30.1.2 圆的切线（第1课时） 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦圆的切线性质与判定定理，通过转动雨伞雨滴、砂轮磨刀火花等生活实例导入，衔接直线与圆位置关系，以问题链搭建探究支架，引导学生从具体现象抽象出数学本质。 其亮点在于融合数学思维与几何直观，用反证法、构造法证明性质定理培养推理能力，例题与中考题结合图形分析强化数学眼光，辅助线方法总结（连半径证垂直等）规范数学语言。学生提升逻辑推理与应用能力，教师可直接使用系统案例与练习提高教学效率。

30.1 直线与圆 30.1.2 圆的切线 （第1课时） 人教版 数学 九年级 上册 转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？ 导入新知 都是沿着圆的切线的方向飞出的． 2 3. 能运用圆的切线的性质定理和判定定理解决问题. 1. 会判定一条直线是不是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线. 2. 理解并掌握圆的切线的性质定理及判定定理. 素养目标 思考： ⊙O的半径OA与过点A的切线l有什么关系？ A l O 探究新知 切线的性质定理 知识点 1 如图 ，设 P 为直线 l 上不同于点 A 的点，因为直线 l 与 ⊙O 只有一个公共点 A，所以点 P 在 ⊙O 外，从而 OP>OA，即半径 OA 是圆心 O 与直线 l 上的点的最短连线.因此，半径 OA 与直线 l 垂直，由此得到切线的性质. P A l O ∵直线l是⊙O 的切线，A是切点. ∴直线l ⊥OA. 切线的性质 圆的切线垂直于过切点的半径． 应用格式 探究新知 证明：假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M. 则OM<OA,即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾. C D B O A 所以AB与CD垂直. M 证法1：反证法. 性质定理的证明 探究新知 C D O A 证法2：构造法. 探究新知 作出小⊙O的同心圆大⊙O，CD切小⊙O于点A，且A点为CD的中点.连接OA，根据垂径定理，则CD ⊥OA，即圆的切线垂直于经过切点的半径． 利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题. 探究新知 方法点拨 例1 如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B，C两点，∠P＝30°，连接AO，AB，AC. (1)求证：△ACB≌△APO； (2)若AP＝ ，求⊙O的半径． 分析：(1)根据已知条件我们易得∠CAB=∠PAO=90°， 由∠P=30°可得出∠AOP=60°，则∠C=30°=∠P，即AC=AP；这样就凑齐了角边角，可证得△ACB≌△APO； O A B P C (2)由已知条件可得△AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角形求出半径OA的长. 切线性质的应用 素养考点 1 探究新知 9 (1)求证：△ACB≌△APO； O A B P C 在△ACB和△APO中， ∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB， ∴△ACB≌△APO（ASA）. 证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点， 又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°， 又∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形． ∴AB＝AO，∠ABO＝60°. 又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°. ∴∠OAP＝90°. 探究新知 10 (2)若AP＝ ，求⊙O的半径． O A B P C ∴AO＝1， ∴CB＝OP＝2， ∴OB＝1， 即⊙O的半径为1. 解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP = ， 探究新知 11 如图所示，点 A 是⊙O 外一点，OA 交⊙O 于点 B，AC 是⊙O 的切线，切点是 C，且∠A＝30°，BC＝1.求⊙O 的半径． 巩固练习 解：连接 OC. ∵ AC 是⊙O 的切线， ∴ ∠OCA ＝90°. 又∵ ∠A＝30°， ∴ ∠COB＝60° ∴ OBC 是等边三角形． ∴ OB＝BC＝1，即⊙O 的半径为 1. 12 如图，若直线l过半径OA的外端点A，且l⊥OA,那么圆心O到直线 l 的距离是多少？直线l是⊙O的切线吗？ 这时圆心O到直线 l 的距离就是⊙O的半径． A l o 由d=r 直线 l 是⊙O的切线． 探究新知 切线的判定定理 知识点 1 切线的判定方法 知识点 2 A B C 问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？ 观察：（1） 圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系? （2）二者位置有什么关系？为什么？ O 探究新知 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. OA为⊙O的半径 BC ⊥ OA于点A BC为⊙O的切线 Ｏ A B C 切线的判定定理 应用格式 O 探究新知 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ O. A O. A B A O (1) (2) (3) (1)不是，因为没有垂直. (2)(3)不是，因为没有经过半径的外端点A. 在切线的判定定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 注意 探究新知 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线; 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切； 3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. l A l O l r d 要 点 归 纳 探究新知 例1 如图，AB是☉O上的直径，∠ABC=45°，AC=AB. 求证：AC是☉O的切线. 分析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可. 证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°. ∴∠BAC=180°-∠ABC- ∠ACB=90°. ∵AB是☉O的直径， ∴ AC是☉O的切线. A O C B 通过证明角是90°判断圆的切线 素养考点 1 探究新知 18 如图 所示，线段 AB 经过圆心 O，交⊙O 于点 A，C，∠BAD＝∠B＝30°，边 BD 交圆于点 D.BD 是⊙O 的切线吗？为什么？ 巩固练习 解：BD 是⊙O 的切线．理由如下： 连接 OD, ∵OD＝OA，∠A＝30°， ∴∠DOB＝60°. ∵∠B＝30°，∴∠ODB＝90°. ∴BD 是⊙O 的切线． 例2 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线. O B A C 证明：连接OC(如图). ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.　 ∴ AB⊥OC. ∵ OC是⊙O的半径, ∴ AB是⊙O的切线. 通过证明垂直判断圆的切线 素养考点 2 探究新知 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，⊙O 与AB 相切于E. 求证：AC 是⊙O 的切线． B O C E A 分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE. F 巩固练习 证明：连接OE ，OA，过O 作OF ⊥AC. ∵⊙O 与AB 相切于E ， ∴OE ⊥ AB. 又∵△ABC 中，AB ＝AC ， O 是BC 的中点． ∴AO 平分∠BAC， F B O C E A ∴OE ＝OF. ∵OE 是⊙O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC. ∴AC 是⊙O 的切线． 又OE ⊥AB ，OF⊥AC. 巩固练习 如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB 求证：直线AB是⊙O的切线. C B A O 如图，OA＝OB=5，AB＝8， ⊙O的直径为6. 求证：直线AB是⊙O的切线. C B A O 对比思考 ？ 作垂直 连接 方法归纳 探究新知 (1) 有交点，连半径,证垂直; (2) 无交点，作垂直,证半径. 证切线时辅助线的添加方法 例1 例2 有切线时常用辅助线添加方法 见切点，连半径，得垂直. 切线的其他重要结论 (1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; (2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 要 点 归 纳 探究新知 1.（福建中考）如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C.AB∥PC，且交⊙O于点B.若∠P=30°，则∠PCB的大小为（ ） A.30° B.45° C.60° D.75° 链接中考 C O . P A B C 2.（山东济南中考）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OPB=90°，连接PC. （1）求证：PC与⊙O相切； （2）若AO=3，OP=5，求AC的长. 链接中考 O . P A B C 证明：如图，连接OC， ∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA. ∵OP∥AC，∴∠OAC=∠BOP，∠OCA=∠COP. ∴∠COP=∠BOP. ∵OP=OP，OC=OB，∴△COP≌△OBP（SAS）. ∴∠OCP=∠OBP=90°.∴OP⊥PC. ∴PC与⊙O相切. 链接中考 （1）求证：PC与⊙O相切； O . P A B C 解：如图，连接BC交OP于点D， ∵△COP≌△OBP，∴PC=PB. 又∵OC=OB，∴OP垂直平分BC. ∵AO=BO=3，OP=5，∠OBP=90°， 链接中考 （2）若AO=3，OP=5，求AC的长. D O . P A B C ∵AB是⊙O的直径. ∴AB=2OA=6 ，∠ACB=90°. 链接中考 D O . P A B C 1.判断下列命题是否正确. （1）经过半径外端的直线是圆的切线. （ ） （2）垂直于半径的直线是圆的切线. （ ） （3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. （ ） （4）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ） （5）过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. （ ） × × √ √ √ 课堂检测 基础巩固题 2. 如图所示，A是☉O上一点，且AO=5，PO=13， AP=12，则PA与☉O的位置关系是 . A P O 相切 课堂检测 3. 如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ） A．40° B．35° C．30° D．45° P O D A B C C 课堂检测 4.如图，⊙O切PB于点B,PB=4， PA=2，则⊙O的半径多少？ O P B A 解：连接OB，则∠OBP=90°. 设⊙O的半径为r，则OA=OB=r， OP=OA+PA=2+r. 在Rt△OBP中， OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2. 解得 r=3， 即⊙O的半径为3. 课堂检测 33 证明：连接OP. ∵AB=AC，∴∠B=∠C. ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB. ∴∠OBP=∠C. ∴OP∥AC. ∵PE⊥AC， ∴PE⊥OP. ∴PE为⊙O的切线. 1. 如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于E. 求证:PE是⊙O的切线. O A B C E P 课堂检测 能力提升题 A B C P E O 2. 如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切． 证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N， ∵⊙O与BC相切于点M， ∴OM⊥BC. 又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线 AC上一点， ∴OM＝ON， ∴CD与⊙O相切． M N 课堂检测 已知：△ABC内接于☉O，过点A作直线EF. （1）如图1，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）： ① _________ ；② _____________ . （2）如图2，AB是非直径的弦， ∠CAE=∠B，求证：EF是☉O的切线. BA⊥EF ∠CAE=∠B A F E O A F E O B C B C 图1 图2 课堂检测 拓广探索题 证明：连接AO并延长交☉O于D，连接CD，则AD为☉O的直径. ∴ ∠D+ ∠DAC=90 °， ∵ ∠D与∠B同对 ， ∴ ∠D= ∠B， 又∵ ∠CAE= ∠B， ∴ ∠D= ∠CAE， ∴ ∠DAC+ ∠EAC=90°， ∴EF是☉O的切线. A F E O B C 图2 D 课堂检测 切线的 性质 有1个公共点 d=r 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 有切线时常用辅助线 添加方法： 见切线，连切点，得垂直. 课堂小结 切线的判定方法 定义法 数量关系法 判定定理 1个公共点，则相切 d=r，则相切 经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径. 课堂小结 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 谢谢观看 $