.则（    ） A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立 【答案】D 【分析】由题意可得任意的n≥2，存在大于1的整数m，使得，对命题①，分公差或两种情况讨论可判断结论，对于②，举例如，可判断结论. 【详解】由“G数列”的定义，对任意的n≥2，存在大于1的整数m，使得，成立， 则对任意的n≥2，存在大于1的整数m，使得， 对于命题①不成立，理由如下： 假设存在， 当时，总存在，由于对任意正整数，有， 所以总存在正整数，使得与， 所以不会存在， 当时，总存在，由于对任意正整数，有， 所以总存在正整数，使得与， 所以不会存在， 对于命题②不成立，理由如下： 举例说明：如，有， 因为，所以， 可以取，就可以保证不等式成立， 综上所述：①不成立，②不成立. 故选：D. 【点睛】考查新定义题型，考查转化思想与阅读理解能力，以及分类讨论思想的应用. （2026·上海闵行·模拟预测）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“攀登数列”．有下列命题： ①存在递增数列，使得它是“攀登数列”； ②存在周期数列，使得它是“攀登数列”； ③存在等差数列，使得它是“攀登数列”； ④若数列为公比为的等比数列，对于任意，存在，使得为攀登数列． 其中所有正确命题的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】可通过列举数列判断①②，对于③，求出，作差后，分类讨论公差的的3种情况来判断；对于④，求出，作差后对分奇偶分析即可确定. 【详解】对于①，当时，满足为递增数列， 而，， 则，即， 因此，存在递增数列，使得它是“攀登数列”，故①正确； 对于②，当周期数列为时，周期为2， 对任意的，都有， 因此，存在周期数列，使得它是“攀登数列”，故②正确； 对于③，设等差数列的公差为，则，， 要使数列为“攀登数列”， 则，对任意的恒成立， 当时，是开口向上的二次函数， 当时，，故不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意. 综上所述，不存在等差数列，使得它是“攀登数列”，故③错误； 对于④，由于等比数列的公比为，， 则， 所以， 当为奇数时，由于，则， 要使，则需使，即符合题意； 当为偶数时，由于， 则（*）， 因， 由于方程的根为，而，则， 而，则由（*）可得， 又，要使，需使，即符合题意. 综上所述，存在，对于任意，使得为攀登数列，故④正确. （2025·上海闵行·三模）设是等比数列的前项和，若，，则_________. 【答案】5 【分析】根据题意，由等比数列前项和的片段和性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意得，， 因为，，，，成等比数列， 故，即，解得， 则，所以，，故. 故答案为： （2024·上海普陀·二模）设，，是正整数，是数列的前项和，，，若，且，记，则______. 【答案】7 【分析】根据数列递推式求出的通项，从而可得，进而可得，根据，即可求出． 【详解】当，故， 当时，，故， 因为，故，所以，则， 当时，， 设数列，易知， 必有1024，512，256，128，64，32，8,这7个数前面的系数为1，其余系数都是0， 故． 故答案为：7． （2026·上海崇明·二模）已知首项为1的等比数列满足对任意的正整数m，n都有，则等比数列的公比q的取值范围是________． 【答案】 【分析】取特殊情况结合指数函数与一次函数性质可得，再证明时，对任意的正整数m，n都有恒成立即可得. 【详解】由题意可得，取， 当时，有， 当时，有，故； 若，则当时，指数函数增速会大于一次函数， 故不可能恒成立，故； 综上可得； 下证充分性： 当时，不妨设，则， 故需满足，即， 令，则只需满足数列为非递减数列即可， ， 由，则，， 则， 故数列为非递减数列， 即时符合题意. （2024·上海奉贤·一模）已知函数，其中（常数且）． (1)若函数的图象过点，求关于的不等式的解集； (2)若存在，使得数列是等比数列，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）点代入函数解析式求出，再解指数不等式可得答案； （2）根据数列是等比数列可得，令，利用导数判断出在上的单调性，求出的值域可得答案. 【详解】（1）若函数的图象过点，则， 解得，舍去，所以， 由得， 解得或， 所以不等式的解集为或； （2）， 若存在，使得数列是等比数列， 则，可得， 由可得， 令，， 当时，，所以， 可得在上单调递减，所以， 则实数的取值范围. （2025·上海奉贤·二模）函数，其中，定义域是一切实数． (1)计算的值并指出其几何意义； (2)当时，方程只有一个解，求实数的取值范围； (3)设，，，，，．求证：． 【答案】(1)，几何意义是函数在点处切线的斜率是； (2)； (3)由（2）知函数在单调递减，且存在唯一的零点使得，即， ， 根据函数单调性知， 即，依次类推，得到， 同理， 即， ， 因为，所以， ，所以得到 ， ， ， ， 所以. 【分析】（1）根据极限的计算方法求值，并理解导数的几何意义； （2）分离参数得，设，利用利用导数分析函数的单调性，求其值域即可； （3）结合（2）中的结论，先得到，进一步类推，即可证明结论. 【详解】（1）因为， 所以 ， 几何意义是函数在点处切线的斜率是. （2）变形得到， 令，， 又，所以函数在内恒小于零， 所以函数在单调递减 ，又， 所以值域为，所以的取值范围为. （3）略 （2025·上海静安·一模）如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数. ①对任意的，有； ②对于任意的，若，则. 求证： (1)是型函数； (2)型函数在上为增函数； (3)对于型函数，有（为正整数）. 【答案】(1)证明如下： 记； 对任意的，有； 对于任意的， 若， 则， 即. 故函数是型函数. (2)证明如下： 设，且，则. 因此 ， 可知在上为增函数. (3)证明如下： 因为， 所以 【分析】（1）根据指数函数性质和型函数的定义即可证明； （2）取值，则，再结合型函数的定义即可证明； （3）放缩得，再不断放缩有，结合等比数列的求和公式即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用型函数的性质放缩得，最后再不断放缩，结合等比数列求和公式即可. 2 / 22 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $