第12讲 第三章 圆锥曲线的方程 重点题型章末总结（11类热点题型训练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第12讲 第三章 圆锥曲线的方程 重点题型章末总结 第一部分 思维导图 第二部分 题型精讲 题型01圆锥曲线的定义 【典例1】（多选）（2026·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于给定的曲线和定点，设为上任意一点，是曲线在点处的切线，是过点且与垂直的直线．作线段的垂直平分线，若与相交，记交点为，当在上运动时，称点的轨迹为曲线关于点的“中垂法截线”，下列选项正确的有（    ） A．若为直线，为直线外一点，则中垂法截线是一条抛物线 B．若为圆，为圆内一点，则中垂法截线是一个椭圆 C．若为圆，为圆外一点，则中垂法截线是双曲线 D．若为抛物线，为的焦点，则中垂法截线不是一个圆 【答案】ACD 【分析】利用根据抛物线，椭圆，双曲线，圆的定义判断. 【详解】因为点在线段的中垂线上，所以， A选项，就是， ， 由可知轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，故A正确； B选项，由，得， 若与不重合，则点的轨迹为椭圆；若与重合，则点轨迹是圆，故B错误； C选项，由得 ，则轨迹是以、为焦点的双曲线，故C正确； D选项，由抛物线的对称性可知，会存在无数多组关于抛物线的对称轴对称的点， 显然不可能是圆，故D正确. 【典例2】（26-27高二上·全国·课后作业）下列命题是真命题的有________．（填序号） ①已知定点，，则满足的点的轨迹为椭圆； ②已知定点，，则满足的点的轨迹为线段； ③到定点，距离相等的点的轨迹为椭圆； ④若点到定点，的距离之和等于点到定点，的距离之和，则点的轨迹为椭圆． 【答案】②④ 【详解】椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆； 当距离之和等于时，轨迹为线段； 当距离之和小于时，这样的点不存在，轨迹不存在. 对于①，，距离之和为，满足条件的点不存在，轨迹不存在，①是假命题. 对于②，，距离之和等于，轨迹为线段，②是真命题. 对于③，到两定点距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线，③是假命题. 对于④，，， 所以. 又， 由椭圆的定义，点的轨迹为椭圆，④是真命题. 综上，真命题的序号是②④. 【变式1】（2026高二·全国·专题练习）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【详解】因为， 得， 即动点到定点的距离等于到定直线的距离， 直线过点， 因为定点在定直线上，且动点到定点的距离等于到定直线的距离， 则轨迹为过点与直线垂直的直线. A正确. 【变式2】（多选）（2026·陕西西安·模拟预测）已知点，点为平面上的一个动点，为直线的斜率．定义运算：，则下列说法正确的是（   ） A．若运算为加法，则点的轨迹曲线关于原点对称 B．若运算为减法，则点的轨迹为开口向右的抛物线的一部分 C．若运算为乘法，则点的轨迹为焦点在轴上的椭圆的一部分 D．若运算为除法，则点的轨迹为一条直线 【答案】AC 【分析】由题意可得，结合选项代入计算化简，根据函数奇偶性可判断A；根据抛物线得定义可判断B；根据椭圆的定义可判断C；由不满足题意计算判断D. 【详解】由题意可得， 对于A，若运算为加法，则， 化简可得，即， 因为为奇函数， 所以点的轨迹曲线关于原点对称，故A正确； 对于B，若运算为减法，则， 化简可得，即， 所以点的轨迹为开口向上的抛物线的一部分，故B错误； 对于C，若运算为乘法，则， 化简可得，即， 所以点的轨迹为焦点在轴上的椭圆的一部分，故C正确； 对于D，若运算为除法，则，解得， 当时，即，此时，不符合题意， 所以点的轨迹是直线去掉点，故D错误. 【变式3】（26-27高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知动点满足，则动点的轨迹是____________（从“直线，圆，椭圆，双曲线，抛物线”中选一个作答） 【答案】直线 【详解】将变形为． 等式左侧表示动点到定点的距离； 等式右侧，即，可理解为动点到定直线的距离． 因为定点在定直线上， 所以动点的轨迹是经过点与该直线垂直的直线． 题型02圆锥曲线的标准方程 【典例1】（26-27高二上·河南南阳·开学考试）（1）已知椭圆的离心率为，其左焦点F到直线的距离为，求此椭圆方程. （2）求渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的几何性质和点到直线的距离公式，分别求得和，进而求得的值，即可求解； （2）根据题意，设双曲线方程为，将点代入双曲线的方程，求得的值，即可求解. 【详解】解：（1）因为椭圆的离心率为， 可得 ，即，可得， 又因为左焦点到直线的距离为， 可得 ，解得 ，即， 联立方程组，解得， 所以椭圆方程为. （2）因为双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为， 又因为双曲线经过点，可得，解得， 所以双曲线的方程为. 【典例2】（25-26高二上·安徽·阶段检测）求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，经过点，； (2)与双曲线有相同的渐近线，且过点． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设出双曲线的标准方程，利用待定系数法求解. （2）由给定双曲线设所求方程，再求出参数值即得. 【详解】（1）依题意，设双曲线方程为，由该双曲线过点， 得，解得，所以所求双曲线标准方程为. （2）设与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为， 由该双曲线过点，得， 所以所求双曲线的方程为，标准方程为. 【变式1】（25-26高二上·陕西西安·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点为，长轴长是短轴长的倍； (2)焦点在轴上，且经过两点、. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设椭圆的标准方程为，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）设椭圆的方程为，将点、的坐标代入椭圆的方程，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出椭圆的标准方程. 【详解】（1）根据题意可设椭圆的标准方程为， 所以由题设有，解得，故椭圆的标准方程为. （2）根据题意可设椭圆的方程为， 将点、的坐标代入椭圆方程得，解得， 故椭圆的标准方程为. 【变式2】（25-26高二上·河北雄安·期末）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为4，虚轴长为2； (2)过点，渐近线方程为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列出方程求出双曲线的标准方程； （2）设双曲线方程为，代入已知点的坐标，求得参数后可得结论． 【详解】（1）设双曲线标准方程为：， ，， ∴双曲线标准方程为． （2）由双曲线的渐近线方程为，设双曲线的方程为， 代入点的坐标，有，可得． 即双曲线的方程为，化为标准方程为． 【变式3】（25-26高二上·北京延庆·阶段检测）求下列曲线的标准方程. (1)圆心在直线上，且过点和点的圆； (2)经过点，的椭圆； (3)与双曲线共焦点，且过点的双曲线； (4)顶点在原点，焦点在直线的抛物线. 【答案】(1) (2) (3) (4)，或 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）利用待定系数法进行求解即可； （3）根据焦点的坐标公式，结合代入法进行求解即可； （4）根据抛物线标准方程的特征分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为圆的圆心在直线上，且过点和点， 所以， 所以圆的标准方程为. （2）设椭圆的方程为， 因为椭圆经过点，， 所以， 所以椭圆的标准方程为. （3）因为双曲线与双曲线共焦点， 所以双曲线的半焦距为，且焦点在横轴上， 所以设双曲线的标准方程为， 因为双曲线过点， 所以， 所以双曲线的标准方程为. （4）在中，令，得， 令，得. 所以抛物线的焦点为，或. 当抛物线的焦点为时， 因为顶点在原点，焦点在纵轴负半轴上， 所以设抛物线的标准方程为， 所以，因此抛物线的标准方程为； 当抛物线的焦点为时， 因为顶点在原点，焦点在横轴正半轴上， 所以设抛物线的标准方程为， 所以，因此抛物线的标准方程为， 综上所述：抛物线的标准方程为，或. 题型03圆锥曲线的焦点三角形问题 【典例1】（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在上，且的周长为16，则面积的最大值为（     ） A．6 B．12 C．16 D．24 【答案】B 【详解】的周长为16， 所以有， 化简得. 由椭圆方程可知，，代入， 解得，， 设椭圆的短半轴长为，则， 所以，当点为椭圆上下顶点时，面积最大，最大值为. 【典例2】（25-26高二下·河南新乡·期中）已知双曲线，过原点作直线与双曲线交于两点，设双曲线的左､右焦点分别为，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义，结合已知条件求解三角形的边长，然后求解三角形的面积． 【详解】如图，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，由，则， 不妨设在双曲线的右支上，设，又， 由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理可得：， 即，解得， 所以． 【变式1】（2026·安徽安庆·二模）椭圆的左、右焦点分别为、，上点位于第一象限内，为坐标原点，，线段与轴交于点且，若的面积等于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据得，再根据以及与轴交于点列两组等式求出，并得到，由此可判断出的形状，并据此及的面积列等式求出c的值，最后再求出． 【详解】 设，根据可得， 因为，所以、、共线， 可得，化简得（1）， 又因为直线过点、，可得直线的方程为， 代入得，化简得（2）， 联立（1）（2）可得，易知，所以，即， 所以，即，又，所以轴， ，解得， 因此，在中，， 所以． 【变式2】（2026·重庆·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，动点P为双曲线右支上任意一点，点，若周长的最小值为12，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的性质得到三角形周长取到最小值时的动点的情况，再结合勾股定理和双曲线中之间的关系，从而得到的值. 【详解】 的周长为， 当且仅当三点共线时取等号， 因为，所以 ， 在中，，即，解得， 所以. 【变式3】（2026·四川·模拟预测）已知双曲线的左､右两个焦点分别是，焦距为8，若是双曲线上一点，且，则的周长为（    ） A．14 B．14或17 C．22 D．14或22 【答案】C 【详解】因为双曲线的焦距为8，所以，即. 由，可得，则. 若点在双曲线的左支上，由，可得， 此时的周长为； 若点在双曲线的右支上，，与不符. 综上，的周长为22. 题型04椭圆、抛物线中的离心率问题 【典例1】（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆，双曲线，设点在第一象限，且，根据椭圆及双曲线的定义，结合余弦定理、离心率公式列式求解即可. 【详解】如图，设椭圆，双曲线， 因为它们有相同的焦点，所以， 不妨设点在第一象限，且， 因为点在椭圆上，所以， 即，又因为， 所以，所以， 因为，所以， 又因为点在双曲线上，所以， 即，又因为， 所以，所以，可得， 所以双曲线的离心率为. 【典例2】（多选）（26-27高三上·重庆·开学考试）已知椭圆与双曲线的焦距相同，左、右焦点分别为的离心率分别为是与的一个交点，，则的值可能为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】CD 【分析】设半焦距为，设，且，则根据椭圆定义与双曲线定义得，再结合，根据余弦定理求得即可求得答案. 【详解】设半焦距为，因为与的焦距相同， 所以，对椭圆，，， 对双曲线，，， 所以，即. 设， 所以，由椭圆的定义得，， 根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设， 所以，解得， 因为，所以， 当时，，解得. 此时，，. 当时，，解得， 此时，. 综上，的值可能为或. 【变式1】（2026·福建漳州·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于直线的直线与交于点，与的右支交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得过且垂直于直线的直线方程，联立两直线方程求出，再结合条件求出，利用点在双曲线上，得到间的关系，即可求解. 【详解】设，其中，， 则过且垂直于直线的直线为， 由，解得，所以， 又，且三点共线，点在双曲线右支上，则， 所以，得到，， 所以，又点在双曲线上， 所以，整理得到，得到， 又，所以. 【变式2】（2026高三上·全国·专题练习）设椭圆的下顶点为，M，N在椭圆上，若四边形为平行四边形，为的倾斜角，且，则椭圆的离心率的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题意，点在椭圆上可得，则，求出的取值范围后即可得解. 【详解】P为椭圆的下顶点，四边形为平行四边形， 在y轴上，，且M，N关于x轴对称， 因为的倾斜角，所以点在第一象限， 可设点， 由点在椭圆上可得，解得， 直线的倾斜角， ，即， 但，，即. 【变式3】（26-27高三上·山东聊城·开学考试）已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则的离心率为______. 【答案】 【分析】根据题意，联立方程组，求得，得到，结合双曲线的离心率的计算公式，即可求解. 【详解】联立方程组，整理得， 当时，可得， 此时方程有两个不等的实数根，不符合题意，舍去； 要使得直线与双曲线有且仅有一个公共点，则满足，即， 又由，则，可得， 所以双曲线的离心率为. 题型05直线与圆锥曲线的位置关系 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】先判断点与抛物线的位置，再分类讨论直线的情况. 【详解】将代入，解得，因此点在抛物线上， 当直线与抛物线相切时，即过点抛物线的切线； 当直线与抛物线的对称轴平行时，此直线与抛物线也只有一个公共点， 又因过点，所以这条直线为； 综上过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有2条. 【典例2】（26-27高二上·全国·课后作业）若过点的直线与椭圆有且仅有一个公共点，则直线的方程为________． 【答案】 【分析】先说明直线的斜率存在，设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程.根据已知有，列出方程，求解即可得出答案. 【详解】因为，所以点在椭圆上， 又点不是椭圆的顶点， 由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 与椭圆的方程联立，消去得， 令， 化简，得，解得， 所以直线的方程为，即． 【变式1】（26-27高二上·河南南阳·开学考试）若直线与椭圆总有公共点，则实数的取值范围为________ 【答案】 【分析】先根据直线方程可知直线恒过点，要使直线与椭圆恒有公共点，需在椭圆上或椭圆内，注意椭圆的参数范围，进而求得的范围． 【详解】直线恒过点， 由直线与椭圆恒有公共点， 所以在椭圆上或椭圆内， 又椭圆且． 故实数的取值范围是． 【变式2】（25-26高二下·上海·期中）如果直线与双曲线有两个不同的交点，那么斜率k的取值范围是______. 【答案】 【分析】联立直线与双曲线方程，得到关于的方程，通过分析方程得判别式确定交点个数，进而求出的取值范围. 【详解】联立直线与双曲线方程，整理可得， 直线与双曲线有两个不同的交点，所以， 解得且，所以斜率k的取值范围是 【变式3】（26-27高二上·全国·课后作业）若直线与曲线恰好有一个公共点，则实数的取值集合为________． 【答案】 【分析】首先联立直线与曲线方程，讨论二次项系数，根据方程根的个数，求参数的取值. 【详解】因为直线与曲线恰好有一个公共点，所以方程组只有一组实数解， 消去，得，即．① 当，即时，方程①是关于的一元一次方程，解得，这时，原方程组有唯一解 当，即时，方程是关于的一元二次方程． 令，解得（舍去）或．此时原方程组有唯一解 综上，实数的取值集合是． 题型06圆锥曲线中的中点弦问题 【典例1】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）设直线l与椭圆相交于A，B两点，且的中点为，则直线l的斜率为______. 【答案】 【分析】利用点差法求解即可. 【详解】设，由的中点为，有， 直线l与椭圆相交于A，B两点，则， 两式作差变形得， 即，得， 所以直线l的斜率为. 故答案为： 【典例2】（2026·四川广安·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，椭圆上的点到的距离最大值为. (1)求和的离心率； (2)过点的直线交于，两点，若为的中点，求的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列关系式可得； （2）设，与椭圆方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式可得. 【详解】（1）由题意可知，，得， 则的离心率为； （2）由（1）知，， 若直线斜率为或不存在，则线段的中点应在坐标轴上， 故设，， 联立，得， 则，得， 故的方程为. 【变式1】（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）直线与双曲线相交于，两点，且线段的中点为，则直线 的方程是_____． 【答案】 【分析】设出两点，代入双曲线方程，利用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，即可确定直线的方程. 【详解】设，则有，两式相减，可得， 为线段的中点，故有， 即，若，则，即两点重合，不满足题意， 故，因此可得直线的斜率为， 又因为直线过， 故直线，整理得， 故答案为：. 【变式2】（25-26高二上·河北邢台·期末）已知定点，定直线，过平面内一动点作直线的垂线，垂足为，使． (1)求动点的轨迹方程； (2)若直线与动点的轨迹相交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据条件列关系式， 化简即可； （2）利用点差法可求直线方程. 【详解】（1）设，因为，所以， 整理得，即动点的轨迹方程为． （2）设，则， 两式相减得， 若，则直线的方程为，显然不可能是线段的中点， 不符合题意； 则． 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即． 联立，得，则， 直线与动点的轨迹相交，所以直线的方程为． 【变式3】（25-26高二上·甘肃嘉峪关·期末）已知抛物线，是抛物线上的点，且（F为抛物线的焦点）． (1)求抛物线C的方程； (2)已知直线l交C于M，N两点，且线段MN的中点坐标为，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线定义结合题意可得答案； （2）设，，则，，两式相减结合中点坐标可得直线斜率，据此可得答案. 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线为． 根据抛物线定义，，解得． 故抛物线方程为 （2）设，，在抛物线上，故，． 两式相减： 因为的中点为，所以． 代入得 直线过点，方程为 题型07圆锥曲线中的弦长问题 【典例1】（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据点差法求出直线的斜率，解出直线方程，然后与双曲线方程联立解出，点坐标，根据两点间距离公式求出． 【详解】设，直线的方程为． 由题意知，为的中点， 因为， 两式相减，得， 所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为， 与双曲线联立， 得，即， 解得或， 所以. 【典例2】（24-25高二下·上海·期中）已知双曲线的方程为. (1)求的渐近线方程； (2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点， ①求的方程；②求. 【答案】(1)； (2)①，②. 【分析】（1）根据渐近线公式即可得到答案； （2）①利用点差法即可求得直线方程；②利用弦长公式即可得到答案. 【详解】（1）由题意得，则双曲线C的渐近线方程为. （2）①设，，直线l的斜率为k， 则，两式相减，得， 即，所以，即. 直线l的方程为，即. 联立得，则， 则直线与双曲线C有两个交点，满足条件， 所以，直线l的方程为. ②由①得， 则. 【变式1】（2026·贵州遵义·模拟预测）已知直线过抛物线 的焦点，且直线与抛物线交于，两点，若直线的方程为，则 (   ) A．16 B．8 C．12 D．4 【答案】A 【分析】先利用焦点在已知直线上求出参数，联立直线与抛物线方程得到交点横坐标之和，结合抛物线焦点弦长公式直接计算弦长. 【详解】抛物线的焦点坐标为. 直线过点，将代入直线方程得， 解得，抛物线方程化为. 联立，消去得， 展开整理，. 设，，由一元二次方程根与系数关系得. 抛物线焦点弦长公式， 代入数值. 【变式2】（26-27高二上·浙江绍兴·开学考试）椭圆的左焦点和上顶点 (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于，两点，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，，代入可得答案； （2）根据题意，联立方程，设，进而结合韦达定理与弦长公式计算即可求解. 【详解】（1）因为椭圆的左焦点和上顶点 所以，， 所以椭圆的方程为； （2）因为直线与椭圆交于两点， 所以联立方程得， 所以，解得， 设，则， 因为， 所以， 整理得，解得，满足， 所以，. 题型08圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）如图所示，已知抛物线的顶点为O，点A的坐标为，倾斜角为的直线与线段相交（不经过点O或点A），且交抛物线于M、N两点，求的面积最大时直线的方程，并求的最大面积． 【答案】直线的方程为，的最大面积是． 【分析】设直线斜截式 ，由与线段相交得范围，联立抛物线由判别式保证两交点. 用韦达定理表示弦长和点到直线距离，建立面积平方函数，求导得极大值点，代回得直线方程与最大面积. 【详解】由于直线与线段相交且倾斜角为，又点A的坐标为， 设直线的方程为，可知． 由方程组消去得①． ∵直线与抛物线有两个不同交点M、N，∴方程①的判别式． ，由得． 设，，则，， 点A到直线的距离． ，即． 令， 对，当时，即或． 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 可知时，最大，即最大为． 故直线的方程为，的最大面积是． 【典例2】（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）抛物线被直线所截得的弦PQ的中点的纵坐标为1． (1)求的值及抛物线的准线方程； (2)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与拋物线相交于，两点，直线与抛物线相交于，两点. （i）若，求直线的方程； （ii）求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) ，准线方程为 (2)（i）或；（ii）32 【分析】（1）解法一：联立直线与抛物线方程，可得与交点纵坐标有关韦达定理，再利用抛物线定义计算可得，即可得抛物线的准线方程；解法二：借助点差法与中点弦性质计算可得，即可得抛物线的准线方程； （2）解法一：（i）设直线的方程为，联立抛物线方程，可得与交点纵坐标有关韦达定理，结合抛物线弦长公式计算即可得解；（ii）结合（i）中所得，可表示出、，即可表示出四边形的面积，再利用基本不等式计算即可得解；解法二：（i）设直线的方程为，联立抛物线方程，可得与交点横坐标有关韦达定理，结合抛物线弦长公式计算即可得解；（ii）结合（i）中所得，可表示出、，即可表示出四边形的面积，再利用基本不等式计算即可得解. 【详解】（1）解法一：设抛物线与直线交于，， 联立方程组，整理得， 所以，因为，所以， 则抛物线方程为，准线方程为； 解法二：设抛物线 与直线交于，， 因为截得的弦的中点的纵坐标为1，故，， 则，作差得， 所以，因为，所以， 则抛物线方程为，准线方程为； （2）解法一：（i）依题意设直线的方程为，，，， 联立方程组，整理得 ，故， 所以 ，解得， 所以直线的方程为， 即或； （ii）因为，，同理可得， 所以， 当且仅当，即 时，取等号， 所以四边形面积的最小值为32． 解法二：（i）依题意设直线的方程为，，，． 联立方程组，整理得，故， 所以，解得 所以直线的方程为， 即或； （ii）因为，，同理可得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以四边形面积的最小值为32．    【变式1】（2026·福建厦门·模拟预测）已知定直线l：，点M在l右侧，且M到的距离与到l的距离之比为2，记其轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)过F与x轴垂直的直线交于A，C两点，过F的直线交于B，D两点.若四边形ABCD的面积为，求的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据题意可得，化简可得曲线的方程； （2）设直线的方程为，，与双曲线方程联立，结合根与系数的关系可得，进而可得，结合题意求解即可. 【详解】（1）设， 因为M到的距离与到l的距离之比为2，所以， 两边平方可得，所以， 所以，所以， 所以的方程为； （2）由题意可知的方程为，代入的方程可得， 由题意的斜率存在，所以设直线的方程为， 联立，可得， 设，所以， 所以或， 所以 ， 因为为的中点，所以，所以， 所以，整理得，解得（舍去）或， 所以，所以的方程. 【变式2】（26-27高三上·上海·阶段检测）已知直线的斜率为1，在轴上的截距为，若直线与椭圆交于、两点，是原点． (1)求实数的取值范围； (2)当的面积最大时，求的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）联立直线与椭圆方程，消元得出一元二次方程，利用判别式求出的范围； （2）由（1）求及点O到直线的距离，表示的面积，基本不等式求最值，得直线l的方程. 【详解】（1）由题意直线的方程为， 由，消去y得， 因为直线与椭圆有两个交点， 所以， 解得， 故实数的取值范围为. （2）设，， 则， 原点O到直线的距离， ， 所以， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以面积最大时，， 此时直线的方程为或. 【变式3】（26-27高三上·北京门头沟·开学考试）已知椭圆的焦距为2，椭圆上的点到两焦点距离之和为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，若的面积是的面积的4倍，求的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据椭圆的概念及基本性质，即可求得椭圆的方程； （2）设直线方程为，与椭圆联立，结合韦达定理及三角形的面积关系，即可求解. 【详解】（1）由椭圆定义，可得，解得， 又椭圆的焦距为2，即，解得， 又在椭圆中，，即，解得， 因此，椭圆的方程为. （2）由题意，直线的斜率一定存在，设其斜率为，则直线的方程为， 设，，将直线与椭圆联立，即， 整理得， 则，解得， 由韦达定理可得，， 因为直线与的另一个交点为，所以是关于原点的对称点， 所以, 又，所以，即，所以， 又，，所以， 代入韦达定理，可得，则，所以， 又，即，解得， 所以直线的方程为，即或. 题型09圆锥曲线中的定点、定值问题 【典例1】（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知椭圆的离心率为，且经过点. (1)求椭圆E的方程. (2)点为椭圆E上任意一点，点H为坐标原点O关于直线的对称点，记点H的轨迹为曲线. （i）求曲线的方程； （ii）以O为端点作射线m（不与坐标轴重合），与曲线和椭圆分别交于点P，Q，证明：为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2) （i）， （ii）曲线，，椭圆均关于坐标轴对称， 故不妨设射线，，，，，， 由，得，所以， 所以， 由，得，所以， 所以， 所以， 若设射线，，同理， 因此，为定值. 【分析】（1）利用离心率条件、椭圆过点，联立求出； （2）（i）利用点关于直线对称的两个条件：中点在直线上、连线与直线垂直，消参得到的轨迹方程； （ii） 利用曲线与椭圆的对称性，设射线方程为，分别联立射线与曲线、椭圆的方程，求出两点横坐标，再表示出、，计算两者乘积得到定值. 【详解】（1）由于椭圆的离心率为， 故，所以，所以， 因为椭圆E经过点，所以，即，得，则， 所以椭圆E的方程为； （2）（i）结合（1）可知，直线， 设点，由题可知点H与点O不重合，连接， ①当时，， 所以直线l的斜率为，直线的斜率为，线段的中点坐标为， 由于点O与点H关于直线l对称，所以， 整理得，解得，代入椭圆E的方程得， 整理得曲线的方程为； ②当时，易知此时点H坐标为，经检验，也符合上式； ③当时，易知此时点H坐标为，经检验，也符合上式； ④当且时，点G不在椭圆E上，不满足题意，故轨迹不包含原点； 综上，曲线的方程为，. （ii）略 【典例2】已知双曲线与椭圆的焦点相同，且离心率之比为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，记点关于轴的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明：设，则， 联立 消去整理得，所以， 所以， 又直线的斜率，所以直线的方程为， 由对称性易知，若直线过定点，则该定点在轴上， 令，得， 所以直线过定点，且该定点的坐标为. 【分析】（1）根据双曲线和椭圆的焦点相同以及离心率之比为3这两个条件列方程求出的值即可确定双曲线的方程. （2）联立直线和双曲线方程组，结合韦达定理求出直线的方程，进而确定定点坐标. 【详解】（1）由题知，，化简得. 解得， 所以双曲线的方程为. （2）略 【变式1】（26-27高三上·北京·开学考试）已知椭圆过点，且. (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线和分别与轴交于，两点，求证：为定值. 【答案】(1) (2) 证明：设过点的直线的方程为（避免斜率不存在的讨论）， 设，将代入椭圆方程得到： 展开整理得 ， 由韦达定理得： 点，直线的方程为 令得的纵坐标： 同理，直线与轴交点的纵坐标： 因此：， 由于故同理 计算分母： 代入韦达定理结果： 分子部分：， 因此： 故为定值. 【详解】（1）椭圆过点，将代入椭圆方程： ，又已知， 因此故，所以椭圆方程。 （2）略 【变式2】（25-26高二上·四川成都·期末）设动圆M的半径为r，它与圆外切，且与圆内切． (1)求圆心M的轨迹方程E (2)设点，直线与曲线E相交于A，B两点． ①若的中点为，求直线l的方程； ②若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②过定点，定点坐标为 【分析】（1）由已知可得，，由双曲线的定义可求得圆心M的轨迹方程E； （2）①设，联立直线与双曲线方程，消去，利用根与系数的关系可得，求解即可；②结合①，求得，利用，可得的关系，进而分类讨论可求得直线l所过定点. 【详解】（1）因为动圆M与圆外切，所以， 因为动圆M与圆内切，所以， 所以，根据双曲线的定义，点M的轨迹为双曲线的右支， 且，所以，所以， 所以圆心M的轨迹方程E为. （2）①由（1）知，E的方程为，设， 由，消去得，， ，且， ，由为的中点，得，解得，满足， 所以直线l的方程为，即. ② 由①，．， 则 ，由以为直径的圆恒过点P，得， 于是，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线l过定点，该定点坐标为. 【变式3】（25-26高二下·四川宜宾·期末）已知点，是平面上一动点，点到点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1)或； (2)证明：由不过点的动直线与曲线恒有两个交点，，则动直线与只抛物线相交， 可设点，直线的方程为：， 联立，得， 所以，即． 因为，所以， 代入得：，整理得：， 即或． 当时，直线的方程：过定点，舍去； 当时，直线的方程：过定点． 所以直线过定点． 【分析】（1）由题意转化为抛物线的定义，即可得到曲线方程； （2）利用方程组思想，结合韦达定理，即可得到直线过定点的证明. 【详解】（1）设，由点到点的距离比它到轴的距离大可得， ，平方得：， 当时，上式化简可得：， 当时，上式化简可得：， 即曲线的轨迹方程是或； （2）略 题型10圆锥曲线中的定直线问题 【典例1】（24-25高三上·内蒙古包头·期末）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，在处的切线与在处的切线交于点. (1)求抛物线的方程； (2)证明：点在定直线上 【答案】(1)； (2)证明：设，直线的方程为，由，求导得， 抛物线在处的切线方程为，即， 依题意，直线过，则， 同理在处的切线过，则， 显然点在上，即直线与是同一直线， 因此，则，所以点在定直线上. 【分析】（1）利用给定的焦点坐标求出抛物线方程. （2）利用导数的几何意义求出抛物线在点处的切线方程，进而得直线方程即可推理得证. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，则，解得， 所以抛物线的方程为. （2）略 【典例2】已知A，B分别是双曲线C：的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且． (1)求C的方程； (2)已知过点的直线l：交C的左、右两支于D，E两点（异于A，B），直线AE与直线BD交于点Q，证明：点Q在定直线上． 【答案】(1) (2) 证明：由（1）得，， 如图，设，， 联立消去得， 所以，， 易知直线AE的方程为， 直线BD的方程为， 联立得：， 即， 整理得， 则， 所以点Q的横坐标始终为1． 故点Q在定直线上． 【分析】（1）根据即可确定的值，设出点坐标表示出，根据即可求出，从而求出双曲线方程； （2）设出点,点坐标，表示出直线方程，联立后利用直线与双曲线联立所得韦达定理表示出点横坐标，可发现点在定直线上. 【详解】（1）由题意得，所以． 设，因为点P在C上，所以，即． 又，所以， 故C的方程为． （2）略 【变式1】（24-25高二上·云南丽江·阶段检测）已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． 【答案】(1)过定点，理由如下： 抛物线Ω：的焦点， 互相垂直的直线，与抛物线各有两个交点，知直线，斜率存在且不为0， 设直线的斜率为，则直线，设， 由，消去并整理得，， ，，弦MN的中点， 由垂直的条件，可将换为，设， 同理得，，有， 当或时，直线的方程为， 当且时，直线的斜率为，方程为， 即，当时，恒有， 所以直线过定点，其坐标为. (2)直线的斜率，同理得直线的斜率， 此时直线的方程为，即， 同理，直线的方程为，即，整理得， 由，消去解得， 所以直线ME与直线NP的交点在直线上. 【分析】（1）设直线和的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理表示出A，B两点坐标，得直线AB方程，由方程判断所过定点坐标； （2）表示出直线ME与直线NP方程，联立方程组求交点坐标即可. 【详解】（1）略 （2）略 【变式2】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知椭圆的离心率为，右焦点，且，直线交椭圆于，两点，交轴于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过右焦点，设，，求的值； (3)若已知，椭圆上下顶点分别为C，D，直线交直线于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明如下： 依题意直线的斜率存在，设直线的方程为， 由（1）可得，， 设，， 由，得， ∴，，， 则，， 又直线的方程为，直线的方程为， 解，即， 即， 得，所以，即， 所以 ， 所以点在定直线上． 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）设直线的方程为，根据向量的坐标运算以及韦达定理化简； （3）直线的方程为，联立直线、的方程求出点的坐标，结合韦达定理化简得出. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）由（1）可得椭圆的右焦点， 由题意知直线的斜率存在，则设直线的方程为， ， ，， 联立，得， ∴，， 又，，，， ，， 则，， ∴，， ∴ ． （3）略 【变式3】（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆C：（）的右焦点为，点在C上，直线l经过F且与C交于两点（不在x轴上）. (1)求C的方程； (2)若直线l的斜率为，求； (3)设分别为C的左，右顶点，直线与交于点T.证明：点T在定直线上. 【答案】(1)； (2)； (3)    设直线l方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 由分别为C的左，右顶点，则， 所以直线方程为：，直线方程为：， 两式消得：， 整理得： 由可得：， 所以有， 即点T在定直线上. 【分析】(1)利用已知条件列方程组求参数即可； (2)利用直线与椭圆联立方程组，结合弦长公式求解即可； (3)利用直线与椭圆联立，再用坐标去表示两直线方程，然后消，去求解交点的横坐标，再由根与系数关系，即可求得，从而问题得证. 【详解】（1）点在C上得：， 右焦点为得：，联立解得：， 所以椭圆方程为； （2）直线l经过F且斜率为，则直线方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 由弦长公式可得：； （3）略 题型11圆锥曲线中的向量问题 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆C经过点，且与双曲线共焦点. (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C右焦点作直线l交椭圆C于，两点，交轴于点，且记，，求证：为定值. 【答案】(1)； (2)设点、，， 由题意可知，直线的斜率存在，可设直线的方程为， 联立，可得， 由于点在椭圆的内部，直线与椭圆必有两个交点， 由韦达定理可得，， ，，， 得，， ，， . 【分析】（1）由已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出椭圆的方程； （2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、、，联立直线与椭圆的方程，列出韦达定理，由，可得出、的表达式，结合韦达定理可计算得出为定值. 【详解】（1）因为双曲线的焦点坐标为，则， 设椭圆的方程为， 又椭圆过点，， 可得，，椭圆的标准方程为：； （2）略. 【典例2】（2026·河南南阳·三模）已知双曲线的离心率，左顶点，过C的右焦点F作与x轴不重合的直线l，交C于P、Q两点． (1)求双曲线C的方程； (2)求证：直线、的斜率之积为定值； (3)设，试问：在x轴上是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)由题意知．设直线， 与双曲线方程联立得． ， 设、，则， 故直线、的斜率之积为 ． (3)存在， 【分析】（1）根据离心率的定义及求解即可. （2）设直线，与双曲线方程联立，结合韦达定理求解即可. （3）根据向量垂直的坐标表示得到，即，结合即韦达定理求解即可. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为c． 由题意知．故， 所以，双曲线C的方程为． （2）略 （3）由题意知，得． 设，则． 即． 又，即，解得． 所以， 因此在x轴上存在定点，使得恒成立． 【典例3】（25-26高三·全国·一轮复习）已知点在拋物线的准线上，动点在上，在点处的切线交轴于点，设，求证：点在定直线上，并求该定直线的方程. 【答案】 抛物线的准线的方程为，依题意设． 抛物线的方程可化为，所以， 设，则以为切点的切线的斜率， 所以切线的方程为． 令，得， 即点坐标为， 所以， 所以，所以． 设点坐标为，则， 所以点在定直线上． 【分析】设，，由得，得切线的方程为，令，得，由得即可得证. 【详解】略 【变式1】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）已知点在圆上，作垂直于轴，垂足为，点为中点． (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与轴交于点，与交于、两个相异点，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点的坐标用点和点的坐标表示，代入点的轨迹方程即可求解； （2）设点、，利用可得，结合韦达定理可得与的关系，最后代入判别式，利用即可求解. 【详解】（1）由题意，设点、，则， 因为点为线段的中点，则，即， 因为点在圆上，所以，即， 因此，点的轨迹的方程为． （2）由已知可得，设点、， 联立得， 由已知可得，得， 由韦达定理可得，， 因为，即，则，即， 所以，所以， 即， 当时，不成立， 所以，代入得， 解得，因此，的取值范围是． 【变式2】（2026·海南·模拟预测）已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，的一条渐近线方程为，过点且与轴垂直的直线与交于，两点，的周长为16． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，若，求直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由渐近线方程和三角形周长，结合双曲线方程的定义得到方程组，求出，得到双曲线方程； （2）直线的斜率不存在或斜率为0时，不合要求，设出直线方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，根据得到方程，求出，得到直线斜率 【详解】（1）一条渐近线方程为，故， 中，令得， 故，所以， 由双曲线定义可得，同理， 故，结合，可得， 所以的方程为； （2）由（1）知，，当直线的斜率不存在或斜率为0时，不成立， 故直线的斜率存在，且不为0，设方程为，， 联立与得， ，且，故， 设，则， ，故， 所以，所以， 由得，将其代入得 ，解得满足要求， 故，，直线的斜率为. 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)若经过定点的直线与曲线交于，两点，是的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程． 【答案】(1) (2)存在，或． 【分析】（1）利用直接法，设出点坐标根据相切关系找到等量关系即可求动圆圆心P的轨迹T的方程； （2）由题意设直线l的方程为，联立抛物线方程，利用，从而由向量的数量积的坐标运算于韦达定理可得，即可求出直线方程． 【详解】（1）设，由题可知动圆圆心不能在轴左侧，故， 因为动圆与直线相切且与圆外切， 所以， 所以， 化简得， 所以动圆圆心的轨迹的方程为； （2）设，， 由题意，设直线的方程为， 联立 消去得， 所以，①， 所以，②， 假设存在使得， 则由题意可得③， 因为在抛物线上，所以，即④， 又，，， 所以， 将①②③④代入此式并化简，可得， 所以，即， 所以存在直线，使得，且直线的方程为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 第三章 圆锥曲线的方程 重点题型章末总结 第一部分 思维导图 第二部分 题型精讲 题型01圆锥曲线的定义 【典例1】（多选）（2026·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于给定的曲线和定点，设为上任意一点，是曲线在点处的切线，是过点且与垂直的直线．作线段的垂直平分线，若与相交，记交点为，当在上运动时，称点的轨迹为曲线关于点的“中垂法截线”，下列选项正确的有（    ） A．若为直线，为直线外一点，则中垂法截线是一条抛物线 B．若为圆，为圆内一点，则中垂法截线是一个椭圆 C．若为圆，为圆外一点，则中垂法截线是双曲线 D．若为抛物线，为的焦点，则中垂法截线不是一个圆 【典例2】（26-27高二上·全国·课后作业）下列命题是真命题的有________．（填序号） ①已知定点，，则满足的点的轨迹为椭圆； ②已知定点，，则满足的点的轨迹为线段； ③到定点，距离相等的点的轨迹为椭圆； ④若点到定点，的距离之和等于点到定点，的距离之和，则点的轨迹为椭圆． 【变式1】（2026高二·全国·专题练习）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式2】（多选）（2026·陕西西安·模拟预测）已知点，点为平面上的一个动点，为直线的斜率．定义运算：，则下列说法正确的是（   ） A．若运算为加法，则点的轨迹曲线关于原点对称 B．若运算为减法，则点的轨迹为开口向右的抛物线的一部分 C．若运算为乘法，则点的轨迹为焦点在轴上的椭圆的一部分 D．若运算为除法，则点的轨迹为一条直线 【变式3】（26-27高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知动点满足，则动点的轨迹是____________（从“直线，圆，椭圆，双曲线，抛物线”中选一个作答） 题型02圆锥曲线的标准方程 【典例1】（26-27高二上·河南南阳·开学考试）（1）已知椭圆的离心率为，其左焦点F到直线的距离为，求此椭圆方程. （2）求渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程. 【典例2】（25-26高二上·安徽·阶段检测）求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，经过点，； (2)与双曲线有相同的渐近线，且过点． 【变式1】（25-26高二上·陕西西安·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点为，长轴长是短轴长的倍； (2)焦点在轴上，且经过两点、. 【变式2】（25-26高二上·河北雄安·期末）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为4，虚轴长为2； (2)过点，渐近线方程为． 【变式3】（25-26高二上·北京延庆·阶段检测）求下列曲线的标准方程. (1)圆心在直线上，且过点和点的圆； (2)经过点，的椭圆； (3)与双曲线共焦点，且过点的双曲线； (4)顶点在原点，焦点在直线的抛物线. 题型03圆锥曲线的焦点三角形问题 【典例1】（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在上，且的周长为16，则面积的最大值为（     ） A．6 B．12 C．16 D．24 【典例2】（25-26高二下·河南新乡·期中）已知双曲线，过原点作直线与双曲线交于两点，设双曲线的左､右焦点分别为，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·安徽安庆·二模）椭圆的左、右焦点分别为、，上点位于第一象限内，为坐标原点，，线段与轴交于点且，若的面积等于，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·重庆·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，动点P为双曲线右支上任意一点，点，若周长的最小值为12，则（    ） A． B．3 C． D． 【变式3】（2026·四川·模拟预测）已知双曲线的左､右两个焦点分别是，焦距为8，若是双曲线上一点，且，则的周长为（    ） A．14 B．14或17 C．22 D．14或22 题型04椭圆、抛物线中的离心率问题 【典例1】（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（26-27高三上·重庆·开学考试）已知椭圆与双曲线的焦距相同，左、右焦点分别为的离心率分别为是与的一个交点，，则的值可能为（   ） A．4 B． C．2 D． 【变式1】（2026·福建漳州·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于直线的直线与交于点，与的右支交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026高三上·全国·专题练习）设椭圆的下顶点为，M，N在椭圆上，若四边形为平行四边形，为的倾斜角，且，则椭圆的离心率的取值范围是______． 【变式3】（26-27高三上·山东聊城·开学考试）已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则的离心率为______. 题型05直线与圆锥曲线的位置关系 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【典例2】（26-27高二上·全国·课后作业）若过点的直线与椭圆有且仅有一个公共点，则直线的方程为________． 【变式1】（26-27高二上·河南南阳·开学考试）若直线与椭圆总有公共点，则实数的取值范围为________ 【变式2】（25-26高二下·上海·期中）如果直线与双曲线有两个不同的交点，那么斜率k的取值范围是______. 【变式3】（26-27高二上·全国·课后作业）若直线与曲线恰好有一个公共点，则实数的取值集合为________． 题型06圆锥曲线中的中点弦问题 【典例1】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）设直线l与椭圆相交于A，B两点，且的中点为，则直线l的斜率为______. 【典例2】（2026·四川广安·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，椭圆上的点到的距离最大值为. (1)求和的离心率； (2)过点的直线交于，两点，若为的中点，求的方程. 【变式1】（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）直线与双曲线相交于，两点，且线段的中点为，则直线 的方程是_____． 【变式2】（25-26高二上·河北邢台·期末）已知定点，定直线，过平面内一动点作直线的垂线，垂足为，使． (1)求动点的轨迹方程； (2)若直线与动点的轨迹相交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求直线的方程． 【变式3】（25-26高二上·甘肃嘉峪关·期末）已知抛物线，是抛物线上的点，且（F为抛物线的焦点）． (1)求抛物线C的方程； (2)已知直线l交C于M，N两点，且线段MN的中点坐标为，求直线l的方程． 题型07圆锥曲线中的弦长问题 【典例1】（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·上海·期中）已知双曲线的方程为. (1)求的渐近线方程； (2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点， ①求的方程；②求. 【变式1】（2026·贵州遵义·模拟预测）已知直线过抛物线 的焦点，且直线与抛物线交于，两点，若直线的方程为，则 (   ) A．16 B．8 C．12 D．4 【变式2】（26-27高二上·浙江绍兴·开学考试）椭圆的左焦点和上顶点 (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于，两点，若，求的值． 题型08圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）如图所示，已知抛物线的顶点为O，点A的坐标为，倾斜角为的直线与线段相交（不经过点O或点A），且交抛物线于M、N两点，求的面积最大时直线的方程，并求的最大面积． 【典例2】（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）抛物线被直线所截得的弦PQ的中点的纵坐标为1． (1)求的值及抛物线的准线方程； (2)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与拋物线相交于，两点，直线与抛物线相交于，两点. （i）若，求直线的方程； （ii）求四边形的面积的最小值． 【变式1】（2026·福建厦门·模拟预测）已知定直线l：，点M在l右侧，且M到的距离与到l的距离之比为2，记其轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)过F与x轴垂直的直线交于A，C两点，过F的直线交于B，D两点.若四边形ABCD的面积为，求的方程. 【变式2】（26-27高三上·上海·阶段检测）已知直线的斜率为1，在轴上的截距为，若直线与椭圆交于、两点，是原点． (1)求实数的取值范围； (2)当的面积最大时，求的直线方程． 【变式3】（26-27高三上·北京门头沟·开学考试）已知椭圆的焦距为2，椭圆上的点到两焦点距离之和为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，若的面积是的面积的4倍，求的方程． 题型09圆锥曲线中的定点、定值问题 【典例1】（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知椭圆的离心率为，且经过点. (1)求椭圆E的方程. (2)点为椭圆E上任意一点，点H为坐标原点O关于直线的对称点，记点H的轨迹为曲线. （i）求曲线的方程； （ii）以O为端点作射线m（不与坐标轴重合），与曲线和椭圆分别交于点P，Q，证明：为定值，并求出该定值. 【典例2】已知双曲线与椭圆的焦点相同，且离心率之比为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，记点关于轴的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【变式1】（26-27高三上·北京·开学考试）已知椭圆过点，且. (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线和分别与轴交于，两点，求证：为定值. 【变式2】（25-26高二上·四川成都·期末）设动圆M的半径为r，它与圆外切，且与圆内切． (1)求圆心M的轨迹方程E (2)设点，直线与曲线E相交于A，B两点． ①若的中点为，求直线l的方程； ②若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【变式3】（25-26高二下·四川宜宾·期末）已知点，是平面上一动点，点到点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 题型10圆锥曲线中的定直线问题 【典例1】（24-25高三上·内蒙古包头·期末）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，在处的切线与在处的切线交于点. (1)求抛物线的方程； (2)证明：点在定直线上 【典例2】已知A，B分别是双曲线C：的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且． (1)求C的方程； (2)已知过点的直线l：交C的左、右两支于D，E两点（异于A，B），直线AE与直线BD交于点Q，证明：点Q在定直线上． 【变式1】（24-25高二上·云南丽江·阶段检测）已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． 【变式2】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知椭圆的离心率为，右焦点，且，直线交椭圆于，两点，交轴于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过右焦点，设，，求的值； (3)若已知，椭圆上下顶点分别为C，D，直线交直线于点，证明：点在定直线上． 【变式3】（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆C：（）的右焦点为，点在C上，直线l经过F且与C交于两点（不在x轴上）. (1)求C的方程； (2)若直线l的斜率为，求； (3)设分别为C的左，右顶点，直线与交于点T.证明：点T在定直线上. 题型11圆锥曲线中的向量问题 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆C经过点，且与双曲线共焦点. (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C右焦点作直线l交椭圆C于，两点，交轴于点，且记，，求证：为定值. 【典例2】（2026·河南南阳·三模）已知双曲线的离心率，左顶点，过C的右焦点F作与x轴不重合的直线l，交C于P、Q两点． (1)求双曲线C的方程； (2)求证：直线、的斜率之积为定值； (3)设，试问：在x轴上是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由． 【典例3】（25-26高三·全国·一轮复习）已知点在拋物线的准线上，动点在上，在点处的切线交轴于点，设，求证：点在定直线上，并求该定直线的方程. 【变式1】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）已知点在圆上，作垂直于轴，垂足为，点为中点． (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与轴交于点，与交于、两个相异点，且，求的取值范围． 【变式2】（2026·海南·模拟预测）已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，的一条渐近线方程为，过点且与轴垂直的直线与交于，两点，的周长为16． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，若，求直线的斜率． 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)若经过定点的直线与曲线交于，两点，是的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $