2.2 有理数的加减运算（第5课时 有理数加减混合运算的实际应用）（教学设计）数学新教材北师大版七年级上册

2.2 有理数的加减运算（第5课时有理数加减混合运算的实际应用）教学设计 课题 有理数加减混合运算的实际应用 单元 第二章 有理数及其运算 学科 初中数学 （北师大版） 年级 七年级 学习目标 1.能将生活中的实际情境转化为有理数加减混合运算算式，熟练运用运算法则和加法运算律准确计算，规范解题步骤，提升运算准确率。 2.经历分析水位变化、温度升降、收支盈亏、行程变化等实际问题的过程，学会提取题目有效数据、辨析正负意义，建立数学模型，培养数形结合、转化归纳的数学思维与问题分析能力。 3.能运用有理数加减混合运算的结果解释生活实际问题，结合表格、简单折线图分析数据变化规律，感受数学与生活的紧密联系，提升数学应用意识和解决实际问题的综合能力。 教材 分析 本节是北师大版（新教材）七年级上册第二章“有理数及其运算”中2.1有理数的加减运算第5课时，课题为“有理数加减混合运算的实际应用”。教学内容主要包括：将水位变化、温度升降、收支盈亏、行程变化等生活情境转化为有理数加减混合运算算式，借助表格和折线图分析数据变化，运用运算律简算并解释结果。 本节是在学生已掌握有理数加减运算法则和加法运算律的基础上，进一步沟通数学与现实生活的联系。其核心逻辑是：先用正数与负数表示实际生活中具有相反意义的量，再将连续变化的过程用有理数加减混合运算表示，实现“实际问题→数学算式→运算结果→解释实际”的建模流程。通过“水位变化”等素材，引导学生体会正负号的实际意义，认识加法运算律在简化计算中的价值；通过“折线图”分析数据变化，渗透数形结合思想。本节知识是后续学习利用有理数运算解决更复杂问题、建立方程模型的基础，具有重要的应用价值和思维训练功能。 教学重点：将实际问题转化为有理数加减混合运算算式；运用运算法则和运算律准确计算，并结合实际解释结果。 学情 分析 学生已经学习了正数和负数、数轴、相反数、绝对值以及有理数的加减运算法则，能够进行基本的加减混合运算，初步具有用正负数表示相反意义的量的经验。但初一学生对实际情境中的“变化量”和“最终状态量”容易混淆，如在水位、股票涨跌问题中，常出现符号判断错误，或将“总路程”误答为“位移”。本节将实际问题转化为算式，需要学生从连续变化的文本和表格中抽象出数学结构，思维跨度较大，属于学习困难点。 同时，学生虽尚未系统学习一元一次方程、多项式等内容，但本节建立的“审题→定正负→列算式→巧计算→写结论”五步解题法，和用表格、折线图分析数量变化的经验，将为后续方程建模、函数中的图表分析打下基础。因此教学时应从具体情境出发，借助表格和折线图降低抽象难度，强化正负号的实际含义和答题规范，突破难点。 教学 重点 将实际问题转化为有理数加减混合运算，并熟练运用运算法则和运算律准确计算。 教学 难点 • 正确辨析实际问题中正、负数的意义，建立数学模型；区分“总变化量”“最终数值”等易混概念，并结合题意规范作答。 教学 准备 多媒体课件（PPT） 教学过程 教学 环节 教师活动 学生活动 新课 引入 【创设情景，引入新课】 教师通过生活实例引入：水位升降、温度变化、收支盈亏、行程方向等实际问题，经常会出现“增加与减少”“收入与支出”“上升与下降”等相反意义的量。这些量用正、负数表示后，怎样用有理数的加减混合运算解决实际问题？ 例： 【设计意图】 通过复习旧知，帮助学生巩固加减混合运算的转化与简算方法；从生活实例引入，激发学生学习兴趣，明确本节课的学习任务——用有理数加减混合运算解决实际问题。 师生共同回顾有理数加减混合运算的步骤： 1.将加减混合运算统一为加法运算； 2.写成省略括号和加号的和的形式； 3.运用加法交换律和结合律，使运算简便。 新知 探究 探究点一：有理数加减混合运算的实际应用——卡片游戏 【问题引入】 教师展示游戏规则： 每人每次抽取4张卡片。如果抽到白色卡片，那么加上卡片上的数字；如果抽到红色卡片，那么减去卡片上的数字。比较两人所抽4张卡片的计算结果，结果大的为胜者。 【详细过程】 小丽抽到的4张卡片依次对应的算式为： 计算： 小彬抽到的4张卡片计算结果为： 比较： 所以小丽获胜。 【设计意图】 通过卡片游戏创设生动情境，引导学生将游戏规则转化为有理数加减混合运算算式，巩固运算法则，同时体会正、负号在实际规则中的意义，激发学习兴趣。 教师出示小丽抽到的4张卡片，学生观察并列出算式，独立计算后交流展示；教师板演规范步骤。 新知 探究 探究点二：有理数加减混合运算的实际应用——水位变化 【问题引入】 教师出示南京下关段水位数据： 最高水位： 警戒水位： 平均水位： 最低水位： 提问：如果取下关段的警戒水位作为0点，那么其他数据可以分别记作什么？ 学生独立思考后回答： ，最高水位记作 ； ，平均水位记作 ； ，最低水位记作 。 【师生活动】 教师继续出示小明记录的梅雨季节下关段一周水位变化表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/ 注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降。上周日的水位达到了警戒水位。 【提出问题】 （1）本周哪一天河流的水位最高？哪一天最低？它们位于警戒水位之上还是之下？与警戒水位的距离分别为多少米？ （2）与上周日相比，本周日河流的水位是上升了还是下降了？为什么？你是怎么知道的？有哪些方法？ 【详细过程】 方法一：计算每天实际水位进行比较。 上周日警戒水位为 ： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际水位/ 所以本周二水位最高，为 ；本周一水位最低，为 。两天均在警戒水位之上。 与警戒水位的距离：， 方法二：对水位变化的数据求和。 因为总和为正，说明本周日的水位比上周日上升了 。 方法三：根据变化数据画折线图。 以横轴为星期、纵轴为水位，描出每天实际水位并连线，可直观看出水位变化趋势：周二最高，周一最低，整体上升。 【设计意图】 通过真实的水位变化情境，训练学生提取有效数据、辨析正负号的能力。从计算、求和、画图三个角度解决问题，体会数形结合思想，建立实际情境与有理数加减混合运算之间的模型。 教师引导学生思考问题，尝试用不同的方法列式解决实际应用问题。 新知 探究 探究三：有理数加减混合运算的综合应用——身高、出租车与股票 例题1：身高问题 题目 某一中学初一（2）班学生的平均身高是 。 （1）下表给出了该班6名同学的身高情况（单位：厘米），试完成下表。 姓名 小明 小彬 小丽 小亮 小颖 小山 身高/ 身高与平均身高的差值/ （2）谁最高？谁最矮？ （3）最高与最矮的学生身高相差多少？ 解析步骤 用“”计算： 小彬： 小丽： 小亮： 小颖： 小山： 完成表格： 姓名 小明 小彬 小丽 小亮 小颖 小山 身高/ 身高与平均身高的差值/ 所以：小山最高，小亮最矮。 答：最高与最矮的学生身高相差 。 例题2：出租车行程问题 题目 南京出租车司机小李某一时段全是在中山东路上来回行驶。如果规定向东为正，向西为负，行车里程（单位：千米）为： 你能否知道在他将最后一位乘客送到目的地时，他距离出车的出发点有多远？ 解析步骤 求距离出发点的距离，就是把这些数相加： 答：他距离出车的出发点 。 例题3：股票收益问题 题目 某股民上周五买进某公司股票 ，每股 ，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）： 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 已知该股民买进股票时付了成交额 的手续费，卖出时付成交额 的手续费和 的交易税。如果他在星期五收盘前将全部股票卖出，计算一下他的收益情况。 解析步骤 买入时： 手续费： 卖出时每股价格： 卖出成交额： 卖出时手续费和交易税： 实际收益： 答：此人实际收益 。 【设计意图】 通过身高、出租车、股票收益三个生活实例，由浅入深地训练学生“审题→定正负→列算式→巧计算→写结论”的完整解题流程，引导学生不能只算结果，还要结合情境解释结果，提升数学应用意识。 教师先让学生按有理数加法法则从左往右算，再提问：“有简便计算方法吗？”学生尝试后发现可以利用交换律和结合律。 课堂 练习 一、拓展提升（股票涨跌问题） 试题呈现 （教材拓展延伸·思考题） 小明父亲上星期买进某公司股票 ，每股 ，下表为本周每日该股票的涨跌情况（单位：元）： 星期 一 二 三 四 五 市值涨跌 注：① 正数表示股市比前一天上升，负数表示比前一天下降；② 周六、周日休市。 （1）周三收盘时，每股 \_\_\_ 元； （2）本周内最高价每股 \_\_\_ 元，最低价每股 \_\_\_ 元； （3）完成下表： 星期 一 二 三 四 五 本周每日与上周股票市值的差 （4）以上周六买进 为 ，用折线统计图表示出该周股票的涨跌情况。 师生互动，分析思路 · 师：请同学们仔细读题，明确“市值涨跌”中正、负数的实际意义。 · 生：“”表示周一比上周五的收盘价上涨 ；“”表示周二比周一上涨 ；“”表示周三比周二下跌 。 · 师：很好。要解决（1）（2）两问，关键是依次算出每天的收盘价。我们以本周一为起点，上周五收盘价 作为基础价。 规范解答 （1）周三收盘价为： 答：周三收盘时每股 。 （2）逐日计算每天的收盘价： 周一： 周二： 周三： 周四： 周五： 比较可得：本周最高价是周二，每股 ；最低价是周五，每股 。 （3）以 为0点，每日收盘价与 的差分别为： 周一： 周二： 周三： 周四： 周五： 填表如下： 星期 一 二 三 四 五 本周每日与上周股票市值的差 （4）以横轴表示星期，纵轴表示相对上周六 的差值，描出点： 顺次连接各点，得到折线统计图。 从折线图中可以直观看出：本周股价先上升后下降，周二达到最高，周五跌至最低。 设计意图：以股票涨跌为现实载体，引导学生将连续几天的“变化量”逐次累加，体验用有理数加减混合运算建立数学模型的过程。通过计算每日收盘价、比较最高与最低价、填写差值表、绘制折线图，培养学生提取数据、辨析正负意义的能力，同时渗透数形结合思想。 二、拓展提升（蜗牛爬井问题） 试题呈现 （思维拓展） 一口井，水面比井口低 ，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次往上爬了 后又往后滑了 ；第二次往上爬了 ，却又下滑了 ；第三次往上爬了 ，却下滑了 ；第四次往上爬了 ，却下滑了 ；第五次往上爬了 ，没有下滑；第六次往上爬了 。问蜗牛有没有爬出井口？ 思路点拨 把往上爬的距离用正数表示，下滑的距离用负数表示，则每次爬行的情况可以分别记为： 将这些数全部相加，结果表示蜗牛实际爬升的总高度；再与井深 比较。 规范解答 解： 因为 ，所以蜗牛没有爬出井口。 拓展追问：如果蜗牛最后一天在白天爬了 后没有下滑，那么它是否还需要继续爬？请结合生活实际谈一谈。 三、巩固练习 练习一（教材46页第16题） 10袋土豆称重记录如下（单位：）： （1）求这10袋土豆的总质量； （2）请用“以 为标准，超过记为正，不足记为负”的方法重新计算总质量。 解答 解法一：直接相加。 解法二：以每袋 为标准质量，超过部分用正数表示，不足部分用负数表示，则差值分别为： 差值之和为： 所以总质量为： 答：这10袋土豆的总质量是 。 练习二（教材44页第4题） 某股票上周五收盘价为每股 ，本周一至周五的涨跌情况如下表（单位：元）： 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 本周五收盘时，该股票价格比上周五是涨了还是跌了？涨跌多少元？ 解答 解：根据题意，本周五相对上周五的涨跌为： 答：该股票本周五收盘时比上周五上涨了 。 课堂 小结 本课时聚焦“有理数加减混合运算的实际应用”，围绕三个学习目标展开： 1.知识技能：掌握“审题→定正负→列算式→巧计算→写结论”五步解题法，能将水位变化、温度升降、收支盈亏、行程变化等实际问题转化为有理数加减混合运算算式，并灵活运用加法交换律、结合律进行简便计算。 2.思想方法：体会数学建模思想（实际问题抽象为数学算式）、转化思想（减法统一为加法）、分类与整体思想（正负分类、凑整组合、整体把握增减变化）。 3.易错提醒：① 正负意义易混淆；② 只算结果不结合情境作答；③ 忽视实际场景限制，机械套用计算结果。 作业 布置 必做（教材习题） 1. 教材P43随堂练习1：完成初一（2）班6名同学身高表，回答谁最高、谁最矮、最高与最矮相差多少。 1. 教材P44第4题：根据题意列式并计算某种股票一周涨跌后的结果。 1. 教材P44第5题：计算小明跑步方向及总路程。 1. 教材P46第16题：用两种方法求10袋土豆总质量。 1. 教材P46第17题：计算银行卡这一页最后的结余。 选做/探究 1. 思考题：小明父亲股票涨跌情况，完成表格并用折线统计图表示该周股票涨跌。 1. 生活探究：寻找一个生活中可用有理数加减混合运算解决的问题，按照“审题→定正负→列算式→巧计算→写结论”写出完整解题过程。 板书 设计 有理数加减混合运算的实际应用 一、知识回顾 二、实际应用建模流程 混合运算步骤： 审题 → 定正负 → 列算式 ①统一成加法 → 巧计算 → 写结论 ②省略括号和加号 ③运用加法运算律 三、典型问题示例 水位变化问题 三、典型问题示例 ①逐日计算实际水位比较 ①游戏抽卡片 ②对变化数据求和 ②水位变化（表格、折线图） ③画折线图观察趋势 ③出租车行程 其他：温度升降、收支盈亏、 ④股票收益 行程变化、蜗牛爬井 四、易错提醒 符号混淆 | 脱离情境 | 结果取舍 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $