1.5等腰三角形（巩固练） 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

苏科版2026-2027学年数学八年级上册 1.5等腰三角形 (巩固练) (满分100分，时间90分钟) 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分) 1.若一个等腰三角形的两条边长分别为2和4，则该三角形的周长为（) A.8 B.10 C.12 D.8或10 2.如图，AB∥CD,若∠I=∠D,AC=3,则AD的长度为() A.3 B.4 C.5 D.6 3.如图，在等腰△ABC中，已知AB=AC,则下列不能说明BD=CD的是() A.AD⊥BC B.∠B=∠C C.∠BAD=∠CAD D.△ABD≌AACD 4.下列说法正确的是() 第1页共32页 A.等腰三角形的两个底角相等 B.顶角相等的两个等腰三角形全等 C.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 D.等腰三角形一边不可以是另一边的二倍 5.如图，在△ABC中，AB=AC,∠C=30°，点D是AB的中点，过点D作DE1AB交BC 于点E,DE=2,则CE的长度为() A.7 B.8 C.9 D.10 6.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=40°，D为直线BC上异于B,C的一点.若△ABD 是等腰三角形，则∠ADB的度数不可能是() A.350 B.40° C.450 D.55° 7.如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上一点（不与B,C重合），点E在边AB的延 长线上，点F在边AC的延长线上，满足AD=FD=ED,当点D在BC边上从B至C的运动 过程中，△DCF的周长变化情况是() 第2页共32页 B A.有最小值没有最大值 B.有最大值没有最小值 C.是个定值 D.无法确定 8.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE、PF分 别交AB、AC于点E、F,给出以下四个结论：①AE=CF;②△EPF是等腰直角三角形；③ S形御=S,c；④EF=AP.当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与小B重 合)，上述结论中始终正确的有()· A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分) 9.已知等腰三角形的两边长分别是7cm和5cm,则该等腰三角形的周长是 cm 10.一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则该等腰三角形的顶角度数为 11.如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB,∠BAC=102°，则∠ADC= 度 第3页共32页 D C 12.如图，在等边三角形ABC中，AB=10.D是AB的中点，过点D作DE⊥AC,垂足为 E,则EC的长是 B 13.如图，己知在△ABC中，AB=BC=8,AC=6,AF⊥BC于点F,BE⊥AC于点E,取AB中点 D,则△DEF的周长为 D B F 14.如图，△ACD是等边三角形，若AB=DE,BC=AE,∠E=112°，则∠BAE=° 15.如图，在△ABC中，AC=BC,D为△ABC内一点，连接DA,DB,DC，,已知 第4页共32页 ∠DAB=14°∠DBA=30°∠BAC=46 ∠BDC= ,则 B 16.如图，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P,Q同时从A,B两点出发，分别在AB,BC 边上均速移动，它们的速度分别为=2cms,。-lcms,当点P到达点B时，P,0两点停止 运动，设点P的运动时间为s,则当t=一s时，△PBO为直角三角形. 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.已知：如图，AB=AC,∠ABD=∠ACD.求证：DB=DC. D 18.已知：如图，△ABC中，BC边中垂线ED交BC于E,交BA延长线于D,过C作CF⊥BD 第5页共32页 DF=18C ∠FCB=∠B 于F,交DE于G, 2 ,试说明 2 19.如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=&, △BOC≌△ADC 连接 D 110%0 B (1)求证：△OCD是等边三角形： (2)当△AOD为等腰三角形时，求Q的度数. 20.如图，锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE=CE,AD L BC于点D,AD与EC交于 点G. A D (1)求证△AEG为等腰三角形： 第6页共32页 (2)若GD=5,G为CE中点，求AG的长. 