2.3 有理数的乘除运算 讲义 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的乘除运算核心知识点，系统梳理乘法法则（含符号确定与绝对值运算）、倒数概念（含性质与求法）、除法法则（转化为乘法）及运算律（交换律、结合律、分配律），构建从乘法到倒数再到除法的递进式学习支架。 资料通过分层设计夯实基础与拓展提升题目，如定义新运算、“友好数”探究等，培养抽象能力与运算能力。课中助力教师引导学生逻辑推理，课后学生可通过多样题型查漏补缺，强化应用意识与数学思维。

第三节 有理数的乘除运算 一、知识目录 二、知识梳理 （一）有理数的乘法 1.有理数的乘法 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍为0。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”.几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 2.有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 （二）倒数 1.倒数的概念：如果两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数数互为倒数。 2.倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然。 3.求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 （三）有理数的除法 1.有理数除法法则1：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。除以任何非的数都得。 2.有理数除法法则2：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 3.有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 4.有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 三、巩固提升 模块一：有理数的乘法法则 【夯实基础】 【知识点一】有理数的乘法法则 1.定义新运算“”如下：当时，；当时，按上述规定计算的结果为(   ) A. B. C. D. 2.下列计算正确的有(   ) ；  ；；   ． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3.若，且，则(   ) A. ， B. ， C. ，异号且正数的绝对值较小 D. ，异号且负数的绝对值较小 4.已知，． 若，求的值． 若，求的值． 若，求的值． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 5.学了有理数的运算后，老师给同学们出了一道计算题：． 下面是两位同学的解法： 小方：原式 小杨：原式． 两位同学的解法中，谁的解法较简便 请你写出另一种更简便的解法． 【知识点二】倒数 1.下列各对数互为倒数的是(   ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 2.若，则下列说法正确的是(   ) A. 与互为倒数 B. 与互为相反数 C. 与相等 D. 与相等 3.如果一个数的倒数仍是这个数，那么这个数是(   ) A. B. C. 或 D. 4.若，互为倒数，则的值为(   ) A. B. C. D. 5.若，互为相反数，互为倒数，则的值为        ． 【知识点三】多个有理数相乘 1.下列计算结果是负数的是(   ) A. B. C. D. 2.计算：     ． 3.在学习有理数的乘法时，李老师和同学们做了这样的游戏：将这个数说给第一位同学，第一位同学将它减去它的的结果告诉第二位同学第二位同学再将听到的数减去它的的结果告诉第三位同学第三位同学再将听到的数减去它的的结果告诉第四位同学照这样的方法直到全班人全部传完，最后一位同学将运算的结果告诉李老师请求出最后的结果． 【拓展提升】 1.如图，数轴上，，三点所表示的数分别为，，根据图中各点位置，判断下列各式正确的是(   ) A. B. C. D. 2.已知且则的值是(   ) A. B. C. 或 D. 或 3.我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”如：有理数与，因为，所以与互为“友好数”． 判断与是否互为“友好数”，并说明理由． 若有理数与互为“友好数”，与互为相反数，求代数式的值． 对于有理数且，设的“友好数”为；的倒数为；的“友好数”为；的倒数为；；依次按如上的操作，得到一组数，，，，，当时，求的值． 4.已知，为两个非零有理数，满足，我们定义这两个有理数为“有缘数对”，记作，如，所以称是一对“有缘数对”请通过计算，分别判断，是否为“有缘数对”． 模块二：有理数的乘法运算律 【夯实基础】 【知识点一】有理数的乘法运算律 1.下列计算正确的是(   ) A. B. C. D. 2.在中，运用了(   ) A. 乘法交换律 B. 乘法结合律 C. 乘法对加法的分配律 D. 乘法交换律和乘法结合律 3.，这个运算运用了(   ) A. 加法结合律 B. 乘法结合律 C. 乘法交换律 D. 乘法对加法的分配律 4.计算：         ． 5.计算时，观察算式的特点，采用“凑整法”，运用乘法的运算律可得： 原式                                       ． 计算时，观察算式的特点，运用乘法对加法的分配律可得： 原式                                        ． 【拓展提升】 1.可化为(   ) A. B. C. D. 2.若，则可以表示为(   ) A. B. C. D. 模块三：有理数的除法法则 【夯实基础】 【知识点一】求一个数的倒数 1.的相反数是       ，倒数是         ，绝对值是      ． 2.的倒数与的相反数的积是           ． 3.如果，那么“”表示的数是          ． 【知识点二】有理数的除法法则（一） 1.下列判断错误的个数是(   ) 如果，，则，如果，，则，． 如果，且，则；若，则，． A. B. 个 C. 个 D. 个 2.要使算式的运算结果最大，则“”内应填入的运算符号为(   ) A. B. C. D. 3.下列说法正确的是(   ) A. 的倒数是 B. 如果两个有理数的和等于，那么这两个有理数的积也等于 C. 除以任何一个不为的数，其商为 D. 若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，那么积一定是负数 4.计算的结果是(   ) A. B. C. D. 5.如果，则       ． 【知识点三】有理数的除法法则（二） 1.计算时，将除法转化为乘法正确的是(   ) A. B. C. D. 2.小明在做除法运算    时，将除法变成乘法后，除数没有变成其倒数，算出结果为，则正确的结果为        ． 3.计算：   4.阅读下列材料： 小明在研究有理数的除法时，发现，，，所以他得出结论：与的结果互为倒数．小明利用这一结论计算的过程如下： 解：因为． 所以． 请仿照上述方法计算：． 【拓展提升】 1.若是不为的有理数，我们把称为的差倒数，已知，是的差倒数，是的差倒数以此类推，的差倒数         ． 2.【阅读材料】 当有理数不等于时，把个相同的有理数的除法运算记作；把个相同的有理数的除法运算记作；把个相同的有理数的除法运算记作；把个相同的有理数的除法运算记作； 特别地，规定． 【解决问题】 若，则          ； 计算的结果是     ； 计算：． $ 第三节 有理数的乘除运算 一、知识目录 二、知识梳理 （一）有理数的乘法 1.有理数的乘法 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍为0。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”.几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 2.有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 （二）倒数 1.倒数的概念：如果两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数数互为倒数。 2.倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然。 3.求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 （三）有理数的除法 1.有理数除法法则1：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。除以任何非的数都得。 2.有理数除法法则2：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 3.有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 4.有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 三、巩固提升 模块一：有理数的乘法法则 【夯实基础】 【知识点一】有理数的乘法法则 1.定义新运算“”如下：当时，；当时，按上述规定计算的结果为( A ) A. B. C. D. 2.下列计算正确的有( C ) ；  ；；   ． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3.若，且，则( B ) A. ， B. ， C. ，异号且正数的绝对值较小 D. ，异号且负数的绝对值较小 4.已知，． 若，求的值． 若，求的值． 若，求的值． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 (1)解：∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴，异号. ∴，或，. 当，时，； 当，时，. ∴的值是.  (2)∵，，且， ∴，或，. ∴的值是.  (3)∵，，且， ∴，或，. ∴的值是.  5.学了有理数的运算后，老师给同学们出了一道计算题：． 下面是两位同学的解法： 小方：原式 小杨：原式． 两位同学的解法中，谁的解法较简便 请你写出另一种更简便的解法． (1)解:小杨的解法较简便.  (2)(-19)(-9)=(20-)9=209-9=180-=179.  【知识点二】倒数 1.下列各对数互为倒数的是( C ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 2.若，则下列说法正确的是( A ) A. 与互为倒数 B. 与互为相反数 C. 与相等 D. 与相等 3.如果一个数的倒数仍是这个数，那么这个数是( C ) A. B. C. 或 D. 4.若，互为倒数，则的值为( B ) A. B. C. D. 5.若，互为相反数，互为倒数，则的值为       ． 【知识点三】多个有理数相乘 1.下列计算结果是负数的是( C ) A. B. C. D. 2.计算：      ． 3.在学习有理数的乘法时，李老师和同学们做了这样的游戏：将这个数说给第一位同学，第一位同学将它减去它的的结果告诉第二位同学第二位同学再将听到的数减去它的的结果告诉第三位同学第三位同学再将听到的数减去它的的结果告诉第四位同学照这样的方法直到全班人全部传完，最后一位同学将运算的结果告诉李老师请求出最后的结果． 解：． 答：最后的结果是． 【拓展提升】 1.如图，数轴上，，三点所表示的数分别为，，根据图中各点位置，判断下列各式正确的是( D ) A. B. C. D. 2.已知且则的值是( C ) A. B. C. 或 D. 或 3.我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”如：有理数与，因为，所以与互为“友好数”． 判断与是否互为“友好数”，并说明理由． 若有理数与互为“友好数”，与互为相反数，求代数式的值． 对于有理数且，设的“友好数”为；的倒数为；的“友好数”为；的倒数为；；依次按如上的操作，得到一组数，，，，，当时，求的值． (1)解：与3是互为“友好数”，理由： ∵ ，， ∴ 与3是互为“友好数”．  (2)解：∵有理数a与b互为“友好数”， b与c互为相反数， ∴a＋b＝ab，b＋c＝0， ∴ ＝4a＋4b3c4a7b3 ＝3c3b3 ＝3(c＋b)3＝3×03＝3．  (3)解：由题意得，当x＝4时，4+=4， ∴， ∴， ∵+x3＝x3， ∴x3＝-3， ∴， ∵ ∴， ∴x6＝4， ∴， 所以这组数每6次一循环，因为2024÷6＝337……2，所以x2024的值为．  4.已知，为两个非零有理数，满足，我们定义这两个有理数为“有缘数对”，记作，如，所以称是一对“有缘数对”请通过计算，分别判断，是否为“有缘数对”． 解：因为，， 所以， 所以不是一对“有缘数对”； 因为，， 所以， 所以是一对“有缘数对”． 模块二：有理数的乘法运算律 【夯实基础】 【知识点一】有理数的乘法运算律 1.下列计算正确的是( A ) A. B. C. D. 2.在中，运用了( D ) A. 乘法交换律 B. 乘法结合律 C. 乘法对加法的分配律 D. 乘法交换律和乘法结合律 3.，这个运算运用了( D ) A. 加法结合律 B. 乘法结合律 C. 乘法交换律 D. 乘法对加法的分配律 4.计算：        ． 5.计算时，观察算式的特点，采用“凑整法”，运用乘法的运算律可得： 原式   [(-0.25)×400]        [(-0.125)×(-8)]        (-100)       1        -100    ． 计算时，观察算式的特点，运用乘法对加法的分配律可得： 原式   1                           -36+16-30+21         -29    ． 【拓展提升】 1.可化为( D ) A. B. C. D. 2.若，则可以表示为( B ) A. B. C. D. 模块三：有理数的除法法则 【夯实基础】 【知识点一】求一个数的倒数 1.的相反数是       ，倒数是        ，绝对值是       ． 2.的倒数与的相反数的积是           ． 3.如果，那么“”表示的数是          ． 【知识点二】有理数的除法法则（一） 1.下列判断错误的个数是( B ) 如果，，则，如果，，则，． 如果，且，则；若，则，． A. B. 个 C. 个 D. 个 2.要使算式的运算结果最大，则“”内应填入的运算符号为( A ) A. B. C. D. 3.下列说法正确的是( C ) A. 的倒数是 B. 如果两个有理数的和等于，那么这两个有理数的积也等于 C. 除以任何一个不为的数，其商为 D. 若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，那么积一定是负数 4.计算的结果是( D ) A. B. C. D. 5.如果，则   或    ． 【知识点三】有理数的除法法则（二） 1.计算时，将除法转化为乘法正确的是( B ) A. B. C. D. 2.小明在做除法运算    时，将除法变成乘法后，除数没有变成其倒数，算出结果为，则正确的结果为        ． 3.计算： 解：原式  解：原式  ＝-2    解：原式  解：原式  ＝-36    ＝2   4.阅读下列材料： 小明在研究有理数的除法时，发现，，，所以他得出结论：与的结果互为倒数．小明利用这一结论计算的过程如下： 解：因为． 所以． 请仿照上述方法计算：． 解：因为， 所以．  【拓展提升】 1.若是不为的有理数，我们把称为的差倒数，已知，是的差倒数，是的差倒数以此类推，的差倒数           ． 2.【阅读材料】 当有理数不等于时，把个相同的有理数的除法运算记作；把个相同的有理数的除法运算记作；把个相同的有理数的除法运算记作；把个相同的有理数的除法运算记作； 特别地，规定． 【解决问题】 若，则    4       ； 计算的结果是   27   ； 计算：． 解：原式．  $