3.3 整式的加减（讲义）数学新教材苏科版七年级上册

第三章 代数式 3.3 整式的加减 1.理解单项式、多项式、整式的概念；能准确识别单项式系数、次数；多项式项、次数、常数项；分清整式、单项式、多项式三者的包含关系。 2.理解同类项概念，会辨别同类项；掌握合并同类项法则，能正确合并同类项。 3.掌握去括号法则，能正确去掉带系数的括号；熟练进行整式的加减运算（合并同类项 + 去括号）。 4.会先化简整式，再代入数值求代数式的值；体会化简可以简化计算。 5.能用整式加减解决简单实际问题、图形列式，建立符号意识。 课标要点 1.单项式的系数、次数；多项式的项、次数、常数项识别。 2.识别同类项，合并同类项。 3.去括号法则（括号前负号、括号前有数字乘数）。 4.整式加减运算；化简后代入求值。 学习重难点 重点： 1.单项式的系数、次数；多项式的项、次数、常数项识别。 2.识别同类项，合并同类项。 3.去括号法则（括号前负号、括号前有数字乘数）。 4.整式加减运算；化简后代入求值 难点： 1.单项式系数包含前面符号；π 是数字不是字母，不计入字母次数。 2.多项式次数是最高次项的次数，不是所有字母次数相加。 3.去括号：括号前面是负号，括号内每一项全部变号；括号外有因数，要乘括号里面每一项，不要漏乘。 4.化简求值题型，负数代入要加括号。 v 知识点 单项式 单项式:由数与字母的积组成的代数式;单独一个数或一个字母也是单项式。单项式中的数字因数叫做单项式的系数;单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数、特别提醒 系数包含前面的正负符号;系数为1或-1时，1通常省略不写;常数单项式次数为 0. 易错提醒 误区1:把π当成字母，计入字母次数， 误区 2:找系数时漏掉负号; 误区 3:认为单项式次数是数字与字母指数相加。 教材延伸 单项式是构成多项式的基本单元，判断整式、进行整式加减运算，都要先识别单项式的系数与次数。 随学随练 1．在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查单项式的定义，解题思路为根据单项式定义逐个判断题干中的整式，统计单项式个数即可得到答案，单项式定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，几个单项式的和为多项式． 【详解】解：∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵，是两个单项式的差，属于多项式，不是单项式 ∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵是单独的一个字母，是单项式 ∵是单项式和单项式的和，属于多项式，不是单项式 综上，单项式共有个，因此选C． 2．关于代数式，下列说法正确的是（     ） A．它的系数是3 B．它是单项式 C．它的次数是6 D．它不是整式 【答案】B 【详解】解：． ∵该式的数字因数为9， ∴系数为9，故A选项错误； ∵该代数式是数字与字母的乘积， ∴它是单项式，属于整式，故B选项正确，D选项错误； ∵所有字母的指数和为， ∴次数为4，故C选项错误． 3．下列各代数式中，是五次单项式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】单项式是数与字母的积组成的代数式，单项式的次数为所有字母的指数和，根据定义计算各选项即可判断． 【详解】解：A、的次数为 ，是六次单项式，不符合要求； B、 的次数为 ，是三次单项式，不符合要求； C、的次数为 ，是五次单项式，符合要求； D、不是单项式，不符合要求． 4．一个单项式的次数是，系数是，这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】单项式的系数是其数字因数，次数是所有字母的指数和． 【详解】解：A选项：系数为2，次数为，不符合要求； B选项：系数为3，次数为2，不符合要求； C选项：系数为，次数为，符合要求； D选项：系数为，次数为1，不符合要求． 知识点 多项式（重点） 多项式:几个单项式的和叫做多项式。多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫常数项;多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。 特别提醒 多项式的每一项都自带前面的符号；多项式是几项就叫几项式，结合最高次项次数命名，如二次三项式。 易错提醒 误区 1:确定多项式次数，把所有项的次数相加; 误区 2:写多项式的项时，漏掉项前面的负号。 教材延伸 整式分为单项式与多项式;分母含有字母的代数式不属于整式 随学随练 5．以下是一组按规律排列的单项式：，，，，其中第个单项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】拆分单项式的系数与字母部分，分别寻找规律． 【详解】解：第1个单项式的系数为； 第2个单项式的系数为； 第3个单项式的系数为； 第4个单项式的系数为； ∴ 第个单项式的系数为， 又∵ 所有单项式的字母部分均为， ∴ 第个单项式为． 6．下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式与多项式的定义，明确“多项式是几个单项式的和”这一概念，据此区分单项式与多项式． 【详解】解：A：是数与字母的积，属于单项式； B：是两个单项式与的和，属于多项式； C：是数与字母的积，属于单项式； D：是数与字母的积，属于单项式； 故选：B． 7．多项式 的次数及最高次项的系数分别是（    ） A．3， B．2， C．5，2 D．2，3 【答案】A 【分析】多项式中，次数最高项的次数是这个多项式的次数，可得出多项式的次数，再写出多项式的最高次项的系数即可． 【详解】解：多项式的次数是， 最高次项为， 因此最高次项的系数为． 8．多项式是关于的四次三项式，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查多项式的次数与项数的概念，解题的关键是根据“四次三项式”的定义，同时满足最高次项次数为4、多项式有三项这两个条件． 根据“四次三项式”的定义，先确定最高次项的次数为4，再保证多项式有三项（一次项系数不为0），进而求出的值． 【详解】解：∵多项式是关于的四次三项式， ∴，且． 由，得或． 若，则，一次项消失，多项式变为二项式，不符合 “三项式” 的条件， 若，则，符合条件． ∴． 故选：A． 9．以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项B：各项的指数依次为，符合降幂排列的要求，正确； 选项C：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项D：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误． 知识点 同类项与和合并同类项（重点） 同类项:所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项;所有常数项都是同类项。 合并同类项:把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变 特别提醒 判断同类项，只看字母与对应指数，与系数大小、字母排列顺序无关;只有同类项才可以合并。 易错提醒 误区:只要字母相同就是同类项，忽略相同字母的指数必须相等;不是同类项强行合并。 教材延伸 合并同类项是整式加减的基础，本质是逆用乘法分配律。 随学随练 10．下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】解：与所含字母不同，A错误； 与中相同字母的指数不相同，B错误； 与所含字母均为、，且相同字母指数均为1，C正确； 与中的指数不同，D错误． 11．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、与不是同类项，无法合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 12．若与的和是单项式，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】两个单项式的和为单项式，说明这两个单项式是同类项，根据同类项的定义求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴与是同类项． 根据同类项定义，相同字母的指数相同，可得，． 将，代入，得． 知识点 去括号法则（重点） 括号前面是“十”号，把括号和它前面的“十”号去掉，括号里各项都不改变符号，括号前面是“一"号，把括号和它前面的“一”号去掉，括号里各项都改变符号，括号前有数字因数时，要用分配律，数字乘括号内每一项。 特别提醒 括号前是负号，括号内每一项全部变号，不能只改变第一项符号。 易错提醒 误区:-2(a-b)=-2a -2b，漏乘、符号变换不全 教材延伸 整式加减运算步骤:先去括号，再合并同类项，最后化简， 随学随练 13．与相等的整式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 14．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用去括号法则与合并同类项法则，逐一验证各选项计算的正误． 【详解】解：，A计算错误； ，B计算正确； ，C计算错误； 与不是同类项，不能合并，D计算错误． 知识点 整式化简求值（重点） 先对整式进行去括号、合并同类项化简，再将字母对应数值代入化简后的式子计算结果 特别提醒 代入负数、分数进行乘方运算时，一定要给这个数加上括号。 易错提醒 误区:不化简，直接代入原式，计算量大，更容易算错;负数代入乘方不加括号，符号出错。 教材延伸 化简求值体现简化运算的数学思想，常结合整体代入题型(整体代换，不单独求字母的值) 随学随练 15．若，则（     ） A．29 B．30 C．31 D．无法确定 【答案】C 【分析】将所求代数式变形为含的形式，整体代入求值． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 16．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键； 通过整体代入法求解，观察所求式子与已知等式的关系，将所求式子变形为含已知等式的形式，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 17．已知，则的值是（   ） A． B．8 C． D．32 【答案】D 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，利用整体思想解题是关键．将代数式去括号、合并同类项后变形为，再整体代入计算求值即可． 【详解】解： 原式， 故选：D． 18．先合并同类项，再求各多项式的值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)，6 【详解】（1）解： ， 当时， 原式； （2）解： ， 当时， 原式． 拓展 数字类规律探究 解题贴士 方法思路: 1.观察相邻数字之间和、差、倍、平方关系，列出第 1、2、3 项，寻找项数n与对应数值的关系式。 2.等差模型:后项减前项差值固定，通项形式，an=a1+(n-1)d 3.平方模型:数字和项数平方有关，如第n项为1,4,9,16...n2 4.符号交替模型:正负交替用(-1)n”或(-1)”n+1控制符号。 活学活用 1．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，我们发现第次输出结果为，第次输出结果为，…请你探索第次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先按照程序规则，从输入值22开始依次计算前若干次的输出结果，确定前几次无规律的输出项．观察输出结果，找到从某一项开始重复出现的序列，确定循环周期．因为要计算第2026次的输出，所以先减去不参与循环的前几项的数量，再用所得的数除以循环周期，根据余数对应循环序列中的位置得到结果． 【详解】解：由题意可得，当开始输入的值为22，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， 第十次输出的结果为， ， 由上可得，从第七次开始，依次以4，2，1循环出现， ， ， ， 第2026次输出的结果为4． 2．已知为实数，规定运算：，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，代入进行计算，可知数列3个为一次循环，按此规律即可进行求解． 【详解】解：由题意可知，时，，，，，…， 其规律是3个为一次循环， ∵， ∴． 3．算式的个位数是（     ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】B 【分析】先找出3的正整数次幂的个位数字的循环规律，再根据总项数得到完整周期的个数和剩余项，最后计算总和的个位数字即可． 【详解】解：计算3的各次幂的个位数字：个位为；个位为；个位为；个位为；个位回到， 故3的正整数次幂的个位以，，，为一个周期循环，周期为，每个周期的个位和为，个位为， 算式共有项，，即共有个完整周期，剩余1项，剩余项的个位与周期第1项的个位相同，为， ∵， ∴原式总和的个位为． 拓展 图形类规律探究 解题贴士 方法思路: 1.数出第 1、2、3 个图形对应的数量转化为数字序列，按数字规律求通项。 2.增量模型:每增加一个图形，增加固定数量，属于等差规律。 3.拆分模型:把图形拆成固定不变部分+随序号变化的变化部分，分别列式再合并。 4.检验:求出第n项式子，代回前 3 个图形验证是否符合。 活学活用 1．如图，每一个图形都是由一些小组成的，从第个图形开始，小的个数分别是，、，……，那么第个图形的小共有（     ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形中小个数的变化规律求出第个图形的小的个数． 【详解】解：第个图形的小共有个， 第个图形的小共有个， 第个图形的小共有个， ， 第个图形的小共有个． 2．生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第个图案用了个矩形，第个图案用了个矩形，第个图案用了个矩形，，则第个图案需要用矩形的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据3个图中矩形个数的变化，总结出规律即可． 【详解】解：由题意可知，第个图案用了（个）矩形； 第个图案用了（个）矩形； 第个图案用了（个）矩形； ∴第个图案用了（个）矩形． 3．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有16个正方形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中正方形的个数为（     ） A．51 B．64 C．66 D．81 【答案】B 【分析】根据前三个图案中正方形个数的数值特征，归纳出第个图案的通项公式． 【详解】解：观察图形可知， 第①个图案正方形个数为， 第②个图案正方形个数为， 第③个图案正方形个数为， 第个图案正方形个数为， 当时，． 题型 单项式、多项式与整式概念辨析 解题贴士 1.单项式定义:数或字母的积组成的代数式;单独一个数或一个字母也是单项式。 2.单项式细节:单项式中的数字因数叫系数;所有字母的指数之和叫次数;系数包含前面符号，无是常 数不是字母。 3.多项式定义:几个单项式的和叫做多项式;多项式里，次数最高项的次数，就是多项式的次数。4.整式判定模型:单项式与多项式统称整式;分母含有字母的式子不是整式。 ▌例1 下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 【答案】B 【分析】本题根据单项式、整式的定义，以及单项式系数、次数的计算方法，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵单独的一个数是单项式，∴是单项式，A选项错误； ∵的数字因数为，所有字母的指数和为，∴它的系数是，次数是，B选项正确； ∵是单项式，单项式属于整式，∴是整式，C选项错误； ∵的数字因数是，∴它的系数是，不是，D选项错误． ▌对点练1-1．在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 【答案】B 【分析】根据定义逐个判断各代数式的类型，再对比选项得到正确结论． 【详解】①是数与字母的积，是单项式，属于整式； ②是两个单项式的差，是多项式，属于整式； ③分母含有字母a，是分式，不是单项式； ④分母含有字母，是分式，不是多项式； ⑤中分母是常数，属于单项式，因此原式是三个单项式的和，是多项式， ∴A选项中③不是单项式，错误； B选项中②⑤都是多项式，正确； C选项中④不是多项式，错误； D选项中③④是分式，不是整式，错误． ▌对点练1-2下列说法中，正确的个数：（   ） ①单项式与多项式统称为整式； ②单项式的系数是1； ③是二次三项式； ④x的次数是0； ⑤是多项式的项 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】只需逐一判断每个说法的正误，统计正确说法的个数即可． 【详解】我们逐个判断每个说法： ① 根据整式的定义，单项式与多项式统称为整式，故①说法正确； ② 单项式的数字因数为，因此它的系数是，故②说法正确； ③ 多项式中，最高次项的次数为，该多项式共有个项，因此是二次三项式，故③说法正确； ④ 的次数是，不是，故④说法错误； ⑤ 多项式的项为，，，故⑤说法错误； 综上，故选：C． 题型 同类项的判定与参数求解 解题贴士 1.同类项定义:所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项;同类项与系数大小、字母排列顺序无关。 2.常数项模型:所有常数项都是同类项, 参数求解模型(必考难点):若两项为同类项，则对应字母的指数相等，据此列等式求字母参数。 ▌例2单项式与的和是单项式，则的值为（     ）． A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】两个单项式的和为单项式，说明两个单项式是同类项，根据同类项定义求出和的值，再代入计算即可． 【详解】∵单项式与的和是单项式， ∴两个单项式是同类项， ，， 解得，， ∴． ▌对点练2-1已知单项式与的和是单项式，那么的值是（     ） A．6 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】两个单项式的和是单项式，说明这两个单项式是同类项，根据同类项定义“所含字母相同，相同字母的指数相同”，即可求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵单项式与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴，， ∴． ▌对点练2-2若与的和仍是单项式，则=__________． 【答案】2 【详解】解： 与的和仍是单项式， 与是同类项， 根据同类项的定义，可得，， ． 题型 整式加减：去括号与合并同类项 解题贴士 1.去括号法则:括号前是“十”，去括号后各项不变号;括号前是“一"，去括号后括号内每一项都变号。 2.分配律模型(高频易错):括号前有数字因数，数字要乘遍括号内每一项，不能漏乘。 3.合并同类项:只有同类项能够合并;系数相加减字母和字母的指数保持不变。 公式:ma+na=(m+n)a ▌例3合并同类项： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． ▌对点练3-1计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】三个小题均为整式加减计算，先去括号，再合并同类项即可得到结果． 【详解】（1） 解： ； （2） 解： ； （3） 解： ． ▌对点练3-2化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型 整式化简求值 解题贴士 基本思路:先化简，再代入，减少计算量，降低出错概率。 2.代入规则:代入负数、分数做乘方运算时，必须给数值添加括号。 3.整体代入模型(必考难点):不用单独求出字母的值，将已知代数式整体代入。 ▌例4求多项式的值，其中，． 【答案】 【分析】先利用去括号法则去掉多项式中的括号，再合并同类项化简多项式，最后代入和的值计算结果即可． 【详解】解：原式 ； 当，时， 原式 ． ▌对点练4-1先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】先去括号，再合并同类项，最后代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． ▌对点练4-2先化简，再求值：，其中 ． 【答案】 【详解】解：原式 当，，原式 ． 题型 整式在图形中的应用 解题贴士 方法思路:结合图形，用字母表示各边长度，利用周长、面积公式列出整式。 2.化简要求:列出代数式后，需要合并同类项化为最简形式。 3.代入求值:已知字母数值，代入最简整式求出图形周长或面积。 ▌例5为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含的式子表示广场（阴影部分）的周长 (2)若米，米，广场面积，已知修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用的值． 【答案】(1) (2)840000元 【分析】（1）根据图形可直接进行求解； （2）把米，米代入，然后问题可求解． 【详解】（1）解：广场的周长：． （2）解：当米，米时，（平方米）， ∵每平方米需费用200元， ∴建广场的总费用（元）． ▌对点练5-1如图，某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，小区管理部门在空地的一角规划了一个长为米、宽为b米的小长方形花园． (1)请用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积S．（用代数式表示并化简） (2)小区管理部门打算在剩余空地（图中阴影部分）铺上地砖，若，，预计每平方米地砖的价格是50元，求购买所需地砖的费用． 【答案】(1) (2)9400元 【分析】（1）计算解答即可； （2）求代数式的值，再计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：当，时， （平方米）， 故购买所需地砖的费用为：（元）； ▌对点练5-2将如图1所示的边长分别为x，y，z（）的三个正方形无缝隙、不重叠地放置在长为，宽为的长方形中，如图2所示．（单位：cm） (1)求图2中阴影部分的周长； (2)当，，时，求图2中阴影部分的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，解题的关键是通过平移的方式进行边长转化． （1）通过平移的方式将阴影部分的周长转化为长方形的周长求解即可； （2）把，，代入（1）中的结果即可． 【详解】（1）解：阴影部分的周长为 ． （2）解：当，，时， 阴影部分的周长为． 基础通关 1．下列是同类项的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类项．根据定义逐项判断即可．常数项均为同类项． 【详解】解：A、和所含字母相同，但是相同字母的指数不同，不是同类项； B、和所含字母不同，不是同类项； C、和中，不是整式，不是同类项； D、1和都是常数，是同类项． 2．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：∵与所含字母不同，不是同类项，不能合并，∴A错误． B选项：∵与中相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，∴B错误． C选项：∵与是同类项，合并同类项时系数相减，字母及指数不变， ∴，∴C错误． D选项：∵与是同类项，合并同类项得，计算正确，∴D正确． 3．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于都未知，因此将所求代数式变形为含已知等式的形式，整体代入计算即可． 【详解】 ， 将代入，得 ． 4．解方程，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用乘法分配律计算，括号前是负号时，去括号后括号内各项要改变符号，据此即可判断正确结果． 【详解】解：∵ 对原方程去括号，需将乘括号内的每一项， ∴ 乘得，乘得， 因此去括号后结果为． 5．按一定规律排列的代数式：，，，，，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】所有代数式都含字母，找出系数的变化规律，即可推出第个代数式． 【详解】解：∵第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， ……， ∴以此类推，第个代数式的系数为，即第个代数式是． 6．如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵是关于，的四次三项式 ∴，， 解得或，， ∴． 7．一条河的水流速度是，船在静水中的速度是，用式子表示船在这条河中顺水行驶速度为__________，逆水行驶时的速度为__________． 【答案】 【分析】根据顺水速度等于静水速度加水流速度，逆水速度等于静水速度减水流速度，即可列出对应式子． 【详解】解：水流速度是，船在静水中的速度是， 船顺水行驶速度 = 船在静水中的速度 + 水流速度，即顺水速度为， 船逆水行驶速度 = 船在静水中的速度水流速度，即逆水速度为． 8．单项式的系数是____________，次数是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式系数与次数的定义，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，找出单项式的数字因数得到系数，计算所有字母的指数和得到次数即可． 【详解】解：的系数为， 所有字母的指数和为， 则该单项式的系数是，次数是． 9．如果单项式与是同类项，那么_________． 【答案】 【分析】根据同类项的定义，相同字母的指数分别相等，据此列出关于、的方程，求出、的值后，代入代数式计算即可. 【详解】解：单项式与是同类项， ，， 解得，， . 10．合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 11．先化简，再求值： ，其中，． 【答案】化简结果为，值为. 【详解】解： ． 当，时， 原式． 12．如图是用相同材料做成的A，B两种造型的长方形窗框，其中窗框将A型窗框分成了两个小长方形，窗框将B型窗框分成了两个小长方形，已知A型、B型窗框的长都是x米，宽都是y米．（制作窗框时，均要用材料，接缝处忽略不计） (1)制作这两种造型的窗框，每种各需要多少米的材料？ (2)当，，若一位用户要定做A型窗框和B型窗框各1个，则该用户定做的窗框总共需要多少米的材料？ 【答案】(1)A需要材料米，B需要材料米 (2)这两种造型的窗框各1个，共需要25米的材料． 