1.5.3 含30°角的直角三角形的性质 课时提优练习-2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学含30°角的直角三角形性质同步练，通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，实现从性质直接应用到动态问题解决的知识进阶，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|性质直接应用|选择1求30°角对边，填空8角平分线与垂直平分线结合，夯实概念理解| |中档|性质与几何变换综合|选择3翻折中点问题，填空13中线高线三等分角，融合翻折、中点等知识| |提升|动态与实际应用|选择7动点垂直平分线最值，解答23池塘测量方案，培养动态思维与应用意识|

1.5.3含30°角的直角三角形的性质 课时提优练习 一、选择题 1、如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，AB＝8，则BD的长为（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．3 2、如图，在中，，，交于点，，则的长是（　　） A． B． C． D． 3、如图，中，，当沿折痕翻折时，点恰好落在的中点上.若， 则的长是（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 4、如图，在中，，，，动点、分别从点、同时出发，其中点以的速度沿向点匀速运动，点以的速度沿向点匀速运动，当、其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，当为直角三角形时，的值为（   ） A．1 B．1或 C．1或2 D．2或 5、如图，等边三角形的边长为9，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6、如图，在中，，，，点D是BC边上一个动点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到，连接，则在点D运动过程中，线段长度的最小值为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 7、如图，中，，，，D为上一动点，垂直平分分别交于E、交于F，则的最大值为（   ） A． B． C． D．2 二、填空题 8、如图，中，，是的角平分线，点在的垂直平分线上， 若，则 ． 9、如图，在矩形中，，将矩形绕着点逆时针旋转一定角度得到矩形， 若点落在边上，则 ． 10、如图，将一块长方形纸片沿翻折后，点C与E重合，交于点H， 若，，则的长度为 ． 11、如图，在中，，，，点在边上，，连接．将沿直线翻折后，点的对应点为点，作，垂足为，则 ．    12、某校在一块如图所示的三角形空地ABC上种植草皮美化环境，已知，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮需要 元． 13、如图，在中，中线与高线三等分，则的度数为 ． 14、在中，，，是直线上的一点，且满足， 则的度数为 ． 15、已知等边中，，若点H在线段上运动， 取最小值时，的值为 ． 16、如图，若的顶点在射线上，且，动点从点出发，以每秒1个单位沿射线运动，当运动时间的取值范围是 秒时，是锐角三角形． 17、如图，在中，，，点D为边上一动点，点E在边上，，将沿翻折，点A的对应点为F，连接．当为直角三角形时，的长为 ．    18、如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为．当点到达点时，点随之停止运动．连接，设点的运动时间为．当与的一条边垂直时， ． 三、解答题 19、如图，在中，，是的中点，交于点．求证：． 20、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点G在边BC上，EG交AD于点F，BE＝BG＝6cm，∠BEG＝60°，EF＝2cm． （1）求∠DFG的度数． （2）求BC的长度． 21、如图，在中，;将绕点逆时针旋转得到，的延长线与相交于点，连接、，且． (1)求证：； (2)求证：． 22、如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． (1)求证：； (2)过点A作，求线段与的数量关系． 23、小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接，并分别延长至点B，点D，使，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长至点D，使，过点D作的平行线，延长至点F，连接，测得，请求出池塘宽度． 1.5.3 含30°角的直角三角形的性质 课时提优练习 -2026-2027学年苏科版数学八年级上册 一、选择题 1、如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，AB＝8，则BD的长为（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 2、如图，在中，，，交于点，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 3、如图，中，，当沿折痕翻折时，点恰好落在的中点上.若， 则的长是（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 4、如图，在中，，，，动点、分别从点、同时出发，其中点以的速度沿向点匀速运动，点以的速度沿向点匀速运动，当、其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，当为直角三角形时，的值为（   ） A．1 B．1或 C．1或2 D．2或 【答案】B 解：点以的速度沿向点匀速运动，点以的速度沿向点匀速运动，，， ，， 当时，，， ，，； 当时，，，， ，； 当、其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动， 点M从B到A所需时间为，点N从C到B所需时间为， ； 和均满足， 的值为1或，故选B． 5、如图，等边三角形的边长为9，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 解：如下图，过点D作，交于F，   是等边三角形，， ，， 是等边三角形，， 点P为中点，， 在和中，，，，， ，，， 设，则， ，解得：，，故选：B． 6、如图，在中，，，，点D是BC边上一个动点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到，连接，则在点D运动过程中，线段长度的最小值为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 解：延长，过点C作于点G，如图所示： ∵，，∴， 根据旋转可知：，， ∴，∴点A、C、E在同一直线上， ∵，∴，∴点F在直线上， ∵垂线段最短，∴点F在点G处时，最小， ∵在中，，，∴， ∴， ∵，，∴，∴的最小值为4．故选：B． 7、如图，中，，，，D为上一动点，垂直平分分别交于E、交于F，则的最大值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 解：如图，连接，过作交于， ，，，， 垂直平分，， ， 当取得最小值时，取得最大值， ， 当时，取得最小值， 此时与重合，如图， ， ，解得：，故选：C． 二、填空题 8、如图，中，，是的角平分线，点在的垂直平分线上， 若，则 ． 【答案】 9、如图，在矩形中，，将矩形绕着点逆时针旋转一定角度得到矩形， 若点落在边上，则 ． 【答案】30 10、如图，将一块长方形纸片沿翻折后，点C与E重合，交于点H， 若，，则的长度为 ． 【答案】6 11、如图，在中，，，，点在边上，，连接．将沿直线翻折后，点的对应点为点，作，垂足为，则 ．    【答案】2 解：，． 中，，是等边三角形，， ． 根据翻折的性质可得，，． 又，，，．故答案为：2． 12、某校在一块如图所示的三角形空地ABC上种植草皮美化环境，已知，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮需要 元． 【答案】 解：如图，作边的高，设与的延长线交于点， ， ， ，， ， ， ， 每平方米售价元， 购买这种草皮的价格：元． 故答案为：． 13、如图，在中，中线与高线三等分，则的度数为 ． 【答案】/30度 解：根据题意得：． ∵， ∴．∴． 过点M作于点N， ∵，∴． ∴，∴在中，．故答案为：． 14、在中，，，是直线上的一点，且满足， 则的度数为 ． 【答案】或/或 解：当点在线段上时，如图所示， 在中，，，∴，， ∵，∴，∴为等边三角形，∴； 当点在延长线上时，如图所示， 同理可得，∴ ∵，，∴； 综上，或，故答案为：或． 15、已知等边中，，若点H在线段上运动， 取最小值时，的值为 ． 【答案】4 解：如图，过点作于点，连接， 是等边三角形，，∴，， ， ， 当、、三点依次在同直线上时，的值最小， 此时，，， ∴，，．故答案为：4． 16、如图，若的顶点在射线上，且，动点从点出发，以每秒1个单位沿射线运动，当运动时间的取值范围是 秒时，是锐角三角形． 【答案】 解：如图，过作于，，交于， 则，， ，，， ，，， 当运动时间的取值范围是秒时，是锐角三角形． 故答案为：． 17、如图，在中，，，点D为边上一动点，点E在边上，，将沿翻折，点A的对应点为F，连接．当为直角三角形时，的长为 ．    【答案】3或6 解：，，， 由折叠可得，， 当时，点在内（如图所示）， ，，， 由折叠得， ，，； 当时，点在外， 同理可得， ，；． 综上所述：的长为3或6．故答案为：3或6． 18、如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为．当点到达点时，点随之停止运动．连接，设点的运动时间为．当与的一条边垂直时， ． 【答案】2或4或8 解：由题意，， ①如图1中，当时， ∵，∴，∴，∴，∴． 如图2中，当时，同法可得， ∴，∴． ③如图3中，当时，同法可得， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的t的值为2或4或8． 故答案为：2或4或8． 三、解答题 19、如图，在中，，是的中点，交于点．求证：． 解：∵， ∴，， ∵交于点．是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，， 则， ∵， ∴． 20、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点G在边BC上，EG交AD于点F，BE＝BG＝6cm，∠BEG＝60°，EF＝2cm． （1）求∠DFG的度数． （2）求BC的长度． 解：（1）∵EB＝BG＝6cm，∠BEG＝60°，∴△EBG是等边三角形，∴∠FGD＝60°， ∵AB＝AC．AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠DFG＝90°﹣60°＝30°， （2）∵EB＝BG＝6cm，∠BEG＝60°，∴△EBG是等边三角形，∴EG＝BE＝6（cm）， ∵EF＝2cm，∴FG＝4（cm） 在Rt△DFG中，∵FG＝4cm，∠DFG＝30°， ∴DGGF＝2（cm），∴BD＝BG﹣DG＝4（cm），∴BC＝2BD＝8（cm）． 21、如图，在中，;将绕点逆时针旋转得到，的延长线与相交于点，连接、，且． (1)求证：； (2)求证：． （1）证明；由旋转的性质可得， ∴是等边三角形，∴， ∴，∴； （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， 又∵，∴，∴垂直平分， ∴，∴． 22、如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． (1)求证：； (2)过点A作，求线段与的数量关系． （1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，∴， ∴，∴． 23、小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接，并分别延长至点B，点D，使，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长至点D，使，过点D作的平行线，延长至点F，连接，测得，请求出池塘宽度． （1）证明：在和中，，，； （2）解：延长交于点， ，， 在和中，，，， ， ， ， ，， ，，， 答：池塘宽度为． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $