5.2 解一元一次方程 知识点讲练-2024-2025学年人教版数学七年级上册

►第五章　一元一次方程 5.2 解一元一次方程 内容索引·常考题型 内容 常考题型 重点01 移项与合并同类项 选择题、填空题 重点02 去括号 选择题、填空题 重点03 去分母 选择题、填空题 难点01 解一元一次方程 解答题 难点02 方程的错解问题 选择题、填空题、解答题 易错点 利用一元一次方程解决新定义问题 选择题、填空题、解答题 ■重点01 移项与合并同类项 攻克重点 1．移项的定义：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项． 2．移项的依据：移项的依据是等式的性质1，移项的作用是将含有未知数的项移到方程的一边，将常数项移到方程的另一边，使方程更接近“x=a”的形式． 3．合并同类项：把方程中含有的同类项合并，使方程变得简单，更接近于“x=a”的形式，合并时要牢记合并同类项的法则：同类项的系数相加，字母及字母的指数不变． 【典例1】　（2024春•衡东县校级月考）方程移项后，正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据移项的法则解答即可． 【解答】解：根据移项的规则得：， 故选：． 【典例2】　（2023秋•曹县期末）下列变形属于移项的有　　 （1）由，得； （2）由，得； （3）由，得； （4）由，得． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】按照移项时，数和字母前面的符号进行改变来选择． 【解答】解：（1）中，移项后得：，故（1）符合题意； （2）中，移项后得：，故（2）不符合题意； （3）中，移项后得：，故（3）不符合题意； （4）移项后得：，故（4）不符合题意， 故选：． 【典例3】　（2024•深圳模拟）下列变形，正确的是　　 A．由，移项，得 B．由，去括号，得 C．由，合并同类项，得 D．由，去分母，得 【答案】 【分析】分别根据等式的性质，合并同类项、去分母和去括号法则判断即可． 【解答】解：、由，移项，得，故此选项不符合题意； 、由，去括号，得，故此选项不符合题意； 、由，合并同类项，得，故此选项符合题意； 、由，去分母，得，故此选项不符合题意； 故选：． 【典例4】　（2024春•沙坪坝区校级期中）在解方程时，下列移项正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据等式的性质进行变形即可． 【解答】解：， 移项，得（或， 故选：． 方法技巧 1．移项时，所移的项一定要变号，而且必须是从方程的一边移到方程的另一边． 2．移项与加法交换律的区别： 移项是在等式中，把某些项从等式的一边移到另一边。移动的要变号；而加法交换律是交换加数的位置，只改变排列的顺序，不改变符号． 3．注意： （1）合并同类项的实质是系数的合并，字母及其指数都不变． （2）含不同未知数的项不能合并． （3）系数是负数时，合并时注意不能丢了负号． 4．关于未知数的代数式如果在方程中多次出现，则这个代数式可以看作一个整体进行移项、合并同类项． ■重点02 去括号 攻克重点 1．去括号的定义：把方程中含有的括号去掉的过程叫做去括号． 2．去括号的依据：分配律——． 【典例1】　（2023秋•拱墅区期末）一元一次方程，去括号得　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】按照解一元一次方程的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：， 去括号得：， 故选：． 【典例2】　（2023秋•武汉期末）在解方程的过程中，去括号正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】等号的左边用乘法分配律去掉括号；等号右边的括号前面是减号，要把括号里的减号变成加号即可． 【解答】解：去掉括号为：， 故选：． 【典例3】　（2023秋•桐乡市期末）解方程，去括号正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】解方程，去括号要注意括号前面的符号，据此判断即可． 【解答】解：解方程，去括号正确的是：． 故选：． 【典例4】　（2024•灞桥区校级四模）下列去括号正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据去括号法则对各个选项中的式子进行去括号化简，然后根据化简结果进行判断即可． 【解答】解：．， 此选项的化简错误，故此选项不符合题意； ．， 此选项的化简错误，故此选项不符合题意； ．， 此选项的化简正确，故此选项符合题意； ．， 此选项的化简错误，故此选项不符合题意； 故选：． 方法技巧 1．去括号的法则：将括号外的因数连同它前面的符号看成一个整体，按照分配律与括号内各项相乘．括号外的因数是正数，去括号后各项符号与原括号内相应的各项符号相同；括号外的因数是负数，去括号后各项符号与原括号内相应的各项符号相反． 2．去括号的顺序：对于多重括号的，可以先去小括号，再去中括号，若有大括号，最后去大括号，或由外向内去括号，有时也可用去分母的方法去括号． ■重点03 去分母 攻克重点 1．去分母的定义：一元一次方程中如果有分母，在方程的两边同时乘所有分母的最小公倍数，将分母去掉，这一变形过程叫做去分母． 2．去分母的依据：等式的性质2，方程两边同时乘以各分母的最小公倍数． 3．去分母的目的：使方程中不含分母，便于运算和变形． 【典例1】　（2023秋•斗门区期末）解方程去分母正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】这是一个带分母的方程，所以要先找出分母的最小公倍数，去分母即可． 【解答】解：由此方程的分母2，6可知，其最小公倍数为6， 故去分母得：． 故选：． 【典例2】　（2024春•四川期末）一元一次方程去分母，正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】两边同乘分母得最小公倍数去分母即可． 【解答】解：原方程两边同乘4，去分母得：， 故选：． 【典例3】　（2024春•漳州期末）解方程时，去分母正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】将方程两边同时乘2即可． 【解答】解：方程两边同时乘2，得． 故选：． 【典例4】　（2023秋•泰山区期末）解方程时，去分母结果正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据等式的性质，把方程的等号的左右两边分别乘6，判断出去分母结果正确的是哪个即可． 【解答】解：解方程时，去分母结果正确的是：． 故选：． 方法技巧 1．去分母时，小心漏乘不含分母的项以及多项式分子漏加括号致错： 去分母的依据是等式的性质2，因此在变形时，需要在方程两边同时乘各分母的最小公倍数，而不是只有含分母的项乘各分母的最小公倍数；若分子是多项式，在去分母时要给多项式分子添加括号，下一步再去括号；去括号时不要漏乘项或者出现符号错误． 2．解分母是小数（或分数）的一元一次方程方程，可先利用分数的基本性质，将分子、分母同时扩大若干倍，注意要加括号，此时，不是去分母，不能把方程其余的项也扩大若干倍． 3．弄清分数的基本性质和等式的性质的区别，去分母≠分数的基本性质： 去分母是对等式而言，利用等式的性质；而分数的基本性质是对分数而言，把该分数的分子和分母都乘或除以同一个不为0的数． ■难点01 解一元一次方程 突破难点 1．解一元一次方程的基本思想：把原方程化为ax=b（a≠0）的形式．其解法可分为两大步：一是化为ax=b（a≠0）的形式，二是解方程ax=b． 2．解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化． 3．若方程中有的分母不是整数，可以先把分母化为整数，再根据等式的性质去分母；解一元一次方程的五个步骤不是一成不变的，要根据方程的特点和需要灵活选用；解完方程后，最好把求得的解分别代入原方程的左边和右边，看两边的值是否相等． 4．在解类似于“ax+bx=c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x=c．使方程逐渐转化为ax=b的最简形式体现化归思想． 【典例1】　（2023秋•龙马潭区月考）解方程：． 【答案】 【分析】先去分母、再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1即可． 【解答】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 【典例2】　（2023秋•龙马潭区月考）解方程：． 【答案】． 【分析】去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可． 【解答】解：去括号，可得：， 移项，可得：， 合并同类项，可得：， 系数化为1，可得：． 【典例3】　（2023秋•龙马潭区月考）解方程：． 【答案】． 【分析】先移项，再合并同类项，最后系数化为1即可． 【解答】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【典例4】　（2023秋•邗江区校级月考）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可． （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可． 【解答】解：（1）， 移项，可得：， 合并同类项，可得：， 系数化为1，可得：． （2）， 去分母，可得：， 去括号，可得：， 移项，可得：， 合并同类项，可得：， 系数化为1，可得：． 方法技巧 1．解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．将ax=b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 2．注意避免系数化为1时颠倒除数与被除数的位置致错． 3．注意避免移项不变号致错． ■难点02 方程的错解问题 突破难点 方程的错解问题主要涉及到在解方程过程中出现的常见错误： （1）移项忘变号； （2）对负数的处理不当：在处理负数时，忽略负数的运算规则； （3）去分母时出错：在解方程时，去分母是一个关键步骤．如果分式的每一项没有都乘以最小公分母，就会导致错误． 【典例1】　（2023秋•滑县期末）下列解方程的部分过程，从　　开始错了． 解方程：． ①； ②； ③； ④． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】 【分析】按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答． 【解答】解：上列解方程的部分过程，从③开始错了，错误的原因是：括号前面是“ “，去掉括号后，括号里第二项没有变号， 故选：． 【典例2】　（2023秋•江油市期末）某同学在解方程■时，把■处的数字看错了，解得，则该同学把■看成了　　 A．3 B． C． D．7 【答案】 【分析】把代入方程■，求出■的值即可． 【解答】解：解方程■时，把■处的数字看错了，解得， ■， ■处是7． 故选：． 【典例3】　（2023秋•河池期末）小南在解关于的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得为，请根据以上已知条件求出原方程正确的解为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】把代入中计算求出的值，确定出正确的方程，求出正确的解即可． 【解答】解：把代入得：， 解得：， 把代入方程得：， 解得：． 故选：． 【典例4】　（2023•衢州）小红在解方程时，第一步出现了错误： 解：， （1）请在相应的方框内用横线划出小红的错误处． （2）写出你的解答过程． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断； （2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【解答】解：（1）如图： （2）去分母：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 系数化． 方法技巧 错解方程问题的解题方法： （1）将错解代入看错的方程，先求出待定字母； （2）将待定字母代入原方程，得到真正要求解的只含未知数、不含待定字母的方程； （3）进行一元一次方程的求解． ■易错点 利用一元一次方程解决新定义问题 直击易错点 新定义问题常见的类型有两种：定义新概念和定义新运算．这类题在各种测试中都频繁出现，且与阅读理解题有部分类似，即题中除了给出新概念的含义或新运算规则外，还会给出例子，以帮助理解新定义的概念或新运算规则．解答一元一次方程中的新定义运算问题需要深刻理解新定义的运算规则，将带有新定义运算符号的式子转化为一般的四则运算的式子，从而得出一元一次方程，再解方程即可． 【典例1】　（2024•凉州区三模）已知、为有理数，现规定一种新运算“※”，满足※，若※，则的值为　　 A． B． C．2 D． 【答案】 【分析】根据定义的新运算可得：，然后进行计算即可解答． 【解答】解：※， ， ， ， ， ， 故选：． 【典例2】　（2024春•德化县期中）我们规定（其中，，例如，若，则的值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】首先根据（其中，，由，可得，然后根据解一元一次方程的方法，求出的值即可． 【解答】解：（其中，，， ， 去分母，可得：， 去括号，可得：， 移项，可得：， 合并同类项，可得：， 系数化为1，可得：． 故选：． 【典例3】　（2024春•雁峰区校级月考）用“⊕”定义一种新的运算：对于任意有理数和，规定：⊕．如：1⊕．若2⊕，求的值． 【答案】． 【分析】按照定义的新运算可得，然后进行计算即可解答． 【解答】解：⊕， ， ， ， ， 解得：． 【典例4】　（2023秋•太和县期末）对于任意不为0的有理数，，定义一种新运算“※”，规则如下：※．例如：※． （1）若※，求的值； （2）判断这种新运算“※”是否满足分配律※※※，并说明理由． 【分析】（1）根据新定义运算得出方程，解方程即可得到答案； （2）先根据新定义运算分别表示出等式左边和右边，再观察左右两边是否相等，即可得到结论． 【解答】解：（1）※， ， 解得：， 的值为； （2）根据题意得： 左边※， 右边※※， 左边右边， 这种新运算“※”不满足分配律※※※． 方法技巧 解决与一元一次方程有关的新定义问题时，解题的切入点是根据新定义的运算法则，把新定义的运算转化为一元一次方程的相关问题，然后利用一元一次方程的知识解决这个新定义问题． 第3页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $$