30.1.2圆的切线（第1课时）（培优教学课件）数学新教材人教版九年级上册

第三十章 直线与圆的位置关系 30.1 直线与圆 30.1.2 圆的切线 第1课时 切线的性质与判定 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握切线的性质定理——圆的切线垂直于过切点的半径，能运用性质定理进行有关的计算和证明. 理解并掌握切线的判定定理——经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，能运用判定定理证明一条直线是圆的切线. 经历切线性质定理的探索和证明过程，培养学生的逻辑推理能力和几何直观. 旧知复习 回顾 上节课我们学习了直线与圆的三种位置关系。直线与圆有哪三种位置关系？如何用数量关系判断？ （1）直线与圆的位置关系 相离、相切、相交三种位置关系； （2）判断直线与圆的位置关系 ①相离 ②相切 ③相交. 用圆心到直线的距离与半径的大小关系判断： 相离 相切 相离 新知引入 探究 在三种位置关系中，相切是一种特殊而重要的位置关系. 直线与圆相切时 圆的切线 切点 那么，切线有什么性质？如何判定一条直线是圆的切线？今天我们就来重点研究直线与圆相切的情况——圆的切线. 探究1：切线的性质 新知探究 探究 平面内一点P与⊙O的位置关系，可以根据点到圆心的距离OP与⊙O的半径的大小关系来确定。类似地，如何确定直线与⊙O的位置关系呢？ 猜想：半径OA与切线垂直. 证明：设为直线上不同于点A的点. ∵ 直线与⊙O只有一个公共点A， ∴ 点P在⊙O外，从而. 即半径OA是圆心O与直线上的点的最短连线. 因此，半径OA与直线垂直. 点击图片观看演示过程 假设 与 不垂直，过 作 于. 探究1：切线的性质 新知探究 探究 能否利用反证法从另一个角度来解决这个问题呢？ 则 (垂线段最短) 即点到圆心的距离小于半径，所以点在圆内 但在切线上 这与“切线与圆只有一个公共点”矛盾 所以假设不成立，因此 反证法: 探究1：切线的性质 新知探究 概念归纳 切线的性质 圆的切线垂直于过切点的半径. 符号语言 与相切于点, 常考 【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可. 新知巩固 直线与圆的三种位置关系 下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 解：A．与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确；     B．经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确； C．经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确.     D．与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确. 探究2：切线的判定 新知探究 探究 按上述性质，若⊙O 的切线 经过半径 OA 的外端点 A，那么。反过来，若直线 过半径 OA 的外端点 A，且 ，那么直线 是⊙O 的切线吗？ 猜想：是切线. 证明：这时圆心 O 到直线 的距离就是 OA 的长度. 即等于⊙O 的半径. 根据“ 时直线与圆相切” 所以直线 是⊙O 的切线 点击图片观看演示过程 探究2：切线的判定 新知探究 概念归纳 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 符号语言： ∵ OA 是⊙O 的半径，经过点 A 且 ∴ 是⊙O 的切线 判定定理的两个条件缺一不可 ①经过半径的外端； ②垂直于这条半径 探究2：切线的判定 新知探究 概念归纳 距离法 圆心到直线的距离等于半径，该直线是圆的切线. 符号语言： ∵ ∴ 是⊙O的切线. 定义法：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线. 符号语言： ∵ 与⊙O只有一个公共点 ∴ 是⊙O的切线. 只经过半径外端但不垂直于半径的直线不是切线；只垂直于半径但不经过半径外端的直线也不是切线； 探究2：切线的判定 新知探究 注意事项 方法总结 判定定理的条件是"经过半径外端且垂直于半径"，结论是"直线是圆的切线"，与性质定理正好互逆； 易混淆点："圆的切线"这个要素在性质中是作为条件，在判定定理中是作为结论. 【分析】连接，，根据切线的性质可得，结合已知可得，进而根据圆周角定理求得，是的直径，可得，进而求得. 新知巩固 切线的判定 如图，是的直径，、是上的点，过点作的切线交的延长线于点，，则等于(     ) A． B． C． D． 解：连接，， 是的切线， ， ， ， ， ∵是的直径， ∴ 圆锥的侧面积和全面积 教材例题 例 如图 ， AB 是 ⊙O 的弦, PA 是 ⊙O 的切线, PA = PB. 求证: PB 是 ⊙O 的切线. 证明: 如图 ，连接 OA, OB, OP. ∵ 与 相切于点 A, ∴, 即 ∵ , ∴ . ∴ ∴ . 所以 是 ⊙O 的切线. 【分析】因为点 B 在 ⊙O 上, 所以 OB 为 ⊙O 的半径. 要证明 是 ⊙O 的切线, 只需证明 . 【分析】分别根据圆的确定条件，圆周角定理，圆的切线的判定，等弧的概念依次进行判断即可. 巩固训练1 有关切线的概念辨析 下列判断正确的是（   ） A．弧长相等的弧是等弧 B．过三点可以确定一个圆 C．同弧或等弧所对的圆心角相等 D．垂直于半径的直线是圆的切线 解：A、弧长相等的弧是等弧，错误，应为能够完全重合的弧是等弧； B、过三点可以确定一个圆，不一定成立，应为不在同一直线上的三点确定一个圆； C、同弧或等弧所对的圆心角相等，正确，符合题意； D、垂直于半径的直线是圆的切线，错误，应为经过半径外端且与半径垂直的直线为圆的切线. 巩固训练1 有关切线的概念辨析 变式题 1.下列说法正确的是（    ） A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D．过圆的半径外端的直线是圆的切线 解：A、与圆只有一个交点的直线是圆的切线，故本选项错误； B、到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线，故本选项正确； C、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误； D、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误． 2.如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为_______． 解：为直径，是的切线，为切点， ， 在中，， ， 对应的圆心角为，圆周角为， ． 巩固训练1 有关切线的概念辨析 变式题 巩固训练2 切线的性质定理 【分析】根据菱形的性质将设出来，并将表示出来，根据圆的切点性质，得出，利用勾股定理求解． 如图，在菱形中，E为上一点，以为直径的与相切于点E，若，则等于（     ） A． B． C． D． 解：设，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∵以为直径的与相切于点， ∴， 在中，， ∴，解得． 巩固训练2 切线的性质定理 变式题 1.如图， 是 的直径， 是 的切线，切点为 ，点 在 的延长线上，若 ，则 的度数为 A. B. C. D. 解：连接 ， ， ， 是 的切线， ， ， 巩固训练2 切线的性质定理 变式题 2.如图，为的切线，交于点，为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 解: 连接 , 为 的切线, ,, , , 与 分别是 所对的圆周角和圆心角, . 巩固训练3 切线的证明 【分析】先过点 作 于 ，再根据角平分线的性质定理得 ，即可得出答案． 如图，在 中，， 是 的角平分线，以 为圆心， 为半径作 与直线 交于 、 两点． 求证： 是 的切线； 证明：如图，过点 作 于 ， ， 是 的角平分线， ． 为圆心， 为半径， 是 的切线． 巩固训练3 切线的证明 变式题 如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，以A为圆心的圆过点D． 求证：BC与⊙A相切； 证明：连接AD，∵AB=AC，D为BC中点 ∴AD⊥BC 又∵以A为圆心的圆过点D ∴AD为圆的半径 ∴BC与⊙A相切． 巩固训练3 切线的证明 变式题 如图，直线经过上的点C，并且． 求证：直线是的切线． 证明：连接， ∵直线经过上的点C，， ∴， 又∵为的半径， ∴直线是的切线． 课堂总结 本节课你学到了什么？ 24 感谢聆听! 25 $