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用，解题的关键是读懂题意，列出正确的代数式． （1）由长方形图形特征，列代数式表示图形中线段长即可求解； （2）由（1）知共需材料的长度为米，再将，，代入求值即可． 【详解】（1）解：制作A种造型的窗框一个，需要材料米， 制作B种造型的窗框一个，需要材料米； （2）解：由（1）得则制作这两种造型的窗框各1个， 共需要米的材料； 当，时， 米， 则这两种造型的窗框各1个，共需要25米的材料． 素养提升 1．下图给出的各组数字中，空白处应该填写的数字依次是（     ） A．7，8，12，18 B．7，13，12，17 C．13，8，12，15 D．7，13，14，17 【答案】B 【分析】由第一个图得，上面一行数字是下面所对应数字的3倍；再由第二个图得，上一行数字分别比下一行数字大7；由第三个图得，上面一行数字是下面所对应数字的2倍；由第四个图得，下面一行数字比上面所对应数字分别大3、6、9；最后选出答案． 【详解】解：由第一个图得，上面一行数字是下面所对应数字的3倍， ∴第一个图空白处的数字为； 由第二个图得，上一行数字分别比下一行数字大7， ∴第二个图空白处的数字为； 由第三个图得，上面一行数字是下面所对应数字的2倍， ∴第三个图空白处的数字为； 由第四个图得，下面一行数字比上面所对应数字分别大3、6、9， ∴第四个图空白处的数字为； ∴空白处应该填写的数字依次是7，13，12，17． 2．图1是长为a，宽为b（）的小长方形纸片，将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，若，，则的值是（     ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【分析】设，根据题意得到，，进而作差，利用整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：设， 根据题意，，， ∴． 3．某客户到商场购买夹克30件，T恤x件（）．商场有两种优惠方案：方案一，买一件夹克送一件T恤；方案二，夹克和T恤都按定价的九折付款．已知夹克每件200元，T恤每件40元．当时，选择方案一比方案二节省（     ） A．200元 B．240元 C．300元 D．400元 【答案】D 【分析】先求出方案一和方案二的总费用，求差即可解答． 【详解】解：方案一的总费用为（元）， 当时，（元）； 方案二的总费用为（元）， 当时，（元）， 方案一比方案二节省（元）． 4．有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴判断 a，b，c 的正负性及绝对值内代数式的符号，去绝对值后合并同类项即可． 【详解】解：由数轴，得 ∴， ∴ ． 5．随着信息时代的发展，个人网络信息安全成为越来越重要的事．在网上进行登录时，往往需要设置组合密码提高信息安全级别．为提升同学们的网络安全意识，我校数学组和信息组拟开展“密码猜猜猜”的跨学科综合实践活动．活动前老师设计了一个密码规则，并给出了如表“密文—明文”提示，请同学们猜一猜．若密码的密文为“”，则可破译出它表示的明文是_____． 密码猜猜猜 密文 明文 284214 563224 244824 【答案】 452718 【分析】根据给定密文和明文得到密文中后两个数字的积为明文的前两位数字，第一个数字和第三个数字的积为明文的中间两位数字，明文的前两个数字与中间两位数字的差值的绝对值为明文的最后两位数字，据此即可得出结果. 【详解】解：观察可知：密文中后两个数字的积为明文的前两位数字，第一个数字和第三个数字的积为明文的中间两位数字，明文的前两个数字与中间两位数字的差值的绝对值为明文的最后两位数字， ∴对应的明文的前两个数字为，中间两位数字为，最后两位数字为， 故明文为. 6．【阅读材料】：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， 例：化简． 解：原式 参照本题阅读材料的做法进行解答： (1)若把看成一个整体，合并的结果是 ； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用合并同类项法则计算即可； （2）把代数式变形后整体代入即可； （3）把代数式去括号并利用加法交换律和结合律变形，再把已知条件整体代入计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵， ∴ （3）∵，，， ∴ 7．某水泥厂在A市和B市各有一个仓库，现在X市和Y市各有一个工地需要水泥，X市需要100吨水泥，Y市需要60吨水泥．而该水泥厂在A市的仓库中只有库存90吨水泥，在B市的仓库中只有库存70吨水泥．已知每吨水泥在城市间的运费如下表所示（单位：元），该厂通过合理安排运输可以使总运费尽量少，请求出总运费最少为多少元？         终点起点 X市 Y市 A市 200 150 B市 120 90 【答案】 总运费最少为23400元． 【分析】设从A市仓库运到X市的水泥为吨，则从A市仓库运到Y市的水泥为吨，从B市仓库运到X市的水泥为吨，从B市仓库运到Y市的水泥为吨，根据题意，求出的范围，列出代数式，表示出总运费，即可得出结果． 【详解】解：设从A市仓库运到X市的水泥为吨，则从A市仓库运到Y市的水泥为吨，从B市仓库运到X市的水泥为吨，从B市仓库运到Y市的水泥为吨， 又因为运输到每个地方的水泥数量都为非负数， 所以， 由题意，总运费为 元； 因为， 所以当时，总运费最小为元． 答：总运费最少为23400元． 迁移创新 1．项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统． 【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域． 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖． 【解决问题】 (1)请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n． (2)已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度． (3)预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元， ①请推导C与a，b，d的数量关系式． ②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)，所有支管道的总长度为米 (3)①由题意得主管道共有米，所需成本为（元）， 支管道共有米，所需成本为（元），所需固定装置成本为（元）， ， ， ， ； ②当，，时， ， ， ， ，超出了给定总预算， 支管道间距d不可以是2； 【分析】（1）由基地宽和支管间距得出总区域数，结合边界不需要安装支管道即可得到需要的支管道总条数； （2）代入，，算出，再计算可得支管总长； （3）①分别算出主管道、支管道、固定装置成本，把这些成本加起来可得到总成本关系式；②将，，代入求得的值，将这个值与进行比较可得支管道间距d不可以是2． 【详解】（1）解：由题意得基地宽度为，每间隔米划分一个灌溉区域， 总区域数为， 边界不需要安装支管道， 需要的支管道总条数； （2）解：，，， ， 所有支管道的总长度为（米）； （3）略 2．【问题提出】 如果一个整数的所有数位之和能被3整除，那么这个整数就能被3整除． 【问题探究】 以四位数为例，设是一个四位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除． 这个结论的论证过程表述如下： ．显然能被3整除，因此，若能被3整除，则就能被3整除． 【类比探究】 判断一个三位数能否被7整除，先采用归纳的策略，列举一些简单的三位数，发现如下特征： 三位数 能否被7整除 特征 133 能 ，7能被7整除 224 能 ，14能被7整除 294 能 ，21能被7整除 148 不能 ，不能被7整除 (1)根据以上探究过程，提出猜想：一个三位数，如果________可以被7整除，那么就能被7整除； (2)证明这个猜想的正确性． 【拓展应用】 结论可以推广到任意正整数：假设该正整数的个位数字是，除个位数字外的部分用表示，推理过程与上面相同，依然能得到当是的倍数时，原数能被整除； (3)①若一个正数能被整除，的最后三位数为，求的最小值． ②四位数，既能被整除，也能被整除，直接写出与之间满足的关系． 【答案】(1) (2) 解：∵， ， ∵是的倍数， ∴是的倍数时，那么就能被7整除， 即是的倍数时，那么就能被7整除； (3)①；②是的倍数，且是的倍数 【分析】（1）利用表格中的规律得出可以被7整除，那么就能被7整除； （2）根据规律得到，分解式子得到，即可求解； （3）①设前面的数字为，即，整理得到，即是的倍数时，能被整除，求出即可；②由被整除的规律和被整除的规律列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：一个三位数，如果可以被7整除，那么就能被7整除； （2）略 （3）解：①设中前面的数字为，则可表示为， ∵， ∴当是的倍数时，能被整除， ∵为整数， ∴的最小值为， ∴的最小值为； ②：∵能被整除， ∴ ∴是的倍数； ∵能被整除， ∴ ∴是的倍数； 综上所述，当是的倍数，且是的倍数时，四位数，既能被整除，也能被整除． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 代数式 3.3 整式的加减 1.理解单项式、多项式、整式的概念；能准确识别单项式系数、次数；多项式项、次数、常数项；分清整式、单项式、多项式三者的包含关系。 2.理解同类项概念，会辨别同类项；掌握合并同类项法则，能正确合并同类项。 3.掌握去括号法则，能正确去掉带系数的括号；熟练进行整式的加减运算（合并同类项 + 去括号）。 4.会先化简整式，再代入数值求代数式的值；体会化简可以简化计算。 5.能用整式加减解决简单实际问题、图形列式，建立符号意识。 课标要点 1.单项式的系数、次数；多项式的项、次数、常数项识别。 2.识别同类项，合并同类项。 3.去括号法则（括号前负号、括号前有数字乘数）。 4.整式加减运算；化简后代入求值。 学习重难点 重点： 1.单项式的系数、次数；多项式的项、次数、常数项识别。 2.识别同类项，合并同类项。 3.去括号法则（括号前负号、括号前有数字乘数）。 4.整式加减运算；化简后代入求值 难点： 1.单项式系数包含前面符号；π 是数字不是字母，不计入字母次数。 2.多项式次数是最高次项的次数，不是所有字母次数相加。 3.去括号：括号前面是负号，括号内每一项全部变号；括号外有因数，要乘括号里面每一项，不要漏乘。 4.化简求值题型，负数代入要加括号。 v 知识点 单项式 单项式:由数与字母的积组成的代数式;单独一个数或一个字母也是单项式。单项式中的数字因数叫做单项式的系数;单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数、特别提醒 系数包含前面的正负符号;系数为1或-1时，1通常省略不写;常数单项式次数为 0. 易错提醒 误区1:把π当成字母，计入字母次数， 误区 2:找系数时漏掉负号; 误区 3:认为单项式次数是数字与字母指数相加。 教材延伸 单项式是构成多项式的基本单元，判断整式、进行整式加减运算，都要先识别单项式的系数与次数。 随学随练 1．在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．关于代数式，下列说法正确的是（     ） A．它的系数是3 B．它是单项式 C．它的次数是6 D．它不是整式 3．下列各代数式中，是五次单项式的是（     ） A． B． C． D． 4．一个单项式的次数是，系数是，这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 知识点 多项式（重点） 多项式:几个单项式的和叫做多项式。多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫常数项;多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。 特别提醒 多项式的每一项都自带前面的符号；多项式是几项就叫几项式，结合最高次项次数命名，如二次三项式。 易错提醒 误区 1:确定多项式次数，把所有项的次数相加; 误区 2:写多项式的项时，漏掉项前面的负号。 教材延伸 整式分为单项式与多项式;分母含有字母的代数式不属于整式 随学随练 5．以下是一组按规律排列的单项式：，，，，其中第个单项式是（     ） A． B． C． D． 6．下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 7．多项式 的次数及最高次项的系数分别是（    ） A．3， B．2， C．5，2 D．2，3 8．多项式是关于的四次三项式，则的值是（    ） A． B． C． D．或 9．以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 知识点 同类项与和合并同类项（重点） 同类项:所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项;所有常数项都是同类项。 合并同类项:把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变 特别提醒 判断同类项，只看字母与对应指数，与系数大小、字母排列顺序无关;只有同类项才可以合并。 易错提醒 误区:只要字母相同就是同类项，忽略相同字母的指数必须相等;不是同类项强行合并。 教材延伸 合并同类项是整式加减的基础，本质是逆用乘法分配律。 随学随练 10．下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 11．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 12．若与的和是单项式，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 知识点 去括号法则（重点） 括号前面是“十”号，把括号和它前面的“十”号去掉，括号里各项都不改变符号，括号前面是“一"号，把括号和它前面的“一”号去掉，括号里各项都改变符号，括号前有数字因数时，要用分配律，数字乘括号内每一项。 特别提醒 括号前是负号，括号内每一项全部变号，不能只改变第一项符号。 易错提醒 误区:-2(a-b)=-2a -2b，漏乘、符号变换不全 教材延伸 整式加减运算步骤:先去括号，再合并同类项，最后化简， 随学随练 13．与相等的整式为（     ） A． B． C． D． 14．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 知识点 整式化简求值（重点） 先对整式进行去括号、合并同类项化简，再将字母对应数值代入化简后的式子计算结果 特别提醒 代入负数、分数进行乘方运算时，一定要给这个数加上括号。 易错提醒 误区:不化简，直接代入原式，计算量大，更容易算错;负数代入乘方不加括号，符号出错。 教材延伸 化简求值体现简化运算的数学思想，常结合整体代入题型(整体代换，不单独求字母的值) 随学随练 15．若，则（     ） A．29 B．30 C．31 D．无法确定 16．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 17．已知，则的值是（   ） A． B．8 C． D．32 18．先合并同类项，再求各多项式的值： (1)，其中； (2)，其中． 拓展 数字类规律探究 解题贴士 方法思路: 1.观察相邻数字之间和、差、倍、平方关系，列出第 1、2、3 项，寻找项数n与对应数值的关系式。 2.等差模型:后项减前项差值固定，通项形式，an=a1+(n-1)d 3.平方模型:数字和项数平方有关，如第n项为1,4,9,16...n2 4.符号交替模型:正负交替用(-1)n”或(-1)”n+1控制符号。 活学活用 1．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，我们发现第次输出结果为，第次输出结果为，…请你探索第次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 2．已知为实数，规定运算：，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（     ） A． B． C． D． 3．算式的个位数是（     ） A．1 B．3 C．7 D．9 拓展 图形类规律探究 解题贴士 方法思路: 1.数出第 1、2、3 个图形对应的数量转化为数字序列，按数字规律求通项。 2.增量模型:每增加一个图形，增加固定数量，属于等差规律。 3.拆分模型:把图形拆成固定不变部分+随序号变化的变化部分，分别列式再合并。 4.检验:求出第n项式子，代回前 3 个图形验证是否符合。 活学活用 1．如图，每一个图形都是由一些小组成的，从第个图形开始，小的个数分别是，、，……，那么第个图形的小共有（     ）个． A． B． C． D． 2．生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第个图案用了个矩形，第个图案用了个矩形，第个图案用了个矩形，，则第个图案需要用矩形的个数为（     ） A． B． C． D． 3．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有16个正方形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中正方形的个数为（     ） A．51 B．64 C．66 D．81 题型 单项式、多项式与整式概念辨析 解题贴士 1.单项式定义:数或字母的积组成的代数式;单独一个数或一个字母也是单项式。 2.单项式细节:单项式中的数字因数叫系数;所有字母的指数之和叫次数;系数包含前面符号，无是常 数不是字母。 3.多项式定义:几个单项式的和叫做多项式;多项式里，次数最高项的次数，就是多项式的次数。4.整式判定模型:单项式与多项式统称整式;分母含有字母的式子不是整式。 ▌例1 下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 ▌对点练1-1．在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 ▌对点练1-2下列说法中，正确的个数：（   ） ①单项式与多项式统称为整式； ②单项式的系数是1； ③是二次三项式； ④x的次数是0； ⑤是多项式的项 A．1 B．2 C．3 D．4 题型 同类项的判定与参数求解 解题贴士 1.同类项定义:所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项;同类项与系数大小、字母排列顺序无关。 2.常数项模型:所有常数项都是同类项, 参数求解模型(必考难点):若两项为同类项，则对应字母的指数相等，据此列等式求字母参数。 ▌例2单项式与的和是单项式，则的值为（     ）． A．3 B．6 C．8 D．9 ▌对点练2-1已知单项式与的和是单项式，那么的值是（     ） A．6 B．5 C． D． ▌对点练2-2若与的和仍是单项式，则=__________． 题型 整式加减：去括号与合并同类项 解题贴士 1.去括号法则:括号前是“十”，去括号后各项不变号;括号前是“一"，去括号后括号内每一项都变号。 2.分配律模型(高频易错):括号前有数字因数，数字要乘遍括号内每一项，不能漏乘。 3.合并同类项:只有同类项能够合并;系数相加减字母和字母的指数保持不变。 公式:ma+na=(m+n)a ▌例3合并同类项： (1)； (2)； (3)． ▌对点练3-1计算： (1)； (2)； (3)． ▌对点练3-2化简： (1)； (2)． 题型 整式化简求值 解题贴士 基本思路:先化简，再代入，减少计算量，降低出错概率。 2.代入规则:代入负数、分数做乘方运算时，必须给数值添加括号。 3.整体代入模型(必考难点):不用单独求出字母的值，将已知代数式整体代入。 ▌例4求多项式的值，其中，． ▌对点练4-1先化简，再求值：，其中，． ▌对点练4-2先化简，再求值：，其中 ． 题型 整式在图形中的应用 解题贴士 方法思路:结合图形，用字母表示各边长度，利用周长、面积公式列出整式。 2.化简要求:列出代数式后，需要合并同类项化为最简形式。 3.代入求值:已知字母数值，代入最简整式求出图形周长或面积。 ▌例5为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含的式子表示广场（阴影部分）的周长 (2)若米，米，广场面积，已知修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用的值． ▌对点练5-1如图，某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，小区管理部门在空地的一角规划了一个长为米、宽为b米的小长方形花园． (1)请用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积S．（用代数式表示并化简） (2)小区管理部门打算在剩余空地（图中阴影部分）铺上地砖，若，，预计每平方米地砖的价格是50元，求购买所需地砖的费用． ▌对点练5-2将如图1所示的边长分别为x，y，z（）的三个正方形无缝隙、不重叠地放置在长为，宽为的长方形中，如图2所示．（单位：cm） (1)求图2中阴影部分的周长； (2)当，，时，求图2中阴影部分的周长． 基础通关 1．下列是同类项的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 3．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 4．解方程，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 5．按一定规律排列的代数式：，，，，，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 6．如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 7．一条河的水流速度是，船在静水中的速度是，用式子表示船在这条河中顺水行驶速度为__________，逆水行驶时的速度为__________． 8．单项式的系数是____________，次数是_____________． 9．如果单项式与是同类项，那么_________． 10．合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 11．先化简，再求值： ，其中，． 12．如图是用相同材料做成的A，B两种造型的长方形窗框，其中窗框将A型窗框分成了两个小长方形，窗框将B型窗框分成了两个小长方形，已知A型、B型窗框的长都是x米，宽都是y米．（制作窗框时，均要用材料，接缝处忽略不计） (1)制作这两种造型的窗框，每种各需要多少米的材料？ (2)当，，若一位用户要定做A型窗框和B型窗框各1个，则该用户定做的窗框总共需要多少米的材料？ 素养提升 1．下图给出的各组数字中，空白处应该填写的数字依次是（     ） A．7，8，12，18 B．7，13，12，17 C．13，8，12，15 D．7，13，14，17 2．图1是长为a，宽为b（）的小长方形纸片，将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，若，，则的值是（     ） A．8 B．16 C．32 D．64 3．某客户到商场购买夹克30件，T恤x件（）．商场有两种优惠方案：方案一，买一件夹克送一件T恤；方案二，夹克和T恤都按定价的九折付款．已知夹克每件200元，T恤每件40元．当时，选择方案一比方案二节省（     ） A．200元 B．240元 C．300元 D．400元 4．有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 5．随着信息时代的发展，个人网络信息安全成为越来越重要的事．在网上进行登录时，往往需要设置组合密码提高信息安全级别．为提升同学们的网络安全意识，我校数学组和信息组拟开展“密码猜猜猜”的跨学科综合实践活动．活动前老师设计了一个密码规则，并给出了如表“密文—明文”提示，请同学们猜一猜．若密码的密文为“”，则可破译出它表示的明文是_____． 密码猜猜猜 密文 明文 284214 563224 244824 6．【阅读材料】：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， 例：化简． 解：原式 参照本题阅读材料的做法进行解答： (1)若把看成一个整体，合并的结果是 ； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 7．某水泥厂在A市和B市各有一个仓库，现在X市和Y市各有一个工地需要水泥，X市需要100吨水泥，Y市需要60吨水泥．而该水泥厂在A市的仓库中只有库存90吨水泥，在B市的仓库中只有库存70吨水泥．已知每吨水泥在城市间的运费如下表所示（单位：元），该厂通过合理安排运输可以使总运费尽量少，请求出总运费最少为多少元？         终点起点 X市 Y市 A市 200 150 B市 120 90 迁移创新 1．项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统． 【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域． 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖． 【解决问题】 (1)请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n． (2)已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度． (3)预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元， ①请推导C与a，b，d的数量关系式． ②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由． 2．【问题提出】 如果一个整数的所有数位之和能被3整除，那么这个整数就能被3整除． 【问题探究】 以四位数为例，设是一个四位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除． 这个结论的论证过程表述如下： ．显然能被3整除，因此，若能被3整除，则就能被3整除． 【类比探究】 判断一个三位数能否被7整除，先采用归纳的策略，列举一些简单的三位数，发现如下特征： 三位数 能否被7整除 特征 133 能 ，7能被7整除 224 能 ，14能被7整除 294 能 ，21能被7整除 148 不能 ，不能被7整除 (1)根据以上探究过程，提出猜想：一个三位数，如果________可以被7整除，那么就能被7整除； (2)证明这个猜想的正确性． 【拓展应用】 结论可以推广到任意正整数：假设该正整数的个位数字是，除个位数字外的部分用表示，推理过程与上面相同，依然能得到当是的倍数时，原数能被整除； (3)①若一个正数能被整除，的最后三位数为，求的最小值． ②四位数，既能被整除，也能被整除，直接写出与之间满足的关系． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $