专题03 函数的图象、函数与方程、函数模型及应用（知识清单）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单系统整合了函数的图象、函数与方程、函数模型及应用三大核心专题，通过知识脑图搭建脉络框架，分考点深研基础梳理与高阶思维内容，形成完整知识体系。 清单以数形结合思想为核心，设高考母题探究与重点突破模块，如复合方程零点问题分层拆解，配技法点拨与易错警示，培养数学思维与数学语言素养。含新题对点练与实战通关题组，助力学生自主高效复习，教师可据此精准把握考向，提升备考针对性。

专题03 函数的图象、函数与方程、函数模型及应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01函数的图象 考点02函数与方程 考点03函数模型及其应用 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01数形结合找临界 难点解读02复合方程的实数根 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01函数图象的识别 题型02函数的零点问题 ▶重点突破・考法深研 重点01利用图象变换作图象 重点02根据复杂函数解析式辨识图象 重点03函数零点个数的判断 重点04根据函数零点个数求参数 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01函数图象变换判断 技法点拨02根据图象选择函数解析式 技法点拨03函数零点所在区间问题 技法点拨04二分法及其应用 技法点拨05二次函数模型的应用 技法点拨06分段函数模型的应用 技法点拨07指数函数模型的应用 技法点拨08对数函数模型的应用 技法点拨09幂函数模型的应用 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01图象辨识只看局部不看整体致错 易错点02对零点存在定理理解不当致错 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 函数的图象 1、利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线． （1）①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、对称性等)． （2）列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)， （3）描点，连线． 2、利用图象变换作函数的图象 （1）平移变换 【注意】“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f(x)整体上加减． （2）对称变换 ①y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象； ②y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象； ③y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象； ④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象y＝logax(a＞0且a≠1)的图象． （3）伸缩变换 ①y＝f(x)的图象y＝f(ax)的图象； ②y＝f(x)的图象y＝af(x)的图象． （4）翻转变换 ①y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象； ②y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象． 【新题对点练】（25-26高三下·天津滨海新区·阶段检测）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为恒成立，所以恒成立，所以函数的定义域为R.所以可排除C. 令，则，所以或. 由，得，解得. 所以函数有唯一零点.所以可排除D. 因为， 所以，. 所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，所以排除B.故选：A. 考点02 函数的零点及二分法 1、函数零点的定义 （1）函数零点的概念：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． （2）函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 【注意】函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数． 2、函数零点存在定理 （1）定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0， 那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． （2）两个重要推论 推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点． 推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则． 3、二分法 （1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． （2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 ①确定零点的初始区间，验证 ②求区间的中点 ③计算，进一步确定零点所在的区间： 若（此时），则就是函数的零点； 若（此时），则令； 若（此时），则令. ④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4） 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点． 【新题对点练】（25-26高三上·天津和平·期末）函数的零点所在的一个区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，，， 又因为单调递增， 所以函数的零点所在的一个区间为.故选：C. 考点03 函数模型及其应用 1、几类函数模型 （1）一次函数模型：f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) （2）反比例函数模型：f (x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) （3）二次函数模型：f (x)＝ax2＋bx＋c（(a，b，c为常数，a≠0)） （4）指数函数模型：f (x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) （5）对数函数模型f (x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) （6）幂函数模型：f (x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0) 2、三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 【新题对点练】（2026·天津河西·模拟预测）某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中，为常数，，，.已知，，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（    ） （参考数据：，，） A．120 B．130 C．140 D．150 【答案】D 【解析】由，得，解得， 由，得，解得，所以， 当循环为次时电池健康度为60，可得， 所以，两边取对数得，所以， 所以，解得， 电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加 难点解读01 数形结合找临界 1、函数的零点、方程的实数根、两个函数图象交点的横坐标的关系 函数的零点、方程的实数根、两个函数图象交代你的横坐标之间可以相互转化，我们可以写出下面三个完全等价的命题： ①是关于的函数的零点； ②是关于的方程的实数根； ③是函数图象与函数图象交点的横坐标． 对于①，我们可以用函数的单调性与零点存在定理处理，对于②，我们可以用方程相关知识与方法处理，对于③，我们可以用数形结合，根据两个函数的图象处理．这样我们就可以将三个问题转化为另一个，选用最简便的方法处理． 2、直曲相切&双曲公切找临界 在探讨函数的零点个数时我们常将问题转化力“研究函数图象与直线交点的个数” ．这样我们就可以用数形结合，讨论两个函数图象交点的个数，从而解决问题．在实际计算过程中，临界情形大多数为直线与曲线相切的时候． 