1.5等腰三角形（分层作业练题型）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 初中数学等腰三角形同步练，以“基础巩固-能力提升-综合拓展”分层设计，覆盖性质判定、特殊三角形及模型应用，通过梯度题型培养推理能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|等腰/等边三角形性质与判定|选择填空为主，如顶角底角计算、三线合一应用| |提升层|性质与判定综合应用|中档解答题，如角平分线与垂直证明、含30°直角三角形计算| |拓展层|特殊三角形模型与综合|规律探究（如手拉手模型）、存在性问题及综合证明题|

1.5等腰三角形 题型一 等腰三角形的性质 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】C 6． 【答案】证明详见解析． 【详解】证明：∵CE＝CF， ∴∠CEF＝∠CFE， ∵∠CFE＝∠DFE， ∴∠CEF＝∠DFE， 在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴△ACE是直角三角形， ∴∠CAE+∠CEF＝90°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠DAF＝∠CAE， ∴∠DAF+∠CEF＝90°， ∴∠DAF+∠DFE＝90°， 在△ADF中，∠ADF＝180°﹣（∠DAF+∠DFE）＝90°， ∴CD⊥AB． 题型二 等腰三角形的判定 1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】6 4． 【答案】证明详见解析． 【详解】证明：∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC， ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠DBC， ∵∠C＝2∠D， ∴∠ABC＝2∠D， ∴BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠D＝∠ABD， ∴AD＝AB， ∴△ABD是等腰三角形． 题型三 等腰三角形的判定与性质 1．【答案】C 2．【答案】12 3．【答案】①②③ 4．【答案】2 5． 【答案】（1）是，理由详见解析；（2）是，理由详见解析． 【详解】解：（1）△OBC是等腰三角形，理由如下： ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）， ∵∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O． ∴（角平分线的性质）， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴OB＝OC（等角对等边）， ∴△OBC是等腰三角形； （2）AO是BC的垂直平分线，理由如下： 如图， ∵OB＝OC（已知）， ∴点O在线段BC的垂直平分线上， ∵AB＝AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上， ∴AO是BC的垂直平分线． 6． 【答案】（1）证明详见解析；（2）∠DEF＝70°． 【详解】证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△DBE和△ECF中 ， ∴△DBE≌△ECF（SAS）， ∴DE＝EF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）如图， ∵△DBE≌△ECF， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B（180°﹣40°）＝70°， ∴∠1+∠2＝110°， ∴∠3+∠2＝110°， ∴∠DEF＝70°． 题型四 等边三角形的性质 1．【答案】21 题型五 等边三角形的判定 1．【答案】C 2．【答案】D 3． 【答案】证明详见解析． 【详解】证明：∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCE， ∵∠AEF＝∠BCE+∠B，∠AFE＝∠DAC+∠ACE，∠DAC＝∠B， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF， ∵∠BAD＝60°， ∴△AEF是等边三角形． 题型六 等边三角形的判定与性质 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】D 4． 【答案】（1）证明详见解析；（2）AD＝CE，理由详见解析． 【详解】（1）证明：∵BD⊥AC，点D是AC边的中点， ∴BD垂直平分AC， ∴AB＝CB， ∵EF⊥AB， ∴∠ABC+∠E＝90°， ∵∠E＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形； （2）解：AD＝CE，理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∠E＝30°， ∴∠CDE＝30°＝∠E， ∴CD＝CE， ∵点D是AC边的中点， ∴AD＝CD， ∴AD＝CE． 5． 【答案】（1）①∠AED；②∠ADE；③∠AED；④等角对等边；（2）证明详见解析． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C，∠A＝60°． ∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE（等角对等边）， ∴△ADE是等腰三角形． 又∵∠A＝60°， ∴△ADE是等边三角形． 故答案为：①∠AED；②∠ADE；③∠AED；④等角对等边； （2）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ABC＝60°， ∵BE和AD分别为∠ABC和∠BAC的平分线， ∴，． ∵∠ADE为△ABD的外角， ∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°， ∵AE＝AD， ∴△ADE是等边三角形． 题型七 直角三角形斜边上的中线 1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】75 题型八 含30°角的直角三角形 1．【答案】A 2．【答案】C 3． 【答案】（1）30°；（2）证明详见解析． 【详解】（1）解：如图，连接AP， ∵AB＝AC，P为BC边的中点， ∴AP⊥BC， ∵∠BAC＝120°， ∴∠C（180°﹣∠BAC）（180°﹣120°）＝30°； （2）证明：由（1）可知：∠C＝30°， ∵PD⊥AC， ∴∠CPD+∠C＝90°， ∵∠APD+∠CPD＝90°， ∴∠APD＝∠C＝30°， ∴AP＝2AD，AC＝2AP， ∴AC＝4AD， ∴CD＝AC﹣AD＝4AD﹣AD＝3AD，即CD＝3AD． 4． 【答案】（1）证明详见解析；（2）6． 【详解】（1）证明：由条件可知：FB＝FC， ∴∠FBC＝∠C＝30°， ∴∠AFE＝∠FBC+∠C＝60°， ∵AD⊥BC于点D， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝90°﹣∠C＝60°， ∴∠EAF＝∠AFE＝60°， ∴△AEF是等边三角形； （2）解：由条件可知：∠BAD＝90°﹣60°＝30°， ∵BD＝2， ∴AB＝2BD＝4， ∵∠C＝30°， ∴BC＝2AB＝8， ∴CD＝BC﹣BD＝8﹣2＝6． 题型一 以特殊三角形为背景的规律问题 1．【答案】B 2．【答案】D 题型二 特殊三角形的存在性问题 1．【答案】D 2．【答案】50°或20°或80° 题型三 手拉手模型 1．【答案】40° 2． 【答案】（1）证明详见解析；（2）60°． 【详解】（1）证明：∵△ABC和△DCE都是等边三角形， ∴BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°， ∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE． （2）解：由（1）可得：△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠DAC＝∠EBC， ∵∠ACB＝∠DAC+∠ADC＝60°， ∴∠EBC+∠ADC＝∠APB＝60°，即∠APB＝60°． 题型一 特殊三角形的综合辨析题 1．【答案】①②③ 2．【答案】D 题型二 特殊三角形的综合解答题 1． 【答案】（1）理由详见解析；（2）①理由详见解析；②∠A的度数为45°或36°． 【详解】解：（1）理由如下： ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠BDC是△ADC的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD， ∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A， ∴∠BDC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠BDC， ∴CD＝CB； （2）①理由如下： ∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CBE+∠ACB＝90°， 设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α， ∴∠BCD＝2∠CBE； ②∵∠BFD是△CBF的一个外角， ∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α， 分三种情况： 当BD＝BF时， ∴∠BDC＝∠BFD＝3α， ∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴90°﹣α＝3α， ∴α＝22.5°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°； 当DB＝DF时， ∴∠DBE＝∠BFD＝3α， ∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α， ∴90°﹣2α＝3α， ∴α＝18°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°； 当FB＝FD时， ∴∠DBE＝∠BDF， ∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF， ∴不存在FB＝FD； 综上，如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°． 2． 【答案】（1）证明见解析；（2）①90°，②2；（3）6． 【详解】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，即∠CAE＝∠BAD， 在△AEC和△ADB中， ， ∴△AEC≌△ADB（SAS）； （2）解：①∵AD＝AE，∠DAE＝90°， ∴∠ADE＝∠AED＝45°， ∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣45°＝135°， 同（1）可得：△AEC≌△ADB（SAS）， ∴∠AEC＝∠ADB＝135°， ∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝135°﹣45°＝90°； ②如图2，过点A作AG⊥DE于点G，则∠FGA＝90°， 由①可知：∠FEC＝90°， ∴∠FGA＝∠FEC， ∵点F为AC中点， ∴AF＝CF， 又∵∠AFG＝∠CFE， ∴△AGF≌△CEF（AAS）， ∴AG＝CE＝2，GF＝EF， ∵AD＝AE，∠DAE＝90°， ∴DG＝EG＝AG＝2， ∴GF＝EFEG＝1， ∴S△ACE＝2S△CEF＝2CE·EF＝2×1＝2； （3）解：如图3，连接CE， 同（2）可得：△CDE≌△FDA（SAS）， ∴CE＝AF，∠DCE＝∠DFA＝135°， ∴∠ACE＝∠DCE﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°， 在△ACE和△BAF中， ， ∴△ACE≌△BAF（SAS）， ∴CE＝AF，S△ACE＝S△BAF， ∵∠ACE＝∠BAC， ∴CE∥AB， ∴S△ABE＝S△ABCAC·ABAC2， ∵S△ABC+S△ACE﹣S△ABE﹣S△CEF＝S△BCF， ∴AC2AC·CEAC2CE·CF＝18， ∴AC·AF﹣AF·CF＝36， ∴AF（AC﹣CF）＝36， ∴AF2＝36， ∴AF＝6，即AF的长为6． 3． 【答案】（1）证明详见解析；（2）67.5°；（3）45°或． 【详解】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠C， ∴∠ABC＝∠BDC， ∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∠BDC＝∠A+∠ABD， ∴∠ABD+∠DBC＝∠A+∠ABD， ∴∠A＝∠DBC， ∴BD是△ABC的“等角分割线”； （2）解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴∠A＝180°﹣2∠C， ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°，∠BDA＝90°， ∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∠BDA＝∠DBC+∠C， ∴∠ABD＝2∠C﹣90°，∠DBC＝90°﹣∠C， ∵BD是△ABC的“等角分割线”， ∴①∠A＝∠ABD，180°﹣2∠C＝2∠C﹣90°，解得：∠C＝67.5°； ②∠A＝∠DBC，180°﹣2∠C＝90°﹣∠C，解得：∠C＝90°（舍去）； 综上，∠C＝67.5°； （3）解：记∠BAC的平分线与BC交于点E， ①当∠DBC＝∠BAC时，如图， ∵AB＝AC，AE平分∠BAC， ∴AE⊥BC，∠BAE＝∠CAE，BE＝CE（等腰三角形三线合一）， 设∠BAE＝∠CAE＝x，则∠DBC＝∠BAC＝2x， ∵AE⊥BC，BE＝CE， ∴AE垂直平分BC， ∴FB＝FC， ∴∠DBC＝∠FCB＝2x， ∴∠DFC＝∠FBC+∠FCB＝2x+2x＝4x， ∵DF＝DC， ∴∠DFC＝∠DCF＝4x， ∴∠ACE＝∠DCF+∠FCB＝4x+2x＝6x， ∵AE⊥BC， ∴∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°， ∴x+6x+90°＝180°，解得：， ∴； ②当∠ABD＝∠BAC时，如图， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE（角平分线的定义）， 设∠BAE＝∠CAE＝x，则∠ABD＝∠BAC＝2x， ∴∠FDC＝∠BAC+∠ABD＝4x， 在△ABF和△ACF中， ， ∴△ABF≌△ACF（SAS）， ∴∠ACF＝∠ABD＝2x， ∵DF＝DC， ∴∠DFC＝∠DCF＝2x， ∵∠FDC+∠DFC+∠DCF＝180°， ∴4x+2x+2x＝180°，解得：x＝22.5°， ∴∠BAC＝2×22.5°＝45°； 综上：∠BAC的度数为45°或， 故答案为：45°或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5等腰三角形 题型一 等腰三角形的性质 1．（2026·泗阳县·一模）一个等腰三角形形状的装饰品的顶角为40°，则它的底角为（　　） A．40° B．70° C．100° D．100°或70° 【答案】B 【详解】解：∵等腰三角形的装饰品的顶角为40°， ∴等腰三角形的装饰品的底角为：（180°﹣40°）＝70°． 故选：B． 2．（2025·东台市·期末）已知等腰三角形的周长为12，一边长为5，则它的腰长等于（　　） A．5 B．2或5 C．3.5 D．5或3.5 【答案】D 【详解】解：当腰为5时，三边为5，5，2能构成三角形； 当底为5时，腰为3.5，3.5，也能构成三角形． ∴这个等腰三角形的腰长为5或3.5． 故选：D． 3．（2025·江阴市·期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆DE⊥BC．工程人员这种操作方法的依据是（　　） A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【答案】B 【详解】解：工程人员这种操作方法的依据是：等腰三角形“三线合一”． 故选：B． 4．（2026·海州区·校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以A为圆心，AB长为半径作弧，与AC交于点D，以C为圆心，BC长为半径作弧，与AC交于点E，连结BD，BE，则∠DBE的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．与∠A的大小有关 【答案】B 【详解】解：设∠A＝α，则∠C＝90°﹣α， 由作图可知：AB＝AD，BC＝CE， ∴∠ADB，∠CEB， ∴∠DBE45°． 故选：B． 5．（2025·淮安·期末）如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，且AB＝AC，BD＝BC，则∠A的度数为（　　） A．30° B．35° C．36° D．40° 【答案】C 【详解】解：设∠A的度数为α， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠DBA＝∠A＝α， ∵∠BDC是△DAB的外角， ∴∠BDC＝∠DBA+∠A＝2α， ∵BD＝BC， ∴∠C＝∠BDC＝2α， 又∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝2α， 在△ABC中，由三角形内角和定理可得：∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴α+2α+2α＝180°，解得：α＝36°， ∴∠A的度数为36°． 故选：C． 6．（2025·丹阳市·期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，点D在AB上，连接CD与AE交于点F，若CE＝CF，求证：CD⊥AB． 【答案】证明详见解析． 【详解】证明：∵CE＝CF， ∴∠CEF＝∠CFE， ∵∠CFE＝∠DFE， ∴∠CEF＝∠DFE， 在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴△ACE是直角三角形， ∴∠CAE+∠CEF＝90°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠DAF＝∠CAE， ∴∠DAF+∠CEF＝90°， ∴∠DAF+∠DFE＝90°， 在△ADF中，∠ADF＝180°﹣（∠DAF+∠DFE）＝90°， ∴CD⊥AB． 题型二 等腰三角形的判定 1．（2025·连云港·校级月考）如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（　　）个． A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【详解】解：如图，分别以A、B为圆心，AB长为半径作弧，有7个点， 作线段AB的垂直平分线，垂直平分线未经过网格中的格点， ∴以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出7个． 故选：A． 2．（2025·邗江区·校级月考）如图，直线l1、l2相交于点A，点B是直线外一点，在直线l1或l2上找一点C，使△ABC为一个等腰三角形．满足条件的点C有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】D 【详解】解：如图， 以A为圆心，AB长为半径画弧，交l1、l2于4个点； 以B为圆心，AB长为半径画弧交l1、l2于2个点； 再作AB的垂直平分线交l1、l2于2个点； 综上，共有8个点． 故选：D． 3．（2026·通州区·校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D、E是BC上两点，且∠BAD＝∠DAE＝∠EAC．则图中有　　个等腰三角形． 【答案】6 【详解】解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝36°， ∴∠BAC＝180°﹣36°﹣36°＝108°， ∴∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝36°， ∴∠BAE＝∠AEB＝∠CAD＝∠ADC＝72°，∠B＝∠BAD＝36°，∠C＝∠EAC＝36°， ∴△ABC，△ABD，△ABE，△AED，△ADC，△AEC都是等腰三角形． 故答案为：6． 4．（2025·仪征市·期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AD∥BC，∠C＝2∠D．求证：△ABD是等腰三角形． 【答案】证明详见解析． 【详解】证明：∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC， ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠DBC， ∵∠C＝2∠D， ∴∠ABC＝2∠D， ∴BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠D＝∠ABD， ∴AD＝AB， ∴△ABD是等腰三角形． 题型三 等腰三角形的判定与性质 1．（2025·建湖县·期末）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝7，点M在AC边上，△ABM的周长为13，则下列结论正确的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠C C．∠2＝∠C D．∠ABC＝90° 【答案】C 【详解】解：∵△ABM的周长＝AB+AM+BM＝13，AB＝6， ∴AM+BM＝7， ∵AC＝7， ∴AC＝AM+BM＝AM+MC， ∴MC＝MB， ∴∠C＝∠2． 故选：C． 2．（2025·宿城区·校级月考）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG＝4，ED＝8，求EB+DC＝　　． 【答案】12 【详解】解：由条件可知：∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB， ∵BG平分∠ABC，CF平分∠ACB， ∴∠ABG＝∠CBG，∠ACF＝∠FCB， ∴∠EBG＝∠EGB，∠DFC＝∠ACF， ∴EB＝EG，DF＝DC， ∴EB+DC＝EG+DF＝ED+FG＝12． 故答案为：12． 3．（2025·云龙区·校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于E，那么下列结论中：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝DB+CE；③△ADE的周长等于AB+BC；④BF＝CF．其中正确的是　　（填写正确的序号） 【答案】①②③ 【详解】解：①∵∠B、∠C的平分线相交于点F， ∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF． ∵DE∥BC， ∴∠BFD＝∠CBF，∠CFE＝∠BCF， ∴∠DBF＝∠BFD，∠CFE＝∠ECF， ∴BD＝FD，CE＝EF， ∴△BDF，△CEF都是等腰三角形，故①正确； ②根据①得DE＝DF+EF＝DB+CE，故②正确； ③根据②得AD+DE+AE＝AD+BD+AE+CE＝AB+AC，故③正确； ④AB和AC不一定相等，∴BF和CF不一定相等，故④错误． 故答案为：①②③． 4．（2025·苏州·校级期中）如图，D为△ABC内一点，AD⊥CD，AD平分∠CAB，且∠DCB＝∠B．如果AB＝10，AC＝6，那么CD＝　　． 【答案】2 【详解】解：如图，延长CD交AB于E， ∵CD⊥AD， ∴∠ADE＝∠ADC＝90°， ∵AD平分∠CAB， ∴∠EAD＝∠CAD， ∴∠AED＝∠ACD， ∴AE＝AC＝6， ∴DE＝CD， ∵AB＝10， ∴BE＝10﹣6＝4， ∵∠B＝∠BCD， ∴BE＝CE＝4， ∴CDCE＝2． 故答案为：2． 5．（2025·兴化市·期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O． （1）△OBC是等腰三角形吗？为什么？ （2）连接AO，AO是BC的垂直平分线吗？为什么？ 【答案】（1）是，理由详见解析；（2）是，理由详见解析． 【详解】解：（1）△OBC是等腰三角形，理由如下： ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）， ∵∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O． ∴（角平分线的性质）， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴OB＝OC（等角对等边）， ∴△OBC是等腰三角形； （2）AO是BC的垂直平分线，理由如下： 如图， ∵OB＝OC（已知）， ∴点O在线段BC的垂直平分线上， ∵AB＝AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上， ∴AO是BC的垂直平分线． 6．（2026·高新区·校级作业）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 【答案】（1）证明详见解析；（2）∠DEF＝70°． 【详解】证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△DBE和△ECF中 ， ∴△DBE≌△ECF（SAS）， ∴DE＝EF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）如图， ∵△DBE≌△ECF， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B（180°﹣40°）＝70°， ∴∠1+∠2＝110°， ∴∠3+∠2＝110°， ∴∠DEF＝70°． 题型四 等边三角形的性质 1．（2026·玄武区·校级期中）如图，将边长为5个单位的等边△ABC沿边BC向右平移3个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为　　． 【答案】21 【详解】解：∵将边长为5个单位的等边△ABC沿边BC向右平移3个单位得到△DEF， ∴BE＝AD＝3，EF＝BC＝5，DF＝AC＝5， ∴四边形ABFD的周长＝AD+AB+BE+EF+FD＝3+5+3+5+5＝21． 故答案为：21． 题型五 等边三角形的判定 1．（2025·南京·校级月考）下列三角形中，不一定是等边三角形的是（　　） A．三个角都相等的三角形 B．有两个角等于60°的三角形 C．一条边上的高也是这条边上的中线的三角形 D．有一个外角等于120°的等腰三角形 【答案】C 【详解】解：A、三个角都相等的三角形是等边三角形，故A不合题意； B、由三角形内角和定理得到三角形的三个角都相等，判定三角形是等边三角形，故B不合题意； C、由线段垂直平分线的性质推出三角形的两边相等，不能判定三角形是等边三角形，故C符合题意； D、由邻补角的性质得到等腰三角形的一个内角是60°，判定三角形是等边三角形，故D不合题意． 故选：C． 2．（2025·溧阳市·校级月考）下列三角形： ①有两个角等于60°； ②有一个角等于60°的等腰三角形； ③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形； ④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形． 其中是等边三角形的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确； ②这是等边三角形的判定2，故正确； ③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确； ④根据线段的垂直平分线的性质．可以证明三边相等，故正确； 综上，都正确． 故选：D． 3．（2025·邳州市·期中）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，∠DAC＝∠B，且∠BAD＝60°，求证：△AEF是等边三角形． 【答案】证明详见解析． 【详解】证明：∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCE， ∵∠AEF＝∠BCE+∠B，∠AFE＝∠DAC+∠ACE，∠DAC＝∠B， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF， ∵∠BAD＝60°， ∴△AEF是等边三角形． 题型六 等边三角形的判定与性质 1．（2025·丹阳市·期中）如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆CD的长度与支杆BC的长度相等，∠BCE＝120°，若CD的长度为45cm，则B、D两点之间的距离为（　　） A．40cm B．45cm C．50cm D．55cm 【答案】B 【详解】解：如图，连接BD， ∵∠BCE＝120°， ∴∠BCD＝180°﹣∠BCE＝60°， ∵悬杆CD的长度与支杆BC的长度相等， ∴CD＝BC， ∴△BCD是等边三角形， ∴BD＝CD， ∵CD＝45cm， ∴BD＝45cm，即则B、D两点之间的距离为45cm． 故选：B． 2．（2025·海安市·校级期中）如图，点P在∠MON内，点P关于OM，ON的对称点分别为E，F，若EF＝OP，则∠MON的度数是（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【详解】解：如图，连接OE，OF． ∵点P关于OM，ON的对称点分别为E，F， ∴OP＝OE＝OF，∠POM＝∠EOM，∠PON＝∠NOF， ∴∠EOF＝2∠MON， ∵OP＝EF， ∴OE＝OF＝EF， ∴△OEF是等边三角形， ∴∠EOF＝60°， ∴∠MON＝30°． 故选：B． 3．（2025·玄武区·期末）如图，在△ABD中，AB＝AD＝12，∠A＝60°，点E在AD上，点C在BD的垂直平分线上，连接CB，CD，CE，且CE与BD交于点F．若CE∥AB，CE＝7，则CF的长是（　　） A．4 B．3.5 C．3 D．2 【答案】D 【详解】解：如图，连接AC交BD于点O， ∵AB＝AD＝12，点C在BD的垂直平分线上，∠A＝60°， ∴∠CAB＝CAD∠BAD＝30°，AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形， ∴∠ADB＝60°， ∵CE∥AB， ∴∠CAB＝∠CAE＝∠CAD＝30°，∠BAD＝∠DEF＝60°， ∴△DEF是等边三角形，△AEC是等腰三角形， ∴AE＝CE＝7， ∴EF＝DE＝AD﹣AE＝12﹣7＝5， ∴CF＝CE﹣EF＝7﹣5＝2． 故选：D． 4．（2025·鼓楼区·月考）如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明详见解析；（2）AD＝CE，理由详见解析． 【详解】（1）证明：∵BD⊥AC，点D是AC边的中点， ∴BD垂直平分AC， ∴AB＝CB， ∵EF⊥AB， ∴∠ABC+∠E＝90°， ∵∠E＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形； （2）解：AD＝CE，理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∠E＝30°， ∴∠CDE＝30°＝∠E， ∴CD＝CE， ∵点D是AC边的中点， ∴AD＝CD， ∴AD＝CE． 5．（2025·亭湖区·期末）课本再现：（1）如图1，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C． ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴∠A＝∠ADE＝∠AED， ∴△ADE是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C，∠A＝60°． ∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE，∠C＝①　　， ∴②　　＝③　　， ∴AD＝AE．（④　　） ∴△ADE是等腰三角形． 又∵∠A＝60°，∴△ADE是等边三角形． （2）如图2，等边三角形ABC的两条角平分线相交于点D，延长BD至点E，使得AE＝AD，求证：△ADE是等边三角形． 【答案】（1）①∠AED；②∠ADE；③∠AED；④等角对等边；（2）证明详见解析． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C，∠A＝60°． ∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE（等角对等边）， ∴△ADE是等腰三角形． 又∵∠A＝60°， ∴△ADE是等边三角形． 故答案为：①∠AED；②∠ADE；③∠AED；④等角对等边； （2）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ABC＝60°， ∵BE和AD分别为∠ABC和∠BAC的平分线， ∴，． ∵∠ADE为△ABD的外角， ∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°， ∵AE＝AD， ∴△ADE是等边三角形． 题型七 直角三角形斜边上的中线 1．（2025·鼓楼区·校级月考）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A、D、B对应的刻度分别为1、4、7（单位：cm），则CD的长度为（　　） A．6 B．4.5 C．3.5 D．3 【答案】D 【详解】解：由题意可知：AB＝6cm，AD＝DB， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线， ∴CDAB＝3cm． 故选：D． 2．（2024·东海县·期中）如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子AB的中点，当梯子底端向右水平滑动到CD位置时，滑动过程中OM的变化规律是（　　） A．不变 B．变小 C．变大 D．先变小再变大 【答案】A 【详解】解：∵∠AOB＝90°，M为AB的中点， ∴OMAB， 同理可得：OMCD， ∵AB＝CD， ∴OM的长度不变． 故选：A． 3．（2025·玄武区·期末）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，∠BMD＝150°，则∠BAD＝　　°． 【答案】75 【详解】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°， 在Rt△ABC中，M为AC中点， ∴BMAC＝AM， ∴∠MAB＝∠MBA， ∴∠BMC＝∠MAB+∠MBA＝2∠MAB， 同理可得：∠DMC＝2∠MAD， ∴∠BMD＝2∠MAB+2∠MAD＝2∠BAD＝150°， ∴∠BAD＝75°． 故答案为：75． 题型八 含30°角的直角三角形 1．（2025·姑苏区·校级月考）如图所示，△ABC是等边三角形，D为AC的中点，DE⊥AB，垂足为E．若AE＝3，则△ABC的边长为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【详解】解：∵△ABC是等边三角形，DE⊥AB，垂足为点E，AE＝3， ∴在直角三角形ADE中，∠A＝60°，∠AED＝90°，∠ADE＝30°， ∴AD＝2AE＝6， 又∵D为AC的中点， ∴AC＝2AD＝12， ∴等边三角形ABC的边长为12． 故选：A． 2．（2026·通州区·校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝20，点D在BA的延长线上，CA＝CD，BD＝12，则AD＝（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【详解】解：如图，过点C作CE⊥AD，垂足为E， ∴∠BEC＝90°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠BCE＝90°﹣∠ABC＝30°， ∵BC＝20， ∴， ∵BD＝12， ∴DE＝BD﹣BE＝12﹣10＝2， ∵CA＝CD， ∴AD＝2DE＝4． 故选：C． 3．（2025·靖江市·校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点P为BC边的中点，PD⊥AC于点D． （1）求∠C的度数； （2）求证：CD＝3AD． 【答案】（1）30°；（2）证明详见解析． 【详解】（1）解：如图，连接AP， ∵AB＝AC，P为BC边的中点， ∴AP⊥BC， ∵∠BAC＝120°， ∴∠C（180°﹣∠BAC）（180°﹣120°）＝30°； （2）证明：由（1）可知：∠C＝30°， ∵PD⊥AC， ∴∠CPD+∠C＝90°， ∵∠APD+∠CPD＝90°， ∴∠APD＝∠C＝30°， ∴AP＝2AD，AC＝2AP， ∴AC＝4AD， ∴CD＝AC﹣AD＝4AD﹣AD＝3AD，即CD＝3AD． 4．（2025·宝应县·期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于点D，点F在BC的垂直平分线上． （1）求证：△AEF是等边三角形． （2）若BD＝2，求CD的长． 【答案】（1）证明详见解析；（2）6． 【详解】（1）证明：由条件可知：FB＝FC， ∴∠FBC＝∠C＝30°， ∴∠AFE＝∠FBC+∠C＝60°， ∵AD⊥BC于点D， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝90°﹣∠C＝60°， ∴∠EAF＝∠AFE＝60°， ∴△AEF是等边三角形； （2）解：由条件可知：∠BAD＝90°﹣60°＝30°， ∵BD＝2， ∴AB＝2BD＝4， ∵∠C＝30°， ∴BC＝2AB＝8， ∴CD＝BC﹣BD＝8﹣2＝6． 题型一 以特殊三角形为背景的规律问题 1．（2025·天宁区·校级月考）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由条件可知：， ∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角， ∴； 同理可得：，， ∴第n个三角形中以An为顶点的底角度数是． 故选：B． 2．（2025·苏州·期末）如图，已知，∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A7B7A8的边长为（　　） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】D 【详解】解：由条件可知：A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°， ∴∠2＝120°， ∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°， ∵∠3＝60°， ∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∵∠MON＝∠1＝30°， ∴OA1＝A1B1＝2， ∴A2B1＝2， ∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形， ∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°， ∵∠4＝∠12＝60°， ∴A1B1∥A2B2∥A3B3， ∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°， ∴A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2＝32， 以此类推：△AnBnAn+1的边长为2n， ∴△A7B7A8的边长为：27＝128． 故选：D． 题型二 特殊三角形的存在性问题 1．（2026·苏州·期末）如图，点C在直线AB上，∠ACD＝65°．将一张等边三角形纸片如图放置，纸片的边MN在直线AB上平移，当以C，P，N为顶点的三角形是直角三角形时，∠DCP的度数为（　　） A．90° B．25°或90° C．85°或90° D．25°或85° 【答案】D 【详解】解：由条件可知：∠PNM＝60°， ∴∠PNC＝60°或∠PNC＝180°﹣60°＝120°， ∴当以C，P，N为顶点的三角形是直角三角形时，有∠CPN＝90°和∠PCN＝90°两种情况， 当∠CPN＝90°时，∠PCN＝90°﹣∠PNC＝30°， ∴∠DCP＝180°﹣∠ACD﹣∠PCN＝85°； 当∠PCN＝90°时，如图，∠PCM＝90°， ∴∠PCD＝∠PCM﹣∠ACD＝90°﹣65°＝25°； 综上，∠DCP的度数为25°或85°． 故选：D． 2．（2025·锡山区·校级月考）如图，∠AOB＝80°，C是边OB上的一个定点，点P在角的另一边OA上运动，当∠OCP的度数为　　时，△COP是等腰三角形． 【答案】50°或20°或80° 【详解】解：如图， ①OC＝OP1， ∵∠AOB＝80°， ∴∠OCP150°； ②CO＝CP2， ∵∠AOB＝80°， ∴∠OCP2＝180°﹣80°×2＝20°； ③P3O＝P3C， ∵∠AOB＝80°， ∴∠OCP3＝80°； 综上，∠OCP＝50°或20°或80°． 故答案为：50°或20°或80°． 题型三 手拉手模型 1．（2025·昆山市·校级月考）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝15°，∠2＝25°，则∠3＝　　． 【答案】40° 【详解】解：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD与△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ABD＝∠2＝25°， ∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+15°＝40°． 故答案为：40°． 2．（2025·邗江区·校级月考）如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，连接AD，BE相交于点P． （1）求证：BE＝AD． （2）求∠APB的度数． 