2.1.1 倾斜角与斜率（知识清单，知识点+七大易错点+十大题型）高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学知识清单聚焦“直线和圆的方程”中倾斜角与斜率核心内容。从倾斜角定义及范围出发，衔接斜率定义、与倾斜角关系、两点求斜率公式，延伸至方向向量及直线方程与斜率的关联，构建平面直角坐标系到直线方程的学习支架。 知识链路按“概念—关系—计算—应用”逻辑展开，7个易错点结合实例辨析，10类题型配套方法技巧与变式题。通过数学思维梳理斜率与倾斜角转化规律，以数学语言呈现问题解决模型，助力学生形成完整知识框架与解题能力。

第二章 直线和圆的方程 2.1.1倾斜角与斜率内容概览 知识速记 2 🔷知识点一　直线的倾斜角 2 🔷知识点二　直线的斜率 2 1.直线的斜率定义 2 2.斜率k和倾斜角之间的关系 2 3.已知两点求斜率 3 4.直线的方向向量与斜率的关系 4 5.直线方程与斜率的关系 4 易错辨析 5 易错点1：倾斜角概念与取值范围出错 5 易错点2：倾斜角与斜率对应关系理解错误 5 易错点3：两点斜率公式忽略前提条件 6 易错点4：三点共线判断漏情况 7 易错点5：过定点直线与线段相交求斜率范围 8 易错点6：方向向量转化斜率出错 8 易错点7：参数问题漏掉斜率不存在的讨论 9 解题攻略 10 题型1：求直线的倾斜角 10 题型2：已知倾斜角求参数 11 题型3：求直线的斜率 12 题型4：已知斜率求参数 14 题型5：直线斜率、倾斜角与方向向量的关系 15 题型6：斜率与倾斜角的变化关系 17 题型7：由斜率解决三点共线问题 19 题型8：直线与线段的相交关系求斜率和倾斜角范围 21 题型9：两条直线的夹角问题 24 题型10：斜率公式的应用 25 🔷知识点一　直线的倾斜角 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线首次重合时所成的角，称为直线的倾斜角 规定 当直线和轴平行或重合时，规定它的倾斜角为____0____ 记法 图示 范围 作用 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角刻画了直线的___倾斜程度___，倾斜角越接近，___倾斜程度___越大 ⚠️特别提醒 在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角与之对应，但每一个倾斜角都有无数条平行直线与之对应. 🔷知识点二　直线的斜率 1.直线的斜率定义 当倾斜角时，定义为直线l的斜率，常用字母k表示，即__k＝（其中）__； 当倾斜角，即直线l与x轴垂直时，我们说直线l的斜率不存在． 倾斜角不是的直线都有斜率，其取值范围是． 2.斜率k和倾斜角之间的关系 事实上，即正切函数在上的图像受正切函数定义域的限制，在上的图像不连续，从而在及上分两段递增，所以求解时，应当把倾斜角的范围分成两部分，分别求得斜率k的范围，再取并集即可． 图示 倾斜角 (范围) __90°__ 斜率 (范围) ____ ____ 不存在 ____ k的增 减情况 k随α的增大而增大 k随α的增大而增大 ⚠️特别提醒 (1) 直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于代数角度，倾斜角侧重于几何角度. (2) 直线都存在唯一的倾斜角，但不一定存在斜率，倾斜角为90°的直线斜率不存在. (3) 由直线的斜率k的范围求倾斜角的范围时，要注意的取值范围，并且的图象是不连续的. 3.已知两点求斜率 如图，在直线上任取两个不同的点，，记（0），，则在直线上点平移到点，相当于在横轴上改变了，即横坐标的改变量为，在纵轴上改变了，即纵坐标的改变量为．因此，比值反映了直线的倾斜程度． 由图可知，的大小与两点，在直线上的位置无关，称____（其中）为经过不同两点，的直线的斜率． ⚠️特别提醒 (1) 当时，不能套用此公式，这时说明该直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (2) 当，时,该直线与x轴平行或重合，其斜率. (3) 斜率计算公式中的k值与，两点在该直线上的位置无关，即在该直线上任取不同的两点，k的值均不变. 4.直线的方向向量与斜率的关系 如图，若k是直线l的斜率，则是它的一个方向向量； 若直线l的一个方向向量的坐标为，其中，则它的斜率____； 当时，斜率___不存在___. 5.直线方程与斜率的关系 (1) 直线方程为的直线斜率为k． (2) 直线方程为， 1　 当时，直线的斜率为___； 2　 当时，直线的斜率__0__； 3　 当时，直线的斜率__不存在___． 易错点1：倾斜角概念与取值范围出错 【易错点】 1. 错记直线倾斜角取值范围． 2. 混淆倾斜角和斜率的存在性问题． 【易错消除】 1. 直线的倾斜角的取值范围是． 2. 直线都存在唯一的倾斜角，但不一定存在斜率，倾斜角为90°的直线斜率不存在. 【易错例题】（24-25高二上·福建莆田·期中）（多选）在下列四个命题中，错误的有（  ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率不一定为 【答案】ABC 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的定义，逐项判定即可． 【详解】对于A：当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为，斜率不存在，所以A错误； 对于B：根据直线倾斜角的定义，可得直线倾斜角的取值范围是，所以B错误； 对于C：一条直线的斜率为，此直线的倾斜角不一定为， 如：直线的斜率可表示为，但它的倾斜角为，所以C错误； 对于D：一条直线的倾斜角为时，它的斜率为或不存在，所以D正确． 故选：ABC． 易错点2：倾斜角与斜率对应关系理解错误 【易错点】 混淆斜率随倾斜角变化的单调性，忽视不同区间内斜率的正负问题． 【易错消除】 k＝（其中）. 当时，斜率，且k随倾斜角的增大而增大； 当时，斜率，且k随倾斜角的增大而增大； 当，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在. 【易错例题】（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）（多选）如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据直线斜率与倾斜角定义，依图象分别判断各选项即可. 【详解】由图可知，，则. 故选：AD. 易错点3：两点斜率公式忽略前提条件 【易错点】 使用两点求斜率公式时，容易忽略分母为零，即两点横坐标相等的情况. 【易错消除】 使用两点求斜率公式时，分母为零，即两点横坐标相等，直线垂直于x轴，倾斜角为. 【易错例题】（24-25高二上·河南·阶段检测）（多选）下列叙述中正确的有（    ） A．若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为 B．若直线斜率，则它的倾斜角为 C．已知点，，则直线的倾斜角为 D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 【答案】BCD 【分析】根据直线的倾斜角与斜率的关系判断各选项即可. 【详解】对于A，当时，斜率不存在，故A错误； 对于B，当直线斜率时，它的倾斜角为，故B正确； 对于C，由，，则直线轴，倾斜角为，故C正确； 对于D，因为直线的倾斜角为，则直线的斜率为1， 由于，因此这条直线必过点，故D正确. 故选：BCD 易错点4：三点共线判断漏情况 【易错点】 利用斜率判断三点共线时，容易遗漏斜率不存在的特殊情况. 【易错消除】 利用斜率判断三点共线时，当三个点的横坐标全都相同的时候，直线斜率不存在，即三点在同一条垂直于x轴的直线上. 【易错例题】（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知三点，则“三点共线”是“或”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求出三点共线时的所有值，再根据必要不充分条件的判断即可得到答案. 【详解】当时，三点均在直线上； 当时，，而直线的斜率不存在，显然三点不在一条直线上； 当时，若三点共线，则，即，解得或． 综上，若三点共线，则或或， 故“三点共线”是“－4或”的必要不充分条件． 故选：C. 易错点5：过定点直线与线段相交求斜率范围 【易错点】 在解决这类数形结合问题时，容易弄错边界直线的斜率范围，导致求出的参数范围出错. 【易错消除】 如果定点与线段之间存在垂直于x轴的直线（斜率不存在），斜率取值范围要拆分为两段区间； 如果定点与线段之间不存在垂直于x轴的直线（斜率不存在），斜率取值范围要合并成一个区间. 【易错例题】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用斜率公式，分别求得直线和直线的斜率，结合图象，即可求解. 【详解】由，得直线的斜率分别为，， 而过点的直线与线段有交点，如图， 所以直线l斜率的取值范围为. 易错点6：方向向量转化斜率出错 【易错点】 由直线的方向向量求斜率时，容易忽略方向向量的横坐标为0的特殊情况. 【易错消除】 由直线的方向向量求斜率时，方向向量的横坐标为0，直线斜率不存在，倾斜角为. 【易错例题】（26-27高二上·河南焦作·开学考试）若直线的方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【详解】因为，根据直线的方向向量的定义可知，直线的倾斜角为. 易错点7：参数问题漏掉斜率不存在的讨论 【易错点】 在处理含参数问题时，容易遗漏了斜率不存在时的情形. 【易错消除】 遇到含参数问题，优先讨论斜率不存在的情况. 【易错例题】（25-26高二上·山西·阶段检测）已知两点，，当时，直线的倾斜角的取值范围是___________. 【答案】 【分析】分斜率存在与否两种情况进行分析，并根据斜率和倾斜角的关系确定直线的倾斜角的取值范围. 【详解】设直线的倾斜角为，则. 因为，， 当时，； 当时，，或. 当时，直线的斜率， 所以，得； 当时，直线的斜率， 所以，得. 所以. 故答案为：. 题型1：求直线的倾斜角 方法技巧 通常先求出直线的斜率 k，再利用k＝（其中）求解. 1. 若斜率为正，倾斜角为锐角；斜率为负，倾斜角为钝角. 2. 特别注意：当直线垂直于 x 轴时，斜率不存在，倾斜角为 . 3. 结合正切函数在 上的图像来准确判断角的大小. 【例题1.1】（25-26高一下·海南海口·期末）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用两点求出斜率，再结合倾斜角及斜率关系求解. 【详解】直线经过，两点，直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则，得， 即直线的倾斜角为. 【例题1.2】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设知直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则， 又因为，故. 【变式1.1】（2026高三·全国·专题练习）如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】由点和，得， 所以直线的一个方向向量为，所以直线的斜率， 所以，又，所以或． 【变式1.2】（2026高三·全国·专题练习）直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由的斜率为，其范围是， 设倾斜角为，则，解得， 因为倾斜角的范围是，所以. 题型2：已知倾斜角求参数 方法技巧 利用倾斜角与斜率的对应关系，建立关于参数的方程. 1. 若倾斜角已知且不是，可直接代入得到斜率的值. 2. 若倾斜角为，则直线上的点横坐标相同（即直线方程形如 x=c），由此列出关于参数的等式. 3. 注意结合图像. 【例题2.1】（25-26高二下·上海·期中）过、两点的直线的倾斜角为，那么_____. 【答案】 【详解】过、两点的直线的倾斜角为， 说明的横坐标相同，且纵坐标不同，即. 【例题2.2】（25-26高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可求解. 【详解】当时，直线的斜率不存在，此时； 当时，直线的斜率，即，解得； 当时，直线的斜率，即，解得； 综上可得实数的取值范围是. 【变式2.1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由直线经过两点，得直线的斜率， 则直线的倾斜角，直线的倾斜角为， 所以的斜率为. 【变式2.2】（25-26高三上·四川眉山·期末）已知直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据直线斜率得出，再应用二倍角余弦及同角三角函数关系计算求值. 【详解】因为直线的倾斜角为， 所以， 则. 故选：C. 题型3：求直线的斜率 方法技巧 根据已知条件选择公式，常见的公式有： 1. 一条直线的倾斜角，斜率；倾斜角是的直线斜率不存在. 2. 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝；当时，斜率不存在. 3. 直线l的一个方向向量的坐标为，其中，则它的斜率；当时，斜率不存在. 4. 直线方程为的直线斜率为k． 5. 直线方程为， (1) 当时，直线的斜率为； (2) 当时，直线的斜率为0； (3) 当时，直线的斜率不存在． 【例题3.1】（26-27高二上·河南南阳·开学考试）已知直线经过点，则直线的斜率为（  ） A．-3 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】直线经过点， 则直线的斜率为. 【例题3.2】（25-26高二下·上海青浦·期末）直线的斜率为________． 【答案】 【分析】利用直线一般式方程的斜率公式直接计算即可得到结果. 【详解】已知直线的一般式方程为，当时，直线的斜率公式为. 本题中直线方程为，对应参数，，代入斜率公式可得：. 【变式3.1】（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知是直线的一个方向向量，则的斜率为_____________. 【答案】 【分析】根据直线的方向向量写出直线斜率. 【详解】是直线的一个方向向量，则的斜率为 【变式3.2】（26-27高二上·河南焦作·开学考试）已知直线经过点,直线的倾斜角是直线倾斜角的一半,则直线的斜率为__________. 【答案】5 【分析】先根据两点坐标求出直线的斜率,进一步得到直线的倾斜角的正切值,再根据同角关系式和半角公式求得直线的倾斜角的正切值，即为直线的斜率. 【详解】设直线的倾斜角为,则直线的斜率, 由于,所以, 所以直线的斜率. 题型4：已知斜率求参数 方法技巧 将已知的斜率值代入斜率公式或直线方程中，解方程求参数． 1. 若已知两点求参数，注意检验解出的参数是否会导致 =（即分母为0）． 2. 若已知直线方程求参数，需注意对参数进行分类讨论，防止漏掉斜率不存在的情况． 【例题4.1】（24-25高二上·青海海南·期中）过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为______． 【答案】 【分析】根据斜率公式列式求解即可. 【详解】根据题意可得，解得或， 当时，点A，B重合，不符合题意，舍去； 当时，经验证，符合题意； 综上所述：. 故答案为：. 【例题4.2】（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）设，为实数，已知直线的斜率，且，，是这条直线上的三个点，则__________. 【答案】1 【分析】根据斜率公式直接可得. 【详解】由直线的斜率，且，，得，解得. 同理，解得，所以. 故答案为：1. 【变式4.1】（24-25高二上·广东佛山·期末）已知点，在斜率为的直线l上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点求概率即可求参； 【详解】点，在斜率为的直线l上，则. 故选：D. 【变式4.2】（25-26高二上·安徽淮北·期末）直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，又斜率的取值范围是，所以，当时，，当时，，又，所以根据正切函数的图象可得，. 题型5：直线斜率、倾斜角与方向向量的关系 方法技巧 利用方向向量与斜率的关系解题 1. 若直线的方向向量为，则： 当时，斜率； 当时，斜率不存在． 2. 若k是直线的斜率，则是它的一个方向向量． 3. 注意：方向向量不唯一，与方向向量共线的向量也是该直线的方向向量。利用这一特性可以灵活转化． 【例题5.1】（25-26高一下·山东青岛·期末）若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为________． 【答案】 【分析】根据方向向量计算斜率，利用斜率与倾斜角的关系计算． 【详解】由直线的方向向量， 可得斜率，则倾斜角满足； 因为，可得． 【例题5.2】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为__________. 【答案】 【详解】因为直线l的一个方向向量为， 所以直线l的斜率为 【变式5.1】（25-26高二上·福建厦门·期中）经过两点的直线的方向向量为，则____________． 【答案】/ 【分析】根据直线的方向向量的定义，结合斜率的计算公式求解出的值即可. 【详解】因为直线的方向向量为，则为直线的斜率， 又直线经过两点，所以， 故答案为： 【变式5.2】（25-26高三·全国·一轮复习）过，两点的直线的一个方向向量为，则（　　） A． B．1 C．5 D．3 【答案】C 【详解】解法一：由题意可知，解得. 解法二：∵，∴，解得. 题型6：斜率与倾斜角的变化关系 方法技巧 结合图像研究斜率 k随倾斜角  变化的规律． 1. 斜率 当时，斜率，且k随倾斜角的增大而增大； 当时，斜率，且k随倾斜角的增大而增大； 当，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在. 2. 牢记在及上分两段递增，但在整个上不单调． 【例题6.1】（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）（多选）下列说法正确的是：（   ） A．斜率随倾斜角增大而增大 B．在上斜率随倾斜角增大而增大 C．在上，斜率随倾斜角增大而减小 D．在上，斜率随倾斜角增大而增大 【答案】BD 【分析】利用正切函数的单调性来判断即可． 【详解】由斜率与倾斜角的关系知， 因为正切函数在区间上单调递增，但它不是定义域内的增函数， 故A错误，B正确，C错误，D正确； 故选：BD 【例题6.2】（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据斜率和倾斜角的关系确定正确答案. 【详解】由图象可知， 所以，， 函数在上单调递增，所以， 综上所述，. 故选：AD 【变式6.1】（25-26高二上·河南南阳·开学考试）（多选）给出下列结论，其中说法正确的是（    ） A．若是直线的一个方向向量，则是该直线的斜率 B．若直线的斜率是，则是该直线的一个方向向量 C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 【答案】ABC 【分析】根据直线的斜率和倾斜角，方向向量等概念，结合正切函数的性质逐一判断即得. 【详解】对于A，因是直线的一个方向向量，则直线斜率为，即A正确； 对于B，因直线的斜率是，若设直线的方向向量为，则有，不妨取，则得，即是该直线的一个方向向量，故B正确； 对于C，根据直线的倾斜角定义可知，任一条直线都有倾斜角，而当倾斜角为时，直线的斜率不存在，故C正确； 对于D，因直线的倾斜角的正切值为直线的斜率，根据正切函数的性质可知，当倾斜角为时，直线的斜率不存在，故D错误. 故选：ABC. 【变式6.2】（25-26高二上·贵州·期中）（多选）已知直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用直线斜率与倾斜角之间关系求解即可. 【详解】由题可得三条直线在坐标系中的大概位置如下： 因为， 所以， 所以A不正确；B正确；C正确；D不正确； 故选：BC 题型7：由斜率解决三点共线问题 方法技巧 若 A，B，C 三点共线，则直线 AB的斜率等于直线 AC的斜率（或者它们都不存在） 1. 优先计算斜率，比如：若，则三点共线． 2. 易错点提醒：必须单独讨论 A，B，C 三点的横坐标相等的情况（即直线垂直于 x 轴），此时斜率不存在，但三点依然可以共线． 【例题7.1】（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）下列各组中的三点不共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线斜率公式进行求解判断即可. 【详解】A：设， 因为，显然， 所以这三点不共线； B：设， 因为，显然， 所以这三点共线； C：设， 因为，显然， 所以这三点共线； D：设， 因为，显然， 所以这三点共线； 故选：A 【例题7.2】（25-26高二上·四川南充·期中）已知三点，，在同一条直线上，则（    ） A．12 B．24 C．6 D．10 【答案】C 【分析】由三点共线可得，再列式求解即可． 【详解】因为、、三点共线，所以， 即， 解得. 故选：C． 【变式7.1】（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知三点，则“三点共线”是“或”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求出三点共线时的所有值，再根据必要不充分条件的判断即可得到答案. 【详解】当时，三点均在直线上； 当时，，而直线的斜率不存在，显然三点不在一条直线上； 当时，若三点共线，则，即，解得或． 综上，若三点共线，则或或， 故“三点共线”是“－4或”的必要不充分条件． 故选：C. 【变式7.2】（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知，，，不能构成三角形，则______． 【答案】/ 【分析】根据已知分析出三点共线且斜率存在，应用斜率两点式列方程得，整理变形即可得. 【详解】三点不能构成三角形的情况，即三点共线， 因为斜率存在，所以，即，即, 因为，所以，即. 故答案为： 题型8：直线与线段的相交关系求斜率和倾斜角范围 方法技巧 通常采用数形结合法。解题步骤如下： 1. 建立平面直角坐标系，画图． 2. 求出定点与线段两端点的连线斜率和，不妨令． 3. 在直线旋转过程中，如果存在垂直于x轴的直线，那么斜率k的取值范围为 在直线旋转过程中，如果不存在垂直于x轴的直线，那么斜率k的取值范围为． 4. 若求的是倾斜角的取值范围，那么结合和求出对应的倾斜角。并结合图像求出取值范围即可． 【例题8.1】（25-26高二下·上海·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________． 【答案】 【详解】点，点，可得，， 如下图示，所以. 【例题8.2】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线过定点，再利用过定点的直线与两点的斜率，结合图象可得到斜率范围，从而可确定倾斜角范围. 【详解】 由题可知直线过定点．，， 与线段相交，由题意设直线的斜率为或． 由于在及上均单调递增， 直线的倾斜角的范围为． 故选:C． 【变式8.1】（25-26高三·全国·三轮复习）已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】先找出直线恒过的定点，再分别求出该定点与线段两端点连线的斜率，根据直线与线段相交时斜率介于这两条连线斜率之间得出参数范围. 【详解】直线：经过定点， 因为，， 又直线与线段恒相交，所以． 故选：D. 【变式8.2】（25-26高二上·内蒙古通辽·期中）已知过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，直线l的倾斜角的取值范围为__________． 【答案】 【分析】应用斜率的两点式求端点处直线的斜率，数形结合确定直线的斜率范围，再求倾斜角范围． 【详解】由题意得，直线的倾斜角为， ，直线的倾斜角为． 如图： 由图可知，的斜率的取值范围为， 则的倾斜角的取值范围为． 故答案为：. 题型9：两条直线的夹角问题 方法技巧 利用两条直线的斜率求夹角． 1. 若两条直线斜率分别为 和，夹角为θ，则（注意此公式适用于的情况）． 2. 若涉及特殊角（如 ，，，），可以结合几何图形利用勾股定理或三角函数解题． 【例题9.1】（25-26高二下·上海黄浦·期中）直线与直线的夹角的余弦为______. 【答案】 【分析】根据两条直线的倾斜角求直线的夹角. 【详解】直线的斜率，倾斜角为，直线的倾斜角为， 所以这两条直线的夹角为，所以夹角的余弦值为. 【例题9.2】（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）直线与直线的夹角为___________ 【答案】 【分析】分别计算两条直线的倾斜角，结合两条直线的倾斜角求得正确答案. 【详解】直线的斜率，则其倾斜角， 直线的斜率，则其倾斜角， 所以直线与直线的夹角为. 故答案为：. 【变式9.1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）直线和的夹角的余弦值为________． 【答案】/ 【详解】设直线和的倾斜角分别为，两直线的夹角为， 则， 所以， 而，，，解得， 则直线和的夹角的余弦值为. 【变式9.2】（2026高三·全国·专题练习）已知直线，则与所成角相等的直线的斜率为_____. 【答案】 【分析】根据条件，求出直线和的斜率，代入公式，化简计算，即可得答案. 【详解】由题意，斜率，，斜率， 设直线的斜率为，则，即， 当时，整理得，无实数解； 当时，整理得，解得. 故答案为： 题型10：斜率公式的应用 方法技巧 利用斜率公式是核心工具，常用于求最值、证明恒等式、解决代数式范围问题． 1. 若遇到形如的代数式求最值和范围，可将其视为动点 (x,y)与定点 (a,b)连线的斜率． 2. 结合几何意义，将代数问题转化为解析几何中的动点问题，利用图形的几何性质（如相切、共线）求最值和范围． 【例题10.1】（25-26高二·全国·暑假作业）若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率计算公式，列出不等式求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为锐角， 所以斜率，所以. 即的取值范围是. 【例题10.2】（2025·四川达州·模拟预测）三名工人种植同一种果树，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和种植的果树数，点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和种植的果树数，.记为第名工人在这一天中平均每小时种植的果树数，则（   ） A．，，中最大的是 B．，，中最大的是 C．，，中最大的是 D．，，中最小的是 【答案】B 【分析】若为第名工人在这一天中平均每小时种植的果树数，则为中点与原点连线的斜率；进而得到答案． 【详解】若为第名工人在这一天中平均每小时种植的果树数， 则为线段中点与原点连线的斜率， 故中最大的是. 故选：B. 【变式10.1】（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的几何意义是点与点之间的斜率，在平面直角坐标系中画出草图，观察可知，点与点重合时，斜率，点与点重合时，斜率，所以的取值范围是. 【变式10.2】（24-25高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意三点共线，结合两点式斜率公式，利用斜率相等列式求解即可. 【详解】由题意三点共线，设，因为，， 所以，解得，所以. 故选：B 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线和圆的方程 2.1.1 倾斜角与斜率内容概览 知识速记 2 🔷知识点一　直线的倾斜角 2 🔷知识点二　直线的斜率 2 1. 直线的斜率定义 2 2. 斜率k和倾斜角之间的关系 2 3. 已知两点求斜率 3 4. 直线的方向向量与斜率的关系 4 5. 直线方程与斜率的关系 4 易错辨析 5 易错点1：倾斜角概念与取值范围出错 5 易错点2：倾斜角与斜率对应关系理解错误 5 易错点3：两点斜率公式忽略前提条件 6 易错点4：三点共线判断漏情况 6 易错点5：过定点直线与线段相交求斜率范围 7 易错点6：方向向量转化斜率出错 7 易错点7：参数问题漏掉斜率不存在的讨论 7 解题攻略 8 题型1：求直线的倾斜角 8 题型2：已知倾斜角求参数 8 题型3：求直线的斜率 9 题型4：已知斜率求参数 10 题型5：直线斜率、倾斜角与方向向量的关系 11 题型6：斜率与倾斜角的变化关系 11 题型7：由斜率解决三点共线问题 12 题型8：直线与线段的相交关系求斜率和倾斜角范围 13 题型9：两条直线的夹角问题 14 题型10：斜率公式的应用 14 🔷知识点一　直线的倾斜角 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线首次重合时所成的角，称为直线的倾斜角 规定 当直线和轴平行或重合时，规定它的倾斜角为____0____ 记法 图示 范围 作用 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角刻画了直线的___倾斜程度___，倾斜角越接近，___倾斜程度___越大 ⚠特别提醒 在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角与之对应，但每一个倾斜角都有无数条平行直线与之对应. 🔷知识点二　直线的斜率 1 .直线的斜率定义 当倾斜角时，定义为直线l的斜率，常用字母k表示，即__k＝（其中）__； 当倾斜角，即直线l与x轴垂直时，我们说直线l的斜率不存在． 倾斜角不是的直线都有斜率，其取值范围是． 2.斜率k和倾斜角之间的关系 事实上，即正切函数在上的图像受正切函数定义域的限制，在上的图像不连续，从而在及上分两段递增，所以求解时，应当把倾斜角的范围分成两部分，分别求得斜率k的范围，再取并集即可． 图示 倾斜角 (范围) __90°__ 斜率 (范围) ____ ____ 不存在 ____ k的增 减情况 k随α的增大而增大 k随α的增大而增大 ⚠特别提醒 (1) 直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于代数角度，倾斜角侧重于几何角度. (2) 直线都存在唯一的倾斜角，但不一定存在斜率，倾斜角为90°的直线斜率不存在. (3) 由直线的斜率k的范围求倾斜角的范围时，要注意的取值范围，并且的图象是不连续的. 3.已知两点求斜率 如图，在直线上任取两个不同的点，，记（0），，则在直线上点平移到点，相当于在横轴上改变了，即横坐标的改变量为，在纵轴上改变了，即纵坐标的改变量为．因此，比值反映了直线的倾斜程度． 由图可知，的大小与两点，在直线上的位置无关，称____（其中）为经过不同两点，的直线的斜率． ⚠特别提醒 (1) 当时，不能套用此公式，这时说明该直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (2) 当，时,该直线与x轴平行或重合，其斜率. (3) 斜率计算公式中的k值与，两点在该直线上的位置无关，即在该直线上任取不同的两点，k的值均不变. 4.直线的方向向量与斜率的关系 如图，若k是直线l的斜率，则是它的一个方向向量； 若直线l的一个方向向量的坐标为，其中，则它的斜率____； 当时，斜率___不存在___. 5.直线方程与斜率的关系 (1) 直线方程为的直线斜率为k． (2) 直线方程为， 1　 当时，直线的斜率为___； 2　 当时，直线的斜率__0__； 3　 当时，直线的斜率__不存在___． 易错点1：倾斜角概念与取值范围出错 【易错点】 1. 错记直线倾斜角取值范围． 2. 混淆倾斜角和斜率的存在性问题． 【易错消除】 1. 直线的倾斜角的取值范围是． 2. 直线都存在唯一的倾斜角，但不一定存在斜率，倾斜角为90°的直线斜率不存在. 【易错例题】（24-25高二上·福建莆田·期中）（多选）在下列四个命题中，错误的有（  ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率不一定为 易错点2：倾斜角与斜率对应关系理解错误 【易错点】 混淆斜率随倾斜角变化的单调性，忽视不同区间内斜率的正负问题． 【易错消除】 k＝（其中）. 当时，斜率，且k随倾斜角的增大而增大； 当时，斜率，且k随倾斜角的增大而增大； 当，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在. 【易错例题】（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）（多选）如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（   ）    A． B． C． D． 易错点3：两点斜率公式忽略前提条件 【易错点】 使用两点求斜率公式时，容易忽略分母为零，即两点横坐标相等的情况. 【易错消除】 使用两点求斜率公式时，分母为零，即两点横坐标相等，直线垂直于x轴，倾斜角为. 【易错例题】（24-25高二上·河南·阶段检测）（多选）下列叙述中正确的有（    ） A．若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为 B．若直线斜率，则它的倾斜角为 C．已知点，，则直线的倾斜角为 D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 易错点4：三点共线判断漏情况 【易错点】 利用斜率判断三点共线时，容易遗漏斜率不存在的特殊情况. 【易错消除】 利用斜率判断三点共线时，当三个点的横坐标全都相同的时候，直线斜率不存在，即三点在同一条垂直于x轴的直线上. 【易错例题】（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知三点，则“三点共线”是“或”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 易错点5：过定点直线与线段相交求斜率范围 【易错点】 在解决这类数形结合问题时，容易弄错边界直线的斜率范围，导致求出的参数范围出错. 【易错消除】 如果定点与线段之间存在垂直于x轴的直线（斜率不存在），斜率取值范围要拆分为两段区间； 如果定点与线段之间不存在垂直于x轴的直线（斜率不存在），斜率取值范围要合并成一个区间. 【易错例题】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 易错点6：方向向量转化斜率出错 【易错点】 由直线的方向向量求斜率时，容易忽略方向向量的横坐标为0的特殊情况. 【易错消除】 由直线的方向向量求斜率时，方向向量的横坐标为0，直线斜率不存在，倾斜角为. 【易错例题】（26-27高二上·河南焦作·开学考试）若直线的方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．0 易错点7：参数问题漏掉斜率不存在的讨论 【易错点】 在处理含参数问题时，容易遗漏了斜率不存在时的情形. 【易错消除】 遇到含参数问题，优先讨论斜率不存在的情况. 【易错例题】（25-26高二上·山西·阶段检测）已知两点，，当时，直线的倾斜角的取值范围是___________. 题型1：求直线的倾斜角 方法技巧 通常先求出直线的斜率 k，再利用k＝（其中）求解. 1. 若斜率为正，倾斜角为锐角；斜率为负，倾斜角为钝角. 2. 特别注意：当直线垂直于 x 轴时，斜率不存在，倾斜角为 . 3. 结合正切函数在 上的图像来准确判断角的大小. 【例题1.1】（25-26高一下·海南海口·期末）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【例题1.2】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2026高三·全国·专题练习）如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式1.2】（2026高三·全国·专题练习）直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 题型2：已知倾斜角求参数 方法技巧 利用倾斜角与斜率的对应关系，建立关于参数的方程. 1. 若倾斜角已知且不是，可直接代入得到斜率的值. 2. 若倾斜角为，则直线上的点横坐标相同（即直线方程形如 x=c），由此列出关于参数的等式. 3. 注意结合图像. 【例题2.1】（25-26高二下·上海·期中）过、两点的直线的倾斜角为，那么_____. 【例题2.2】（25-26高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【变式2.1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（25-26高三上·四川眉山·期末）已知直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 题型3：求直线的斜率 方法技巧 根据已知条件选择公式，常见的公式有： 1. 一条直线的倾斜角，斜率；倾斜角是的直线斜率不存在. 2. 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝；当时，斜率不存在. 3. 直线l的一个方向向量的坐标为，其中，则它的斜率；当时，斜率不存在. 4. 直线方程为的直线斜率为k． 5. 直线方程为， (1) 当时，直线的斜率为； (2) 当时，直线的斜率为0； (3) 当时，直线的斜率不存在． 【例题3.1】（26-27高二上·河南南阳·开学考试）已知直线经过点，则直线的斜率为（  ） A．-3 B． C．3 D． 【例题3.2】（25-26高二下·上海青浦·期末）直线的斜率为________． 【变式3.1】（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知是直线的一个方向向量，则的斜率为_____________. 【变式3.2】（26-27高二上·河南焦作·开学考试）已知直线经过点,直线的倾斜角是直线倾斜角的一半,则直线的斜率为__________. 题型4：已知斜率求参数 方法技巧 将已知的斜率值代入斜率公式或直线方程中，解方程求参数． 1. 若已知两点求参数，注意检验解出的参数是否会导致 =（即分母为0）． 2. 若已知直线方程求参数，需注意对参数进行分类讨论，防止漏掉斜率不存在的情况． 【例题4.1】（24-25高二上·青海海南·期中）过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为______． 【例题4.2】（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）设，为实数，已知直线的斜率，且，，是这条直线上的三个点，则__________. 【变式4.1】（24-25高二上·广东佛山·期末）已知点，在斜率为的直线l上，则（   ） A． B． C． D． 【变式4.2】（25-26高二上·安徽淮北·期末）直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型5：直线斜率、倾斜角与方向向量的关系 方法技巧 利用方向向量与斜率的关系解题 1. 若直线的方向向量为，则： 当时，斜率； 当时，斜率不存在． 2. 若k是直线的斜率，则是它的一个方向向量． 3. 注意：方向向量不唯一，与方向向量共线的向量也是该直线的方向向量。利用这一特性可以灵活转化． 【例题5.1】（25-26高一下·山东青岛·期末）若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为________． 【例题5.2】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为__________. 【变式5.1】（25-26高二上·福建厦门·期中）经过两点的直线的方向向量为，则____________． 【变式5.2】（25-26高三·全国·一轮复习）过，两点的直线的一个方向向量为，则（　　） A． B．1 C．5 D．3 题型6：斜率与倾斜角的变化关系 方法技巧 结合图像研究斜率 k随倾斜角  变化的规律． 1. 斜率 当时，斜率，且k随倾斜角的增大而增大； 当时，斜率，且k随倾斜角的增大而增大； 当，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在. 2. 牢记在及上分两段递增，但在整个上不单调． 【例题6.1】（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）（多选）下列说法正确的是：（   ） A．斜率随倾斜角增大而增大 B．在上斜率随倾斜角增大而增大 C．在上，斜率随倾斜角增大而减小 D．在上，斜率随倾斜角增大而增大 【例题6.2】（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6.1】（25-26高二上·河南南阳·开学考试）（多选）给出下列结论，其中说法正确的是（    ） A．若是直线的一个方向向量，则是该直线的斜率 B．若直线的斜率是，则是该直线的一个方向向量 C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 【变式6.2】（25-26高二上·贵州·期中）（多选）已知直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 题型7：由斜率解决三点共线问题 方法技巧 若 A，B，C 三点共线，则直线 AB的斜率等于直线 AC的斜率（或者它们都不存在） 1. 优先计算斜率，比如：若，则三点共线． 2. 易错点提醒：必须单独讨论 A，B，C 三点的横坐标相等的情况（即直线垂直于 x 轴），此时斜率不存在，但三点依然可以共线． 【例题7.1】（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）下列各组中的三点不共线的是（    ） A． B． C． D． 【例题7.2】（25-26高二上·四川南充·期中）已知三点，，在同一条直线上，则（    ） A．12 B．24 C．6 D．10 【变式7.1】（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知三点，则“三点共线”是“或”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式7.2】（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知，，，不能构成三角形，则______． 题型8：直线与线段的相交关系求斜率和倾斜角范围 方法技巧 通常采用数形结合法。解题步骤如下： 1. 建立平面直角坐标系，画图． 2. 求出定点与线段两端点的连线斜率和，不妨令． 3. 在直线旋转过程中，如果存在垂直于x轴的直线，那么斜率k的取值范围为 在直线旋转过程中，如果不存在垂直于x轴的直线，那么斜率k的取值范围为． 4. 若求的是倾斜角的取值范围，那么结合和求出对应的倾斜角。并结合图像求出取值范围即可． 【例题8.1】（25-26高二下·上海·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________． 【例题8.2】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8.1】（25-26高三·全国·三轮复习）已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【变式8.2】（25-26高二上·内蒙古通辽·期中）已知过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，直线l的倾斜角的取值范围为__________． 题型9：两条直线的夹角问题 方法技巧 利用两条直线的斜率求夹角． 1. 若两条直线斜率分别为 和，夹角为θ，则（注意此公式适用于的情况）． 2. 若涉及特殊角（如 ，，，），可以结合几何图形利用勾股定理或三角函数解题． 【例题9.1】（25-26高二下·上海黄浦·期中）直线与直线的夹角的余弦为______. 【例题9.2】（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）直线与直线的夹角为___________ 【变式9.1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）直线和的夹角的余弦值为________． 【变式9.2】（2026高三·全国·专题练习）已知直线，则与所成角相等的直线的斜率为_____. 题型10：斜率公式的应用 方法技巧 利用斜率公式是核心工具，常用于求最值、证明恒等式、解决代数式范围问题． 1. 若遇到形如的代数式求最值和范围，可将其视为动点 (x,y)与定点 (a,b)连线的斜率． 2. 结合几何意义，将代数问题转化为解析几何中的动点问题，利用图形的几何性质（如相切、共线）求最值和范围． 【例题10.1】（25-26高二·全国·暑假作业）若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题10.2】（2025·四川达州·模拟预测）三名工人种植同一种果树，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和种植的果树数，点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和种植的果树数，.记为第名工人在这一天中平均每小时种植的果树数，则（   ） A．，，中最大的是 B．，，中最大的是 C．，，中最大的是 D．，，中最小的是 【变式10.1】（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10.2】（24-25高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $