第一章 直线和圆（高效培优单元自测·强化卷）数学北师大版高二选择性必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学直线和圆单元强化卷，覆盖直线倾斜角、圆的位置关系等核心知识点，通过基础巩固与综合应用梯度设计，适配单元复习，助力提升几何直观与运算推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|圆的位置关系、直线倾斜角与方向向量|基础概念辨析，强化数学眼光| |多选|3/18|向量夹角、直线倾斜角性质|多角度考查，培养推理意识| |填空|3/15|公共弦方程、圆的方程求解|核心技能应用，体现数学语言| |解答题|5/67|直线方程、圆的切线、三角形中直线与圆综合|分层递进，综合考查运算与模型意识|

第一章 直线和圆（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．圆和圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．外切 D．外离 2．直线的倾斜角是（　　） A． B． C． D． 3．若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 4．已知圆C：与直线：，则圆C与直线的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 5．已知直线与圆相交于A，B两点，则（   ） A． B．2 C． D．1 6．已知直线被圆截得的弦长为，则实数（   ） A． B． C． D． 7．直线l：x+y+1＝0与圆C：相切，则实数m＝（   ） A．1 B． C． D．2 8．已知直线被圆所截得的弦长为4，则（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9．下列说法正确的是（    ） A．若空间中的非零向量，夹角为钝角，则 B．任意空间中的非零向量，，满足 C．所有的直线都有倾斜角 D．若两直线垂直，则它们的斜率互为负倒数 10．已知圆，圆，圆.、的圆心分别记为、， 直线与圆、、均有两个交点，则（    ） A．圆的半径为 B． C． D．直线可以是 11．已知圆：，直线：.若圆与直线有公共点，则的值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．已知圆：，圆：，则与的公共弦所在的直线方程为___________． 13．已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，则该圆的方程为______. 14．若是直线的一个法向量，则实数的值为__________. 四、解答题（本题共5小题） 15．（13分）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率为，在轴上的截距为7. 16．（15分）若直线是圆的一条对称轴． (1)求圆的圆心坐标与半径； (2)求与直线平行的圆的切线方程． 17．（15分）已知的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求点到直线的距离； (2)求边上的高所在直线的方程； (3)求边上的中线所在直线的方程. 18．（17分）的三个顶点分别是． (1)求边BC所在直线的方程； (2)求外接圆的方程． 19．（17分）已知的三个顶点为，，． (1)求边AC的垂直平分线的方程； (2)若直线BC与圆相切，求b的值． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 直线和圆（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C A B D D D 2、 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9 10 11 AC ABC AB 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共20分．） 12． 13． 14．/ 四、解答题（本题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由直线的点斜式方程可求解； （2）与轴垂直可得斜率为0，利用斜截式可得答案； （3）由直线的斜截式方程求解. 【详解】（1）由点斜式，得， 化成一般式，． （2）直线方程为， 即． （3）由斜截式，得， 化成一般式为. 16．（15分） 【答案】(1)圆心，半径1 (2)或． 【分析】（1）根据直线经过圆心，可求的值，进而求得圆心和半径. （2）利用圆心到直线的距离等于圆的半径求切线方程. 【详解】（1）由圆的方程可知，圆心， 由题意可知直线过圆心，即，解得， 所以圆心，半径. （2）设与直线平行的直线方程为，可得圆心到直线的距离等于半径， 即，解得或， 所以所求的直线的方程为或． 17．（15分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用斜率公式求出，利用点斜式求出直线的方程，利用点到直线的距离求出点到直线的距离； （2）两直线垂直，且都存在斜率，则有； （3）利用中点坐标公式求出的中点，利用斜率公式求出直线的斜率，利用点斜式求出直线的方程. 【详解】（1），，则，直线的方程为， 即，，点到直线的距离为； （2）设边上的高所在直线的斜率为 ， ，，， 边上的高所在的直线过， 边上的高所在直线的方程为，即； （3）设中点，，， ，， ，， 则边上的中线所在直线的方程为， 即. 18．（17分） 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据点斜式直接计算即可； （2）根据圆的一般式方程，列方程组求解即可． 【详解】（1）根据题意，，则边BC所在的直线方程为，整理得． （2）设圆的一般方程为， 可列表达式为，解得， 则圆的方程为或． 19．（17分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出垂直平分线的斜率，利用点斜式直接求解即可； （2）利用直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径直接列方程求解即可. 【详解】（1）边AC的中点，由已知得 所以AC的垂直平分线方程为，即 （2）由，，∴ 直线BC的方程为 圆心到直线BC的距离，所以 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 直线和圆（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．圆和圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．外切 D．外离 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径； 则两圆的圆心距，两圆的半径之差为，所以两圆内含. 2．直线的倾斜角是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，设直线的倾斜角为， 则斜率，故 因为，所以. 3．若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据直线的方向向量计算直线的斜率，再结合倾斜角的取值范围求解倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 由向量是直线的一个方向向量，故直线斜率， 则，故. 4．已知圆C：与直线：，则圆C与直线的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【答案】A 【详解】圆C：的圆心为，半径为， 圆心到：的距离 ， 则圆C与相交，故A正确.. 5．已知直线与圆相交于A，B两点，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【详解】将圆C的方程化为标准形式，得，故圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为，所以． 6．已知直线被圆截得的弦长为，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得圆的圆心为，半径为， 直线被圆截得的弦长为，则直线过圆心， 圆心代入直线得，解得. 7．直线l：x+y+1＝0与圆C：相切，则实数m＝（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【详解】对圆方程变形得，，即圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为 直线与圆相切，所以，即. 8．已知直线被圆所截得的弦长为4，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点到直线的距离公式、圆的标准方程、弦心距公式求解即可. 【详解】圆可化为， 圆心坐标为，半径为. 圆心到直线的距离为. 由弦心距公式可知，，即，解得. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9．下列说法正确的是（    ） A．若空间中的非零向量，夹角为钝角，则 B．任意空间中的非零向量，，满足 C．所有的直线都有倾斜角 D．若两直线垂直，则它们的斜率互为负倒数 【答案】AC 【详解】 选项A：非零向量夹角为钝角时，夹角，，因此，A正确; 选项B：和都是实数，左边是与共线的向量，右边是与共线的向量，与不一定共线，因此等式不一定成立，B错误; 选项C：根据倾斜角的定义，平面内任意直线都有唯一的倾斜角，取值范围为，C正确; 选项D：若一条直线斜率为0，另一条垂直于它的直线斜率不存在，此时两直线垂直但不满足斜率互为负倒数，D错误. 10．已知圆，圆，圆.、的圆心分别记为、， 直线与圆、、均有两个交点，则（    ） A．圆的半径为 B． C． D．直线可以是 【答案】ABC 【详解】圆的圆心为，半径为，故A正确； 圆的圆心为，半径为，故B正确； 圆的圆心为，半径为， 则，故C正确； 因圆的圆心到直线的距离， 则直线与圆相离，没有公共点，所以直线不可以是，故D错误. 11．已知圆：，直线：.若圆与直线有公共点，则的值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【分析】利用若直线与圆有交点则圆心到直线的距离不大于半径的性质建立不等式求解即可. 【详解】圆的圆心，半径为，直线，若圆与直线有交点， 则圆心到直线的距离，解得，故选A、B. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．已知圆：，圆：，则与的公共弦所在的直线方程为___________． 【答案】 【详解】圆 的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 则，， 所以圆与圆相交， 将圆和圆方程相减可得， 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为. 13．已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，则该圆的方程为______. 【答案】 【分析】利用待定系数法联立方程即可求解. 【详解】设圆心为，半径为r，则圆的标准方程为. 由题意可得方程组. 解此方程组，得， 故所求圆的方程为. 14．若是直线的一个法向量，则实数的值为__________. 【答案】/ 【分析】利用直线一般式的法向量形式，结合已知法向量与该法向量平行的性质列比例式求解的值. 【详解】已知直线的方程为 ， 根据直线一般式的法向量性质，的法向量可表示为, 因为是的一个法向量，故与平行， 由向量平行的坐标关系得：，解得. 【点睛】本题考查直线法向量的概念和向量平行的坐标运算，记住直线一般式的法向量为可快速解题. 四、解答题（本题共5小题） 15．（13分）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率为，在轴上的截距为7. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由直线的点斜式方程可求解； （2）与轴垂直可得斜率为0，利用斜截式可得答案； （3）由直线的斜截式方程求解. 【详解】（1）由点斜式，得， 化成一般式，． （2）直线方程为， 即． （3）由斜截式，得， 化成一般式为. 16．（15分）若直线是圆的一条对称轴． (1)求圆的圆心坐标与半径； (2)求与直线平行的圆的切线方程． 【答案】(1)圆心，半径1 (2)或． 【分析】（1）根据直线经过圆心，可求的值，进而求得圆心和半径. （2）利用圆心到直线的距离等于圆的半径求切线方程. 【详解】（1）由圆的方程可知，圆心， 由题意可知直线过圆心，即，解得， 所以圆心，半径. （2）设与直线平行的直线方程为，可得圆心到直线的距离等于半径， 即，解得或， 所以所求的直线的方程为或． 17．（15分）已知的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求点到直线的距离； (2)求边上的高所在直线的方程； (3)求边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用斜率公式求出，利用点斜式求出直线的方程，利用点到直线的距离求出点到直线的距离； （2）两直线垂直，且都存在斜率，则有； （3）利用中点坐标公式求出的中点，利用斜率公式求出直线的斜率，利用点斜式求出直线的方程. 【详解】（1），，则，直线的方程为， 即，，点到直线的距离为； （2）设边上的高所在直线的斜率为 ， ，，， 边上的高所在的直线过， 边上的高所在直线的方程为，即； （3）设中点，，， ，， ，， 则边上的中线所在直线的方程为， 即. 18．（17分）的三个顶点分别是． (1)求边BC所在直线的方程； (2)求外接圆的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据点斜式直接计算即可； （2）根据圆的一般式方程，列方程组求解即可． 【详解】（1）根据题意，，则边BC所在的直线方程为，整理得． （2）设圆的一般方程为， 可列表达式为，解得， 则圆的方程为或． 19．（17分）已知的三个顶点为，，． (1)求边AC的垂直平分线的方程； (2)若直线BC与圆相切，求b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出垂直平分线的斜率，利用点斜式直接求解即可； （2）利用直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径直接列方程求解即可. 【详解】（1）边AC的中点，由已知得 所以AC的垂直平分线方程为，即 （2）由，，∴ 直线BC的方程为 圆心到直线BC的距离，所以 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $