第二章 §2.4 2.4.2　圆的一般方程 知识点讲练 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享 2.4.2　圆的一般方程 学习目标　1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程． 导语 前面我们已讨论了圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，现将其展开可得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式．请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方面的问题． 一、圆的一般方程的辨析 问题1　如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？ 提示　将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得2＋2＝，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆． 问题2　当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？ 提示　当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一个点. 知识梳理 1．圆的一般方程：当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 注意点： (1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项． (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0. 例1　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆． (1)求实数m的取值范围； (2)写出圆心坐标和半径． 解　(1)由表示圆的充要条件， 得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 解得m<，即实数m的取值范围为. (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝. 反思感悟　圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解． 跟踪训练1　(1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为________________． 答案　， 解析　方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)， 可化为2＋2＝， 故圆心坐标为，半径为. (2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________． 答案　9π 解析　圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标是， 由圆的性质，知直线x－y＋1＝0经过圆心， ∴－＋1＋1＝0，得k＝4， 圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为＝3， ∴该圆的面积为9π. 二、求圆的一般方程 例2　已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)． (1)求△ABC的外接圆的一般方程； (2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值． 解　(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意，得 解得 即△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. (2)由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0， ∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上， ∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0， 即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或6. 反思感悟　求圆的方程的策略 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程； (2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到方程． 跟踪训练2　已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程． 解　圆心C， ∵圆心在直线x＋y－1＝0上， ∴－－－1＝0， 即D＋E＝－2.① 又∵半径长r＝＝， ∴D2＋E2＝20.② 由①②可得或 又∵圆心在第二象限， ∴－<0，即D>0.则 故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 三、圆的轨迹问题 问题3　轨迹和轨迹方程有什么区别？ 提示　轨迹是指点在运动变化中形成的图形，比如直线、圆等．轨迹方程是点的坐标满足的关系式． 例3　点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求