21.如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边BC、AC上，过点D作DE∥AB,过点E作 EFLDE,交BC的延长线于点F B D (1)求证：△CDE为等边三角形： (2)若CE=3,则DF= 第7页共32页 22.如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，F是BC的中点. (1)求证：△DEF是等腰三角形： (2)若∠EDF=60°，DE=2,求BC的长 23.如图1，△ABC是等边三角形，将30°（即∠MAN=30°）的顶点放置于点A处旋转，角 的两边分别交边BC于点D,E,过点B,E分别作BC,AE的垂线交于点F, 第8页共32页 的 G IM 图1 图2 (1)请判断∠BAD与∠BEF的数量关系，并给出证明； (2)如图2，设射线AM与EF交于点G,若BD=2CE,DG+FG=8,求AG的长. 24.如图1，在△ABC中，AB=AC,D为射线BC上（不与B、C重合）一动点在AD的右 侧射线BC的上方作△ADE,使得AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE. 图1 备用图 备用图 (1)证明：△ABD≌△ACE: (2)延长EC交AB的延长线于点F,若LF=30°， ①利用(1)中的结论求出∠DCE的度数： ②当△ABD是等腰三角形时，∠ADB=: 第9页共32页 (3)当D在线段BC上时，若线段BC=4,△ABC面积为6，则四边形ADCE周长的最小值 是一 第10页共32页 答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.若一个等腰三角形的两条边长分别为2和4，则该三角形的周长为() A.8 B.10 C.12 D.8或10 【答案】B 2.如图，AB∥CD,若∠I=∠D,AC=3,则AD的长度为() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】A 3.如图，在等腰△ABC中，己知AB=AC,则下列不能说明BD=CD的是() A.AD⊥BC B.∠B=∠C C.∠BAD=∠CAD D.△ABD≌△ACD 第11页共32页 【答案】B 4.下列说法正确的是() A.等腰三角形的两个底角相等 B.顶角相等的两个等腰三角形全等 C.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 D.等腰三角形一边不可以是另一边的二倍 【答案】A 5.如图，在△ABC中，AB=AC,∠C=30°，点D是AB的中点，过点D作DE1AB交BC 于点E,DE=2,则CE的长度为() A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】B 6.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=40°，D为直线BC上异于B,C的一点，若△ABD 是等腰三角形，则∠ADB的度数不可能是() 第12页共32页 A.350 B.40° C.45o D.55° 【答案】C 7.如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上一点（不与B,C重合），点E在边AB的延 长线上，点F在边AC的延长线上，满足AD=FD=ED,当点D在BC边上从B至C的运动 过程中，△DCF的周长变化情况是() B A.有最小值没有最大值 B.有最大值没有最小值 C.是个定值 D.无法确定 【答案】A 8.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE、PF分 别交AB、AC于点E、F,给出以下四个结论：①AE=CF;②△EPF是等腰直角三角形；③ S边彩r=S,C:④EF=AP,当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与AB重 合)，上述结论中始终正确的有()· 第13页共32页 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分) 9.已知等腰三角形的两边长分别是7cm和5cm,则该等腰三角形的周长是 cm 【答案】17或19 10.一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则该等腰三角形的顶角度数为 【答案】40°或140° 11.如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB,∠BAC=102°，则∠ADC= 度 D C 【答案】52 12.如图，在等边三角形ABC中，AB=I0.D是AB的中点，过点D作DE⊥AC,垂足为 E,则EC的长是 第14页共32页 【答案】7.5 13.如图，已知在△ABC中，AB=BC=8,AC=6,AF⊥BC于点F,BE⊥AC于点E,取AB中点 D,则△DEF的周长为 【答案】11 14.如图，△ACD是等边三角形，若AB=DE,BC=AE,∠E=112°，则∠BAE=° 【答案】128 15.如图，在△ABC中，AC=BC,D为△ABC内一点，连接DA,DB,DC,已知 ∠DAB=14,∠DBM=30°，∠B1C=46°，则∠B0C= D 【答案】150 第15页共32页 16.如图，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P,Q同时从A,B两点出发，分别在AB,BC 边上均速移动，它们的速度分别为=2cms,。=lcms,当点P到达点B时，P.0两点停止 运动，设点P的运动时间为s,则当t=s时，△PBO为直角三角形. B 312 【答案】2或5 三、解答题（本题共8小题，共52分) 17.已知：如图，AB=AC,∠ABD=∠ACD.求证：DB=DC. B A D 【答案】连接BC, D 第16页共32页 .'AB=AC, .∴∠ABC=∠ACB, ,∠ABD=∠ACD, ∴.∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACD, 即∠DCB=∠DBC, ∴.DB=DC. 18.已知：如图，△ABC中，BC边中垂线ED交BC于E,交BA延长线于D,过C作CF⊥BD DF=IBC ∠FCB=∠B 于F,交DE于G, 2 ,试说明 2 【答案】连接BG, 第17页共32页 ED是BC边中垂线， CE-C,BG=GC. ∴.∠FCB=LGBC, .DE⊥BC,CF⊥BD, .∠DFG=∠CEG=90°， CE-28C DF-18C 2 .DF=CE, 在△DFG和aCEG中 ∠FGD=∠CGE ∠DFG=∠CEG DF=CE :△DFG≌aCEG(AAS) .'.GF=GE, ,DE⊥BC,CF⊥BD, .∠FBG=∠EBG, .∠FCB=∠EBG, 第18页共32页 19.如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=1I0°，∠BOC=, △BOC≌AADC OD 连接 1100 (I)求证：△OCD是等边三角形： (2)当△AOD为等腰三角形时，求的度数. 【答案】(1)证明：△ABC是等边三角形， ∴.∠AC0+∠BCO=60° .'△BOC≌△ADC ∴.OC=DC∠BCO=∠ACD ∴.∠ACD+∠ACO=60° ∴.∠DC0=60° 第19页共32页 .OC=DC ∴.△OCD 是等边三角形： 【小问2详解】 解：：△BOC≌△ADC, ∴.OC=DC,∠ADC=∠BOC=&, 由(1)知aOCD是等边三角形， ∴.∠COD=∠ODC=60° :∠AOB=110° ∴.∠A0D=360°-∠A0B-∠B0C-∠C0D=190°-a, .∠AD0=∠ADC-∠ODC=a-60°， ∴.∠OAD=180°-∠AOD-∠AD0=50° 当∠AOD=∠AD0时，190°-a=a-60°，解得：a=125°； 当∠A0D=∠0AD时，190°-a=50°，解得：a=140°： 当∠AD0=∠0AD时，a-60°=50°，解得：&=110°. 综上所述，当a=110°或125°或140°时，△A0D是等腰三角形. 第20页共32页 20.如图，锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE=CE,AD⊥BC于点D,AD与EC交于 点G. A E B D (1)求证△AEG为等腰三角形： (2)若GD=5,G为CE中点，求AG的长. 【答案】(1)证明：：AD L BC于点D, :.△ABD和△CDG都是直角三角形， BE=CE, ∴.∠B=∠GCD, ∴.∠BAG=∠CGD=∠AGE, .AE =GE, .△AEG为等腰三角形： 【小问2详解】 第21页共32页 解：如图，作EH⊥AD,垂足为点H, B D :G为CE中点， ∴EG=CG, 在△EHG和△CDG中， [∠EHG=∠CDG ∠EGH=∠CGD EG=CG :.△EHHG≌aCDG(AAS) .HG=GD, .AE=EG,EH⊥AD, .AH=HG=GD, DG=5, .AG=10, 21.如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边BC、AC上，过点D作DE∥AB，,过点E作 第22页共32页 EF LDE,交BC的延长线于点F. A D (1)求证：△CDE为等边三角形： (2)若CE=3,则DF=。 【答案】(1)证明：△ABC是等边三角形， ∴.∠B=∠ACB=60° ·DE AB .∴.∠EDC=∠B=60° .∠ACB=60° .∠EDC=∠ACB=60° ∴.∠EDC=∠ACB=∠DEC=60° ∴.△DCE 是等边三角形. 【小问2详解】 解：EF⊥DE,∠ACB=∠DEC=60°， ∴.∠CEF=30° ∴.∠F=30° 第23页共32页 ,△DCE CE=3 是等边三角形， .DE=CD=3 在RtADEF中，∠F=30°， .DF=2DE=6 故答案为：6. 22.如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，F是BC的中点. E B (1)求证：△DEF是等腰三角形： (2)若∠EDF=60°，DE=2,求BC的长. 【答案】(1)证明：连接EF, 第24页共32页 B F :BD、CE AC、AB 分别是 边上的高， ∴.∠BDC=∠CEB=90° .△BCD△BCE 为直角三角形， ~F是BC的中点， 1 ∴.EF=DF=BF=CF=二BC 2 ∴.△DEF 是等腰三角形； 小问2详解】 EF-DF=BF-CF-1BC 解： 且∠EDF=60°， ∴.△EDF 为等边三角形， ∴.BC=2DE=4 23.如图1，△ABC是等边三角形，将30°（即∠MAW=30°）的顶点放置于点A处旋转，角 第25页共32页 的两边分别交边BC于点D,E,过点B,E分别作BC,AE的垂线交于点F. D B B G IM 图1 图2 (1)请判断∠BAD与∠BEF的数量关系，并给出证明； (2)如图2，设射线AM与EF交于点G,若BD=2CE,DG+FG=8,求AG的长. 【答案】(1)解：∠BAD=∠BEF,证明如下： 设射线AM与EF交于点G, B E W 图1 “过点8，E分别作BC,1E的垂线交于点F, :.FB⊥BCEF⊥AE 即∠AEG=90°， :∠MAN=30° ∴.∠AGE=60° 第26页共32页 :△ABC 是等边三角形， ∴.∠ABD=60°=∠AGE 又：△ABD和△DGE中，∠ADB=∠EDG, ∴.∠BAD=∠BEF 【小问2详解】 解：如图所示，过点D作DH⊥AB于点H, ~、D B G FL IM 图2 ∠ABD=60°， .∠BDH=30°，则BD=2BH, 又.BD=2CE, ∴.BH=EC, ,△ABC是等边三角形， .'AB=BC, .AB-BH=BC-EC,AH=BE, 由(1)可得∠BAD=∠BEF,即∠HAD=∠BEF, 第27页共32页 又.FB⊥BC,DH⊥AB, ∴.∠AHD=∠EBF=90°， :.△MHD≌aEBF(ASA) ∴.AD=EF, DG+FG=8, .AG=AD+GD=EF+DG=EG+FG+DG=EG+8, 又.∠MAN=30°，EF⊥AE, .AG=2GE, ∴.GE+8=2GE, .GE=8, ..AG=2GE=16 24.如图1，在△ABC中，AB=AC,D为射线BC上（不与B、C重合）一动点在AD的右 侧射线BC的上方作△ADE,使得AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE. 图1 备用图 备用图 第28页共32页 (1)证明：△ABD≌△ACE: (2)延长EC交AB的延长线于点F,若∠F=30°， ①利用(1)中的结论求出∠DCE的度数； ②当△ABD是等腰三角形时，∠ADB=一； (3)当D在线段BC上时，若线段BC=4,△ABC面积为6，则四边形ADCE周长的最小值 是 【答案】(1)·∠DAE=∠BAC, ∴.∠DAE+∠DAC=∠BAC+∠DAC 即∠EAC=∠DAB, 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠DAB=∠EAC AD=AE :△MBD≌AACE(SAS) 【小问2详解】 ①如图： 第29页共32页 设LDCE=x°=∠BCF, ∠F=30°， :.∠ABD=∠F+∠BCF=(x+30) AB=AC, :.∠ACB=∠ABD=(+30)°， 由(1)知△ABD≌△ACE, :.∠4CE=∠ABD=(c+30)°， .∠ACB+∠ACE+∠DCE=180°， .(x+30)°+(x+30)°+x°=180° 解得x=40, ∴.∠DCE=40° ②由①知，∠ABD=∠F+∠BCF=30°+40°=70°，， 当AD=BD时，如图： 第30页共32页 B ∴.∠BAD=∠ABD=70° .∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=40° 当AB=BD时，如图： B .∠ADB=∠BAD=(180°-∠ABD)÷2=55° .当△ABD是等腰三角形时，∠ADB的度数为40°或55°： 【小问3详解】 如图： 同(1)可证△ABD≌△ACE, 第31页共32页 BD=CE ∴.CD+CE=CD+BD=BC=4 ∴.四边形ADCE周长最小时，AD+AE最小， AD=AE ∴.当AD最小时，四边形ADCE周长最小时，此时AD⊥BC, BC=4,△ABC 6 面积为， ∴.AD=3 .四边形ADCE最小周长为AD+AE+CD+CE=3+3+4=10, 故答案为：10。 第32页共32页