30.1.2圆的切线（第1课时）2026-2027学年九年级数学上册人教版

该初中数学课件聚焦圆的切线性质与判定定理，课堂导入通过复习直线与圆位置关系表格，对比相离、相切、相交的公共点个数、数量关系等，搭建前后知识支架，为切线学习奠定基础。 其亮点是以合作探究为主线，用反证法证明切线性质培养推理意识，结合中考真题和生活实例强化应用意识。课堂小结结构化梳理定理，学生能提升逻辑推理和应用能力，教师可直接使用系统资源提高教学效率。

人教版数学九年级上册 第三十章 直线与圆的位置关系 30.1 直线与圆 30.1.2 圆的切线 （第1课时） 学习目标 1 2 理解切线的性质定理与判定定理. 会应用切线的性质定理和判定定理解决简单问题. 目录 1 4 2 3 巩固练习 典例分析 复习引入 合作探究 5 6 感受中考 课堂小结 7 布置作业 1 复习引入 位置关系 直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交 图形 公共点个数 公共点名称 直线名称 数量关系 0个 1个 2个 切点 交点 切线 割线 d>r d=r d<r 思考 ⊙O的半径OA与过点A的切线l有什么关系? 2 合作探究 如图，直线l与⊙O相切于点A.考虑到圆的有关性质多是通过与圆有关的线段和角来体现的，连接O，A两点，得到过切点A的半径OA.接下来，研究OA与切线l的关系. 半径OA⊥切线l 证明：如图，设P为直线l上不同于点A的点， 因为直线l与⊙O只有一个公共点A， 所以点P在⊙O外，从而OP>OA， 即半径OA是圆心O与直线l上的点的最短连线. 因此，半径OA与直线l垂直， 由此得到切线的性质： 2 合作探究 你还有其他证明方法吗？ 圆的切线垂直于过切点的半径. 证明：假设半径OA与直线l不垂直. 如图，过点O作OB⊥直线l于点B， 由垂线段最短得：OB<OA， 即圆心O到直线l的距离小于半径， 所以直线l与⊙O相交， 这与“直线l与⊙O相切于点A”矛盾， 所以半径OA与直线l垂直. 2 合作探究 反证法 2 合作探究 圆的切线垂直于过切点的半径. 见切线，作垂直，得半径 见切点，连半径，得垂直 分析：这时圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径， 因而直线l就是⊙O的切线. 2 合作探究 思考 按上述性质，若⊙O的切线l经过半径OA的外端点A，那么l⊥OA.反过来，如图，若直线l过半径OA的外端点A，且l⊥OA，那么直线l是⊙O的切线吗? 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 由此可以得到切线的判定定理： 2 合作探究 未给公共点，作垂直，证半径 给出公共点，连半径，证垂直 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 如图，点A是⊙O上一点，过点A作⊙O的切线l. 2 合作探究 思考 已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点作圆的切线? 作法：1.连接OA； 2.过点A作OA的垂线l，直线l即为所求. 2 合作探究 在生活中，有许多直线与圆相切的实例.例如，列车车轮的边沿与铁轨的上沿是相切的，在砂轮上打磨工件时产生的火星是沿着圆的切线飞出的. 3 典例分析 例2 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线. 分析：要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O 向AC所作的垂线段OE是⊙O的半径即可. 由于OD是⊙O的半径， 故只需证明OE=OD. 证明：如图，过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA. ∵AB与⊙O相切于点D， ∴OD⊥AB. 又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO是∠BAC的平分线. ∴OE=OD，即OE是⊙O的半径. 这样，AC经过⊙O的半径OE的外端点E， 并且垂直于半径OE，所以AC是⊙O的切线. 3 典例分析 中考演练(2024浙江) 如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC．已知∠ACB=50°，则∠B的度数为_______. 3 典例分析 40° 中考演练(2026湖北) 如图，PA与⊙O相切于点A，连接PO并延长交⊙O于点B，连接AB．若∠B=24°，则∠P的度数是（     ） A．42° B．48° C．56° D．66° 3 典例分析 A 证明：连接OC. ∵∠AOB=100°，∠OAB=40°， ∴∠OBA=180°−∠AOB−∠OAB=40°. ∴∠OAB=∠OBA. ∴OA=OB. ∵AC=BC，∴OC⊥AB. ∵点C在⊙O上，∴OC为半径， ∴直线AB是⊙O的切线． 中考演练(2026广东) 如图，直线AB经过⊙O上的点C，且AC=BC，∠OAB=40°，∠AOB=100°．求证：直线AB是⊙O的切线． 3 典例分析 证明：∵∠ABC=45°，AC=AB， ∴∠C=∠ABC=45°， ∴∠BAC=90°，即OA⊥AC， 又∵OA是⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线. 4 巩固练习 1. 如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=45°，AC=AB.求证:AC是⊙O的切线. 解：l1∥l2，理由如下： ∵直线l1，l2是⊙O的切线，AB是⊙O的直径， ∴l1⊥AB，l2⊥AB，即∠1=∠2=90°， ∴l1∥l2. 4 巩固练习 2. 如图，AB是⊙O的直径，直线l1，l2是⊙O的切线，A，B是切点.l1，l2有怎样的位置关系?证明你的结论. 4 巩固练习 3. 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，点P为切点.求证AP=BP. 解：连接OP. ∵弦AB与小圆相切于点P， ∴OP⊥AB. 由垂径定理得：AP=BP. 4 巩固练习 4.如图，△ABC 是等边三角形，AB=6，线段BD是△ABC 的中线． (1)尺规作图：作⊙D，使⊙D与BC相切于点E，与BD 相交于点F，保留作图痕迹，不写作法，标明字母． (2)请判断（1）中所作的⊙D与AB的位置关系，并说明理由． 解：(1)如图，⊙D为所作的图形． 4 巩固练习 解：(2)⊙D与AB相切．理由如下： 如图，过点D作DG⊥AB于点G． ∵△ABC 是等边三角形，BD 是AC 边的中线， ∴BD平分∠ABC． ∵BC与⊙D相切于点E， ∴DE⊥BC于点E． 又∵DG⊥AB于点G，∴DE=DG． ∴点G在⊙D上， ∴AB与⊙D相切于点G. 5 当堂检测 1.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C在⊙O上，且∠ACB=58°，则∠APB=（     ） A．54° B．58° C．64° D．68° C 5 当堂检测 2.如图，AB切⊙O于点B，OA交⊙O于点C，过点B作BD∥AO交⊙O于点D，连接CD．若∠DCO=25°，则∠A=______． 40° 解：连接OB， ∵AB切⊙O于点B， ∴AB⊥OB，∴∠ABO=90°， ∵BD∥OA，∠DCO=25°， ∴∠D=∠DCO=25°， ∴∠AOB=2∠D=50°， ∴∠A=90°−∠AOB=40°． 3.如图，已知⊙P的半径为3，圆心P在抛物线y=x2−1上运动，当⊙P与x轴相切时， 圆心P的坐标为____________________． 5 当堂检测 (2，3)或(−2，3) 6 课堂小结 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 6 课堂小结 直线与圆的位置关系 相离 相切 相交 切线的性质 切线的判定 见切线，作垂直，得半径 见切点，连半径，得垂直 未给公共点，作垂直，证半径 给出公共点，连半径，证垂直 7 布置作业 A B 习题30.1：第2，3，4，6题. 习题30.1：第9，10题. $