3、端点&间断点找临界 除直曲相切、双曲公切找到的临界情况外，在曲线（或区间）的端点以及函数图象的间断点处函数零点个数也可能突变，所以也需要单独讨论，研究是否为临界情形． 4、数形结合找临界的一般步骤 第一步：将“函数的零点个数”的相关问题转化为“函数图象与函数图象的交点个数”的相关问题． 第二步：画出函数与函数的图象，如果含参，重点讨论直曲相切、双曲公切以及端点、间断点情形，得到全部的临界情形． 第三步：数形结合解答问题． 难点破解 【典例1】（25-26高一上·天津·阶段检测）若函数函数有两个零点，则实数k的取值是________. 【答案】或 【解析】函数有两个零点，即有两个不相等的实数根，即函数与函数的图象有两个交点，画函数图象如下; 当时，函数与函数的图象有两个交点； 当时，函数与函数的图象有一个交点； 当时，函数与有一个交点，则与有且只有一个交点， 联立方程 得到只有一个解， 即 ，解得或（结合图象可知不符合，舍去） 综上可得： 或者 故答案为：或 【典例2】（25-26高三上·天津西青·阶段检测）已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】因为函数恰有2个零点， 所以和有两个交点， 作出函数的图象如图所示： 因为时，和相交，所以只需和再有一个交点， 当时，若与相切， 则有的判别式，此时， 当时，若与相切， 则有的判别式，此时， 当时，若与相切，设切点为， 由于， 则有，解得： 所以要使函数恰有2个零点， 只需或或，解得：或或， 即时函数恰有两个零点． 故答案为：． 难点解读02 复合方程的实数根 1.复合方程的由外向内 探讨“求关于的复合方程实数根的个数”相关问题时，如果方程能解，我们一般采用由外向内一层一层去处理，其一般步骤如下： 第一步：设，解关于的方程，得到若干实数根，，…或确定方程的根，，…的范围． 第二步：分别探讨关于的方程，…的实数根的个数（或结合图象观察函数的图象与函数的图象的交点个数），各个方程的实数根个数之和即是关于的复合方程的实数根的个数，也可以根据实数根个数之和求方程中参数的取值范围． 2、复合方程的有内到外 探讨“关于的复合方程的实数根的个数，求参数取值范围”相关问题时，当外层方程容易解时，可以使用前面的由外向内．但是现实往往是残酷的，含参方程往往没法解，此时就需要由内向外处理．其一般步骤如下： 第一步：构建合适的复合函数，设，得到函数的性质及值域，如有必要则画出函数图象． 第二步：确定关于的方程的实数根的个数情况，或求出参数的取值范围． 难点破解 【典例1】（25-26高三上·天津·阶段检测）函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】设，则， 当时，，解得或（舍去），则； 当时，，解得. 画出的函数图象，如下图所示： 由图象可知，与有3个交点，与有2个交点， 所以函数的零点个数为5.故选：C 【典例2】（25-26高二下·天津·期末）已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为________． 【答案】或或 【解析】当时，由基本不等式， 当且仅当时，即时，等号成立， 且在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增，且其值域为， 综上可大概画出图像，且有1个解：；有2个解：； 有3个解：；有2个解：； 若恰有4个零点， 即与的解的总个数为4个， 因为值域为，所以可知， 情况一：有1个解，即，且有3个解，则， 即，解之可得， 情况二：有2个解，即或，且有2个解，则， 满足题意，综上可知或. 故答案为 ：或或. 素养进阶·答题技法突破 题型01 函数图象的识别 考情定位：天津高考选择题固定高频题型，单题5分，常年位于单选前中段；依托指对幂、分段、绝对值函数命题，以图象匹配解析式为核心考法，是函数性质综合题基础工具，侧重快速排除，计算量小． 核心考法：①结合奇偶、单调性筛选图象；②代入特殊点、极限趋势排除错误选项；③、翻折图象辨析；④由图象特征反推函数解析式；⑤结合定义域、渐近线判断超越函数图象． 解题要点：先看定义域、奇偶性快速筛除明显错误；取、等特殊值验证函数值；借助x→±∞极限判断增减趋势；绝对值翻折分清上下保留区域，多选图象题逐项验证特征． 【典例1】（2026·天津·高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 由题意及图得，函数为奇函数，且当时，， 对A选项，当时，，与图象不符，故A错误； 对B选项，当时，，与图象不符，故B错误； 对D选项，当时，，与图象不符，故D错误； 对C选项，在中， ，即该函数为奇函数， ，与图象相符，故C正确. 【典例2】（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合.故选：D 题型02 函数的零点问题 考情定位：天津高考必考，基础零点区间判断放单选，零点个数求参数常为填空压轴，区分度高；载体覆盖分段、复合嵌套、三次、指对超越函数，导数大题常配套零点分析，数形结合与分类讨论为核心思想． 核心考法：①零点存在定理判定零点所在区间；②分段函数分区间统计零点数量；③复合嵌套f(f(x))=0换元分层分析零点；④已知零点个数求参数取值范围；⑤导数求极值，结合极值符号判断超越函数零点． 解题要点：零点等价于方程根、函数与x轴交点；求参优先参变分离转化为直线与曲线交点；复合零点令t=f(x)分层拆解，严控内层值域；分段函数按定义域分段讨论；极值、端点值联立约束参数，相切临界值单独验算边界． 【典例1】（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于.故选：B 【典例2】（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】令，即， 由题可得， 当时，，有，则，不符合要求，舍去； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，或（正值舍去）， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 令，即， 故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得， 由的渐近线方程为， 即部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递增， 故有，解得，故符合要求； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，（负值舍去）或， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得， 部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递减， 故有，解得，故符合要求； 综上所述，. 重点01 利用函数图象变换作图象 解题严格遵循“先伸缩、再平移、后对称”的标准变换顺序，区分自变量变换与整体函数变换的本质差异，牢记“左加右减、上加下减”平移规则、横竖伸缩系数规律． 重点辨析与两类绝对值翻折变换特征，结合函数定点、单调性、对称性辅助验证变换结果，精准规避变换顺序错乱、规则混淆等问题． 【典例1】作出下列函数的图象 (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析；(3)作图见解析 【解析】（1）先作出的图象，再将横轴下方的图象沿横轴上翻，并去除横轴下方的图象， 如下： （2）先作出的图象，保留并作关于纵轴对称的图象，如下： （3）同上先作出，将图象向右平移一个单位得到的图象， 再保留横轴上方的图象，并将横轴下方的图象向上翻折，去除横轴下方的图象可得， 如下： 【典例2】作出下列各函数的图象． (1)； (2)． 【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析 【解析】（1）的图象可由函数的图象保留x轴上方的部分不变， 将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图所示： （2），其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位长度， 再向下平移1个单位长度得到，而， 其图象可由的图象保留时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到， 则的图象如图所示： 重点02 根据复杂函数解析式辨识图象 辨析函数图象的入手点 1、从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． 2、从函数的奇偶性，判断图象的对称性． 3、从函数的特征点，排除不合要求的图象． 4、从函数的单调性，判断图象的变化趋势． 5、从函数的周期性，判断图象的循环往复． 【典例1】（2026·天津武清·模拟预测）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 的定义域关于原点对称， ， 所以是偶函数，图象关于轴对称，所以D选项错误. 当时，，所以BC选项错误. 综上所述，A选项正确. 【典例2】（2026·天津北辰·三模）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且满足， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，可排除B、D选项； 又由，可排除C选项，所以选项A符合题意. 重点03 函数零点个数的判断 零点个数的判断方法 1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点． 2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且， 结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． 3、图象法： （1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数； （2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数 4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到； 若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数． 【典例1】函数的零点个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【解析】当时，令，即，解得或（舍去）. 当时，令，即，即. 在同一直角坐标系中作出两函数与（）的图象，如图， 由图可知两图象只有一个交点. 综上可知，函数的零点个数为. 【典例2】（24-25高二下·天津河西·期末）已知是定义在上的周期函数，其最小正周期为5，设，若在区间内共有26个零点，则在区间内的零点个数为（    ） A．8 B．10 C．12 D．15 【答案】B 【解析】令，则，当时，，所以在区间内的零点个数即为在区间内的零点个数． 设在一个周期内的零点个数为，在内的零点个数为，则在内有个零点． 因为，由已知，．又，则． 因为在内有个零点，在内有2个零点， 所以在区间内有10个零点．故选：B. 重点04 根据函数零点的个数求参数 已知函数零点个数，求参数取值范围的方法 1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； 2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； 3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解． 【典例1】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知函数，则关于方程的根个数不可能是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】作出函数的图象，如图所示： 将原问题转化为直线（过定点）与函数的图象交点的个数， 由图可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点； 当时，直线与函数的图象没有交点； 当时，直线与函数的图象有三个交点； 所以直线与函数的图象不可能有两个交点．故选：C． 【典例2】（25-26高二下·天津武清·阶段检测）若函数，则方程的实数根个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】， 当时，，则， 此时在上单调递减， 当时，，则， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 画出函数和的图象如下： 令得， 故， 令，则，且， 当时，结合图象可知，只有1个解， 当时，结合图象可知，只有1个解， 当时，结合图象可知，由3个解， 综上，方程的实数根的个数为5.故选：D 技法点拨01 函数图象变换的判断 解题严格遵循“先伸缩、再平移、后对称”的标准变换顺序，区分自变量变换与整体函数变换的本质差异，牢记“左加右减、上加下减”平移规则、横竖伸缩系数规律． 重点辨析与两类绝对值翻折变换特征，结合函数定点、单调性、对称性辅助验证变换结果，精准规避变换顺序错乱、规则混淆等问题． 【典例1】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有的点（    ） A．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移1个单位长度 B．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移1个单位长度 C．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向左平移1个单位长度 D．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向右平移1个单位长度 【答案】A 【解析】把函数的图象的所有的点保持不变， 横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图象， 向左平移1个单位长度得到函数的图象. 【典例2】（25-26高三上·江苏泰州·期中）要得到的图象，只需将的图象上所有点的纵坐标（    ） A．缩小到原来的倍（横坐标不变） B．扩大到原来的2倍（横坐标不变） C．向上平移1个单位（横坐标不变） D．向下平移1个单位（横坐标不变） 【答案】A 【解析】因为，可以发现当取同一个值时， 函数对应的函数值是中对应函数值的， 所以要得到的图象，只需将的图象上所有点的纵坐标缩小到原来的倍（横坐标不变）. 故选：A. 技法点拨02 根据图象选择函数解析式 采用“性质优先、多点验证、趋势兜底”的标准化解题思路，第一步通过定义域、值域、奇偶性、单调性快速排除错误选项；第二步代入特殊点、零点、定点验证函数值匹配度；最后结合函数增减速率、无穷趋近趋势、渐近线特征锁定正确解析式，无需完整作图，高效完成图象与解析式匹配． 【典例1】（2026·天津河西·三模）已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A选项，取，则令，解得：，其中， 即：和轴有无数个交点，所以A错误； B选项，取，则， 令，得或，令，得， 故在和上单调递减，在上单调递增， 又因为，所以当时，，当时，，所以B正确； C选项，取，则函数定义域为，且， 所以是偶函数，所以C错误； D选项，，由可得，由图知，D错误. 【典例2】（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】从图像上看，的图像不关于轴对称， 选项A，是奇函数，对称轴为， 所以对称轴为， ，为单调递增函数，为单调递增函数， 则在上是单调递增函数，符合题意，故A正确； 选项B，，关于轴对称，不满足题意，故B错误； 选项C，，为单调递增函数，为单调递减函数， 则在上是单调递减函数，不符合题意，故C错误； 选项D，，不满足题意，故D错误； 技法点拨03 函数零点所在区间问题 判断函数零点所在区间的步骤 第一步：将区间端点代入函数求函数的值； 第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断； 第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点； 若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点． 【典例1】（2026·天津·二模）函数的一个零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】定义域为，， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，， 其中，故，，， 由零点存在性定理可得函数的一个零点所在区间为， 其他选项均错误. 【典例2】（25-26高三上·天津西青·阶段检测）函数零点所在的大致区间为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为函数在上单调递增，所以函数在上至多1个零点. 又，. 所以函数在上有零点. 综上，函数只在有1个零点.故选：B 技法点拨04 二分法及其应用 明确二分法适用前提：函数在区间上连续且端点函数值异号。固定解题流程：确定初始区间→取区间中点→计算中点函数值→判断零点所在子区间→不断缩小区间，循环迭代直至满足题目精度要求．主要用于求解方程近似解、锁定零点精准区间，迭代过程严格依据符号判断区间取舍． 【典例1】（25-26高三上·广东江门·阶段检测）若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，因为， 所以，又，， 则，又因为，所以．故选：B. 【典例2】（25-26高一上·天津河西·阶段检测）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数和均为R上单调递增函数， 所以函数是R上单调递增函数， 且，所以函数在上有唯一零点. 取区间的中点，且， 所以零点在区间内且区间长度为. 再取区间的中点，且， 所以零点在区间内且区间长度. 对照选项只有在区间内，故可以是.故选：C. 技法点拨05 二次函数模型的应用 适用于最值优化、动态变化类实际问题，建模核心是提取变量二次对应关系，构建二次函数解析式． 解题优先确定自变量实际取值范围，结合二次函数开口方向、对称轴位置，判断对称轴与闭区间的位置关系，求解区间最值与取值范围，最终结合实际情境验证结果、还原实际问题答案． 【典例1】（2025高三上·山东济南·专题练习）某产品的总成本（万元）与产量（台）之间的函数关系式是，.若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是（    ） A．100 B．120 C．150 D．180 【答案】C 【解析】设产量为（台），则销售收入为万元， 总成本为， 由题意可知：若生产者不亏本则，即， 整理可得：即，解得：或（舍）， 因为，所以， 所以生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是台，故选：C. 【典例2】（24-25高二下·天津河东·期中）如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为__________． 【答案】 【解析】由题知，以为原点，建立平面直角坐标系，如图， 则，，设方程为：， 所以，，方程为：， 令矩形面积为， 当时，， 当，设，则， 所以， 则， 令，则，在上递增， 令，则或，在上递减， 又，，， 所以当的长为时，该矩形面积最大. 技法点拨06 分段函数模型的应用 适配分段变化、阶段性规律的实际问题，根据不同自变量区间对应不同函数解析式，分段建立模型、分段求解．解题关键是精准划分自变量取值区间，严格遵循各段函数解析式的运算规则，分别求解各段最值、范围，最后整合所有区间结果，贴合实际场景综合作答． 【典例1】（24-25高三上·山东聊城·阶段检测）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】依题意，设年平均利润为，则（）， 当时， 当且仅当，即时取等号； 当时，则当时取得最大值且， 又，所以当时年平均利润取得最大值.故选：C 【典例2】（25-26高三上·天津南开·阶段检测）某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且.当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元. (1)求a，b； (2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1)；(2) (3)当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 【解析】（1）依题意，，所以. （2）当时，， 当时，， 所以所求函数解析式为. （3）当时，， 此时由二次函数单调性可知； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 因为， 所以当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 技法点拨07 指数函数模型的应用 主打指数增长、指数衰减类实际问题，如人口增长、复利增长、衰减消耗等场景． 建模依托指数函数增减特性，结合实际数据确定底数与参数，利用指数函数单调性分析变化趋势、求解最值与预测值，全程把控自变量实际定义域，贴合指数爆炸、快速衰减的变化规律解题． 【典例1】（2026·河北秦皇岛·一模）大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa），它随海拔高度h（m）的变化规律可以近似的表示为（其中e为自然对数的底数，是海平面大气压强，为常数）.已知宁波市海拔最高的是四明山的主峰，主峰上一处的海拔约为1018m，大气压强为90900Pa，宁波城区一处的海拔约为4m，大气压强为101000Pa.现测得某山峰上一处的大气压强为80800Pa，请估计该处的海拔高度（单位：m）位于以下哪个范围内？（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设城区的压强为，四明山的压强为， 由题意得，， 两式作除法可得，解得， 对于目标点，可得，由已知得， 两式作除法可得，解得， 则 ， 在内，故C正确.故选：C 【典例2】（2025·天津宝坻·一模）国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk）表示药品的治愈效果，系数越大表示效果越好.某研究机构元旦时在实验用小白鼠体内注射某种实验药品，二月底测得普姆克系数为24 pmk，三月底测得普姆克系数为36 pmk，已知该药品在当年第x月月底测得的普姆克系数y与月份x（单位：月）的关系是.则普姆克系数是一月底的普姆克系数5倍以上的最小月份是（    ）（参考数据：，.） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】根据题意可知时，；时，， ∴，解得． 故该函数模型的解析式为一月底，，； 当时，，一月底普姆克系数是， 令，得， 所以， 所以普姆克系数是一月底的普姆克系数5倍以上的最小月份是5月.故选：C 技法点拨08 对数函数模型的应用 适配增长速率逐渐放缓的实际场景，如响度、酸碱度、数据增幅拟合问题． 利用对数函数在定义域内单调递增、增长平缓的特性建立模型，结合换底公式、对数运算公式化简求解，依托函数单调性分析变量变化规律，精准求解实际取值与变化趋势问题． 【典例1】（25-26高三上·天津·阶段检测）Deep Seek是一款人工智能助手，其用户满意度评分随时间（单位：月）的变化满足对数型函数模型：，其中是常数．若Deep Seek在经过3个月后评分增长到70，则满意度评分为（    ） A．60 B．61 C．62 D．63 【答案】A 【解析】由题可得，则，故选：A． 【典例2】（24-25高三下·天津河西·阶段检测）新冠疫情防控常态化，核酸检测应检尽检！核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时检测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，的数量与扩增次数满足：，其中为扩增效率，为的初始数量.已知某被测标本扩增5次后，数量变为原来的10倍，那么该标本的扩增效率约为（    ）（参考数据：，） A．0.369 B．0.415 C．0.585 D．0.631 【答案】C 【解析】因为，所以， 由题意得时，，代入上式得，所以， ，，故选：C 技法点拨09 幂函数模型的应用 适用于中等增速、常规变量关联的实际拟合问题，依托第一象限幂函数图象规律与单调性解题． 根据幂指数正负、大小判断函数增减速率与图象走势，结合实际数据拟合幂函数模型，求解变量对应关系、取值范围与变化规律，适配常规非线性变化的实际应用场景． 【典例1】在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比．若气体在半径为的管道中，流量为，气体在半径为的管道中，流量大于且小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，设，由题意可得，解得，故， 当时，，解得，故选：D. 【典例2】某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 【答案】C 【解析】由已知投入广告费用为3万元，药品利润为27万元，代入中，得，解得， 故函数解析式为，所以当时，．故选：C. 易错点01 图象辨识只看局部不看整体致错 辨析：仅凭局部特殊点匹配图象，忽略函数整体单调性、极限趋近趋势、渐近线特征，选错匹配图象． 【典例1】（2026·天津东丽·一模）函数大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除CD； 由于足够大时，函数的增长速度远远超过的增长速度， 则时，，排除A，因此B符合题意. 【典例2】（25-26高二下·天津南开·期中）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为， 设，则，故为偶函数， 其图象关于轴对称，则B中图象错误； 又当时，， 由，得，由，得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故A、C错误，故选D. 易错点02 对零点存在定理理解不当致错 辨析：误以为端点异号则零点唯一，忽略区间内函数波动、极值穿越x轴的情况，导致零点个数判断失误；忽略函数间断点造成误判． 【典例1】（25-26高三上·天津红桥·开学考试）已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表： x 1 2 3 4 5 6 y 122.5 21.4 -7.4 4.5 -53.1 -125.5 那函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（    ） A．只有2个 B．至多3个 C．只有3个 D．至少3个 【答案】D 【解析】 因为函数的图象是连续不间断的,且 所以根据零点存在性定理,函数在区间上至少存在一个零点； 同理，由,得函数在区间上至少存在一个零点； 由,得函数在区间上至少存在一个零点. 但不能判断函数在其它区间上是否有零点. 因此，函数在区间上至少存在3个零点.故选：D. 【典例2】（25-26高三上·天津·阶段检测）设函数，则满足（    ） A．在区间内均有零点 B．在区间内有零点，在区间内无零点 C．在区间内无零点，在区间内有零点 D．在区间内均无零点 【答案】C 【解析】的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 故时，函数取得极大值为， 又，，， 即在区间上恒有， 又由零点存在定理，使得， 即函数在区间内无零点，在区间内有零点.故选：C. 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（2026·天津·模拟预测）方程的根所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】原方程的根等价于函数 的零点，的定义域为 ， 函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递增， 因此 在 上单调递增，在定义域内最多只有 1 个零点， ， 因此 时，，无零点，A 选项错误； ，因此 时，， 无零点，B选项错误； ， 因为 ，因此 ， 此时 且 ，，根据零点存在定理，存在 ，使得 ， 即方程的根在区间 内，C选项正确； ， 结合 单调递增， 时 ，故区间 内无零点，D选项错误. 2．（25-26高三上·天津红桥·期末）已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)=[x]为取整函数，是函数的零点， 则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解析】函数在 上单调递增， ，， 所以零点满足 ，所以，故选：C. 3．（2026·天津北辰·二模）在科学研究中，许多系统的平衡状态可以通过方程来描述，其中x表示某个关键变量（如时间、浓度、位移等）.现有三个不同系统中的平衡点分别由以下函数的零点给出：某放射性物质同时发生衰变和生成，净变化率满足，当净变化率为零时，对应平衡时间为；某鱼群在有限资源下的增长速率满足，当增长率为零时，对应平衡种群数量为；一个弹簧振子在某时刻的机械能表达式为，当机械能为零时，对应平衡位置.则这三个平衡点的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于，满足，函数是R上的增函数， 又，， 因此 ，即， 对于，满足 ，因为，，故， 对于，满足 ，函数 是上的增函数， 又 ， ， 因此 ，即， 综上，大小关系为. 4．（23-24高三上·天津河北·期末）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却方程来描述：设物体的初始温度为，环境温度为，经过一段时间（单位：分钟）后物体的温度是，满足.将85℃的热水放到21℃的房间中，如果热水降到37℃需要16分钟，那么从37℃降到29℃还需要多少分钟？（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】由题设，可得， 所以，则，可得.故选：D 5．（24-25高三上·天津·阶段检测）头孢类药物具有广谱抗菌、抗菌作用强等优点，是高效、低毒、临床应用广泛的重要抗生素.已知某人服用一定量某种头孢类药物后，血浆中的药物浓度在2h后达到最大值80mg/L，随后按照确定的比例衰减，半衰期（血浆中的药物浓度降低一半所需的时间）为2.4h，那么从服药后开始到血浆中的药物浓度下降到8mg/L，经过的时间约为（参考数据：）（    ） A．8h B．9h C．10h D．11h 【答案】C 【解析】设血浆中的药物浓度从最大值80mg/L下降到8mg/L需要经过，则， 所以，则， 故从服药后开始到血浆中的药物浓度下降到8mg/L需要8+2=10（h）.故选：C. 6．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图可知，关于原点中心对称，且不是上的单调函数； 对于B，是偶函数，不符合，排除B； 对于C， 的定义域不含，不符合，排除C； 对于D，由复合函数的单调性知是单调递增函数，排除D； 所以A正确. 7．（25-26高三下·天津·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于B，函数的定义域为R，而给定图象对应函数中，B不是； 对于C，函数，当时，，此时图象在下方，C不是； 对于D，函数，，其图象过点，D不是； 对于A，函数，定义域为， ，函数为奇函数，图象关于原点对称， 当时，；当时，，A可能是. 8．（2026·天津河北·二模）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】定义域为，且， 故为奇函数，可排除C； 又，可排除A、D； 故函数的大致图象为B. 二、填空题 9．（24-25高三上·天津·阶段检测）若函数恰有两个不同的零点，则实数的范围是________． 【答案】或 【解析】时，，故在上没有零点， 故 在上有两个不同零点， 而函数的零点为或， 所以，且， 且 所以，或 综上所述的取值范围是或. 10．（2026·天津·一模）函数，若恰有四个不同零点，则实数a的取值范围为______________． 【答案】 【解析】当时，令，则，所以， 此时零点为正奇数：. 当时，， 此时在上单调递增，最多有一个零点. 因为恰有四个不同零点，所以在上至少有三个零点， 故，此时，在上有且仅有一个零点， 所以时，与轴有3个交点，需满足， 所以实数a的取值范围为. 11．（25-26高三上·天津·阶段检测）已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】画出函数的图象，如图所示： 方程有四个不同的解，，，，且， 由时，，则与的中点横坐标为，即：， 当时，由于在上是减函数，在上是增函数， 又因为，，则，有， ，又，， 在上递增，故取值范围是． 12．（24-25高三下·天津河西·阶段检测）已知函数，则函数的零点个数是______________. 【答案】112 【解析】作出的图象，如图， 令，考虑方程的根，由图象可知有16个根， 分别设为，由图象知， ， 再考虑，分别作出直线， 可知原函数共有零点个. 故答案为：112 13．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）已知函数，若关于的方程有且仅有一个实数解，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】令， 由有且仅有一个实数解，得有且仅有一个实数解， 当时，令，解得， 所以有且仅有一个实数解， 当时，令，解得，为一个确定的解，符合题意， 所以当时，没有实数解， 当时，，符合题意； 当时，，在上恒成立， 所以在上有无数个解，不符合题意； 当时，单调递增，只需即可， 综上，实数的取值范围是. $专题03 函数的图象、函数与方程、函数模型及应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01函数的图象 考点02函数与方程 考点03函数模型及其应用 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01数形结合找临界 难点解读02复合方程的实数根 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01函数图象的识别 题型02函数的零点问题 ▶重点突破・考法深研 重点01利用图象变换作图象 重点02根据复杂函数解析式辨识图象 重点03函数零点个数的判断 重点04根据函数零点个数求参数 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01函数图象变换判断 技法点拨02根据图象选择函数解析式 技法点拨03函数零点所在区间问题 技法点拨04二分法及其应用 技法点拨05二次函数模型的应用 技法点拨06分段函数模型的应用 技法点拨07指数函数模型的应用 技法点拨08对数函数模型的应用 技法点拨09幂函数模型的应用 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01图象辨识只看局部不看整体致错 易错点02对零点存在定理理解不当致错 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 函数的图象 1、利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线． （1）①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、对称性等)． （2）列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)， （3）描点，连线． 2、利用图象变换作函数的图象 （1）平移变换 【注意】“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f(x)整体上加减． （2）对称变换 ①y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象； ②y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象； ③y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象； ④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象y＝logax(a＞0且a≠1)的图象． （3）伸缩变换 ①y＝f(x)的图象y＝f(ax)的图象； ②y＝f(x)的图象y＝af(x)的图象． （4）翻转变换 ①y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象； ②y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象． 【新题对点练】（25-26高三下·天津滨海新区·阶段检测）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 考点02 函数的零点及二分法 1、函数零点的定义 （1）函数零点的概念：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． （2）函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 【注意】函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数． 2、函数零点存在定理 （1）定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0， 那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． （2）两个重要推论 推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点． 推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则． 3、二分法 （1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． （2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 ①确定零点的初始区间，验证 ②求区间的中点 ③计算，进一步确定零点所在的区间： 若（此时），则就是函数的零点； 若（此时），则令； 若（此时），则令. ④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4） 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点． 【新题对点练】（25-26高三上·天津和平·期末）函数的零点所在的一个区间为（    ） A． B． C． D． 考点03 函数模型及其应用 1、几类函数模型 （1）一次函数模型：f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) （2）反比例函数模型：f (x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) （3）二次函数模型：f (x)＝ax2＋bx＋c（(a，b，c为常数，a≠0)） （4）指数函数模型：f (x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) （5）对数函数模型f (x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) （6）幂函数模型：f (x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0) 2、三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 【新题对点练】（2026·天津河西·模拟预测）某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中，为常数，，，.已知，，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（    ） （参考数据：，，） A．120 B．130 C．140 D．150 难点解读01 数形结合找临界 1、函数的零点、方程的实数根、两个函数图象交点的横坐标的关系 函数的零点、方程的实数根、两个函数图象交代你的横坐标之间可以相互转化，我们可以写出下面三个完全等价的命题： ①是关于的函数的零点； ②是关于的方程的实数根； ③是函数图象与函数图象交点的横坐标． 对于①，我们可以用函数的单调性与零点存在定理处理，对于②，我们可以用方程相关知识与方法处理，对于③，我们可以用数形结合，根据两个函数的图象处理．这样我们就可以将三个问题转化为另一个，选用最简便的方法处理． 2、直曲相切&双曲公切找临界 在探讨函数的零点个数时我们常将问题转化力“研究函数图象与直线交点的个数” ．这样我们就可以用数形结合，讨论两个函数图象交点的个数，从而解决问题．在实际计算过程中，临界情形大多数为直线与曲线相切的时候． 3、端点&间断点找临界 除直曲相切、双曲公切找到的临界情况外，在曲线（或区间）的端点以及函数图象的间断点处函数零点个数也可能突变，所以也需要单独讨论，研究是否为临界情形． 4、数形结合找临界的一般步骤 第一步：将“函数的零点个数”的相关问题转化为“函数图象与函数图象的交点个数”的相关问题． 第二步：画出函数与函数的图象，如果含参，重点讨论直曲相切、双曲公切以及端点、间断点情形，得到全部的临界情形． 第三步：数形结合解答问题． 【典例1】（25-26高一上·天津·阶段检测）若函数函数有两个零点，则实数k的取值是________. 【典例2】（25-26高三上·天津西青·阶段检测）已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围为_____________. 难点解读02 复合方程的实数根 1.复合方程的由外向内 探讨“求关于的复合方程实数根的个数”相关问题时，如果方程能解，我们一般采用由外向内一层一层去处理，其一般步骤如下： 第一步：设，解关于的方程，得到若干实数根，，…或确定方程的根，，…的范围． 第二步：分别探讨关于的方程，…的实数根的个数（或结合图象观察函数的图象与函数的图象的交点个数），各个方程的实数根个数之和即是关于的复合方程的实数根的个数，也可以根据实数根个数之和求方程中参数的取值范围． 2、复合方程的有内到外 探讨“关于的复合方程的实数根的个数，求参数取值范围”相关问题时，当外层方程容易解时，可以使用前面的由外向内．但是现实往往是残酷的，含参方程往往没法解，此时就需要由内向外处理．其一般步骤如下： 第一步：构建合适的复合函数，设，得到函数的性质及值域，如有必要则画出函数图象． 第二步：确定关于的方程的实数根的个数情况，或求出参数的取值范围． 【典例1】（25-26高三上·天津·阶段检测）函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例2】（25-26高二下·天津·期末）已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为________． 素养进阶·答题技法突破 题型01 函数图象的识别 考情定位：天津高考选择题固定高频题型，单题5分，常年位于单选前中段；依托指对幂、分段、绝对值函数命题，以图象匹配解析式为核心考法，是函数性质综合题基础工具，侧重快速排除，计算量小． 核心考法：①结合奇偶、单调性筛选图象；②代入特殊点、极限趋势排除错误选项；③、翻折图象辨析；④由图象特征反推函数解析式；⑤结合定义域、渐近线判断超越函数图象． 解题要点：先看定义域、奇偶性快速筛除明显错误；取、等特殊值验证函数值；借助x→±∞极限判断增减趋势；绝对值翻折分清上下保留区域，多选图象题逐项验证特征． 【典例1】（2026·天津·高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 题型02 函数的零点问题 考情定位：天津高考必考，基础零点区间判断放单选，零点个数求参数常为填空压轴，区分度高；载体覆盖分段、复合嵌套、三次、指对超越函数，导数大题常配套零点分析，数形结合与分类讨论为核心思想． 核心考法：①零点存在定理判定零点所在区间；②分段函数分区间统计零点数量；③复合嵌套f(f(x))=0换元分层分析零点；④已知零点个数求参数取值范围；⑤导数求极值，结合极值符号判断超越函数零点． 解题要点：零点等价于方程根、函数与x轴交点；求参优先参变分离转化为直线与曲线交点；复合零点令t=f(x)分层拆解，严控内层值域；分段函数按定义域分段讨论；极值、端点值联立约束参数，相切临界值单独验算边界． 【典例1】（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为______． 重点01 利用函数图象变换作图象 解题严格遵循“先伸缩、再平移、后对称”的标准变换顺序，区分自变量变换与整体函数变换的本质差异，牢记“左加右减、上加下减”平移规则、横竖伸缩系数规律． 重点辨析与两类绝对值翻折变换特征，结合函数定点、单调性、对称性辅助验证变换结果，精准规避变换顺序错乱、规则混淆等问题． 【典例1】作出下列函数的图象 (1)； (2)； (3)； 【典例2】作出下列各函数的图象． (1)； (2)． 重点02 根据复杂函数解析式辨识图象 辨析函数图象的入手点 1、从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． 2、从函数的奇偶性，判断图象的对称性． 3、从函数的特征点，排除不合要求的图象． 4、从函数的单调性，判断图象的变化趋势． 5、从函数的周期性，判断图象的循环往复． 【典例1】（2026·天津武清·模拟预测）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·天津北辰·三模）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 重点03 函数零点个数的判断 零点个数的判断方法 1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点． 2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且， 结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． 3、图象法： （1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数； （2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数 4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到； 若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数． 【典例1】函数的零点个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【典例2】（24-25高二下·天津河西·期末）已知是定义在上的周期函数，其最小正周期为5，设，若在区间内共有26个零点，则在区间内的零点个数为（    ） A．8 B．10 C．12 D．15 重点04 根据函数零点的个数求参数 已知函数零点个数，求参数取值范围的方法 1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； 2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； 3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解． 【典例1】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知函数，则关于方程的根个数不可能是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【典例2】（25-26高二下·天津武清·阶段检测）若函数，则方程的实数根个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 技法点拨01 函数图象变换的判断 解题严格遵循“先伸缩、再平移、后对称”的标准变换顺序，区分自变量变换与整体函数变换的本质差异，牢记“左加右减、上加下减”平移规则、横竖伸缩系数规律． 重点辨析与两类绝对值翻折变换特征，结合函数定点、单调性、对称性辅助验证变换结果，精准规避变换顺序错乱、规则混淆等问题． 【典例1】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有的点（    ） A．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移1个单位长度 B．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移1个单位长度 C．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向左平移1个单位长度 D．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向右平移1个单位长度 【典例2】（25-26高三上·江苏泰州·期中）要得到的图象，只需将的图象上所有点的纵坐标（    ） A．缩小到原来的倍（横坐标不变） B．扩大到原来的2倍（横坐标不变） C．向上平移1个单位（横坐标不变） D．向下平移1个单位（横坐标不变） 技法点拨02 根据图象选择函数解析式 采用“性质优先、多点验证、趋势兜底”的标准化解题思路，第一步通过定义域、值域、奇偶性、单调性快速排除错误选项；第二步代入特殊点、零点、定点验证函数值匹配度；最后结合函数增减速率、无穷趋近趋势、渐近线特征锁定正确解析式，无需完整作图，高效完成图象与解析式匹配． 【典例1】（2026·天津河西·三模）已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 技法点拨03 函数零点所在区间问题 判断函数零点所在区间的步骤 第一步：将区间端点代入函数求函数的值； 第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断； 第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点； 若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点． 【典例1】（2026·天津·二模）函数的一个零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·天津西青·阶段检测）函数零点所在的大致区间为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 技法点拨04 二分法及其应用 明确二分法适用前提：函数在区间上连续且端点函数值异号。固定解题流程：确定初始区间→取区间中点→计算中点函数值→判断零点所在子区间→不断缩小区间，循环迭代直至满足题目精度要求．主要用于求解方程近似解、锁定零点精准区间，迭代过程严格依据符号判断区间取舍． 【典例1】（25-26高三上·广东江门·阶段检测）若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·天津河西·阶段检测）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（    ） A． B． C． D． 技法点拨05 二次函数模型的应用 适用于最值优化、动态变化类实际问题，建模核心是提取变量二次对应关系，构建二次函数解析式． 解题优先确定自变量实际取值范围，结合二次函数开口方向、对称轴位置，判断对称轴与闭区间的位置关系，求解区间最值与取值范围，最终结合实际情境验证结果、还原实际问题答案． 【典例1】（2025高三上·山东济南·专题练习）某产品的总成本（万元）与产量（台）之间的函数关系式是，.若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是（    ） A．100 B．120 C．150 D．180 【典例2】（24-25高二下·天津河东·期中）如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为__________． 技法点拨06 分段函数模型的应用 适配分段变化、阶段性规律的实际问题，根据不同自变量区间对应不同函数解析式，分段建立模型、分段求解．解题关键是精准划分自变量取值区间，严格遵循各段函数解析式的运算规则，分别求解各段最值、范围，最后整合所有区间结果，贴合实际场景综合作答． 【典例1】（24-25高三上·山东聊城·阶段检测）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【典例2】（25-26高三上·天津南开·阶段检测）某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且.当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元. (1)求a，b； (2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 技法点拨07 指数函数模型的应用 主打指数增长、指数衰减类实际问题，如人口增长、复利增长、衰减消耗等场景． 建模依托指数函数增减特性，结合实际数据确定底数与参数，利用指数函数单调性分析变化趋势、求解最值与预测值，全程把控自变量实际定义域，贴合指数爆炸、快速衰减的变化规律解题． 【典例1】（2026·河北秦皇岛·一模）大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa），它随海拔高度h（m）的变化规律可以近似的表示为（其中e为自然对数的底数，是海平面大气压强，为常数）.已知宁波市海拔最高的是四明山的主峰，主峰上一处的海拔约为1018m，大气压强为90900Pa，宁波城区一处的海拔约为4m，大气压强为101000Pa.现测得某山峰上一处的大气压强为80800Pa，请估计该处的海拔高度（单位：m）位于以下哪个范围内？（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【典例2】（2025·天津宝坻·一模）国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk）表示药品的治愈效果，系数越大表示效果越好.某研究机构元旦时在实验用小白鼠体内注射某种实验药品，二月底测得普姆克系数为24 pmk，三月底测得普姆克系数为36 pmk，已知该药品在当年第x月月底测得的普姆克系数y与月份x（单位：月）的关系是.则普姆克系数是一月底的普姆克系数5倍以上的最小月份是（    ）（参考数据：，.） A．3 B．4 C．5 D．6 技法点拨08 对数函数模型的应用 适配增长速率逐渐放缓的实际场景，如响度、酸碱度、数据增幅拟合问题． 利用对数函数在定义域内单调递增、增长平缓的特性建立模型，结合换底公式、对数运算公式化简求解，依托函数单调性分析变量变化规律，精准求解实际取值与变化趋势问题． 【典例1】（25-26高三上·天津·阶段检测）Deep Seek是一款人工智能助手，其用户满意度评分随时间（单位：月）的变化满足对数型函数模型：，其中是常数．若Deep Seek在经过3个月后评分增长到70，则满意度评分为（    ） A．60 B．61 C．62 D．63 【典例2】（24-25高三下·天津河西·阶段检测）新冠疫情防控常态化，核酸检测应检尽检！核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时检测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，的数量与扩增次数满足：，其中为扩增效率，为的初始数量.已知某被测标本扩增5次后，数量变为原来的10倍，那么该标本的扩增效率约为（    ）（参考数据：，） A．0.369 B．0.415 C．0.585 D．0.631 技法点拨09 幂函数模型的应用 适用于中等增速、常规变量关联的实际拟合问题，依托第一象限幂函数图象规律与单调性解题． 根据幂指数正负、大小判断函数增减速率与图象走势，结合实际数据拟合幂函数模型，求解变量对应关系、取值范围与变化规律，适配常规非线性变化的实际应用场景． 【典例1】在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比．若气体在半径为的管道中，流量为，气体在半径为的管道中，流量大于且小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 易错点01 图象辨识只看局部不看整体致错 辨析：仅凭局部特殊点匹配图象，忽略函数整体单调性、极限趋近趋势、渐近线特征，选错匹配图象． 【典例1】（2026·天津东丽·一模）函数大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·天津南开·期中）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 易错点02 对零点存在定理理解不当致错 辨析：误以为端点异号则零点唯一，忽略区间内函数波动、极值穿越x轴的情况，导致零点个数判断失误；忽略函数间断点造成误判． 【典例1】（25-26高三上·天津红桥·开学考试）已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表： x 1 2 3 4 5 6 y 122.5 21.4 -7.4 4.5 -53.1 -125.5 那函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（    ） A．只有2个 B．至多3个 C．只有3个 D．至少3个 【典例2】（25-26高三上·天津·阶段检测）设函数，则满足（    ） A．在区间内均有零点 B．在区间内有零点，在区间内无零点 C．在区间内无零点，在区间内有零点 D．在区间内均无零点 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（2026·天津·模拟预测）方程的根所在区间为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·天津红桥·期末）已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)=[x]为取整函数，是函数的零点， 则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（2026·天津北辰·二模）在科学研究中，许多系统的平衡状态可以通过方程来描述，其中x表示某个关键变量（如时间、浓度、位移等）.现有三个不同系统中的平衡点分别由以下函数的零点给出：某放射性物质同时发生衰变和生成，净变化率满足，当净变化率为零时，对应平衡时间为；某鱼群在有限资源下的增长速率满足，当增长率为零时，对应平衡种群数量为；一个弹簧振子在某时刻的机械能表达式为，当机械能为零时，对应平衡位置.则这三个平衡点的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·天津河北·期末）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却方程来描述：设物体的初始温度为，环境温度为，经过一段时间（单位：分钟）后物体的温度是，满足.将85℃的热水放到21℃的房间中，如果热水降到37℃需要16分钟，那么从37℃降到29℃还需要多少分钟？（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（24-25高三上·天津·阶段检测）头孢类药物具有广谱抗菌、抗菌作用强等优点，是高效、低毒、临床应用广泛的重要抗生素.已知某人服用一定量某种头孢类药物后，血浆中的药物浓度在2h后达到最大值80mg/L，随后按照确定的比例衰减，半衰期（血浆中的药物浓度降低一半所需的时间）为2.4h，那么从服药后开始到血浆中的药物浓度下降到8mg/L，经过的时间约为（参考数据：）（    ） A．8h B．9h C．10h D．11h 6．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为：（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·天津·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·天津河北·二模）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25高三上·天津·阶段检测）若函数恰有两个不同的零点，则实数的范围是________． 10．（2026·天津·一模）函数，若恰有四个不同零点，则实数a的取值范围为______________． 11．（25-26高三上·天津·阶段检测）已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是__________． 12．（24-25高三下·天津河西·阶段检测）已知函数，则函数的零点个数是______________. 13．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）已知函数，若关于的方程有且仅有一个实数解，则实数的取值范围是________. $