【答案】（1）证明详见解析；（2）60°． 【详解】（1）证明：∵△ABC和△DCE都是等边三角形， ∴BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°， ∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE． （2）解：由（1）可得：△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠DAC＝∠EBC， ∵∠ACB＝∠DAC+∠ADC＝60°， ∴∠EBC+∠ADC＝∠APB＝60°，即∠APB＝60°． 题型一 特殊三角形的综合辨析题 1．（2025·鼓楼区·校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，在△ABC的内部取一点O，连接OA，OB，OC，恰有OA＝OC，∠OBA＝20°，∠OCA＝40°．给出下列说法：①∠BOA＝140°；②△OAB是等腰三角形；③∠OBC＝30°；④△ABC是等边三角形．其中说法正确的是　　．（填序号） 【答案】①②③ 【详解】解：∵∠OCA＝40°，OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝40°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠OAB＝60°﹣40°＝20°， ∵∠OBA＝20°， ∴OB＝OA， ∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝180°﹣20°﹣20°＝140°，△OAB是等腰三角形，故①②正确； ∵∠BAC＝60°，∠OBA＝20°，∠OCA＝40°， ∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣60°﹣20°﹣40°＝60°， ∵OA＝OB，OA＝OC， ∴OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝30°，故③正确； ∵∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝20°+30°＝50°，∠ACB＝30°+40°＝70°，∠BAC＝60°， ∴△ABC不是等边三角形，故④不正确． 故答案为：①②③． 2．（2025·盐城&新吴区·校级月考）如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．下列说法错误的是（　　） A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点E B．∠BDC＝3∠ABD C．当E为AB中点时，△ABC是等边三角形 D．当E为AB中点时，S△BOC＝3S△COD 【答案】D 【详解】解：如图，连接DE， ∵CE⊥AB，D是AC的中点， ∴DE为Rt△AEC斜边上的中线， ∴， ∵BE＝CD， ∴BE＝DE， ∴点E在线段BD的垂直平分线上，即BD的垂直平分线一定与AB相交于点E，故A正确，不合题意； 设∠ABD＝α， ∵BE＝DE， ∴∠EDB＝∠ABD＝α， ∴∠AED＝∠EDB+∠ABD＝2α， ∵DE＝AD， ∴∠A＝∠AED＝2α， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3α，即∠BDC＝3∠ABD，故B正确，不合题意； 当E为AB中点时，则， ∵CE⊥AB， ∴CE是线段AB的垂直平分线， ∴AC＝BC， ∵，，BE＝CD， ∴AB＝AC， ∴AC＝BC＝AB， ∴△ABC是等边三角形，故C正确，不合题意； 当E为AB中点时，△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，CE平分∠ACB， ∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∠OCD＝30°， ∴OB＝OC， 又∵点D为AC的中点， ∴BD⊥AC， ∴， ∴BD＝3OD， ∵，， ∴， ∴，即S△BOC＝2S△COD，故D不正确，符合题意． 故选：D． 题型二 特殊三角形的综合解答题 1．（2025·昆山市·校级月考）已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 【答案】（1）理由详见解析；（2）①理由详见解析；②∠A的度数为45°或36°． 【详解】解：（1）理由如下： ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠BDC是△ADC的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD， ∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A， ∴∠BDC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠BDC， ∴CD＝CB； （2）①理由如下： ∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CBE+∠ACB＝90°， 设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α， ∴∠BCD＝2∠CBE； ②∵∠BFD是△CBF的一个外角， ∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α， 分三种情况： 当BD＝BF时， ∴∠BDC＝∠BFD＝3α， ∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴90°﹣α＝3α， ∴α＝22.5°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°； 当DB＝DF时， ∴∠DBE＝∠BFD＝3α， ∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α， ∴90°﹣2α＝3α， ∴α＝18°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°； 当FB＝FD时， ∴∠DBE＝∠BDF， ∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF， ∴不存在FB＝FD； 综上，如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°． 2．（2025·扬州·校级月考）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，求证：△AEC≌△ADB； 【尝试应用】（2）如图2，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，B、D、E三点在一条直线上，AC与BE交于点F，若点F为AC中点， ①求∠BEC的大小； ②CE＝2，求△ACE的面积； 【拓展提高】（3）如图3，△ABC与△ADE中，AB＝AC，DA＝DE，∠BAC＝∠ADE＝90°，BE与CA交于点F，DC＝DF，CD⊥DF，△BCF的面积为18，求AF的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）①90°，②2；（3）6． 【详解】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，即∠CAE＝∠BAD， 在△AEC和△ADB中， ， ∴△AEC≌△ADB（SAS）； （2）解：①∵AD＝AE，∠DAE＝90°， ∴∠ADE＝∠AED＝45°， ∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣45°＝135°， 同（1）可得：△AEC≌△ADB（SAS）， ∴∠AEC＝∠ADB＝135°， ∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝135°﹣45°＝90°； ②如图2，过点A作AG⊥DE于点G，则∠FGA＝90°， 由①可知：∠FEC＝90°， ∴∠FGA＝∠FEC， ∵点F为AC中点， ∴AF＝CF， 又∵∠AFG＝∠CFE， ∴△AGF≌△CEF（AAS）， ∴AG＝CE＝2，GF＝EF， ∵AD＝AE，∠DAE＝90°， ∴DG＝EG＝AG＝2， ∴GF＝EFEG＝1， ∴S△ACE＝2S△CEF＝2CE·EF＝2×1＝2； （3）解：如图3，连接CE， 同（2）可得：△CDE≌△FDA（SAS）， ∴CE＝AF，∠DCE＝∠DFA＝135°， ∴∠ACE＝∠DCE﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°， 在△ACE和△BAF中， ， ∴△ACE≌△BAF（SAS）， ∴CE＝AF，S△ACE＝S△BAF， ∵∠ACE＝∠BAC， ∴CE∥AB， ∴S△ABE＝S△ABCAC·ABAC2， ∵S△ABC+S△ACE﹣S△ABE﹣S△CEF＝S△BCF， ∴AC2AC·CEAC2CE·CF＝18， ∴AC·AF﹣AF·CF＝36， ∴AF（AC﹣CF）＝36， ∴AF2＝36， ∴AF＝6，即AF的长为6． 3．（2025·天宁区·期中）定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上． （1）如图1，如果BD＝BC，求证：BD是△ABC的“等角分割线”； （2）如图2，如果BD⊥AC，且BD是△ABC的“等角分割线”，求∠C的度数； （3）BD是△ABC的“等角分割线”，∠BAC的平分线交BD于点F．如果DF＝DC，那么∠BAC的度数为　　． 【答案】（1）证明详见解析；（2）67.5°；（3）45°或． 【详解】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠C， ∴∠ABC＝∠BDC， ∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∠BDC＝∠A+∠ABD， ∴∠ABD+∠DBC＝∠A+∠ABD， ∴∠A＝∠DBC， ∴BD是△ABC的“等角分割线”； （2）解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴∠A＝180°﹣2∠C， ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°，∠BDA＝90°， ∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∠BDA＝∠DBC+∠C， ∴∠ABD＝2∠C﹣90°，∠DBC＝90°﹣∠C， ∵BD是△ABC的“等角分割线”， ∴①∠A＝∠ABD，180°﹣2∠C＝2∠C﹣90°，解得：∠C＝67.5°； ②∠A＝∠DBC，180°﹣2∠C＝90°﹣∠C，解得：∠C＝90°（舍去）； 综上，∠C＝67.5°； （3）解：记∠BAC的平分线与BC交于点E， ①当∠DBC＝∠BAC时，如图， ∵AB＝AC，AE平分∠BAC， ∴AE⊥BC，∠BAE＝∠CAE，BE＝CE（等腰三角形三线合一）， 设∠BAE＝∠CAE＝x，则∠DBC＝∠BAC＝2x， ∵AE⊥BC，BE＝CE， ∴AE垂直平分BC， ∴FB＝FC， ∴∠DBC＝∠FCB＝2x， ∴∠DFC＝∠FBC+∠FCB＝2x+2x＝4x， ∵DF＝DC， ∴∠DFC＝∠DCF＝4x， ∴∠ACE＝∠DCF+∠FCB＝4x+2x＝6x， ∵AE⊥BC， ∴∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°， ∴x+6x+90°＝180°，解得：， ∴； ②当∠ABD＝∠BAC时，如图， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE（角平分线的定义）， 设∠BAE＝∠CAE＝x，则∠ABD＝∠BAC＝2x， ∴∠FDC＝∠BAC+∠ABD＝4x， 在△ABF和△ACF中， ， ∴△ABF≌△ACF（SAS）， ∴∠ACF＝∠ABD＝2x， ∵DF＝DC， ∴∠DFC＝∠DCF＝2x， ∵∠FDC+∠DFC+∠DCF＝180°， ∴4x+2x+2x＝180°，解得：x＝22.5°， ∴∠BAC＝2×22.5°＝45°； 综上：∠BAC的度数为45°或， 故答案为：45°或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5等腰三角形 题型一 等腰三角形的性质 1．（2026·泗阳县·一模）一个等腰三角形形状的装饰品的顶角为40°，则它的底角为（　　） A．40° B．70° C．100° D．100°或70° 2．（2025·东台市·期末）已知等腰三角形的周长为12，一边长为5，则它的腰长等于（　　） A．5 B．2或5 C．3.5 D．5或3.5 3．（2025·江阴市·期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆DE⊥BC．工程人员这种操作方法的依据是（　　） A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 4．（2026·海州区·校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以A为圆心，AB长为半径作弧，与AC交于点D，以C为圆心，BC长为半径作弧，与AC交于点E，连结BD，BE，则∠DBE的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．与∠A的大小有关 5．（2025·淮安·期末）如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，且AB＝AC，BD＝BC，则∠A的度数为（　　） A．30° B．35° C．36° D．40° 6．（2025·丹阳市·期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，点D在AB上，连接CD与AE交于点F，若CE＝CF，求证：CD⊥AB． 题型二 等腰三角形的判定 1．（2025·连云港·校级月考）如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（　　）个． A．7 B．6 C．5 D．4 2．（2025·邗江区·校级月考）如图，直线l1、l2相交于点A，点B是直线外一点，在直线l1或l2上找一点C，使△ABC为一个等腰三角形．满足条件的点C有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 3．（2026·通州区·校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D、E是BC上两点，且∠BAD＝∠DAE＝∠EAC．则图中有　　个等腰三角形． 4．（2025·仪征市·期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AD∥BC，∠C＝2∠D．求证：△ABD是等腰三角形． 题型三 等腰三角形的判定与性质 1．（2025·建湖县·期末）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝7，点M在AC边上，△ABM的周长为13，则下列结论正确的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠C C．∠2＝∠C D．∠ABC＝90° 2．（2025·宿城区·校级月考）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG＝4，ED＝8，求EB+DC＝　　． 3．（2025·云龙区·校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于E，那么下列结论中：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝DB+CE；③△ADE的周长等于AB+BC；④BF＝CF．其中正确的是　　（填写正确的序号） 4．（2025·苏州·校级期中）如图，D为△ABC内一点，AD⊥CD，AD平分∠CAB，且∠DCB＝∠B．如果AB＝10，AC＝6，那么CD＝　　． 5．（2025·兴化市·期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O． （1）△OBC是等腰三角形吗？为什么？ （2）连接AO，AO是BC的垂直平分线吗？为什么？ 6．（2026·高新区·校级作业）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 题型四 等边三角形的性质 1．（2026·玄武区·校级期中）如图，将边长为5个单位的等边△ABC沿边BC向右平移3个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为　　． 题型五 等边三角形的判定 1．（2025·南京·校级月考）下列三角形中，不一定是等边三角形的是（　　） A．三个角都相等的三角形 B．有两个角等于60°的三角形 C．一条边上的高也是这条边上的中线的三角形 D．有一个外角等于120°的等腰三角形 2．（2025·溧阳市·校级月考）下列三角形： ①有两个角等于60°； ②有一个角等于60°的等腰三角形； ③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形； ④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形． 其中是等边三角形的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 3．（2025·邳州市·期中）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，∠DAC＝∠B，且∠BAD＝60°，求证：△AEF是等边三角形． 题型六 等边三角形的判定与性质 1．（2025·丹阳市·期中）如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆CD的长度与支杆BC的长度相等，∠BCE＝120°，若CD的长度为45cm，则B、D两点之间的距离为（　　） A．40cm B．45cm C．50cm D．55cm 2．（2025·海安市·校级期中）如图，点P在∠MON内，点P关于OM，ON的对称点分别为E，F，若EF＝OP，则∠MON的度数是（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 3．（2025·玄武区·期末）如图，在△ABD中，AB＝AD＝12，∠A＝60°，点E在AD上，点C在BD的垂直平分线上，连接CB，CD，CE，且CE与BD交于点F．若CE∥AB，CE＝7，则CF的长是（　　） A．4 B．3.5 C．3 D．2 4．（2025·鼓楼区·月考）如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由． 5．（2025·亭湖区·期末）课本再现：（1）如图1，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C． ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴∠A＝∠ADE＝∠AED， ∴△ADE是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C，∠A＝60°． ∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE，∠C＝①　　， ∴②　　＝③　　， ∴AD＝AE．（④　　） ∴△ADE是等腰三角形． 又∵∠A＝60°，∴△ADE是等边三角形． （2）如图2，等边三角形ABC的两条角平分线相交于点D，延长BD至点E，使得AE＝AD，求证：△ADE是等边三角形． 题型七 直角三角形斜边上的中线 1．（2025·鼓楼区·校级月考）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A、D、B对应的刻度分别为1、4、7（单位：cm），则CD的长度为（　　） A．6 B．4.5 C．3.5 D．3 2．（2024·东海县·期中）如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子AB的中点，当梯子底端向右水平滑动到CD位置时，滑动过程中OM的变化规律是（　　） A．不变 B．变小 C．变大 D．先变小再变大 3．（2025·玄武区·期末）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，∠BMD＝150°，则∠BAD＝　　°． 题型八 含30°角的直角三角形 1．（2025·姑苏区·校级月考）如图所示，△ABC是等边三角形，D为AC的中点，DE⊥AB，垂足为E．若AE＝3，则△ABC的边长为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 2．（2026·通州区·校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝20，点D在BA的延长线上，CA＝CD，BD＝12，则AD＝（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（2025·靖江市·校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点P为BC边的中点，PD⊥AC于点D． （1）求∠C的度数； （2）求证：CD＝3AD． 4．（2025·宝应县·期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于点D，点F在BC的垂直平分线上． （1）求证：△AEF是等边三角形． （2）若BD＝2，求CD的长． 题型一 以特殊三角形为背景的规律问题 1．（2025·天宁区·校级月考）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·苏州·期末）如图，已知，∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A7B7A8的边长为（　　） A．16 B．32 C．64 D．128 题型二 特殊三角形的存在性问题 1．（2026·苏州·期末）如图，点C在直线AB上，∠ACD＝65°．将一张等边三角形纸片如图放置，纸片的边MN在直线AB上平移，当以C，P，N为顶点的三角形是直角三角形时，∠DCP的度数为（　　） A．90° B．25°或90° C．85°或90° D．25°或85° 2．（2025·锡山区·校级月考）如图，∠AOB＝80°，C是边OB上的一个定点，点P在角的另一边OA上运动，当∠OCP的度数为　　时，△COP是等腰三角形． 题型三 手拉手模型 1．（2025·昆山市·校级月考）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝15°，∠2＝25°，则∠3＝　　． 2．（2025·邗江区·校级月考）如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，连接AD，BE相交于点P． （1）求证：BE＝AD． （2）求∠APB的度数． 题型一 特殊三角形的综合辨析题 1．（2025·鼓楼区·校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，在△ABC的内部取一点O，连接OA，OB，OC，恰有OA＝OC，∠OBA＝20°，∠OCA＝40°．给出下列说法：①∠BOA＝140°；②△OAB是等腰三角形；③∠OBC＝30°；④△ABC是等边三角形．其中说法正确的是　　．（填序号） 2．（2025·盐城&新吴区·校级月考）如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．下列说法错误的是（　　） A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点E B．∠BDC＝3∠ABD C．当E为AB中点时，△ABC是等边三角形 D．当E为AB中点时，S△BOC＝3S△COD 题型二 特殊三角形的综合解答题 1．（2025·昆山市·校级月考）已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 2．（2025·扬州·校级月考）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，求证：△AEC≌△ADB； 【尝试应用】（2）如图2，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，B、D、E三点在一条直线上，AC与BE交于点F，若点F为AC中点， ①求∠BEC的大小； ②CE＝2，求△ACE的面积； 【拓展提高】（3）如图3，△ABC与△ADE中，AB＝AC，DA＝DE，∠BAC＝∠ADE＝90°，BE与CA交于点F，DC＝DF，CD⊥DF，△BCF的面积为18，求AF的长． 3．（2025·天宁区·期中）定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上． （1）如图1，如果BD＝BC，求证：BD是△ABC的“等角分割线”； （2）如图2，如果BD⊥AC，且BD是△ABC的“等角分割线”，求∠C的度数； （3）BD是△ABC的“等角分割线”，∠BAC的平分线交BD于点F．如果DF＝DC，那么∠BAC的度数为　　． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $