专题05 一元一次方程（期中真题汇编，北京专用）七年级数学上学期

专题05 一元一次方程 考点01 从算式到方程 考点02 等式的性质 考点03 解一元一次方程 考点04 实际问题与一元一次方程 考点01 从算式到方程 1．D 2．【答案】6 【分析】 本题考查了一元一次方程的解，理解一元一次方程解的概念是关键；将代入方程，求解的值． 【详解】 解：∵是方程的解， ∴， 即， 解得， 故答案为：6． 3．【答案】 【分析】 本题主要考查列方程，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意直接列出方程即可． 【详解】 解：由题意可列方程为； 故答案为． 4．【答案】2 【分析】 本题考查了一元一次方程的定义，由一元一次方程的定义得，即可求解；理解定义“含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程叫做一元一次方程．”是解题的关键． 【详解】 解：由题意得 ， 解得：； 故答案：． 5．【答案】 【分析】 本题考查了方程解的定义，根据一元一次方程的解的定义，将代入方程求解m． 【详解】 解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴，即， ∴． 故答案为：． 6．【答案】7 【分析】 本题考查代数式的求解，熟练掌握代入法是解题的关键．根据图示中已知的x与关于x的代数式的值，代入代数式求解出、，再将代入中即可求解． 【详解】 当时，，代入可得，即， 当时，，代入可得，由得， 当时，， 故答案为：7． 考点02 等式的性质 1．C 2．B 3．B 4．C 5．D 6．D 考点03 解一元一次方程 1．C 2．B 3．A 4．D 5．B 6．C 7．【答案】等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式 【分析】 本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解本题的关键．根据等式的性质判断即可． 【详解】 解：第三步的做法是两边都除以，其依据是：等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式． 故答案为：等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式． 8．【答案】 【分析】 本题考查了一元一次方程的解，熟知一元一次方程的解即为能使一元一次方程成立的未知数的值是解本题的关键．将代入，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】 解：将代入， 得：， 解得， 故答案为：． 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题的关键． （1）依次去括号、移项、合并同类项、系数化，即可解方程； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化，即可解方程． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： 10．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再合并同类项，系数化1，即可作答． （2）先去括号，移项，再合并同类项，系数化1，即可作答． （3）先去分母，去括号，移项，再合并同类项，即可作答． (1) 小问详解： 解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化1，得； (2) 小问详解： 解：， 去括号，得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1，得； (3) 小问详解： 解： 去分母得， 去括号，得， 移项得， 合并同类项得． 11．【答案】 【分析】 本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．先移项，再合并同类项，最后化系数为1，从而得到方程的解． 【详解】 解：， ， ， ∴ 12．【答案】 【分析】 本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤．先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为1即可得解． 【详解】 解：， 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 未知数系数化为1得：． 13．【答案】， 【分析】 本题考查了整式的加减—化简求值，涉及去括号、合并同类项、绝对值意义及倒数性质等知识，熟练掌握相关概念及合并同类项是解决问题的关键． 先去括号，再合并同类项即可化简，然后根据绝对值意义及倒数性质得到，，代入化简后的式子计算即可得到答案． 【详解】 解： ， ∵， ∴， ∴或， ∵与互为倒数， ∴，， 当，时，原式． 14．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的方法：移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （2）根据解一元一次方程的方法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求解即可． (1) 小问详解： 解： 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； (2) 小问详解： 解： 去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 15．【答案】 【分析】 本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． 按照解一元一次方程的步骤进行求解即可． 【详解】 解： ． 16．【答案】5 【分析】 由题意知，，计算求解即可． 【详解】 解：由题意知，， 解得，， 故答案为：5． 【点睛】 本题考查了相反数，解一元一次方程．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再合并同类项，系数化为1，即可作答． （2）先去括号，移项，再合并同类项，系数化为1，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1，得； (2) 小问详解： 解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项得， 系数化为1，得． 18．【答案】（1）4     （2）1或     （3）0，1，2，3     （4）（答案不唯一）      【分析】 本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上两点间距离，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义． （1）根据数轴上两点间距离公式进行求解即可； （2）根据绝对值的意义得出，然后求出x的值即可； （3）根据绝对值的几何意义，得出当时，最小，然后根据x为非负整数得出x的值即可； （4）根据绝对值的几何意义，得出当时，最大，然后写出一个x的值即可． (1) 小问详解： 解：数轴上表示数1与的两点间的距离为： ； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 解得：或； (3) 小问详解： 解：∵表示在数轴上表示x的点到表示3和两个点的距离之和， ∴当时，最小， 又∵x为非负整数， ∴x的值为0，1，2，3； (4) 小问详解： 解：∵表示在数轴上表示x的点到表示1的点的距离与表示点的距离之差， ∴当时，最大， ∴满足条件的x的值可以是．（答案不唯一） 19．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了解一元一次方程、代数式求值等知识点，理解定解方程的定义是解题的关键． （1）根据定解方程的概念列式求解即可； （2）根据a是方程的解得到关于a、b的一个方程，再反而不好根据定解方程的概念列式得到关于a、b的一个等式，然后联立两方程求解即可； （3）根据定解方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，然后代入化简后的代数式进行计算求解即可． (1) 小问详解： 解：解方程可得：， ∵关于的一元一次方程是定解方程， ∴，解得：． (2) 小问详解： 解：解方程可得：， ∵关于的一元一次方程是定解方程，它的解为， ∴① ， ∵关于的一元一次方程是定解方程， ∴② ， ① ② 联立得∶ 解得： ． (3) 小问详解： 解：∵关于的一元一次方程和都是定解方程， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ． 20．【答案】 【分析】先去分母，去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1，即可求出解. 【详解】解：去分母，得3(x-1)-6=2(4x+1)， 去括号，得3x-3-6=8x+2， 移项，合并同类项，得-5x=11， 系数化为1，得x=-， ∴x=-是原方程的解． 故答案为x=-. 【点睛】本题考查了含分母的一元一次方程的解法，去分母时不要漏乘是解题的关键. 21．【答案】（1）1     （2）     （3）或      【分析】 （1）根据“对立方程”的定义直接可得答案； （2）将“对立方程”组成方程组求解可得答案； （3）根据“对立方程”与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． (1) 小问详解： 解：由题可知，关于的方程与方程（、均为不等于0的常数）称互为“对立方程”， ∵方程与方程互为“对立方程”， ∴． 故答案为：1． (2) 小问详解： 解：将写成的形式， ∵方程与方程互为“对立方程”， ∴ ， 解得： ． (3) 小问详解： 解：关于的方程与其“对立方程”， 由得，， 当，得， ∵与的解均为整数， ∴与都为整数， ∴， 解得：或． 【点睛】 本题主要考查了一元一次方程的应用，能够正确理解概念是解题的关键． 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． (1) 小问详解： 解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； (2) 小问详解： 解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 23．【答案】（1）三，移项没有变号     （2）      【分析】 本题考查了解一元一次方程． （1）检查解题过程，可发现第三步去括号没有变号； （2）先去分母、去括号，再移项，然后合并后把x的系数化为1即可． (1) 小问详解： 解：第三步开始出现错误，错误原因是三，移项没有变号， 故答案为：三，移项没有变号； (2) 小问详解： 解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 所以，是原方程的解． 24．【答案】 【分析】 把代入方程，即可得到一个关于的方程，解方程即可求解． 【详解】 解：把代入方程，得 ， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一元一次方程的解的定义：满足一元一次方程的未知数的值叫一元一次方程的解，也考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1）是解决本题的关键． 25．【答案】（1）-14     （2）6     （3）或或或或或      【分析】 （1）根据题目中的法则即可运算； （2）根据法则表达出(−3，x)⊗(-2，4)，再解方程即可； （3）根据法则表达出(1，x−1)⊗(x−2y，2y)，列出方程，再根据x是整数，求出y的值即可． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：，，解得； (3) 小问详解： 解：由得，即， ∵x是整数，∴或或， ∴或或或或或． 【点睛】 本题考查了新定义下的有理数运算问题，解题的关键是掌握题中新定义的运算法则． 考点04 实际问题与一元一次方程 1．A 2．B 3．【答案】 【分析】 本题考查一元一次方程的实际应用，根据每人分4个梨，多12个梨可知梨的数量为个，根据每人分6个梨，可知梨的数量为个，据此列出方程即可． 【详解】 解：由题意得，， 故答案为：． 4．【答案】7 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用，设左下角的数为b，根据题意可得，，分别解方程即可得到答案． 【详解】 解：设左下角的数为b， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：7． 5．【答案】 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题关键．设绳索长 尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺”，即可得出关于的一元一次方程组，此题得解． 【详解】 解：设绳索长 尺，根据题意得 故答案为：． 6．【答案】（1）① 1；②或2     （2）或      【分析】 本题主要考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题： （1）①根据“到达距离”的定义，即可求解；②根据“到达距离”的定义，即可求解； （2）根据题意可得点B对应的数a在之间（包含0，5），再由“到达距离”的定义，可得或，即可求解． (1) 小问详解： 解：①∵， ∴， ∵点M与数轴上原点重合， ∴点M到线段的“到达距离”是1； 故答案为：1 ②∵点M到线段的“到达距离”是2， ∴或， ∴或2； 故答案为：或2 (2) 小问详解： 解：∵点A对应的数a在之间（包含，3），， ∴点B对应的数a在之间（包含0，5）， ∵点M到线段的“到达距离”始终大于3， ∴或， 即m的取值范围为或． 7．【答案】（1）2     （2）或     （3）      【分析】 本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，绝对值方程，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据“倍关联点”的定义得到，即可求解； （2）设表示的数为，根据题意得到，解方程即可； （3）由题意得，设点是点关于点的“倍关联点”则，将代入，则得到，联立① ② 即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意得，， 解得， 故答案为：2； (2) 小问详解： 解：设表示的数为， 由题意得，， 解得或， ∴点表示的数为或； (3) 小问详解： 解：∵点是点关于点的“倍关联点”， ∴， 设点是点关于点的“倍关联点” ∴ ∵， ∴将代入，则得到， ∵，， ∴， ∵点，不与点，重合， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．【答案】 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，整式混合运算的实际应用，由已知可设，，，进而根据得，即得，即可得，，，再根据图形列式计算即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】 解：∵，， 可设，，， 由图可得，， ∴， 解得， ∴，，， ∴这个面的面积． 9．【答案】（1）点和点；；     （2）     （3）①；②      【分析】 本题考查了数轴，解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意，点和点是数轴上关于点的对称点时，它们表示的数满足：，由此计算即可得解； （2）根据点和点是数轴上关于点的对称点时，它们表示的数满足，计算即可得解； （3）① 由题意得，解方程即可得解；② 由题意可得，解一元一次不等式即可得解． (1) 小问详解： 解：由题意可得，点和点是数轴上关于点的对称点时，它们表示的数满足：， 则点、、、中，关于点对称点的是点和点；若点表示的数是8，则点关于点的对称点表示的数是；如果图2所示点、是关于点的对称点，则点表示的数是； (2) 小问详解： 解：设点表示的数为，点表示的数为．且点、是关于点的对称点，则点表示的数是； (3) 小问详解： 解：① ∵点表示的数为，点表示的数为，点和点是数轴上关于原点的对称点， ∴， 解得； ② ∵点和点是关于正半轴上某一点的对称点， ∴， 解得． 10．【答案】（1）3     （2）5或     （3）2.5     （4）      【分析】 本题考查了新定义，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，理解新定义是解答本题的关键． （1）分别求出的长即可求解； （2）由可知，然后分两种情况求解即可； （3）由点C是中点时，有最小值，求解即可； （4）由点R是中点时，有最小值，然后求出临界值即可求解． (1) 小问详解： 解：∵A，B两点表示的数分别为，3，点C对应的数是1， ∴，， ∴． 故答案为：3； (2) 小问详解： 解：∵点A表示的数为，点C对应的数是1， ∴． ∵， ∴， ∴点B对应的数是或． 故答案为：5或； (3) 小问详解： 解：∵点C是中点时，， ∴的最小值是． 故答案为：； (4) 小问详解： 解：∵P、Q两点同时沿数轴以每秒2个单位长度向右运动， ∴， ∴中点表示的数是． ∵使得最小， ∴点R是中点， ∴当时，， 当时，， ∴使得最小，t的取值范围． 11．【答案】小云有580元不能购买6个冰箱贴和4个毛绒玩偶 【分析】 本题考查一元一次方程的实际应用，设毛绒玩偶的单价为元，根据毛绒玩偶的单价比冰箱贴的单价贵50元，买5个毛绒玩偶和3个冰箱贴需要570元，列出方程进行求解即可．正确的列出方程是解题的关键． 【详解】 解：设毛绒玩偶的单价为元，则冰箱贴的单价为元，由题意： ， 解得， ∴， 故毛绒玩偶的单价为元，冰箱贴的单价为元， ； 故小云有580元不能购买6个冰箱贴和4个毛绒玩偶． 12．【答案】（1）这个手工兴趣小组共有7人，计划要做的这批中国结有80个； （2）不能，理由如下： 设A型中国结个，B型中国结个，则需要红绳 整理得 因为是整数，所以也是整数，则不存在这样的的值 所以，制作这批中国结不能恰好用完这50米红绳． 【分析】 （1）设这个手工兴趣小组共有人，根据题意列出一元一次方程解方程，进而求得做的这批中国结的个数； （2）设A型中国结个，B型中国结个，列出等式，进而根据为正整数即可求得答案案 【详解】 （1）设这个手工兴趣小组共有人，根据题意得： 解得 做的这批中国结有（个） 答：这个手工兴趣小组共有7人，计划要做的这批中国结有80个． （2）略 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 13．【答案】（1）1     （2）的值为或；      【分析】 本题考查了数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用，理解“倍分点”的定义，根据题意分情况讨论并列出方程是解此题的关键． （1）根据点是点关于点的“倍分点”，得到，设点表示的数是，得出关于的一元一次方程，求解即可得到答案； （2）根据点是点关于点的“倍分点”，得到，分两种情况讨论：① 点在点左侧，② 点在点右侧，分别列出关于的一元一次方程，求解即可得到答案； (1) 小问详解： 解：∵点是点关于点的“倍分点”， ∴， 设点表示的数是， ∵点表示的数是，点表示的数是，点在线段上， ∴，， ∴， 解得： ∴点表示的数是． (2) 小问详解： ∵点是点关于点的“倍分点”， ∴， ∵点表示的数是，点表示的数是，， 点在点左侧时，点表示的数是， 此时，， ∴ 解得： 点在点右侧时，点表示的数是6， 此时，， 由题意得： 解得： 所以的值为或； 14．【答案】（1）生产盲盒的工人有600人；     （2）该工厂应该安排250名工人生产盲盒，750名工人生产盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套．      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设生产盲盒的工人人数为人，则生产盲盒的工人人数为人，根据该工厂共有名工人，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设安排人生产盲盒，则安排人生产盲盒，根据盲盒大礼包由个盲盒和3个盲盒组成．列出一元一次方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：设生产盲盒的工人人数为人，则生产盲盒的工人人数为人， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：生产盲盒的工人人数为600人； (2) 小问详解： 解：设安排人生产盲盒，则安排人生产盲盒， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：该工厂应该安排250名工人生产盲盒，750名工人生产盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套． 15．【答案】或3 【分析】 本题考查了数轴上点的位置，两点间的距离，解题的关键在于表示出两点的距离． 设点B所对应的数是m，，则点C所对应的数是，由于点移动2个单位到，方向未指定，故需考虑两种移动情况，表示出、所对应的数，然后根据点到点的距离等于点到点的距离的一半，列方程计算求解即可． 【详解】 解：设点B所对应的数是m，，则点C所对应的数是， 情况一：点向左移动，点向右移动， ∴点所对应的数是，点所对应的数是， ∵点到点的距离等于点到点的距离的一半， ∴， 解得或； 情况二：点向右移动，点向左移动， ∴点所对应的数是，点所对应的数是， ∵点到点的距离等于点到点的距离的一半， ∴， 解得或； ∵， ∴或， ∴点B所对应的数是或3． 故答案为：或3． 16．【答案】（1）1或     （2）6     （3）当时，式子的值最小      【分析】 （1）当在左边，两点距离为3时，可得；当在右边，两点距离为3时，可得． （2）根据题意可得，从而可判断绝对值内为正数，为负数，根据绝对值内的正负去绝对值，从而可得答案． （3）根据在数轴上的不同位置，与点、１、4之间的相对关系，判断绝对值内的正负，再去绝对值，根据的范围可得去绝对值后式子的范围，当式子取最小值时可得的值． (1) 小问详解： 解： 或； (2) 小问详解： 解：∵数a的点位于与2之间， ∴，则 ∴； (3) 小问详解： 解：当时，，得； 当时，，得； 当时，，得； 当时，，得； 由此可知的最小值为9，当时取得， 当时，式子的值最小． 【点睛】 此题考查绝对值内的正负判断和去绝对值的方法，结合数轴上两点的位置关系以及正确去绝对值化简式子是解题的关键． 17．【答案】（1）；     （2）     （3）方案A      【分析】 （1）根据题意，由A，B两种方案进行表示即可； （2）根据两种方案的费用相同建立方程，解方程即可得到答案 （3）当时，代入（1）中的两个代数式，比较大小即可得出结论． (1) 小问详解： 解：4名老师，m名学生， 按方案A购票，需付款：元； 按方案B购票，需付款：元； 故答案为：；； (2) 小问详解： 解：∵选择两种方案的费用相同， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：当时， 按方案A购票，需付款：（元）； 按方案B购票，需付款：（元）； ∵， ∴选择方案A购票更为优惠． 【点睛】 本题考查了列代数式及代数式求值，解一元一次方程，理解题意正确列出代数式是解决问题的关键． 18．【答案】（1）2，4或6     （2）①；②     （3）或8或      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及列代数式，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）根据点P表示的有理数，即可得出结论；由点P与点4重合，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t值； （2）①由点P的出发点、运动时间及运动速度，可用含t的代数式表示出点P表示的有理数；②由点P的出发点、运动时间及运动速度，可用含t的代数式表示出点P表示的有理数； （3）分及两种情况，找出点P和点Q表示的数，结合，即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． (1) 小问详解： 解：（1）． 所以当时，点P表示的有理数为2． 在未到达点B前，当点P与点4重合时，时间为秒， 在到达点B后，当点P与点4重合时，时间为秒， 所以的值是4或6． 故答案为：2，4或6； (2) 小问详解： 解：①点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动， ∴点P由点A到点B的运动过程中，点P表示的有理数是， 故答案为：； ②点P由点B到点A的运动过程中，点P表示的有理数是； 故答案为：； (3) 小问详解： 解：当时，点P表示的有理数是，点Q表示的数是， ∴， 解得：或； 当时，点P表示的有理数是，点Q表示的数是， ∴， 解得：或（舍）． 答：当点P与点Q的距离是2个单位长度时，t的值是或8或． 19．【答案】（1）①；②     （2）①，6；②第一种说法正确，定点所对应的数为      【分析】 本题考查了数轴上两点距离，新定义，整式的加减； （1）①依题意，，根据新定义可得是与对应点的中点，即可求解； ②根据定义可得，是的中点，根据两点距离，即可求解． （2）①设分别对应的数为，根据新定义，即线段中点的定义，分别求得的长，即可求解； ②设点表示数为，根据①的结论，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴点的“对称点”对应的数是 故答案为：． ②根据定义可得，是的中点，设点表示的数为， ∴ ∴ 故答案为：． (2) 小问详解： 解：①依题意，，，为线段的中点， 设分别对应的数为， ∵点对应的数分别为，3， 为线段的中点，则， 则， 为线段的中点，则，则， 为线段的中点，则，则， ∴不为定值， 为定值， 不为定值， 故答案为：，6． ②设点表示数为， 若第一个说法正确，则 ∴，故第一个选项正确， 若第二个说法正确，则， 则（不为定值），故第二个选项错误． 第一种说法正确，定点所对应的数为． 20．【答案】（1）     （2）     （3）和不能等于2026，理由见解析      【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用以及数字的变化规律，熟练掌握通过设未知数，根据数量关系列方程求解，以及分析数字排列规律是解题的关键． （1）根据数阵中数的排列规律，正中间的数与上下左右四个数的关系为：左右两个数比中间数少2和多2，上下两个数比中间数少12和多12，据此求出这五个数并求和； （2）要使十字框内五个数的和最小，则正中间的数要尽可能小，结合十字框的框取规则确定正中间最小的数，进而求出这五个数并求和； （3）设正中间的数为，根据上述数量关系表示出其余四个数，然后根据五个数的和等于2026列出方程，求解并根据实际情况判断解是否合理． (1) 小问详解： 解：∵正中间的一个数为， ∴左边的数为，右边的数为，上边的数为，下边的数为， ∴这五个数的和为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵十字框只能平移，且要框住个数， ∴正中间最小的数为， 此时左边的数为，右边的数为，上边的数为，下边的数为， ∴这五个数的和的最小值为， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：和不能等于2026，理由如下： 设正中间的数为，则左边的数为，右边的数为，上边的数为，下边的数为， 依题意得：， 合并同类项得：， 系数化为得：（不是整数）． ∴它们的和不能等于2026． 21．【答案】（1）不是，是；（2）点F表示的数是或或或；（3）点此时所代表的数为或． 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用里的动点问题，数轴上表示数，数轴上两点间的距离等知识， 理解“双倍和谐点”的定义是解决本题的关键． （1）根据“二倍和谐点”的定义求解即可； （2）根据“二倍和谐点”的定义分四种情况分别求解即可； （3）根据“二倍和谐点”的定义点表示的数为，由题意得到点移动后表示的数为， 点移动后表示的数为， 点移动后表示的数是，则，，分①，②两种情况求解即可． 【详解】 解：（1）∵， ∴点是的中点， ∴，， ∴点B不是点A与点C的“二倍和谐点”， 点C是点A与点B的“二倍和谐点”， 故答案为：不是，是； （2）设点表示的数为， ① 当点在点左侧，时， ， 解得：， ② 当点在点左侧，时， ， 解得：， ③ 当点在点右侧，时， ， 解得：， ④ 当点在点右侧，时， ， 解得：， ∴点F表示的数是或或或； （3）设点表示的数为， 则：， ∴， ∴点表示的数为， 由题意得：点移动后表示的数为， 点移动后表示的数为， 点移动后表示的数是， ∴， ∵点位于点右侧， ∴， ①， ∴， 当时，， 即， ∴， 当时， ， ∴，方程无解，舍去， ②， ∴， 当时， ， 即， ∴， 当时， ， 即， ∴， 当 时， ， 当时， ， 当时，，线段为负，不合题意，舍去， ∴当点位于点右侧且点是点与点N的“双倍和谐点”时， 点此时所代表的数为或． 22．【答案】①     ② 或 【分析】 该题主要考查了推理的能力，方程的应用，解题的关键是表示出表格中数据． （1）根据题意得出，得到； （2）根据表格中甲次的和与乙次的和不相同，得出数据，结合表格列出等式求解即可． 【详解】 解：（1）根据题意可得：， 解得：， 故答案为：； （2）甲的总和乙的总和， 甲次的和与乙次的和不相同， 又， ① 可得出甲、乙、丙三位同学玩了5次游戏的数据如下： ，即， ， ， 解得：， ； ② 也可得出甲、乙、丙三位同学玩了5次游戏的数据如下： ，即， ， ， 解得：， ， ， 故答案为：或． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 乙 丙 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 乙 丙 23．【答案】（1）①1；②或；③；     （2）①② 4      【分析】 （1）根据题意，， ① 当，则，故或 解答即可； ② 当，则，由点与点之间的距离为8，得到，解答即可； ③a，b，c之间的数量关系为_____； （2）① 根据题意，，点F表示的数为；，点G表示的数为；则点与点之间的距离为解答即可． ② 设点M是点与点在线段上的等距关联点，点M表示的数为，则，，根据题意，得， 故，由点，在数轴上，且表示的数分别为，1，故，解答即可； 本题考查了新定义，绝对值，两点间的距离，解方程组，一元一次方程的动点问题，熟练掌握定义，数轴上的动点问题是解题的关键． (1) 小问详解： 解：根据题意，， ① 当，则， 故或 解得或不成立， 故， 故答案为：1； ② 当，则，由点与点之间的距离为8，得到， 故或，且或， 故（舍去）或，且或， 故 或 ， 解得 或 ， 故答案为：或； ③ 解：根据题意，， 故或， 故（舍去）或， 故 a，b，c之间的数量关系为， 故答案为：． (2) 小问详解： ① 解：根据题意，，点F表示的数为；，点G表示的数为； 则点与点之间的距离为， 故答案为：． ② 设点M是点与点在线段上的等距关联点，点M表示的数为， 则，， 根据题意，得， 故， 由点，在数轴上，且表示的数分别为，1， 故， 故当时，有最大值，且最大值为4， 故答案为：4． 24．【答案】（1）5；     （2）①，；②或     （3）      【分析】 本题考查数轴，一元一次方程的应用，绝对值，线段等知识. （1）令项和x的一次项的系数为0，可求出a、b的值，再根据绝对值的定义求出； （2）① 根据移动的速度、时间，求出移动的路程，再根据数轴表示数的意义，确定所表示的数，② 求出两点之间的距离，列方程求解即可； （3）用含有t的代数式表示，根据绝对值的定义及线段的长度总为一个固定的值求出答案即可． (1) 小问详解： ∵不含项和x的一次项， ∴， 解得， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： ① 点M从A出发，沿数轴正方向运动，所以M点表示的数为， N从O出发，沿数轴正方向运动，所以N点表示的数为， 又， 所以，M点表示的数为，N点表示的数为， 故答案为：，； ② ∵， ∴当时，即， ∴， 解得或； (3) 小问详解： ∵点C为线段中点， ∴C点表示的数为， ∴ ∵线段的长度总为一个固定的值， ∴含的项的系数必须为0，即”, ∴． 25．【答案】（1）     （2）①或或；②50或110      【分析】 本题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的实际应用，正确理解题意和应用分类讨论思想是解题关键． （1）根据“友好点”的定义，分别验证三点即可． （2）① 设点P在数轴上所表示的数为x．根据“友好点”的定义，当点P在点A的右侧，，，当点P在点A的左侧， ,进行分类讨论，列出方程求解即可．② 分三种情况进行解答，即点A是点P，点B的“友好点”；点B是点A、点P的“友好点”；点P是点A、点B的“友好点”，然后根据“友好点”的定义列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴是点M，N的“友好点”， ∵， ∴， ∴不是点M，N的“友好点”， ∵， ∴， ∴是点M，N的“友好点”， 综上，是点M，N的“友好点”， 故答案为： (2) 小问详解： 解：设点P表示的数为x， ∵点A表示数， 点B表示的数30， ∴① 若点P在点B的左侧，， 当点P在点A的右侧，， ∵点P是点A，B的“友好点”， ∴， ∴， 解得； 或， ∴， 解得； 当点P在点A的左侧，， 此时，, ∴， 解得； 综上，点P表示的数为或或； ② 若点P在点B的右侧，则， 当，， 解得， 当，， 解得， 当，， 解得， 当，， 解得， 此时，点A是点P，点B的“友好点”；点P是点A、点B的“友好点”，有两个“友好点”，不合题意； 综上，点P表示的数为50或110． 故答案为：50或110． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程 4大高频考点概览 考点01 从算式到方程 考点02 等式的性质 考点03 解一元一次方程 考点04 实际问题与一元一次方程 考点01 从算式到方程 1．（25-26学年七上·北京第一六六中学·期中）已知关于x的方程的解是，则a的值为（     ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中求出a的值即可得到答案． 【详解】 解；∵关于x的方程的解是， ∴， 解得， 故选：D． 2．（25-26学年七上·北京第五十五中学·期中）方程的解是，则　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了一元一次方程的解，理解一元一次方程解的概念是关键；将代入方程，求解的值． 【详解】 解：∵是方程的解， ∴， 即， 解得， 故答案为：6． 3．（25-26学年七上·北京第一六六中学·期中）根据“比a的3倍大5的数等于a的4倍”列出等式为：　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查列方程，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意直接列出方程即可． 【详解】 解：由题意可列方程为； 故答案为． 4．（25-26学年七上·北京第一七一中学·期中）若是关于的一元一次方程，则的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】2 【分析】 本题考查了一元一次方程的定义，由一元一次方程的定义得，即可求解；理解定义“含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程叫做一元一次方程．”是解题的关键． 【详解】 解：由题意得 ， 解得：； 故答案：． 5．（25-26学年七上·北京第三十五中学·期中）已知是关于的一元一次方程的解，则的值是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了方程解的定义，根据一元一次方程的解的定义，将代入方程求解m． 【详解】 解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴，即， ∴． 故答案为：． 6．（25-26学年七上·北京海淀·期中）已知x与关于x的代数式的值对应如下图： 则m的值为　　　　　　　　　　． 【答案】7 【分析】 本题考查代数式的求解，熟练掌握代入法是解题的关键．根据图示中已知的x与关于x的代数式的值，代入代数式求解出、，再将代入中即可求解． 【详解】 当时，，代入可得，即， 当时，，代入可得，由得， 当时，， 故答案为：7． 考点02 等式的性质 1．（25-26学年七上·北京第五十五中学·期中）如果a＝b，那么下列等式一定成立的是（       ） A.  B. a＝－b C.  D. ab＝1 【答案】C 【分析】 等式的基本性质1：等式的两边都加上或减去同一个数（或整式），所得的结果仍然是等式；性质2：等式的两边都乘以同一个数（或整式），所得的结果仍然是等式，等式的两边都除以同一个不为0的数（或整式），所得的结果仍然是等式；根据等式的基本性质逐一判断即可. 【详解】 解： a＝b， 故A，B不符合题意； a＝b，故C符合题意； 故D不符合题意； 故选C 【点睛】 本题考查的是等式的基本性质，掌握“等式的基本性质”是解本题的关键. 2．（25-26学年七上·北京房山·期中）根据等式的基本性质，下列不成立的是（       ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】B 【分析】 本题主要考查了等式的基本性质，包括等式两边同时加、减、乘、除除以（除数不为零）同一个数，等式仍然成立．根据等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】 解：A．∵，等式两边加5， ∴，故A成立，不符合题意； B．∵，等式两边乘， ∴，但选项给出，故B不成立，符合题意； C．∵ ，等式两边加， ∴，故C成立，不符合题意； D．∵，等式两边减5， ∴，故D成立，不符合题意． 故选：B． 3．（25-26学年七上·北京第一六六中学·期中）下列变形中，不正确的是（     ） A. 若，则 B. 由，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【分析】 本题考查了等式的基本性质．解决本题的关键是根据等式的两边同时加上或减去同一个数仍是等式；等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数仍是等式． 【详解】 解：A选项：已知，根据等式的基本性质两边同时减去可得：，故A选项正确； B选项：已知，根据等式的基本性质两边同时乘以可得：，故B选项错误； C选项：，把的两边同时除以可得：，故C选项正确； D选项：已知，移项可得：，故D选项正确． 故选：B． 4．（25-26学年七上·北京第八中学·期中）下列等式变形不正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【分析】 本题考查了等式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】 解：A： ，且， 两边同乘得 ，正确，故该选项不合题意； B： ，两边同加2得 ：，正确，故该选项不合题意； C：当时，恒成立，但与不一定相等，错误，故该选项符合题意； D：，两边同减得： ，正确，故该选项不合题意． 故选：C． 5．（七上·北京北京二中教·期中）已知，下列变形中不一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐一判断即可，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】 解：A、∵，∴，故选项不符合题意； B、∵，∴，故选项不符合题意； C、∵，∴，故选项不符合题意； D、当时，不成立，故选项符合题意； 故选：D． 6．（25-26学年七上·北京第四十四中学·期中）下列等式变形错误的是（     ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【分析】 本题考查等式的性质，包括移项和乘法性质．需要逐一验证每个选项的变形是否正确． 【详解】 解：A若，两边加1得，正确． B若，两边加3得，则，正确． C若，移项得，正确， D 若，两边乘以2得，但选项中为，错误． 故选D 考点03 解一元一次方程 1．（25-26学年七上·北京第四十四中学·期中）小丽同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是，请问这个被污染的常数■是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，把代入计算即可求解． 【详解】 解：把代入得： ， 解得：； 故选：C． 2．（25-26学年七上·北京第四中学·期中）下列式子的变形中，正确的是（     ） A. 由得 B. 由得 C. 由得 D. 由得 【答案】B 【分析】 本题考查了等式的性质，一元一次方程的变形，掌握移项，去括号，系数化为1的方法是解题的关键．根据等式的性质，解一元一次方程的方法进行判定即可． 【详解】 解：A、根据移项，由得，原选项变形错误，不符合题意； B、根据移项，由得，原选项变形正确，符合题意； C、根据系数化为1，由得，原选项变形错误，不符合题意； D、根据去括号，由得，原选项变形错误，不符合题意； 故选：B ． 3．（25-26学年七上·北京第一六六中学·期中）若，，且，则的值是（       ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【分析】 先解绝对值方程，求出、的值，再根据有理数的加减法运算法则进行计算即可得解． 【详解】 解：，， ，， ， ，， ， 或， 的值是或， 故选：． 【点睛】 本题主要考查了绝对值方程，有理数的加法运算，代数式求值，有理数的减法运算等知识点，熟练掌握有理数的运算法则和相关性质并确定出、的值是解题的关键． 4．（25-26学年七上·北京第一七一中学·期中）若是关于的一元一次方程的解，则的值为（     ） A. 5 B. 4 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程．解题的关键在于正确的计算． 将代入中，计算求解即可． 【详解】 解：将代入中得 解得 故选D． 5．（25-26学年七上·北京第十二中学·期中）已知，．若与互为相反数，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了互为相反数的意义，解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． 与互为相反数，得，代入a和b的表达式后解方程求m． 【详解】 解：∵与互为相反数， ∴， 代入得： 通分后乘以 4： 简化： 展开： 合并同类项： ∴ ∴的值为， 故选：B． 6．（25-26学年七上·北京一六一中学·期中）对任意两个有理数有如下运算：，有下列四个结论：①；②；③对任意有理数，有；④若，则其中所有正确结论的序号是（     ） A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ③④ 【答案】C 【分析】 本题主要考查了新定义下的有理数的运算，解题的关键是掌握新定义运算法则． 根据新运算定义，逐项计算或推理判断． 【详解】 解：①   ， ①错误； ②   ， ， ②正确； ③   ，， ∴， ③正确； ④ ∵，， 若，则，即或， 或，不一定， ④错误 综上，正确结论的序号是② ③， 故选：C． 7．（25-26学年七上·北京第四中学·期中）如图是解方程的流程，其中第3步的依据是　　　　　　． 【答案】等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式 【分析】 本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解本题的关键．根据等式的性质判断即可． 【详解】 解：第三步的做法是两边都除以，其依据是：等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式． 故答案为：等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式． 8．（七上·北京北京二中教·期中）如果是关于的一元一次方程的解，那么的值是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元一次方程的解，熟知一元一次方程的解即为能使一元一次方程成立的未知数的值是解本题的关键．将代入，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】 解：将代入， 得：， 解得， 故答案为：． 9．（25-26学年七上·北京第四十四中学·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题的关键． （1）依次去括号、移项、合并同类项、系数化，即可解方程； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化，即可解方程． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： 10．（25-26学年七上·北京第五十五中学·期中）解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再合并同类项，系数化1，即可作答． （2）先去括号，移项，再合并同类项，系数化1，即可作答． （3）先去分母，去括号，移项，再合并同类项，即可作答． (1) 小问详解： 解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化1，得； (2) 小问详解： 解：， 去括号，得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1，得； (3) 小问详解： 解： 去分母得， 去括号，得， 移项得， 合并同类项得． 11．（25-26学年七上·北京第一七一中学·期中）解方程： 【答案】 【分析】 本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．先移项，再合并同类项，最后化系数为1，从而得到方程的解． 【详解】 解：， ， ， ∴ 12．（25-26学年七上·北京第一七一中学·期中）解方程：． 【答案】 【分析】 本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤．先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为1即可得解． 【详解】 解：， 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 未知数系数化为1得：． 13．（25-26学年七上·北京第八中学·期中）先化简，再求值：，其中，且与互为倒数． 【答案】， 【分析】 本题考查了整式的加减—化简求值，涉及去括号、合并同类项、绝对值意义及倒数性质等知识，熟练掌握相关概念及合并同类项是解决问题的关键． 先去括号，再合并同类项即可化简，然后根据绝对值意义及倒数性质得到，，代入化简后的式子计算即可得到答案． 【详解】 解： ， ∵， ∴， ∴或， ∵与互为倒数， ∴，， 当，时，原式． 14．（25-26学年七上·北京第八中学·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的方法：移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （2）根据解一元一次方程的方法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求解即可． (1) 小问详解： 解： 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； (2) 小问详解： 解： 去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 15．（25-26学年七上·北京第三十五中学·期中）解方程：． 【答案】 【分析】 本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． 按照解一元一次方程的步骤进行求解即可． 【详解】 解： ． 16．（25-26学年七上·北京十一学校·期中）若的相反数是，则　　　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 由题意知，，计算求解即可． 【详解】 解：由题意知，， 解得，， 故答案为：5． 【点睛】 本题考查了相反数，解一元一次方程．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 17．（25-26学年七上·北京第四中学·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再合并同类项，系数化为1，即可作答． （2）先去括号，移项，再合并同类项，系数化为1，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1，得； (2) 小问详解： 解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项得， 系数化为1，得． 18．（25-26学年七上·北京房山·期中）通过学习我们知道，的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离．由于可以看作，那么的几何意义为数轴上表示数a与0的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的几何意义为数轴上表示数a与b的两点间的距离．表示数轴上有理数a所对应的点到和4所对应的两点间的距离之和． 例如的几何意义为数轴上表示数a与2的两点间的距离，若，则a的值为1或3． （1）数轴上表示数1与的两点间的距离是______； （2）如果，那么______； （3）当代数式取最小值，且x为非负整数时，这样的非负整数x是______； （4）当代数式取最大值时，写出一个满足条件的x的值______． 【答案】（1）4     （2）1或     （3）0，1，2，3     （4）（答案不唯一）      【分析】 本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上两点间距离，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义． （1）根据数轴上两点间距离公式进行求解即可； （2）根据绝对值的意义得出，然后求出x的值即可； （3）根据绝对值的几何意义，得出当时，最小，然后根据x为非负整数得出x的值即可； （4）根据绝对值的几何意义，得出当时，最大，然后写出一个x的值即可． (1) 小问详解： 解：数轴上表示数1与的两点间的距离为： ； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 解得：或； (3) 小问详解： 解：∵表示在数轴上表示x的点到表示3和两个点的距离之和， ∴当时，最小， 又∵x为非负整数， ∴x的值为0，1，2，3； (4) 小问详解： 解：∵表示在数轴上表示x的点到表示1的点的距离与表示点的距离之差， ∴当时，最大， ∴满足条件的x的值可以是．（答案不唯一） 19．（七上·北京北京二中教·期中）规定关于的一元一次方程的解为，则称该方程是定解方程， 例如：的解为，则该方程就是定解方程； （1）若关于的一元一次方程是定解方程，则的值为______； （2）若关于的一元一次方程是定解方程，它的解为，求，的值； （3）若关于的一元一次方程和都是定解方程，求代数式的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了解一元一次方程、代数式求值等知识点，理解定解方程的定义是解题的关键． （1）根据定解方程的概念列式求解即可； （2）根据a是方程的解得到关于a、b的一个方程，再反而不好根据定解方程的概念列式得到关于a、b的一个等式，然后联立两方程求解即可； （3）根据定解方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，然后代入化简后的代数式进行计算求解即可． (1) 小问详解： 解：解方程可得：， ∵关于的一元一次方程是定解方程， ∴，解得：． (2) 小问详解： 解：解方程可得：， ∵关于的一元一次方程是定解方程，它的解为， ∴① ， ∵关于的一元一次方程是定解方程， ∴② ， ① ② 联立得∶ 解得： ． (3) 小问详解： 解：∵关于的一元一次方程和都是定解方程， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ． 20．（七上·北京北京二中教·期中）解方程：． 【答案】 【分析】先去分母，去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1，即可求出解. 【详解】解：去分母，得3(x-1)-6=2(4x+1)， 去括号，得3x-3-6=8x+2， 移项，合并同类项，得-5x=11， 系数化为1，得x=-， ∴x=-是原方程的解． 故答案为x=-. 【点睛】本题考查了含分母的一元一次方程的解法，去分母时不要漏乘是解题的关键. 21．（25-26学年七上·北京第四十四中学·期中）定义：关于的方程与方程（、均为不等于0的常数）称互为“对立方程”，例如：方程与方程互为“对立方程”． （1）若关于的方程与方程互为“对立方程”，则______； （2）若关于的方程与方程互为“对立方程”，求、的值； （3）若关于的方程与其“对立方程”的解都是整数、求整数的值． 【答案】（1）1     （2）     （3）或      【分析】 （1）根据“对立方程”的定义直接可得答案； （2）将“对立方程”组成方程组求解可得答案； （3）根据“对立方程”与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． (1) 小问详解： 解：由题可知，关于的方程与方程（、均为不等于0的常数）称互为“对立方程”， ∵方程与方程互为“对立方程”， ∴． 故答案为：1． (2) 小问详解： 解：将写成的形式， ∵方程与方程互为“对立方程”， ∴ ， 解得： ． (3) 小问详解： 解：关于的方程与其“对立方程”， 由得，， 当，得， ∵与的解均为整数， ∴与都为整数， ∴， 解得：或． 【点睛】 本题主要考查了一元一次方程的应用，能够正确理解概念是解题的关键． 22．（25-26学年七上·北京第一六六中学·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． (1) 小问详解： 解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； (2) 小问详解： 解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 23．（25-26学年七上·北京第一七一中学·期中）在学习解一元一次方程后，小军对一道一元一次方程的解答过程如下： 解方程：． 解：去分母，得．……第①步 去括号，得．……第②步 移项，得．……第③步 合并同类项，得．……第④步 系数化为1，得．……第⑤步 所以，是原方程的解． （1）第______（填序号）步开始出现错误，这一步的依据是______； （2）直接写出该方程的解______． 【答案】（1）三，移项没有变号     （2）      【分析】 本题考查了解一元一次方程． （1）检查解题过程，可发现第三步去括号没有变号； （2）先去分母、去括号，再移项，然后合并后把x的系数化为1即可． (1) 小问详解： 解：第三步开始出现错误，错误原因是三，移项没有变号， 故答案为：三，移项没有变号； (2) 小问详解： 解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 所以，是原方程的解． 24．（25-26学年七上·北京第四中学·期中）已知关于x的方程的解为，则a的值为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 把代入方程，即可得到一个关于的方程，解方程即可求解． 【详解】 解：把代入方程，得 ， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一元一次方程的解的定义：满足一元一次方程的未知数的值叫一元一次方程的解，也考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1）是解决本题的关键． 25．（25-26学年七上·北京第四中学·期中）对于任意有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．根据上述规定，解决下列问题： （1）有理数对______； （2）若有理数对，则______； （3）当满足等式中的x是整数时，求整数y的值． 【答案】（1）-14     （2）6     （3）或或或或或      【分析】 （1）根据题目中的法则即可运算； （2）根据法则表达出(−3，x)⊗(-2，4)，再解方程即可； （3）根据法则表达出(1，x−1)⊗(x−2y，2y)，列出方程，再根据x是整数，求出y的值即可． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：，，解得； (3) 小问详解： 解：由得，即， ∵x是整数，∴或或， ∴或或或或或． 【点睛】 本题考查了新定义下的有理数运算问题，解题的关键是掌握题中新定义的运算法则． 考点04 实际问题与一元一次方程 1．（25-26学年七上·北京第四中学·期中）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出钱．多出钱；每人出钱，差钱．问人数是多少？若设有人，则可方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意找出数量关系和等量关系列方程即可． 【详解】 解：设有人，则可得， ∴每人出钱．多出钱：， 每人出钱，差钱：； 可得方程为：． 故选． 【点睛】 本题考查了列一元一次方程，审清题意找出等量关系是解题的关键． 2．（25-26学年七上·北京第三十五中学·期中）今年哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍，4年前哥哥的年龄是妹妹年龄的3倍，若设妹妹今年x岁，可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 若设妹妹今年x岁，根据今年哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍，4年前哥哥的年龄是妹妹年龄的3倍，可列出方程． 【详解】 解：设妹妹今年x岁． 2x﹣4＝3（x﹣4）． 故选：B． 【点睛】 本题考查理解题意的能力，关键知道年龄差是不变的，所以根据倍数关系可列出方程． 3．（七上·北京北京二中教·期中）“我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩重闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设有个人，则可列方程　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元一次方程的实际应用，根据每人分4个梨，多12个梨可知梨的数量为个，根据每人分6个梨，可知梨的数量为个，据此列出方程即可． 【详解】 解：由题意得，， 故答案为：． 4．（七上·北京北京二中教·期中）幻方是一种中国传统的数字游戏．游戏规则：将数字填入正方形的格子中，使每行、每列和每条斜对角线上的数字和都相等．下图是填写了部分数字的幻方，根据幻方的游戏规则，其中的值为　　　　　　　． 【答案】7 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用，设左下角的数为b，根据题意可得，，分别解方程即可得到答案． 【详解】 解：设左下角的数为b， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：7． 5．（25-26学年七上·北京第四十四中学·期中）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿子，就比竿子短5尺．问绳索、竿子各有多长？若设该问题中的竿子长为x尺，则可列方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题关键．设绳索长 尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺”，即可得出关于的一元一次方程组，此题得解． 【详解】 解：设绳索长 尺，根据题意得 故答案为：． 6．（25-26学年七上·北京通州区四校·期中）已知数轴上点A，B对应的数分别为a，b，且，点P在线段上，点M为数轴上一动点，其对应的数为m．我们规定：点M到点P的距离的最小值为点M到线段的“到达距离”． （1）如图1，当点M与数轴上原点重合时， ①如果，那么点M到线段的“到达距离”是__________； ②如果点M到线段的“到达距离”是2，那么__________； （2）当点A对应的数a在之间（包含，3）时，如果点M到线段的“到达距离”始终大于3，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）① 1；②或2     （2）或      【分析】 本题主要考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题： （1）①根据“到达距离”的定义，即可求解；②根据“到达距离”的定义，即可求解； （2）根据题意可得点B对应的数a在之间（包含0，5），再由“到达距离”的定义，可得或，即可求解． (1) 小问详解： 解：①∵， ∴， ∵点M与数轴上原点重合， ∴点M到线段的“到达距离”是1； 故答案为：1 ②∵点M到线段的“到达距离”是2， ∴或， ∴或2； 故答案为：或2 (2) 小问详解： 解：∵点A对应的数a在之间（包含，3），， ∴点B对应的数a在之间（包含0，5）， ∵点M到线段的“到达距离”始终大于3， ∴或， 即m的取值范围为或． 7．（25-26学年七上·北京大兴·期中）数轴上互不重合的三个点，，表示的数分别为，，，如果是的倍，那么就称点是点关于点的“倍关联点”．如图所示，点，点表示的数分别是，4． （1）点是点关于原点的“倍关联点”，则_____； （2）点是点关于点的“2倍关联点”，求点表示的数； （3）点，表示的数分别是，，点，不与点，重合，若点是点关于点的“倍关联点”，且，则点是点关于点的“_____倍关联点”（用含的代数式表示）． 【答案】（1）2     （2）或     （3）      【分析】 本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，绝对值方程，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据“倍关联点”的定义得到，即可求解； （2）设表示的数为，根据题意得到，解方程即可； （3）由题意得，设点是点关于点的“倍关联点”则，将代入，则得到，联立① ② 即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意得，， 解得， 故答案为：2； (2) 小问详解： 解：设表示的数为， 由题意得，， 解得或， ∴点表示的数为或； (3) 小问详解： 解：∵点是点关于点的“倍关联点”， ∴， 设点是点关于点的“倍关联点” ∴ ∵， ∴将代入，则得到， ∵，， ∴， ∵点，不与点，重合， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（七上·北京北京二中教·期中）鲁班锁是我国古代传统建筑物的固定结合器，也是一种广泛流传的益智玩具，如图．其中六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸如图所示．已知，求这个面的面积． 【答案】 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，整式混合运算的实际应用，由已知可设，，，进而根据得，即得，即可得，，，再根据图形列式计算即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】 解：∵，， 可设，，， 由图可得，， ∴， 解得， ∴，，， ∴这个面的面积． 9．（七上·北京日坛中学·期中）对于数轴上的点、、给出如下定义：记点到点的距离为，点到点的距离为，如果点、分别在点的两侧且，那么称点和点是数轴上关于点的对称点． （1）图1所示点、、、中，关于点对称点的是______；若点表示的数是8，则点关于点的对称点表示的数是______；如果图2所示点、是关于点的对称点，则点表示的数是______； （2）设点表示的数为，点表示的数为．且点、是关于点的对称点，则点表示的数是______；（用含的代数式表示） （3）点表示的数为，点表示的数为． ①若点和点是数轴上关于原点的对称点，求的值； ②若点和点是关于正半轴上某一点的对称点，直接写出的取值范围______． 【答案】（1）点和点；；     （2）     （3）①；②      【分析】 本题考查了数轴，解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意，点和点是数轴上关于点的对称点时，它们表示的数满足：，由此计算即可得解； （2）根据点和点是数轴上关于点的对称点时，它们表示的数满足，计算即可得解； （3）① 由题意得，解方程即可得解；② 由题意可得，解一元一次不等式即可得解． (1) 小问详解： 解：由题意可得，点和点是数轴上关于点的对称点时，它们表示的数满足：， 则点、、、中，关于点对称点的是点和点；若点表示的数是8，则点关于点的对称点表示的数是；如果图2所示点、是关于点的对称点，则点表示的数是； (2) 小问详解： 解：设点表示的数为，点表示的数为．且点、是关于点的对称点，则点表示的数是； (3) 小问详解： 解：① ∵点表示的数为，点表示的数为，点和点是数轴上关于原点的对称点， ∴， 解得； ② ∵点和点是关于正半轴上某一点的对称点， ∴， 解得． 10．（25-26学年七上·北京第四十四中学·期中）已知数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，表示线段的长度．对于线段和数轴上的点C，给出如下定义： ，此时，我们称是点C和线段的极大距离．例如：数轴上A，B两点表示的数分别为，3，点C是原点，此时因为，且，所以． （1）当数轴上A，B两点表示的数分别为，3，点C对应的数是1时，____________． （2）当数轴上点A表示的数为，点C对应的数是1，，点B对应的数是____________． （3）当数轴上A，B两点表示的数分别为，3，点C是数轴上的动点，的最小值是____________． （4）已知数轴上P，Q两点表示的数分别为，3，P、Q两点同时沿数轴以每秒2个单位长度向右运动，运动时间为t，数轴上M，N两点表示的数分别为4，8，那么线段上存在点R，使得最小，求t的取值范围． 【答案】（1）3     （2）5或     （3）2.5     （4）      【分析】 本题考查了新定义，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，理解新定义是解答本题的关键． （1）分别求出的长即可求解； （2）由可知，然后分两种情况求解即可； （3）由点C是中点时，有最小值，求解即可； （4）由点R是中点时，有最小值，然后求出临界值即可求解． (1) 小问详解： 解：∵A，B两点表示的数分别为，3，点C对应的数是1， ∴，， ∴． 故答案为：3； (2) 小问详解： 解：∵点A表示的数为，点C对应的数是1， ∴． ∵， ∴， ∴点B对应的数是或． 故答案为：5或； (3) 小问详解： 解：∵点C是中点时，， ∴的最小值是． 故答案为：； (4) 小问详解： 解：∵P、Q两点同时沿数轴以每秒2个单位长度向右运动， ∴， ∴中点表示的数是． ∵使得最小， ∴点R是中点， ∴当时，， 当时，， ∴使得最小，t的取值范围． 11．（25-26学年七上·北京第五十五中学·期中）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行．本届亚冬会的吉祥物是两只可爱的小东北虎“滨滨”和“妮妮”．回到家乡哈尔滨过年的小云想买一些纪念品，送给在北京的小伙伴们．她发现毛绒玩偶的单价比冰箱贴的单价贵50元，买5个毛绒玩偶和3个冰箱贴需要570元．试判断：小云有580元能否购买6个冰箱贴和4个毛绒玩偶． 【答案】小云有580元不能购买6个冰箱贴和4个毛绒玩偶 【分析】 本题考查一元一次方程的实际应用，设毛绒玩偶的单价为元，根据毛绒玩偶的单价比冰箱贴的单价贵50元，买5个毛绒玩偶和3个冰箱贴需要570元，列出方程进行求解即可．正确的列出方程是解题的关键． 【详解】 解：设毛绒玩偶的单价为元，则冰箱贴的单价为元，由题意： ， 解得， ∴， 故毛绒玩偶的单价为元，冰箱贴的单价为元， ； 故小云有580元不能购买6个冰箱贴和4个毛绒玩偶． 12．（25-26学年七上·北京第一六六中学·期中）某班手工兴趣小组的同学们计划制作一批中国结送给敬老院作为新年礼物．如果每人制作9个，那么就比计划少做17个；如果每人制作12个，那么就比计划多做4个． （1）这个手工兴趣小组共有多少人？计划要做的这批中国结有多少个？ （2）同学们打算用A，B两种不同的编结方式来制作这一批中国结，已知每个A型中国结需用红绳0.6米，每个B型中国结需用红绳0.9米，现有50米红绳，制作这批中国结能恰好用完这50米红绳吗？请说明你的理由． 【答案】（1）这个手工兴趣小组共有7人，计划要做的这批中国结有80个； （2）不能，理由如下： 设A型中国结个，B型中国结个，则需要红绳 整理得 因为是整数，所以也是整数，则不存在这样的的值 所以，制作这批中国结不能恰好用完这50米红绳． 【分析】 （1）设这个手工兴趣小组共有人，根据题意列出一元一次方程解方程，进而求得做的这批中国结的个数； （2）设A型中国结个，B型中国结个，列出等式，进而根据为正整数即可求得答案案 【详解】 （1）设这个手工兴趣小组共有人，根据题意得： 解得 做的这批中国结有（个） 答：这个手工兴趣小组共有7人，计划要做的这批中国结有80个． （2）略 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 13．（25-26学年七上·北京第十一中学·期中）对于数轴上不同的三个点，，，若满足，则称点是点关于点的“倍分点”．例如，如图，在数轴上，点，表示的数分别是，，可知原点是点关于点的“倍分点”，原点也是点关于点的“倍分点”．在数轴上，已知点表示的数是，点表示的数是． （1）若点在线段上，且点是点关于点的“倍分点”，则点表示的数是       ； （2）若点在数轴上，，且点是点关于点的“倍分点”，求的值； 【答案】（1）1     （2）的值为或；      【分析】 本题考查了数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用，理解“倍分点”的定义，根据题意分情况讨论并列出方程是解此题的关键． （1）根据点是点关于点的“倍分点”，得到，设点表示的数是，得出关于的一元一次方程，求解即可得到答案； （2）根据点是点关于点的“倍分点”，得到，分两种情况讨论：① 点在点左侧，② 点在点右侧，分别列出关于的一元一次方程，求解即可得到答案； (1) 小问详解： 解：∵点是点关于点的“倍分点”， ∴， 设点表示的数是， ∵点表示的数是，点表示的数是，点在线段上， ∴，， ∴， 解得： ∴点表示的数是． (2) 小问详解： ∵点是点关于点的“倍分点”， ∴， ∵点表示的数是，点表示的数是，， 点在点左侧时，点表示的数是， 此时，， ∴ 解得： 点在点右侧时，点表示的数是6， 此时，， 由题意得： 解得： 所以的值为或； 14．（25-26学年七上·北京第一七一中学·期中）现有工厂生产盲盒，分为、两种包装，该工厂共有1000名工人， （1）若该工厂生产盲盒的人数比生产盲盒的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒的工人人数； （2）为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒和3个盲盒组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒或10个盲盒．且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒、多少名工人生产盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【答案】（1）生产盲盒的工人有600人；     （2）该工厂应该安排250名工人生产盲盒，750名工人生产盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套．      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设生产盲盒的工人人数为人，则生产盲盒的工人人数为人，根据该工厂共有名工人，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设安排人生产盲盒，则安排人生产盲盒，根据盲盒大礼包由个盲盒和3个盲盒组成．列出一元一次方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：设生产盲盒的工人人数为人，则生产盲盒的工人人数为人， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：生产盲盒的工人人数为600人； (2) 小问详解： 解：设安排人生产盲盒，则安排人生产盲盒， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：该工厂应该安排250名工人生产盲盒，750名工人生产盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套． 15．（25-26学年七上·北京第八中学·期中）已知数轴上的原点记为，数轴上点，在点的两侧（点在点的右侧），且它们到点的距离相等，现将点在数轴上移动2个单位到点处，将点向相反方向移动1个单位到点处，若点到点的距离等于点到点的距离的一半，则点所对应的数是　　　　　． 【答案】或3 【分析】 本题考查了数轴上点的位置，两点间的距离，解题的关键在于表示出两点的距离． 设点B所对应的数是m，，则点C所对应的数是，由于点移动2个单位到，方向未指定，故需考虑两种移动情况，表示出、所对应的数，然后根据点到点的距离等于点到点的距离的一半，列方程计算求解即可． 【详解】 解：设点B所对应的数是m，，则点C所对应的数是， 情况一：点向左移动，点向右移动， ∴点所对应的数是，点所对应的数是， ∵点到点的距离等于点到点的距离的一半， ∴， 解得或； 情况二：点向右移动，点向左移动， ∴点所对应的数是，点所对应的数是， ∵点到点的距离等于点到点的距离的一半， ∴， 解得或； ∵， ∴或， ∴点B所对应的数是或3． 故答案为：或3． 16．（25-26学年七上·北京第十二中学·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么______； （2）若数轴上表示数a的点位于与2之间，求的值； （3）当a取何值时，的值最小． 【答案】（1）1或     （2）6     （3）当时，式子的值最小      【分析】 （1）当在左边，两点距离为3时，可得；当在右边，两点距离为3时，可得． （2）根据题意可得，从而可判断绝对值内为正数，为负数，根据绝对值内的正负去绝对值，从而可得答案． （3）根据在数轴上的不同位置，与点、１、4之间的相对关系，判断绝对值内的正负，再去绝对值，根据的范围可得去绝对值后式子的范围，当式子取最小值时可得的值． (1) 小问详解： 解： 或； (2) 小问详解： 解：∵数a的点位于与2之间， ∴，则 ∴； (3) 小问详解： 解：当时，，得； 当时，，得； 当时，，得； 当时，，得； 由此可知的最小值为9，当时取得， 当时，式子的值最小． 【点睛】 此题考查绝对值内的正负判断和去绝对值的方法，结合数轴上两点的位置关系以及正确去绝对值化简式子是解题的关键． 17．（25-26学年七上·北京第三十五中学·期中）某中学七年级（1）班4名老师决定带领本班m名学生去某革命胜地参观，该革命胜地每张门票的票价为30元，现有A、B两种购票方案可供选择： 方案A：教师全价，学生半价； 方案B：不分教师与学生，全部六折优惠； （1）若按方案A购票，需付款___元（用含m的代数式表示）；若按方案B购票，需付款_____元（用含m的代数式表示）； （2）当学生人数m为何值时，选择两种方案的费用相同？ （3）当学生人数时，请通过计算说明选择哪种方案更为优惠？ 【答案】（1）；     （2）     （3）方案A      【分析】 （1）根据题意，由A，B两种方案进行表示即可； （2）根据两种方案的费用相同建立方程，解方程即可得到答案 （3）当时，代入（1）中的两个代数式，比较大小即可得出结论． (1) 小问详解： 解：4名老师，m名学生， 按方案A购票，需付款：元； 按方案B购票，需付款：元； 故答案为：；； (2) 小问详解： 解：∵选择两种方案的费用相同， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：当时， 按方案A购票，需付款：（元）； 按方案B购票，需付款：（元）； ∵， ∴选择方案A购票更为优惠． 【点睛】 本题考查了列代数式及代数式求值，解一元一次方程，理解题意正确列出代数式是解决问题的关键． 18．（25-26学年七上·北京一六一中学·期中）如图，数轴上点表示的有理数为－4，点表示的有理数为6，点从点出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上由点到点的方向运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点停止运动，设运动时间为秒． （1）当时，点表示的有理数是______，当点与点4重合时，的值是______； （2）①在点由点到点的运动过程中，表示的有理数是______（用含的代数式表示）； ②在点由点到点的运动过程中，点表示的有理数是______（用含的代数式表示）； （3）若点从点出发的同时，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上由点到点的方向运动，当为何值时，点与点的距离是2个单位长度． 【答案】（1）2，4或6     （2）①；②     （3）或8或      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及列代数式，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）根据点P表示的有理数，即可得出结论；由点P与点4重合，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t值； （2）①由点P的出发点、运动时间及运动速度，可用含t的代数式表示出点P表示的有理数；②由点P的出发点、运动时间及运动速度，可用含t的代数式表示出点P表示的有理数； （3）分及两种情况，找出点P和点Q表示的数，结合，即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． (1) 小问详解： 解：（1）． 所以当时，点P表示的有理数为2． 在未到达点B前，当点P与点4重合时，时间为秒， 在到达点B后，当点P与点4重合时，时间为秒， 所以的值是4或6． 故答案为：2，4或6； (2) 小问详解： 解：①点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动， ∴点P由点A到点B的运动过程中，点P表示的有理数是， 故答案为：； ②点P由点B到点A的运动过程中，点P表示的有理数是； 故答案为：； (3) 小问详解： 解：当时，点P表示的有理数是，点Q表示的数是， ∴， 解得：或； 当时，点P表示的有理数是，点Q表示的数是， ∴， 解得：或（舍）． 答：当点P与点Q的距离是2个单位长度时，t的值是或8或． 19．（25-26学年七上·北京第八十中学·期中）在数轴上，已知点M和点P，若点N与点M分别位于点P的两侧，且点N和点M到点P的距离相等，就把点N叫做点M的“P对称点”．特别地，若点M与点P重合，那么点M的“P对称点”就是它本身．已知数轴上点A，点B对应的数分别为a，b．解决下面的问题： （1）当，时， ①点A的“B对称点”对应的数是                         ； ②若点A是点B的“P对称点”，那么点P对应的数是                         ； （2）已知点，，对应的数分别为0，3，，记点A的“P1对称点”为，点的“对称点”为，点的“对称点”为． ①在线段，，中，长度为定值的是                         ，它的长度是                         ； ②若对于任意a的值，有下面两种说法： 第一种说法：存在定点Q，使得点A的“Q对称点”是点； 第二种说法：存在定点Q，使得点A的“Q对称点”是点． 请判断这两个说法哪一个是正确的，并求出相应的定点Q所对应的数． 【答案】（1）①；②     （2）①，6；②第一种说法正确，定点所对应的数为      【分析】 本题考查了数轴上两点距离，新定义，整式的加减； （1）①依题意，，根据新定义可得是与对应点的中点，即可求解； ②根据定义可得，是的中点，根据两点距离，即可求解． （2）①设分别对应的数为，根据新定义，即线段中点的定义，分别求得的长，即可求解； ②设点表示数为，根据①的结论，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴点的“对称点”对应的数是 故答案为：． ②根据定义可得，是的中点，设点表示的数为， ∴ ∴ 故答案为：． (2) 小问详解： 解：①依题意，，，为线段的中点， 设分别对应的数为， ∵点对应的数分别为，3， 为线段的中点，则， 则， 为线段的中点，则，则， 为线段的中点，则，则， ∴不为定值， 为定值， 不为定值， 故答案为：，6． ②设点表示数为， 若第一个说法正确，则 ∴，故第一个选项正确， 若第二个说法正确，则， 则（不为定值），故第二个选项错误． 第一种说法正确，定点所对应的数为． 20．（七上·北京北京二中教·期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数阵，用十字框按如图所示的方式任意框五个数．（十字框只能平移） （1）若框住的五个数中，正中间的一个数为17，则这五个数的和为______； （2）十字框内五个数的和的最小值是______； （3）十字框能否框住这样的五个数，它们的和等于2026？若能，求出这五个数中间的那个数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）和不能等于2026，理由见解析      【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用以及数字的变化规律，熟练掌握通过设未知数，根据数量关系列方程求解，以及分析数字排列规律是解题的关键． （1）根据数阵中数的排列规律，正中间的数与上下左右四个数的关系为：左右两个数比中间数少2和多2，上下两个数比中间数少12和多12，据此求出这五个数并求和； （2）要使十字框内五个数的和最小，则正中间的数要尽可能小，结合十字框的框取规则确定正中间最小的数，进而求出这五个数并求和； （3）设正中间的数为，根据上述数量关系表示出其余四个数，然后根据五个数的和等于2026列出方程，求解并根据实际情况判断解是否合理． (1) 小问详解： 解：∵正中间的一个数为， ∴左边的数为，右边的数为，上边的数为，下边的数为， ∴这五个数的和为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵十字框只能平移，且要框住个数， ∴正中间最小的数为， 此时左边的数为，右边的数为，上边的数为，下边的数为， ∴这五个数的和的最小值为， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：和不能等于2026，理由如下： 设正中间的数为，则左边的数为，右边的数为，上边的数为，下边的数为， 依题意得：， 合并同类项得：， 系数化为得：（不是整数）． ∴它们的和不能等于2026． 21．（25-26学年七上·北京第一六六中学·期中）【阅读定义】 在数轴上有三个点，若其中一点分别与另外两点组成的线段长度恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“二倍和谐点”． 【理解定义】 （1）如图1，点A，B，C在数轴上，如果，我们就可以认为点A是点B与点C的“二倍和谐点”，此时点B             点A与点C的“二倍和谐点”（填“是”或“不是”），点C             点A与点B的“二倍和谐点”（填“是”或“不是”）； 【迁移运用】 （2）点D，E，F在数轴上，点D表示的数为2，点E表示的数为4，如果点D是点E与点F的“二倍和谐点”，则点F表示的数是             ； （3）如图2，点O是数轴的原点，点P表示的数为－5，点Q表示的数为1．点K从P点出发，在数轴上以每秒4个单位的速度向右运动．若在点K运动的同时，线段在数轴上以每秒2个单位的速度向右运动，点M在线段上，满足，且点M也随一起运动，点N也同时从原点出发，在数轴上以每秒1个单位的速度向右运动，运动时间为t秒．当点K位于点M右侧且点M是点K与点N的“二倍和谐点”时，求点K此时表示的数． 【答案】（1）不是，是；（2）点F表示的数是或或或；（3）点此时所代表的数为或． 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用里的动点问题，数轴上表示数，数轴上两点间的距离等知识， 理解“双倍和谐点”的定义是解决本题的关键． （1）根据“二倍和谐点”的定义求解即可； （2）根据“二倍和谐点”的定义分四种情况分别求解即可； （3）根据“二倍和谐点”的定义点表示的数为，由题意得到点移动后表示的数为， 点移动后表示的数为， 点移动后表示的数是，则，，分①，②两种情况求解即可． 【详解】 解：（1）∵， ∴点是的中点， ∴，， ∴点B不是点A与点C的“二倍和谐点”， 点C是点A与点B的“二倍和谐点”， 故答案为：不是，是； （2）设点表示的数为， ① 当点在点左侧，时， ， 解得：， ② 当点在点左侧，时， ， 解得：， ③ 当点在点右侧，时， ， 解得：， ④ 当点在点右侧，时， ， 解得：， ∴点F表示的数是或或或； （3）设点表示的数为， 则：， ∴， ∴点表示的数为， 由题意得：点移动后表示的数为， 点移动后表示的数为， 点移动后表示的数是， ∴， ∵点位于点右侧， ∴， ①， ∴， 当时，， 即， ∴， 当时， ， ∴，方程无解，舍去， ②， ∴， 当时， ， 即， ∴， 当时， ， 即， ∴， 当 时， ， 当时， ， 当时，，线段为负，不合题意，舍去， ∴当点位于点右侧且点是点与点N的“双倍和谐点”时， 点此时所代表的数为或． 22．（25-26学年七上·北京第一七一中学·期中）数学活动课上，同学们分小组玩游戏，每组三张卡片，卡片上各写有一个正整数，分别记为且，组长将卡片随机发给甲、乙、丙三位同学，这三位同学拿到卡片后记录数字，然后将卡片还给组长，算是完成一次游戏，某小组按照此方式玩了次游戏，他们将部分数据记录如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 乙 丙 （1）的值为　　　　　　； （2）的值为　　　　　　． 【答案】①     ② 或 【分析】 该题主要考查了推理的能力，方程的应用，解题的关键是表示出表格中数据． （1）根据题意得出，得到； （2）根据表格中甲次的和与乙次的和不相同，得出数据，结合表格列出等式求解即可． 【详解】 解：（1）根据题意可得：， 解得：， 故答案为：； （2）甲的总和乙的总和， 甲次的和与乙次的和不相同， 又， ① 可得出甲、乙、丙三位同学玩了5次游戏的数据如下： ，即， ， ， 解得：， ； ② 也可得出甲、乙、丙三位同学玩了5次游戏的数据如下： ，即， ， ， 解得：， ， ， 故答案为：或． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 乙 丙 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 乙 丙 23．（25-26学年七上·北京第八中学·期中）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事非．”可见数形结合对于数学学习是多么重要．在数轴上不重合的三点，若点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的等距关联点． （1）已知，点在数轴上，表示的数分别为，且点为点与点的等距关联点． ①若，则_____； ②若，且点与点之间的距离为8，则_____； ③a，b，c之间的数量关系为_____； （2）已知，点，在数轴上，且表示的数分别为，1，点从点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点从点以2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为； ①点与点之间的距离为_____．（用含的代数式表示） ②若点与点的等距关联点在线段上，则的最大值为_____． 【答案】（1）①1；②或；③；     （2）①② 4      【分析】 （1）根据题意，， ① 当，则，故或 解答即可； ② 当，则，由点与点之间的距离为8，得到，解答即可； ③a，b，c之间的数量关系为_____； （2）① 根据题意，，点F表示的数为；，点G表示的数为；则点与点之间的距离为解答即可． ② 设点M是点与点在线段上的等距关联点，点M表示的数为，则，，根据题意，得， 故，由点，在数轴上，且表示的数分别为，1，故，解答即可； 本题考查了新定义，绝对值，两点间的距离，解方程组，一元一次方程的动点问题，熟练掌握定义，数轴上的动点问题是解题的关键． (1) 小问详解： 解：根据题意，， ① 当，则， 故或 解得或不成立， 故， 故答案为：1； ② 当，则，由点与点之间的距离为8，得到， 故或，且或， 故（舍去）或，且或， 故 或 ， 解得 或 ， 故答案为：或； ③ 解：根据题意，， 故或， 故（舍去）或， 故 a，b，c之间的数量关系为， 故答案为：． (2) 小问详解： ① 解：根据题意，，点F表示的数为；，点G表示的数为； 则点与点之间的距离为， 故答案为：． ② 设点M是点与点在线段上的等距关联点，点M表示的数为， 则，， 根据题意，得， 故， 由点，在数轴上，且表示的数分别为，1， 故， 故当时，有最大值，且最大值为4， 故答案为：4． 24．（25-26学年七上·北京第三十五中学·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上两点，表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 已知，点、、在数轴上对应的数为、、0，且关于的多项式不含项和的一次项，点、分别从、出发，沿数轴正方向运动，的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动的时间为秒． （1）直接写出_____； （2）当，时，请回答下列问题： ①用含的代数式表示：秒后，点表示的数为_____；点表示的数为_____． ②当为何值时，恰好有？ （3）、在运动过程中，取线段的中点（点始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，求出与的数量关系． 【答案】（1）5；     （2）①，；②或     （3）      【分析】 本题考查数轴，一元一次方程的应用，绝对值，线段等知识. （1）令项和x的一次项的系数为0，可求出a、b的值，再根据绝对值的定义求出； （2）① 根据移动的速度、时间，求出移动的路程，再根据数轴表示数的意义，确定所表示的数，② 求出两点之间的距离，列方程求解即可； （3）用含有t的代数式表示，根据绝对值的定义及线段的长度总为一个固定的值求出答案即可． (1) 小问详解： ∵不含项和x的一次项， ∴， 解得， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： ① 点M从A出发，沿数轴正方向运动，所以M点表示的数为， N从O出发，沿数轴正方向运动，所以N点表示的数为， 又， 所以，M点表示的数为，N点表示的数为， 故答案为：，； ② ∵， ∴当时，即， ∴， 解得或； (3) 小问详解： ∵点C为线段中点， ∴C点表示的数为， ∴ ∵线段的长度总为一个固定的值， ∴含的项的系数必须为0，即”, ∴． 25．（25-26学年七上·北京第十八中学·期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“友好点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“友好点”． （1）若点M表示数， 点N表示的数4，下列各数0，1，2所对应的点分别为，其中是点M，N的“友好点”的是___________； （2）点A表示数， 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“友好点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“友好点”，写出此时点P表示的数___________． 【答案】（1）     （2）①或或；②50或110      【分析】 本题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的实际应用，正确理解题意和应用分类讨论思想是解题关键． （1）根据“友好点”的定义，分别验证三点即可． （2）① 设点P在数轴上所表示的数为x．根据“友好点”的定义，当点P在点A的右侧，，，当点P在点A的左侧， ,进行分类讨论，列出方程求解即可．② 分三种情况进行解答，即点A是点P，点B的“友好点”；点B是点A、点P的“友好点”；点P是点A、点B的“友好点”，然后根据“友好点”的定义列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴是点M，N的“友好点”， ∵， ∴， ∴不是点M，N的“友好点”， ∵， ∴， ∴是点M，N的“友好点”， 综上，是点M，N的“友好点”， 故答案为： (2) 小问详解： 解：设点P表示的数为x， ∵点A表示数， 点B表示的数30， ∴① 若点P在点B的左侧，， 当点P在点A的右侧，， ∵点P是点A，B的“友好点”， ∴， ∴， 解得； 或， ∴， 解得； 当点P在点A的左侧，， 此时，, ∴， 解得； 综上，点P表示的数为或或； ② 若点P在点B的右侧，则， 当，， 解得， 当，， 解得， 当，， 解得， 当，， 解得， 此时，点A是点P，点B的“友好点”；点P是点A、点B的“友好点”，有两个“友好点”，不合题意； 综上，点P表示的数为50或110． 故答案为：50或110． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程 4大高频考点概览 考点01 从算式到方程 考点02 等式的性质 考点03 解一元一次方程 考点04 实际问题与一元一次方程 考点01 从算式到方程 1．（25-26学年七上·北京第一六六中学·期中）已知关于x的方程的解是，则a的值为（     ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2．（25-26学年七上·北京第五十五中学·期中）方程的解是，则　　　． 3．（25-26学年七上·北京第一六六中学·期中）根据“比a的3倍大5的数等于a的4倍”列出等式为：　　　　　　． 4．（25-26学年七上·北京第一七一中学·期中）若是关于的一元一次方程，则的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　. 5．（25-26学年七上·北京第三十五中学·期中）已知是关于的一元一次方程的解，则的值是　　　　　． 6．（25-26学年七上·北京海淀·期中）已知x与关于x的代数式的值对应如下图： 则m的值为　　　　　　　　　　． 考点02 等式的性质 1．（25-26学年七上·北京第五十五中学·期中）如果a＝b，那么下列等式一定成立的是（       ） A.  B. a＝－b C.  D. ab＝1 2．（25-26学年七上·北京房山·期中）根据等式的基本性质，下列不成立的是（       ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 3．（25-26学年七上·北京第一六六中学·期中）下列变形中，不正确的是（     ） A. 若，则 B. 由，则 C. 若，则 D. 若，则 4．（25-26学年七上·北京第八中学·期中）下列等式变形不正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5．（七上·北京北京二中教·期中）已知，下列变形中不一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年七上·北京第四十四中学·期中）下列等式变形错误的是（     ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 考点03 解一元一次方程 1．（25-26学年七上·北京第四十四中学·期中）小丽同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是，请问这个被污染的常数■是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年七上·北京第四中学·期中）下列式子的变形中，正确的是（     ） A. 由得 B. 由得 C. 由得 D. 由得 3．（25-26学年七上·北京第一六六中学·期中）若，，且，则的值是（       ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 4．（25-26学年七上·北京第一七一中学·期中）若是关于的一元一次方程的解，则的值为（     ） A. 5 B. 4 C.  D.  5．（25-26学年七上·北京第十二中学·期中）已知，．若与互为相反数，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年七上·北京一六一中学·期中）对任意两个有理数有如下运算：，有下列四个结论：①；②；③对任意有理数，有；④若，则其中所有正确结论的序号是（     ） A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ③④ 7．（25-26学年七上·北京第四中学·期中）如图是解方程的流程，其中第3步的依据是　　　　　　． 8．（七上·北京北京二中教·期中）如果是关于的一元一次方程的解，那么的值是　　　　　． 9．（25-26学年七上·北京第四十四中学·期中）解方程： （1） （2） 10．（25-26学年七上·北京第五十五中学·期中）解方程： （1）； （2）； （3）． 11．（25-26学年七上·北京第一七一中学·期中）解方程： 12．（25-26学年七上·北京第一七一中学·期中）解方程：． 13．（25-26学年七上·北京第八中学·期中）先化简，再求值：，其中，且与互为倒数． 14．（25-26学年七上·北京第八中学·期中）解方程： （1） （2） 15．（25-26学年七上·北京第三十五中学·期中）解方程：． 16．（25-26学年七上·北京十一学校·期中）若的相反数是，则　　　　　　　　　　． 17．（25-26学年七上·北京第四中学·期中）解下列方程： （1）； （2）． 18．（25-26学年七上·北京房山·期中）通过学习我们知道，的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离．由于可以看作，那么的几何意义为数轴上表示数a与0的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的几何意义为数轴上表示数a与b的两点间的距离．表示数轴上有理数a所对应的点到和4所对应的两点间的距离之和． 例如的几何意义为数轴上表示数a与2的两点间的距离，若，则a的值为1或3． （1）数轴上表示数1与的两点间的距离是______； （2）如果，那么______； （3）当代数式取最小值，且x为非负整数时，这样的非负整数x是______； （4）当代数式取最大值时，写出一个满足条件的x的值______． 19．（七上·北京北京二中教·期中）规定关于的一元一次方程的解为，则称该方程是定解方程， 例如：的解为，则该方程就是定解方程； （1）若关于的一元一次方程是定解方程，则的值为______； （2）若关于的一元一次方程是定解方程，它的解为，求，的值； （3）若关于的一元一次方程和都是定解方程，求代数式的值． 20．（七上·北京北京二中教·期中）解方程：． 21．（25-26学年七上·北京第四十四中学·期中）定义：关于的方程与方程（、均为不等于0的常数）称互为“对立方程”，例如：方程与方程互为“对立方程”． （1）若关于的方程与方程互为“对立方程”，则______； （2）若关于的方程与方程互为“对立方程”，求、的值； （3）若关于的方程与其“对立方程”的解都是整数、求整数的值． 22．（25-26学年七上·北京第一六六中学·期中）解方程： （1） （2） 23．（25-26学年七上·北京第一七一中学·期中）在学习解一元一次方程后，小军对一道一元一次方程的解答过程如下： 解方程：． 解：去分母，得．……第①步 去括号，得．……第②步 移项，得．……第③步 合并同类项，得．……第④步 系数化为1，得．……第⑤步 所以，是原方程的解． （1）第______（填序号）步开始出现错误，这一步的依据是______； （2）直接写出该方程的解______． 24．（25-26学年七上·北京第四中学·期中）已知关于x的方程的解为，则a的值为　　　　　　　　　． 25．（25-26学年七上·北京第四中学·期中）对于任意有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．根据上述规定，解决下列问题： （1）有理数对______； （2）若有理数对，则______； （3）当满足等式中的x是整数时，求整数y的值． 考点04 实际问题与一元一次方程 1．（25-26学年七上·北京第四中学·期中）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出钱．多出钱；每人出钱，差钱．问人数是多少？若设有人，则可方程为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年七上·北京第三十五中学·期中）今年哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍，4年前哥哥的年龄是妹妹年龄的3倍，若设妹妹今年x岁，可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（七上·北京北京二中教·期中）“我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩重闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设有个人，则可列方程　　　　　　． 4．（七上·北京北京二中教·期中）幻方是一种中国传统的数字游戏．游戏规则：将数字填入正方形的格子中，使每行、每列和每条斜对角线上的数字和都相等．下图是填写了部分数字的幻方，根据幻方的游戏规则，其中的值为　　　　　　　． 5．（25-26学年七上·北京第四十四中学·期中）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿子，就比竿子短5尺．问绳索、竿子各有多长？若设该问题中的竿子长为x尺，则可列方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年七上·北京通州区四校·期中）已知数轴上点A，B对应的数分别为a，b，且，点P在线段上，点M为数轴上一动点，其对应的数为m．我们规定：点M到点P的距离的最小值为点M到线段的“到达距离”． （1）如图1，当点M与数轴上原点重合时， ①如果，那么点M到线段的“到达距离”是__________； ②如果点M到线段的“到达距离”是2，那么__________； （2）当点A对应的数a在之间（包含，3）时，如果点M到线段的“到达距离”始终大于3，直接写出m的取值范围． 7．（25-26学年七上·北京大兴·期中）数轴上互不重合的三个点，，表示的数分别为，，，如果是的倍，那么就称点是点关于点的“倍关联点”．如图所示，点，点表示的数分别是，4． （1）点是点关于原点的“倍关联点”，则_____； （2）点是点关于点的“2倍关联点”，求点表示的数； （3）点，表示的数分别是，，点，不与点，重合，若点是点关于点的“倍关联点”，且，则点是点关于点的“_____倍关联点”（用含的代数式表示）． 8．（七上·北京北京二中教·期中）鲁班锁是我国古代传统建筑物的固定结合器，也是一种广泛流传的益智玩具，如图．其中六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸如图所示．已知，求这个面的面积． 9．（七上·北京日坛中学·期中）对于数轴上的点、、给出如下定义：记点到点的距离为，点到点的距离为，如果点、分别在点的两侧且，那么称点和点是数轴上关于点的对称点． （1）图1所示点、、、中，关于点对称点的是______；若点表示的数是8，则点关于点的对称点表示的数是______；如果图2所示点、是关于点的对称点，则点表示的数是______； （2）设点表示的数为，点表示的数为．且点、是关于点的对称点，则点表示的数是______；（用含的代数式表示） （3）点表示的数为，点表示的数为． ①若点和点是数轴上关于原点的对称点，求的值； ②若点和点是关于正半轴上某一点的对称点，直接写出的取值范围______． 10．（25-26学年七上·北京第四十四中学·期中）已知数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，表示线段的长度．对于线段和数轴上的点C，给出如下定义： ，此时，我们称是点C和线段的极大距离．例如：数轴上A，B两点表示的数分别为，3，点C是原点，此时因为，且，所以． （1）当数轴上A，B两点表示的数分别为，3，点C对应的数是1时，____________． （2）当数轴上点A表示的数为，点C对应的数是1，，点B对应的数是____________． （3）当数轴上A，B两点表示的数分别为，3，点C是数轴上的动点，的最小值是____________． （4）已知数轴上P，Q两点表示的数分别为，3，P、Q两点同时沿数轴以每秒2个单位长度向右运动，运动时间为t，数轴上M，N两点表示的数分别为4，8，那么线段上存在点R，使得最小，求t的取值范围． 11．（25-26学年七上·北京第五十五中学·期中）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行．本届亚冬会的吉祥物是两只可爱的小东北虎“滨滨”和“妮妮”．回到家乡哈尔滨过年的小云想买一些纪念品，送给在北京的小伙伴们．她发现毛绒玩偶的单价比冰箱贴的单价贵50元，买5个毛绒玩偶和3个冰箱贴需要570元．试判断：小云有580元能否购买6个冰箱贴和4个毛绒玩偶． 12．（25-26学年七上·北京第一六六中学·期中）某班手工兴趣小组的同学们计划制作一批中国结送给敬老院作为新年礼物．如果每人制作9个，那么就比计划少做17个；如果每人制作12个，那么就比计划多做4个． （1）这个手工兴趣小组共有多少人？计划要做的这批中国结有多少个？ （2）同学们打算用A，B两种不同的编结方式来制作这一批中国结，已知每个A型中国结需用红绳0.6米，每个B型中国结需用红绳0.9米，现有50米红绳，制作这批中国结能恰好用完这50米红绳吗？请说明你的理由． 13．（25-26学年七上·北京第十一中学·期中）对于数轴上不同的三个点，，，若满足，则称点是点关于点的“倍分点”．例如，如图，在数轴上，点，表示的数分别是，，可知原点是点关于点的“倍分点”，原点也是点关于点的“倍分点”．在数轴上，已知点表示的数是，点表示的数是． （1）若点在线段上，且点是点关于点的“倍分点”，则点表示的数是       ； （2）若点在数轴上，，且点是点关于点的“倍分点”，求的值； 14．（25-26学年七上·北京第一七一中学·期中）现有工厂生产盲盒，分为、两种包装，该工厂共有1000名工人， （1）若该工厂生产盲盒的人数比生产盲盒的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒的工人人数； （2）为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒和3个盲盒组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒或10个盲盒．且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒、多少名工人生产盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套？ 15．（25-26学年七上·北京第八中学·期中）已知数轴上的原点记为，数轴上点，在点的两侧（点在点的右侧），且它们到点的距离相等，现将点在数轴上移动2个单位到点处，将点向相反方向移动1个单位到点处，若点到点的距离等于点到点的距离的一半，则点所对应的数是　　　　　． 16．（25-26学年七上·北京第十二中学·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么______； （2）若数轴上表示数a的点位于与2之间，求的值； （3）当a取何值时，的值最小． 17．（25-26学年七上·北京第三十五中学·期中）某中学七年级（1）班4名老师决定带领本班m名学生去某革命胜地参观，该革命胜地每张门票的票价为30元，现有A、B两种购票方案可供选择： 方案A：教师全价，学生半价； 方案B：不分教师与学生，全部六折优惠； （1）若按方案A购票，需付款___元（用含m的代数式表示）；若按方案B购票，需付款_____元（用含m的代数式表示）； （2）当学生人数m为何值时，选择两种方案的费用相同？ （3）当学生人数时，请通过计算说明选择哪种方案更为优惠？ 18．（25-26学年七上·北京一六一中学·期中）如图，数轴上点表示的有理数为－4，点表示的有理数为6，点从点出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上由点到点的方向运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点停止运动，设运动时间为秒． （1）当时，点表示的有理数是______，当点与点4重合时，的值是______； （2）①在点由点到点的运动过程中，表示的有理数是______（用含的代数式表示）； ②在点由点到点的运动过程中，点表示的有理数是______（用含的代数式表示）； （3）若点从点出发的同时，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上由点到点的方向运动，当为何值时，点与点的距离是2个单位长度． 19．（25-26学年七上·北京第八十中学·期中）在数轴上，已知点M和点P，若点N与点M分别位于点P的两侧，且点N和点M到点P的距离相等，就把点N叫做点M的“P对称点”．特别地，若点M与点P重合，那么点M的“P对称点”就是它本身．已知数轴上点A，点B对应的数分别为a，b．解决下面的问题： （1）当，时， ①点A的“B对称点”对应的数是                         ； ②若点A是点B的“P对称点”，那么点P对应的数是                         ； （2）已知点，，对应的数分别为0，3，，记点A的“P1对称点”为，点的“对称点”为，点的“对称点”为． ①在线段，，中，长度为定值的是                         ，它的长度是                         ； ②若对于任意a的值，有下面两种说法： 第一种说法：存在定点Q，使得点A的“Q对称点”是点； 第二种说法：存在定点Q，使得点A的“Q对称点”是点． 请判断这两个说法哪一个是正确的，并求出相应的定点Q所对应的数． 20．（七上·北京北京二中教·期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数阵，用十字框按如图所示的方式任意框五个数．（十字框只能平移） （1）若框住的五个数中，正中间的一个数为17，则这五个数的和为______； （2）十字框内五个数的和的最小值是______； （3）十字框能否框住这样的五个数，它们的和等于2026？若能，求出这五个数中间的那个数；若不能，请说明理由． 21．（25-26学年七上·北京第一六六中学·期中）【阅读定义】 在数轴上有三个点，若其中一点分别与另外两点组成的线段长度恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“二倍和谐点”． 【理解定义】 （1）如图1，点A，B，C在数轴上，如果，我们就可以认为点A是点B与点C的“二倍和谐点”，此时点B             点A与点C的“二倍和谐点”（填“是”或“不是”），点C             点A与点B的“二倍和谐点”（填“是”或“不是”）； 【迁移运用】 （2）点D，E，F在数轴上，点D表示的数为2，点E表示的数为4，如果点D是点E与点F的“二倍和谐点”，则点F表示的数是             ； （3）如图2，点O是数轴的原点，点P表示的数为－5，点Q表示的数为1．点K从P点出发，在数轴上以每秒4个单位的速度向右运动．若在点K运动的同时，线段在数轴上以每秒2个单位的速度向右运动，点M在线段上，满足，且点M也随一起运动，点N也同时从原点出发，在数轴上以每秒1个单位的速度向右运动，运动时间为t秒．当点K位于点M右侧且点M是点K与点N的“二倍和谐点”时，求点K此时表示的数． 22．（25-26学年七上·北京第一七一中学·期中）数学活动课上，同学们分小组玩游戏，每组三张卡片，卡片上各写有一个正整数，分别记为且，组长将卡片随机发给甲、乙、丙三位同学，这三位同学拿到卡片后记录数字，然后将卡片还给组长，算是完成一次游戏，某小组按照此方式玩了次游戏，他们将部分数据记录如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 乙 丙 （1）的值为　　　　　　； （2）的值为　　　　　　． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 乙 丙 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 乙 丙 23．（25-26学年七上·北京第八中学·期中）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事非．”可见数形结合对于数学学习是多么重要．在数轴上不重合的三点，若点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的等距关联点． （1）已知，点在数轴上，表示的数分别为，且点为点与点的等距关联点． ①若，则_____； ②若，且点与点之间的距离为8，则_____； ③a，b，c之间的数量关系为_____； （2）已知，点，在数轴上，且表示的数分别为，1，点从点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点从点以2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为； ①点与点之间的距离为_____．（用含的代数式表示） ②若点与点的等距关联点在线段上，则的最大值为_____． 24．（25-26学年七上·北京第三十五中学·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上两点，表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 已知，点、、在数轴上对应的数为、、0，且关于的多项式不含项和的一次项，点、分别从、出发，沿数轴正方向运动，的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动的时间为秒． （1）直接写出_____； （2）当，时，请回答下列问题： ①用含的代数式表示：秒后，点表示的数为_____；点表示的数为_____． ②当为何值时，恰好有？ （3）、在运动过程中，取线段的中点（点始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，求出与的数量关系． 25．（25-26学年七上·北京第十八中学·期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“友好点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“友好点”． （1）若点M表示数， 点N表示的数4，下列各数0，1，2所对应的点分别为，其中是点M，N的“友好点”的是___________； （2）点A表示数， 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“友好点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“友好点”，写出此时点P表示的数___________． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $