专题03 函数的图象、函数与方程、函数模型及应用（知识清单）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单系统整合函数的图象、函数与方程、函数模型及应用专题，涵盖函数图象变换、零点判定、模型应用等核心考点，通过知识脑图搭建框架，分层突破基础梳理与高阶思维难点，构建完整知识体系。 清单以“数学思维”和“数学语言”为核心，采用母题探究与技法提炼结合的方式，如将复合方程根的问题拆解为内外层函数分析，标注“数形结合找临界”等难点并配典例解析，培养学生逻辑推理与模型应用素养。特设易错点警示，如“零点存在定理理解不当”的避坑攻略，配套优题精练强化实战，助力学生自主高效复习，为教师提供精准教学支持。

专题03 函数的图象、函数与方程、函数模型及应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01函数的图象 考点02函数与方程 考点03函数模型及其应用 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01数形结合找临界 难点解读02复合方程的实数根 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01函数图象变换 题型02根据函数零点的个数求参数 题型03函数模型的应用 ▶重点突破・考法深研 重点01利用图象变换作图象 重点02根据复杂函数解析式辨识图象 重点03函数零点个数的判断 重点04根据函数零点个数求参数 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01函数图象变换判断 技法点拨02根据图象选择函数解析式 技法点拨03函数零点所在区间问题 技法点拨04二分法及其应用 技法点拨05二次函数模型的应用 技法点拨06分段函数模型的应用 技法点拨07指数函数模型的应用 技法点拨08对数函数模型的应用 技法点拨09幂函数模型的应用 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01图象辨识只看局部不看整体致错 易错点02对零点存在定理理解不当致错 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 函数的图象 1、利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线． （1）①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、对称性等)． （2）列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)， （3）描点，连线． 2、利用图象变换作函数的图象 （1）平移变换 【注意】“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f(x)整体上加减． （2）对称变换 ①y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象； ②y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象； ③y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象； ④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象y＝logax(a＞0且a≠1)的图象． （3）伸缩变换 ①y＝f(x)的图象y＝f(ax)的图象； ②y＝f(x)的图象y＝af(x)的图象． （4）翻转变换 ①y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象； ②y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象． 【新题对点练】（2026·北京朝阳·模拟预测）为了得到函数的图象，只需要把图象上所有的点（    ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．向右平移1个单位（纵坐标不变） D．向上平移2个单位（横坐标不变） 【答案】A 【解析】因为， 所以要得到的图象， 只需要把图象上所有的点横坐标变为原来的（纵坐标不变）. 考点02 函数的零点及二分法 1、函数零点的定义 （1）函数零点的概念：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． （2）函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 【注意】函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数． 2、函数零点存在定理 （1）定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0， 那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． （2）两个重要推论 推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点． 推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则． 3、二分法 （1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． （2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 ①确定零点的初始区间，验证 ②求区间的中点 ③计算，进一步确定零点所在的区间： 若（此时），则就是函数的零点； 若（此时），则令； 若（此时），则令. ④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4） 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点． 【新题对点练】（25-26高三上·北京西城·阶段检测）设函数，若有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数在上单调递增，函数值集合为； 函数在上单调递减，函数值集合为[0,+∞)； 函数在上单调递增，函数值集合为[0,+∞)； 作出函数的图象与直线，如图， 观察图象知，只有当时，函数的图象与直线有3个交点， 所以有三个不同的实数根，实数的取值范围为；故选：C 考点03 函数模型及其应用 1、几类函数模型 （1）一次函数模型：f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) （2）反比例函数模型：f (x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) （3）二次函数模型：f (x)＝ax2＋bx＋c（(a，b，c为常数，a≠0)） （4）指数函数模型：f (x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) （5）对数函数模型f (x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) （6）幂函数模型：f (x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0) 2、三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 【新题对点练】（2026·北京门头沟·一模）农产品质量安全研究表明，有机磷农药在果蔬表面的自然降解符合一级动力学模型，可用（，k为正常数）描述，其中C为喷施农药t天后，果蔬表面的农药残留量（单位：mg/kg），某品种有机磷农药的降解速率常数，现测得蔬菜喷施该农药后的初始残留量为8mg/kg，国家食品安全标准规定该农药的残留限值为1mg/kg，则该蔬菜的最短安全采收间隔期为（    ） A．3天 B．6天 C．9天 D．12天 【答案】C 【解析】设该蔬菜的最短安全采收间隔期为天, 依题意可得,其中，， 所以可得，即，解得； 因此该蔬菜的最短安全采收间隔期为9天. 难点解读01 数形结合找临界 1、函数的零点、方程的实数根、两个函数图象交点的横坐标的关系 函数的零点、方程的实数根、两个函数图象交代你的横坐标之间可以相互转化，我们可以写出下面三个完全等价的命题： ①是关于的函数的零点； ②是关于的方程的实数根； ③是函数图象与函数图象交点的横坐标． 对于①，我们可以用函数的单调性与零点存在定理处理，对于②，我们可以用方程相关知识与方法处理，对于③，我们可以用数形结合，根据两个函数的图象处理．这样我们就可以将三个问题转化为另一个，选用最简便的方法处理． 2、直曲相切&双曲公切找临界 在探讨函数的零点个数时我们常将问题转化力“研究函数图象与直线交点的个数” ．这样我们就可以用数形结合，讨论两个函数图象交点的个数，从而解决问题．在实际计算过程中，临界情形大多数为直线与曲线相切的时候． 3、端点&间断点找临界 除直曲相切、双曲公切找到的临界情况外，在曲线（或区间）的端点以及函数图象的间断点处函数零点个数也可能突变，所以也需要单独讨论，研究是否为临界情形． 4、数形结合找临界的一般步骤 第一步：将“函数的零点个数”的相关问题转化为“函数图象与函数图象的交点个数”的相关问题． 第二步：画出函数与函数的图象，如果含参，重点讨论直曲相切、双曲公切以及端点、间断点情形，得到全部的临界情形． 第三步：数形结合解答问题． 难点破解 【典例1】（24-25高三上·北京·阶段检测）已知函数当时，方程的根的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】当时，即则的周期为 画出函数的图像， 令则又因为则 由图可知方程 的根的个数即为两个函数图像交点的个数， 由图像可知，当时，存在一个零点，因为时， 当时，则在两函数存在一个零点， 当时，则在两函数存在一个零点， 当时，则在两函数存在一个零点， 当时，恒成立，则两函数无零点. 综上所述，两函数有三个零点.故选：D. 【典例2】（2025·北京海淀·三模）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由题意知，要使得恰有2个零点，即有两个实数根． 当时，，令，可得； 当时，，令，可得． 在同一坐标系下，作出函数，和的图象， 如图所示， 由函数，可得，可得时，，， 故函数在处的切线方程为， 又由函数，可得，可得时，， 故函数在的切线方程为， 所以函数与只有一个公共点， 结合图象得：当时，恰有3个零点； 当时，恰有2个零点； 当时，恰有3个零点， 要使得恰有2个零点，则满足， 所以实数的取值范围为．故选：C. 难点解读02 复合方程的实数根 1.复合方程的由外向内 探讨“求关于的复合方程实数根的个数”相关问题时，如果方程能解，我们一般采用由外向内一层一层去处理，其一般步骤如下： 第一步：设，解关于的方程，得到若干实数根，，…或确定方程的根，，…的范围． 第二步：分别探讨关于的方程，…的实数根的个数（或结合图象观察函数的图象与函数的图象的交点个数），各个方程的实数根个数之和即是关于的复合方程的实数根的个数，也可以根据实数根个数之和求方程中参数的取值范围． 2、复合方程的有内到外 探讨“关于的复合方程的实数根的个数，求参数取值范围”相关问题时，当外层方程容易解时，可以使用前面的由外向内．但是现实往往是残酷的，含参方程往往没法解，此时就需要由内向外处理．其一般步骤如下： 第一步：构建合适的复合函数，设，得到函数的性质及值域，如有必要则画出函数图象． 第二步：确定关于的方程的实数根的个数情况，或求出参数的取值范围． 难点破解 【典例1】（25-26高三上·福建漳州·阶段检测）已知函数则方程的解的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】函数的图象如图所示： 设，则方程即，由图象可知，与有三个交点， 横坐标分别为，其中，，， 方程解的个数转化为方程，，解的个数之和， 由图象可知，与有一个交点，与有三个交点， 与没有交点， 所以方程解的个数为.故选：B. 【典例2】已知函数，若方程有7个不同的实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】作出函数的图象，如图所示． 由，得， 解得或． 由图象易知，直线与的图象有3个交点， 所以方程有3个不同的实数根， 因为方程有7个不同的实数根， 所以直线与的图象有4个交点， 故，解得，故实数的取值范围是． 素养进阶·答题技法突破 题型01 函数图象的变换 考情定位：北京高考单选基础小题；融合指对、三角、绝对值翻折变换，是识图、零点交点问题的基础工具，侧重变换顺序辨析，无复杂多层叠加变形． 核心考法：①平移、伸缩、对称基础变换解析式改写；②与两类翻折图像判断；③多种变换叠加，区分先平移后伸缩、先伸缩后平移；④结合特殊点、函数性质快速筛选图像选项． 解题要点：左右变换只改x，遵循左加右减；上下变换改整体，上加下减；横坐标伸缩系数直接乘x，纵坐标伸缩乘整体；翻折变换分清保留/擦除区域；多步变换优先定点验证规避顺序错误． 【典例1】（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 【答案】A 【解析】因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变， 即可得到函数的图象，故选：A. 题型02 根据函数零点的个数求参数 考情定位：北京卷填空压轴考点，区分度高；载体涵盖分段、三次、指对超越函数，小题核心考数形结合，导数大题第二问常配套考查，侧重分类讨论与图像趋势分析． 核心考法：①二次函数零点，结合判别式、区间端点符号求参；②超越函数分离参数转化为直线与曲线交点；③分段函数分区间讨论零点数量；④利用导数分析极值、单调性，结合零点存在定理限定参数；⑤相切临界值单独验证边界． 解题要点：优先数形结合，零点个数等价于图像交点个数；可优先分离参数，简化图象分析；含分段函数严格按定义域分段讨论；极值正负、端点函数值共同约束范围；相切、重根单独验算，避免遗漏边界． 【典例1】（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是_______． 【答案】①②④ 【解析】对于①，当时，由，可得或，①正确； 对于②，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，存在，使得只有一个零点，②正确； 对于③，当直线过点时，，解得， 所以，当时，直线与曲线有两个交点， 若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点， 直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解， 因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误； 对于④，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，当时，函数有三个零点，④正确. 故答案为：①②④. 题型03 函数模型的应用 考情定位：北京卷高频考点，跨学科情境命题（音乐频率、AI 训练、水质检测等）；以对数、指数模型为主，弱化复杂计算，重点考查建模与数据分析素养． 核心考法：①从科技、生活情境提取指数/对数函数模型；②利用指对运算求值、比较增长快慢；③结合不等式求解实际参数范围；④辨析指数爆炸、对数缓慢增长两类模型特征． 解题要点：先梳理题干变量关系，准确写出函数解析式；区分指数增长、对数增长变化速率；运算熟练使用换底、对数加减公式；结合实际场景限定自变量取值范围，舍去无意义解． 【典例1】（2026·北京·高考真题）音高y（单位:）与频率f（单位：）满足，若，则f的取值范围为________． 【答案】 【解析】由题意，则，解得， 所以f的取值范围为. 【典例2】（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（    ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【答案】B 【解析】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时.故选：B. 重点01 利用函数图象变换作图象 绘制函数变换图象采用“基础图象+分步变换”标准化流程，先熟练画出一次、二次、指对幂等基础函数图象，严格遵循“先伸缩、后平移、再对称”的固定变换顺序分步作图；精准区分自变量变换与整体函数变换，牢记平移、伸缩、对称、翻折核心规则，重点掌握与两类绝对值翻折画法，作图后结合定点、单调性、定义域核验图象准确性． 【典例1】作出下列各函数的图象： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）的图象可由函数的图象保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分翻折到轴上方得到，如下图所示： （2），其图象可由的图象向左平移1个单位长度，再保留轴上方部分不变，将轴下方部分翻折到轴上方得到，如下图所示： 【典例2】作出下列各函数的图象： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）由， 其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 所以的图象如下图所示： （2）由， 所以的图象如下图所示： （3）对于，其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位长度， 再向下平移1个单位长度得到， 而，其图象可由的图象保留时的图象， 然后将该部分关于y轴对称得到，则的图象如下图所示： 重点02 根据复杂函数解析式辨识图象 辨析函数图象的入手点 1、从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． 2、从函数的奇偶性，判断图象的对称性． 3、从函数的特征点，排除不合要求的图象． 4、从函数的单调性，判断图象的变化趋势． 5、从函数的周期性，判断图象的循环往复． 【典例1】（25-26高三上·北京海淀·期中）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，定义域为，关于原点对称， 当时，则，且，显然图中没有符合的， 当时， ，其既不恒等于， 也不恒等于，则其不具有奇偶性，即为非奇非偶函数，故AB错误； 当时，取的情况，此时，则，则CD图象不适合， 则只考虑的情况， 当时，取的情况，此时均在上单调递减， 则在上单调递减，故D错误， 从极限角度考虑则当，且时，此时，则，故D错误.故选：C. 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为， 则函数为偶函数，函数图象关于轴对称，排除BD； 又当时，，而，，则，排除C， 选项A符合要求.故选：A 重点03 函数零点个数的判断 零点个数的判断方法 1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点． 2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且， 结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． 3、图象法： （1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数； （2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数 4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到； 若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数． 【典例1】（24-25高一上·北京延庆·期末）方程的实数解个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】原方程等价于即， 设， 因为均为上的减函数，所以为上的减函数， 而，， 所以为上仅有一个零点即原方程只有一个实数解.故选：B 【典例2】（2024·北京·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．0 C．3 D．无穷 【答案】A 【解析】由，得在区间上的函数值都是区间上相应函数值的一半，， 又时，是增函数，即， 所以，因此时，， 令，它在上是减函数，，，， 当时，， 作出和在上图象，如图，由图可知： 在时，的图象与的图象没有交点，所以在上，它们只有两个交点， 所以的零点个数为2.故选：A． 重点04 根据函数零点的个数求参数 已知函数零点个数，求参数取值范围的方法 1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； 2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； 3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解． 【典例1】（24-25高二下·北京东城·期末）设函数若恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意函数的零点为， 函数的零点为， 又恰有两个零点，所以.故选：B. 【典例2】（24-25高三上·北京朝阳·期末）若函数,恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，由可得， 依题意， 时， 有1个零点， 即方程在上有一个实根， 也即直线与在上有一个交点. 如图作出函数的图象. 因在上单调递增，由图可知，此时. 综上，实数的取值范围是.故选：D. 技法点拨01 函数图象变换的判断 解题严格遵循“先伸缩、再平移、后对称”的标准变换顺序，区分自变量变换与整体函数变换的本质差异，牢记“左加右减、上加下减”平移规则、横竖伸缩系数规律． 重点辨析与两类绝对值翻折变换特征，结合函数定点、单调性、对称性辅助验证变换结果，精准规避变换顺序错乱、规则混淆等问题． 【典例1】（25-26高三上·北京·阶段检测）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上（    ） A．所有点纵坐标伸长为原来的2倍 B．所有点纵坐标缩短为原来的倍 C．所有点横坐标伸长为原来2的倍 D．所有点横坐标缩短为原来的倍 【答案】D 【解析】函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍， 得到函数的图象，故选：D 【典例2】（2026·北京密云·一模）为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 【答案】B 【解析】对于A，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）， 得，A错误； 对于B，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 得，B正确； 对于C，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）， 得，C错误； 对于D，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变）， 得，D错误. 技法点拨02 根据图象选择函数解析式 采用“性质优先、多点验证、趋势兜底”的标准化解题思路，第一步通过定义域、值域、奇偶性、单调性快速排除错误选项；第二步代入特殊点、零点、定点验证函数值匹配度；最后结合函数增减速率、无穷趋近趋势、渐近线特征锁定正确解析式，无需完整作图，高效完成图象与解析式匹配． 【典例1】（25-26高三上·北京·阶段检测）函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于AB：由解析式知均不可能为0， 即，的定义域不为， 由图知函数的定义域为，故AB错误； 对于C：因为函数的定义域为， 且， 可知函数为偶函数，其图象关于y轴对称， 但题中图象关于原点对称，故C错误；故选：D. 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图可知：的图像关于轴对称，故为偶函数， 对于A， 设，函数的定义域为， 因，即为奇函数，故A不合题意； 对于B，设，函数的定义域为， 因，即为奇函数，故B不合题意； 对于C， 设，函数的定义域为， 因，则为偶函数，因恒成立，故C不合题意； 对于D， 设，函数的定义域为， 因，则为偶函数，且当时，， 结合图象可知D符合题意.故选：D 技法点拨03 函数零点所在区间问题 判断函数零点所在区间的步骤 第一步：将区间端点代入函数求函数的值； 第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断； 第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点； 若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点． 【典例1】（23-24高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（    ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 【答案】C 【解析】函数，是增函数且为连续函数， 又（2）， （3）， 可得 所以函数包含零点的区间是．故选：． 【典例2】（25-26高三上·北京朝阳·期中）若方程在区间上有解，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】由，则，， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又， ， 则函数有且仅有一个零点，且，则.故选：C 技法点拨04 二分法及其应用 明确二分法适用前提：函数在区间上连续且端点函数值异号。固定解题流程：确定初始区间→取区间中点→计算中点函数值→判断零点所在子区间→不断缩小区间，循环迭代直至满足题目精度要求．主要用于求解方程近似解、锁定零点精准区间，迭代过程严格依据符号判断区间取舍． 【典例1】（25-26高一上·北京海淀·阶段检测）用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则等于（    ） A．1 B． C．0.25 D．0.75 【答案】C 【解析】因为，，所以在内存在零点， 根据二分法第二次应该计算，其中；故选：C 【典例2】用二分法求函数在区间上零点的近似解，经验证有．若给定精确度，取区间的中点，计算得，则此时零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，对于函数在区间上，有， 所以函数在上有零点．取区间的中点． 因为计算得，所以函数在上有零点，故． 技法点拨05 二次函数模型的应用 适用于最值优化、动态变化类实际问题，建模核心是提取变量二次对应关系，构建二次函数解析式． 解题优先确定自变量实际取值范围，结合二次函数开口方向、对称轴位置，判断对称轴与闭区间的位置关系，求解区间最值与取值范围，最终结合实际情境验证结果、还原实际问题答案． 【典例1】（24-25高二下·北京东城·期中）在经济学中，将产品销量为件时的总收益称为收益函数，记为，相应地把称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平．假设一个企业的边际收益函数 (注:经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析)．给出下列三个结论: ①当销量为1000件时，总收益最大； ②若销量为800件时，总收益为，则当销量增加400件时，总收益仍为； ③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500． 其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】根据题意可知，则（为常数）， ①（为常数），根据二次函数的最值可知当销量件时，总收益最大，①正确； ②若销量为800件时，总收益为， 所以（为常数），解得, 则当销量增加400件，即件，总收益，②正确； ③当销量从500件增加到501件时，， 总收益改变量的近似值为500．③正确；故选：D. 【典例2】（24-25高二下·北京怀柔·期末）年中购物节，某快递公司将一批冷鲜产品用冷藏汽车从甲地运往相距公里处的乙地，司机工资为每小时元，装卸费为元，假设车辆运输过程中燃油消耗取决于速度：当速度为公里/小时（注公里/小时）时，单位距离的燃油消耗为升/公里，燃油价格为每升元．假设汽车匀速行驶，且不计其他成本．运输的总费用＝司机工资+装卸费+燃油成本． (1)当运输的总费用不超过元时，求汽车行驶速度的范围； (2)若要使运输的总费用最小，则汽车应以多少公里/小时的速度行驶？ 【答案】(1)；(2)公里/小时. 【解析】（1）已知司机工资为每小时元，行驶时间为小时， 所以司机工资为元，装卸费为元， 燃油成本为单位距离燃油消耗×距离×燃油价格，即元， 则运输总费用， 化简可得，（）， 由，可得， 移项得到，即， 两边同时乘以得到， 移项化为标准二次函数形式， 两边同时除以得， 因式分解得，则有或， 第一种情况，即，无解， 第二种情况，即，结合，可得； （2）由（1）得，汽车运输的总费用与汽车行驶速度的关系为（）， 则根据基本不等式，可得， 则， 当且仅当时，等号成立， 解方程，，解得（公里/小时）， 因为，符合条件． 所以要使运输的总费用最小，则汽车应以公里/小时的速度行驶. 技法点拨06 分段函数模型的应用 适配分段变化、阶段性规律的实际问题，根据不同自变量区间对应不同函数解析式，分段建立模型、分段求解．解题关键是精准划分自变量取值区间，严格遵循各段函数解析式的运算规则，分别求解各段最值、范围，最后整合所有区间结果，贴合实际场景综合作答． 【典例1】（25-26高三上·北京石景山·期末）某种细胞的分裂速度（单位：个/秒）与其年龄（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则实数约为（    ）（参考数据：） A．6.403 B．6.463 C．6.503 D．6.523 【答案】B 【解析】根据题意得，则， 得.故选：B. 【典例2】（23-24高二下·北京朝阳·期末）某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药小时后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含药量不少于4毫克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为（    ） A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时 【答案】A 【解析】当时，则， 当时，设函数为， 将，代入可得，解得，所以， 所以， 要使，则或，解得或， 综上所述：， 所以有效所持续的时长为个小时．故选：A． 技法点拨07 指数函数模型的应用 主打指数增长、指数衰减类实际问题，如人口增长、复利增长、衰减消耗等场景． 建模依托指数函数增减特性，结合实际数据确定底数与参数，利用指数函数单调性分析变化趋势、求解最值与预测值，全程把控自变量实际定义域，贴合指数爆炸、快速衰减的变化规律解题． 【典例1】（2026·北京·模拟预测）一化工厂产生的废气中含二氧化硫的浓度为，经过分钟净化后，废气中二氧化硫的浓度为，并满足.根据环保要求，当废气中二氧化硫的浓度降至时，达到排放标准，则该化工厂的废气达到排放标准需要至少净化（参考数据：，，）（    ） A．136分钟 B．140分钟 C．142分钟 D．150分钟 【答案】C 【解析】依题意，时，，则，解得，所以， 当时，可得，所以，所以， 故，故浓度降至需要至少142分钟. 【典例2】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律.设初始电量为（单位：），经过小时后，剩余电量（单位：）满足函数关系（其中为电量衰减系数）.已知该手机在低电量模式下，从初始电量衰减到用时4小时，设初始电量为，若用户希望剩余电量不低于，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知初始电量为，经过小时后，剩余电量， 则有即，解得， 当剩余电量不低于即，化简得， 两边同取以为底的对数即， 由对数运算法则得，解得， 代入数据可得，故选：C. 技法点拨08 对数函数模型的应用 适配增长速率逐渐放缓的实际场景，如响度、酸碱度、数据增幅拟合问题． 利用对数函数在定义域内单调递增、增长平缓的特性建立模型，结合换底公式、对数运算公式化简求解，依托函数单调性分析变量变化规律，精准求解实际取值与变化趋势问题． 【典例1】（25-26高三上·北京房山·开学考试）生物学家通过数学建模，得到恒温动物（如豚鼠、兔、小狗等）的脉搏率（单位：次/分钟）和体重（单位：克）的关系模型为，其中为常数．已知一只体重为300克的豚鼠的脉搏率为300次/分钟，若一只小狗的体重为克，那么该小狗的脉搏率最接近的是（    ） A．120次/分钟 B．110次/分钟 C．100次/分钟 D．90次/分钟 【答案】A 【解析】由题意可知，，解得， 若一只小狗的体重为克，则 ， 即， ， 比较选项，，， 所以最接近的脉搏率，故选：A. 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）在声学中，人们用分贝来描述声音的强弱等级．分贝数由声音强度（单位：）与基准声强（通常取，是人耳能听到的最弱声音）的比值共同决定，计算公式为：．一场热闹的演唱会正在进行，其声音强度是基准声强的倍，而普通交谈时的声音分贝约为．记普通交谈时的声音强度为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可得，且， 则，故C正确.故选：C. 技法点拨09 幂函数模型的应用 适用于中等增速、常规变量关联的实际拟合问题，依托第一象限幂函数图象规律与单调性解题． 根据幂指数正负、大小判断函数增减速率与图象走势，结合实际数据拟合幂函数模型，求解变量对应关系、取值范围与变化规律，适配常规非线性变化的实际应用场景． 【典例1】某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 【答案】C 【解析】由已知投入广告费用为3万元，药品利润为27万元，代入中，得，解得， 故函数解析式为，所以当时，．故选：C. 【典例2】遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据：，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【答案】A 【解析】令，则． ∵，，， ∴的估计值可取0.5，即他复习背诵的时间需大约在．故选：A. 易错点01 图象辨识只看局部不看整体致错 辨析：仅凭局部特殊点匹配图象，忽略函数整体单调性、极限趋近趋势、渐近线特征，选错匹配图象． 【典例1】（25-26高二下·北京海淀·期中）已知函数的图象如图所示，则可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】选项A.函数.因为，所以是偶函数，不符合，排除A. 选项C.，当时，，因此，不符合图像，排除C. 选项D.，当时，，不符合图像，排除D. 选项B.因为，所以函数是奇函数，符合中心对称的性质； 时，，求导得，因此时递增. 时，递减，且时，符合图像"先增后减趋向于0"的性质； 时，由奇函数对称性，对应图像也符合. 【典例2】（24-25高二下·北京·阶段检测）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，解得：或，排除C、D； ， 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，故选：A 易错点02 对零点存在定理理解不当致错 辨析：误以为端点异号则零点唯一，忽略区间内函数波动、极值穿越x轴的情况，导致零点个数判断失误；忽略函数间断点造成误判． 【典例1】（25-26高三上·北京通州·期末）“”是“函数在上存在零点”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为函数，， 所以在上单调递减， 当函数在上存在零点， 则， 所以， 又因为是的真子集， 所以“”是“函数在上存在零点”的充分而不必要条件.故选：A. 【典例2】（25-26高一上·北京海淀·阶段检测）函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间上没有零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】由“”推不出“函数在区间上没有零点”， 如，满足， 但函数在区间上有零点，即充分性不成立； 由“函数在区间上没有零点”推不出“”， 如，满足函数在区间上没有零点， 但，即必要性不成立； 所以“”是“函数在区间上没有零点”的既不充分也不必要条件.故选：D. 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（25-26高三上·北京·阶段检测）函数的图象可以由函数的图象经过以下变换得到（    ） A．图象上的点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍 B．图象上的点横坐标不变，纵坐标变为原来的倍 C．函数的图象向右平移2个单位 D．函数的图象向左平移2个单位 【答案】C 【解析】对A，图象上的点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍得，故A错误； 对B，图象上的点横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得，即，故B错误； 对C，函数的图象向右平移2个单位得，故C正确； 对D，函数的图象向左平移2个单位得，故D错误.故选：C. 2．（25-26高三上·北京·阶段检测）下面四个函数中，当时，图像大致为下图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项：， 则， 即此函数为偶函数，不符合图像，A选项错误； B选项：， 则， 即此函数为偶函数，不符合图像，B选项错误； D选项：， 则， 即此函数为奇函数， 又，不符合图像，D选项错误； C选项：， 则， 又，，满足图像，C选项正确； 故选：C. 3．（2026·北京东城·二模）已知函数的部分图象如图所示，若，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象可知：为奇函数； 对于A，，为偶函数，A错误； 对于D，，为偶函数，D错误； 对于BC，不妨设，， 令，解得：；令，解得：或； 则在轴右侧接近的两个零点依次为和； 在轴右侧接近的两个零点依次为和， ，， 由图象可知：B错误，C正确. 4．（2026·北京丰台·三模）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（ ）（注：，） A．9级 B．11级 C．13级 D．15级 【答案】B 【解析】将轮毂高度瞬时风速代入， 得， 由知，，则，所以， 又，所以，所以． 5．（2026·北京石景山·二模）人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为I的声音对应的等级为LdB，则有．已知某品牌笔记本电脑工作时产生的噪音强度的等级约为52dB，如果通过改善相关结构，将其噪音的强度减少为原来的一半，则改善后的噪音强度的等级约为（    ） （参考数据：） A．49dB B．46dB C．26dB D．13dB 【答案】A 【解析】设原来的噪音强度为，对应的等级. 改善后的噪音强度为，对应的等级为. 根据公式，代入得：. 计算：. 将，代入：. 6．（2026·北京·三模）将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到函数的图象．再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合．则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，可得， 将向右平移1个单位长度，所得图象恰好与的图象重合，可得， 选项A：，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C正确； 选项D：，故D错误. 7．（2026·北京·三模）已知函数是偶函数，当时，若的图象与轴恰有4个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于函数是偶函数，且其图像与轴恰有4个公共点，因此，在上有两个不同的零点， 当时，令，则，共有两个实数根， 由于函数和均为定义域内的单调函数， 因此有一个实数根，有一个实数根， 故时，， 时，， 因此当时，. 8．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知定义域为R的函数满足是奇函数，是偶函数，则下列各数一定是零点的是（    ） A．2019 B．2022 C．2025 D．2028 【答案】B 【解析】因为是奇函数，所以且， 令，可得： 因为是偶函数，且， 所以， 所以， 所以定义域为R的函数一个周期为8， 所以无法判断， ， ，无法判断. ，无法判断.故选：B 9．（2026·北京朝阳·二模）设函数若关于的方程恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】（i）当时，，代入方程整理得： ，两根为和， 因此，当且时，则有2个不同根； 当时，则有1个根；当时，仅存在根； 当时，，故恒有1个根. （ii）当时，，代入方程整理得： ， 设， 求导得， 当时，，得，有1个根， 若，，在单调递增， 时，时，故恒有1个根； 当时，，，单调递增；，单调递减， 时，时，故恒有1个根； 故在取最大值， 令，单调递减且. 当时，，方程有2个根； 当时，，方程有1个根； 当时，，方程无实根； 综上所述： ，有1个根，有1个根，共2个，符合； 时，有1个根，有1个根，共2个，符合； 时，有1个根，有1个根，共2个，符合； 其余均不满足条件，共3个符合的. 10．（24-25高一上·北京·期中）用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间内，当（为精确度）时，函数零点的近似值与真实零点的误差的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的零点在区间内，设真实零点为，那么. 已知，那么，. 由于，所以，. 所以近似值与真实零点的误差的取值范围是.故选：B. 11．（25-26高三上·北京·阶段检测）若函数恰有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数， 令函数， 当时，， 可得：或， 当或时， 方程在上有唯一的解， 当或时， 方程在上有两解或， 当时，令， 所以当时，，即方程有一个解， 当时，，即方程在上无解， 综上所述，当时，函数有两个零点：， 当时，函数有两个零点：， 当时，函数有三个零点：， 当时，函数有两个零点：， 所以若函数恰有2个零点，则或， 所以的取值范围是：,故选：B. 12．（2025·北京昌平·二模）已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．（，1） D． 【答案】B 【解析】因为， 若时，，则有且仅有一个零点，不符合题意； 若，当时，， 则在上单调递增，且， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且， 要使恰有三个零点，则，解得； 若，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减，且， 当时，， 所以在上单调递增，且， 要使恰有三个零点，则，解得； 综上可得实数的取值范围是.故选：B 13．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知函数是上的奇函数，当时，.若关于x的方程有且仅有两个不相等的实数解则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，若，则， 所以，值域为R，函数图象如下： 当时，只有一个与之对应； 当时，有两个对应自变量， 记为，则； 当时，有三个对应自变量且； 当时，有两个对应自变量， 记为，则； 当时，有一个与之对应； 令，则，要使有且仅有两个不相等的实数解， 若有三个解，则，此时有7个解，不满足； 若有两个解且，此时和各有一个解， 结合图象知，不存在这样的，故不存在对应的m； 若有一个解，则有两个解，此时， 所以对应的， 综上，.故选：C. 14．（25-26高三上·北京·期中）已知，其中是常数，则（    ） A．存在实数，使得对任意实数，函数都有零点 B．存在实数，使得对任意实数，函数至少有2个零点 C．对于任意实数，存在实数，使得函数恰有2个零点 D．对于任意实数，存在实数，使得函数恰有3个零点 【答案】B 【解析】由解析式可知，当时，，则； 易知当时，，当时，； 即可得函数在上单调递减，在上单调递增； 所以函数在处取得极小值，也是最小值为，且易知当时，； 即可得在上的值域为， 易知，当时，函数的图象，如下图所示：    当时，易知二次函数的对称轴，且开口向上， 其图象大致如下图所示：    当时，易知二次函数的对称轴，且开口向下， 其图象大致如下图所示：    由以上三种情况可知，当时，函数的值域为， 当时，易知在对称轴处取得最小值， 所以当时，，此时函数的值域为， 当时，，此时函数的值域为； 对于A，若使得对任意实数，函数都有零点，即函数与函数必有交点， 此时须满足存在实数使得的值域为， 由图象可知，不管取何值时，函数的值域都不为，即A错误； 对于B，易知当时，与在上有两个交点， 所以不管取何值时，只需，函数与至少有两个交点， 即存在实数，使得对任意实数，函数至少有2个零点，所以B正确； 对于C，根据图象可得，对于任意实数，不管取何值时，函数与最多有一个交点， 即时，不满足对于任意实数，存在实数，使得函数恰有2个零点，即C错误； 对于D，当时，易知不管取何值时，仅存在，使得函数恰有3个零点； 由图可知当时，易知时，函数有4个零点， 即对于任意实数，不存在实数，使得函数恰有3个零点，所以D错误；故选：B 二、填空题 15．（25-26高三上·北京延庆·阶段检测）已知函数，则其零点为__________，__________. 【答案】 【分析】根据对数函数的运算和对数函数的导数进行求解即可. 【解析】令，则，解得. 对函数求导得. 故答案为：①②. 16．（2026·北京海淀·二模）某环保基金会的生态修复专项账户有资金2000万元．基金会制定了如下使用方案：在第年开始时，若账户中的资金超过10万元，则在该年将账户中的一半资金投入使用；若账户中的资金不超过10万元，则在该年将账户中的全部资金投入使用，修复项目在该年结束．按上述使用方案，第4年投入使用的资金为___________万元，该修复项目将在第___________年结束． 【答案】 125 9 【解析】初始资金（第1年开始时）：2000万元 第1年：资金大于10万元，投入一半 投入金额：万元，剩余资金：万元 第2年：资金大于10万元，投入一半 投入金额：万元，剩余资金：万元 第3年：资金大于10万元，投入一半 投入金额：万元，剩余资金：万元 第4年：资金大于10万元，投入一半 投入金额：万元，剩余资金：万元 第5年：资金大于10万元，投入一半 投入金额：万元，剩余资金：万元 第6年：资金大于10万元，投入一半 投入金额：万元，剩余资金：万元 第7年：资金大于10万元，投入一半 投入金额：万元，剩余资金：万元 第8年：资金大于10万元，投入一半 投入金额：万元，剩余资金：万元 第9年：资金小于10万元，投入全部资金7.8125万元，项目结束 综上，第4年投入使用的资金为125万元，该修复项目将在第9年结束. 17．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数，则函数的零点为______；若函数有3个零点，则实数的取值范围为________． 【答案】 或 或 【解析】当时，由得，解得或， 当时，由得，解得（舍）， 作出的图象如图，由得或， 即或， 当，即时，无实根，此时，最多两个实根，与题意不符； 当，即时，有一个实根，有两个实根，符合题意； 当，即时，有两个实根，此时，至少有两个实根，不符合题意； 当，即时，有三个实根，至少有一个实根，不符合题意； 当，即时，有两个实根，此时，有4个实根，不符合题意； 当，即时，有两个实根，此时，有一个实根，符合题意； 当，即时，有两个零点，有一个零点，符合题意； 当，即时，有一个零点, 有一个零点，不符合题意； 综上所述，有3个零点时，或. 18．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数．若关于的方程有两个不同的实数解，则满足条件的一个的值是_____． 【答案】（满足即可） 【解析】函数定义域为， 对于方程，当时恒成立，因此是一个解. 再考虑的情况， 当时，方程化为，即， 对于方程， 当，方程无解； 当，，，即方程在仅有一解； 当时，，方程无解； 当时，即，此时，， 即方程有两个负根（时，两负根相等），此时方程在无解． 当且时，方程化为，即． 对于方程， 当，方程无解； 当，，，即方程在仅有一解； 当时，，方程无解； 当时，，此时，方程有两个负根（时，两负根相等）； 综上所述，当，方程在无解，在仅有一解， 由于是一个解，符合题意； 当方程在仅有一解，在无解，由于是一个解，符合题意， 所以，所以满足条件的可以是． $专题03 函数的图象、函数与方程、函数模型及应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01函数的图象 考点02函数与方程 考点03函数模型及其应用 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01数形结合找临界 难点解读02复合方程的实数根 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01函数图象变换 题型02根据函数零点的个数求参数 题型03函数模型的应用 ▶重点突破・考法深研 重点01利用图象变换作图象 重点02根据复杂函数解析式辨识图象 重点03函数零点个数的判断 重点04根据函数零点个数求参数 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01函数图象变换判断 技法点拨02根据图象选择函数解析式 技法点拨03函数零点所在区间问题 技法点拨04二分法及其应用 技法点拨05二次函数模型的应用 技法点拨06分段函数模型的应用 技法点拨07指数函数模型的应用 技法点拨08对数函数模型的应用 技法点拨09幂函数模型的应用 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01图象辨识只看局部不看整体致错 易错点02对零点存在定理理解不当致错 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 函数的图象 1、利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线． （1）①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、对称性等)． （2）列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)， （3）描点，连线． 2、利用图象变换作函数的图象 （1）平移变换 【注意】“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f(x)整体上加减． （2）对称变换 ①y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象； ②y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象； ③y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象； ④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象y＝logax(a＞0且a≠1)的图象． （3）伸缩变换 ①y＝f(x)的图象y＝f(ax)的图象； ②y＝f(x)的图象y＝af(x)的图象． （4）翻转变换 ①y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象； ②y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象． 【新题对点练】（2026·北京朝阳·模拟预测）为了得到函数的图象，只需要把图象上所有的点（    ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．向右平移1个单位（纵坐标不变） D．向上平移2个单位（横坐标不变） 考点02 函数的零点及二分法 1、函数零点的定义 （1）函数零点的概念：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． （2）函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 【注意】函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数． 2、函数零点存在定理 （1）定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0， 那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． （2）两个重要推论 推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点． 推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则． 3、二分法 （1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． （2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 ①确定零点的初始区间，验证 ②求区间的中点 ③计算，进一步确定零点所在的区间： 若（此时），则就是函数的零点； 若（此时），则令； 若（此时），则令. ④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4） 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点． 【新题对点练】（25-26高三上·北京西城·阶段检测）设函数，若有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点03 函数模型及其应用 1、几类函数模型 （1）一次函数模型：f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) （2）反比例函数模型：f (x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) （3）二次函数模型：f (x)＝ax2＋bx＋c（(a，b，c为常数，a≠0)） （4）指数函数模型：f (x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) （5）对数函数模型f (x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) （6）幂函数模型：f (x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0) 2、三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 【新题对点练】（2026·北京门头沟·一模）农产品质量安全研究表明，有机磷农药在果蔬表面的自然降解符合一级动力学模型，可用（，k为正常数）描述，其中C为喷施农药t天后，果蔬表面的农药残留量（单位：mg/kg），某品种有机磷农药的降解速率常数，现测得蔬菜喷施该农药后的初始残留量为8mg/kg，国家食品安全标准规定该农药的残留限值为1mg/kg，则该蔬菜的最短安全采收间隔期为（    ） A．3天 B．6天 C．9天 D．12天 难点解读01 数形结合找临界 1、函数的零点、方程的实数根、两个函数图象交点的横坐标的关系 函数的零点、方程的实数根、两个函数图象交代你的横坐标之间可以相互转化，我们可以写出下面三个完全等价的命题： ①是关于的函数的零点； ②是关于的方程的实数根； ③是函数图象与函数图象交点的横坐标． 对于①，我们可以用函数的单调性与零点存在定理处理，对于②，我们可以用方程相关知识与方法处理，对于③，我们可以用数形结合，根据两个函数的图象处理．这样我们就可以将三个问题转化为另一个，选用最简便的方法处理． 2、直曲相切&双曲公切找临界 在探讨函数的零点个数时我们常将问题转化力“研究函数图象与直线交点的个数” ．这样我们就可以用数形结合，讨论两个函数图象交点的个数，从而解决问题．在实际计算过程中，临界情形大多数为直线与曲线相切的时候． 3、端点&间断点找临界 除直曲相切、双曲公切找到的临界情况外，在曲线（或区间）的端点以及函数图象的间断点处函数零点个数也可能突变，所以也需要单独讨论，研究是否为临界情形． 4、数形结合找临界的一般步骤 第一步：将“函数的零点个数”的相关问题转化为“函数图象与函数图象的交点个数”的相关问题． 第二步：画出函数与函数的图象，如果含参，重点讨论直曲相切、双曲公切以及端点、间断点情形，得到全部的临界情形． 第三步：数形结合解答问题． 【典例1】（24-25高三上·北京·阶段检测）已知函数当时，方程的根的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【典例2】（2025·北京海淀·三模）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 难点解读02 复合方程的实数根 1.复合方程的由外向内 探讨“求关于的复合方程实数根的个数”相关问题时，如果方程能解，我们一般采用由外向内一层一层去处理，其一般步骤如下： 第一步：设，解关于的方程，得到若干实数根，，…或确定方程的根，，…的范围． 第二步：分别探讨关于的方程，…的实数根的个数（或结合图象观察函数的图象与函数的图象的交点个数），各个方程的实数根个数之和即是关于的复合方程的实数根的个数，也可以根据实数根个数之和求方程中参数的取值范围． 2、复合方程的有内到外 探讨“关于的复合方程的实数根的个数，求参数取值范围”相关问题时，当外层方程容易解时，可以使用前面的由外向内．但是现实往往是残酷的，含参方程往往没法解，此时就需要由内向外处理．其一般步骤如下： 第一步：构建合适的复合函数，设，得到函数的性质及值域，如有必要则画出函数图象． 第二步：确定关于的方程的实数根的个数情况，或求出参数的取值范围． 【典例1】（25-26高三上·福建漳州·阶段检测）已知函数则方程的解的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例2】已知函数，若方程有7个不同的实数根，则实数的取值范围是______． 素养进阶·答题技法突破 题型01 函数图象的变换 考情定位：北京高考单选基础小题；融合指对、三角、绝对值翻折变换，是识图、零点交点问题的基础工具，侧重变换顺序辨析，无复杂多层叠加变形． 核心考法：①平移、伸缩、对称基础变换解析式改写；②与两类翻折图像判断；③多种变换叠加，区分先平移后伸缩、先伸缩后平移；④结合特殊点、函数性质快速筛选图像选项． 解题要点：左右变换只改x，遵循左加右减；上下变换改整体，上加下减；横坐标伸缩系数直接乘x，纵坐标伸缩乘整体；翻折变换分清保留/擦除区域；多步变换优先定点验证规避顺序错误． 【典例1】（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 题型02 根据函数零点的个数求参数 考情定位：北京卷填空压轴考点，区分度高；载体涵盖分段、三次、指对超越函数，小题核心考数形结合，导数大题第二问常配套考查，侧重分类讨论与图像趋势分析． 核心考法：①二次函数零点，结合判别式、区间端点符号求参；②超越函数分离参数转化为直线与曲线交点；③分段函数分区间讨论零点数量；④利用导数分析极值、单调性，结合零点存在定理限定参数；⑤相切临界值单独验证边界． 解题要点：优先数形结合，零点个数等价于图像交点个数；可优先分离参数，简化图象分析；含分段函数严格按定义域分段讨论；极值正负、端点函数值共同约束范围；相切、重根单独验算，避免遗漏边界． 【典例1】（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是_______． 题型03 函数模型的应用 考情定位：北京卷高频考点，跨学科情境命题（音乐频率、AI 训练、水质检测等）；以对数、指数模型为主，弱化复杂计算，重点考查建模与数据分析素养． 核心考法：①从科技、生活情境提取指数/对数函数模型；②利用指对运算求值、比较增长快慢；③结合不等式求解实际参数范围；④辨析指数爆炸、对数缓慢增长两类模型特征． 解题要点：先梳理题干变量关系，准确写出函数解析式；区分指数增长、对数增长变化速率；运算熟练使用换底、对数加减公式；结合实际场景限定自变量取值范围，舍去无意义解． 【典例1】（2026·北京·高考真题）音高y（单位:）与频率f（单位：）满足，若，则f的取值范围为________． 【典例2】（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（    ） A．2h B．4h C．20h D．40h 重点01 利用函数图象变换作图象 绘制函数变换图象采用“基础图象+分步变换”标准化流程，先熟练画出一次、二次、指对幂等基础函数图象，严格遵循“先伸缩、后平移、再对称”的固定变换顺序分步作图；精准区分自变量变换与整体函数变换，牢记平移、伸缩、对称、翻折核心规则，重点掌握与两类绝对值翻折画法，作图后结合定点、单调性、定义域核验图象准确性． 【典例1】作出下列各函数的图象： (1)； (2)． 【典例2】作出下列各函数的图象： (1)； (2)； (3)． 重点02 根据复杂函数解析式辨识图象 辨析函数图象的入手点 1、从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． 2、从函数的奇偶性，判断图象的对称性． 3、从函数的特征点，排除不合要求的图象． 4、从函数的单调性，判断图象的变化趋势． 5、从函数的周期性，判断图象的循环往复． 【典例1】（25-26高三上·北京海淀·期中）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 重点03 函数零点个数的判断 零点个数的判断方法 1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点． 2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且， 结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． 3、图象法： （1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数； （2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数 4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到； 若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数． 【典例1】（24-25高一上·北京延庆·期末）方程的实数解个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【典例2】（2024·北京·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．0 C．3 D．无穷 重点04 根据函数零点的个数求参数 已知函数零点个数，求参数取值范围的方法 1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； 2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； 3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解． 【典例1】（24-25高二下·北京东城·期末）设函数若恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·北京朝阳·期末）若函数,恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 技法点拨01 函数图象变换的判断 解题严格遵循“先伸缩、再平移、后对称”的标准变换顺序，区分自变量变换与整体函数变换的本质差异，牢记“左加右减、上加下减”平移规则、横竖伸缩系数规律． 重点辨析与两类绝对值翻折变换特征，结合函数定点、单调性、对称性辅助验证变换结果，精准规避变换顺序错乱、规则混淆等问题． 【典例1】（25-26高三上·北京·阶段检测）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上（    ） A．所有点纵坐标伸长为原来的2倍 B．所有点纵坐标缩短为原来的倍 C．所有点横坐标伸长为原来2的倍 D．所有点横坐标缩短为原来的倍 【典例2】（2026·北京密云·一模）为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 技法点拨02 根据图象选择函数解析式 采用“性质优先、多点验证、趋势兜底”的标准化解题思路，第一步通过定义域、值域、奇偶性、单调性快速排除错误选项；第二步代入特殊点、零点、定点验证函数值匹配度；最后结合函数增减速率、无穷趋近趋势、渐近线特征锁定正确解析式，无需完整作图，高效完成图象与解析式匹配． 【典例1】（25-26高三上·北京·阶段检测）函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 技法点拨03 函数零点所在区间问题 判断函数零点所在区间的步骤 第一步：将区间端点代入函数求函数的值； 第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断； 第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点； 若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点． 【典例1】（23-24高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（    ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 【典例2】（25-26高三上·北京朝阳·期中）若方程在区间上有解，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 技法点拨04 二分法及其应用 明确二分法适用前提：函数在区间上连续且端点函数值异号。固定解题流程：确定初始区间→取区间中点→计算中点函数值→判断零点所在子区间→不断缩小区间，循环迭代直至满足题目精度要求．主要用于求解方程近似解、锁定零点精准区间，迭代过程严格依据符号判断区间取舍． 【典例1】（25-26高一上·北京海淀·阶段检测）用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则等于（    ） A．1 B． C．0.25 D．0.75 【典例2】用二分法求函数在区间上零点的近似解，经验证有．若给定精确度，取区间的中点，计算得，则此时零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 技法点拨05 二次函数模型的应用 适用于最值优化、动态变化类实际问题，建模核心是提取变量二次对应关系，构建二次函数解析式． 解题优先确定自变量实际取值范围，结合二次函数开口方向、对称轴位置，判断对称轴与闭区间的位置关系，求解区间最值与取值范围，最终结合实际情境验证结果、还原实际问题答案． 【典例1】（24-25高二下·北京东城·期中）在经济学中，将产品销量为件时的总收益称为收益函数，记为，相应地把称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平．假设一个企业的边际收益函数 (注:经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析)．给出下列三个结论: ①当销量为1000件时，总收益最大； ②若销量为800件时，总收益为，则当销量增加400件时，总收益仍为； ③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500． 其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【典例2】（24-25高二下·北京怀柔·期末）年中购物节，某快递公司将一批冷鲜产品用冷藏汽车从甲地运往相距公里处的乙地，司机工资为每小时元，装卸费为元，假设车辆运输过程中燃油消耗取决于速度：当速度为公里/小时（注公里/小时）时，单位距离的燃油消耗为升/公里，燃油价格为每升元．假设汽车匀速行驶，且不计其他成本．运输的总费用＝司机工资+装卸费+燃油成本． (1)当运输的总费用不超过元时，求汽车行驶速度的范围； (2)若要使运输的总费用最小，则汽车应以多少公里/小时的速度行驶？ 技法点拨06 分段函数模型的应用 适配分段变化、阶段性规律的实际问题，根据不同自变量区间对应不同函数解析式，分段建立模型、分段求解．解题关键是精准划分自变量取值区间，严格遵循各段函数解析式的运算规则，分别求解各段最值、范围，最后整合所有区间结果，贴合实际场景综合作答． 【典例1】（25-26高三上·北京石景山·期末）某种细胞的分裂速度（单位：个/秒）与其年龄（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则实数约为（    ）（参考数据：） A．6.403 B．6.463 C．6.503 D．6.523 【典例2】（23-24高二下·北京朝阳·期末）某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药小时后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含药量不少于4毫克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为（    ） A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时 技法点拨07 指数函数模型的应用 主打指数增长、指数衰减类实际问题，如人口增长、复利增长、衰减消耗等场景． 建模依托指数函数增减特性，结合实际数据确定底数与参数，利用指数函数单调性分析变化趋势、求解最值与预测值，全程把控自变量实际定义域，贴合指数爆炸、快速衰减的变化规律解题． 【典例1】（2026·北京·模拟预测）一化工厂产生的废气中含二氧化硫的浓度为，经过分钟净化后，废气中二氧化硫的浓度为，并满足.根据环保要求，当废气中二氧化硫的浓度降至时，达到排放标准，则该化工厂的废气达到排放标准需要至少净化（参考数据：，，）（    ） A．136分钟 B．140分钟 C．142分钟 D．150分钟 【典例2】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律.设初始电量为（单位：），经过小时后，剩余电量（单位：）满足函数关系（其中为电量衰减系数）.已知该手机在低电量模式下，从初始电量衰减到用时4小时，设初始电量为，若用户希望剩余电量不低于，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 技法点拨08 对数函数模型的应用 适配增长速率逐渐放缓的实际场景，如响度、酸碱度、数据增幅拟合问题． 利用对数函数在定义域内单调递增、增长平缓的特性建立模型，结合换底公式、对数运算公式化简求解，依托函数单调性分析变量变化规律，精准求解实际取值与变化趋势问题． 【典例1】（25-26高三上·北京房山·开学考试）生物学家通过数学建模，得到恒温动物（如豚鼠、兔、小狗等）的脉搏率（单位：次/分钟）和体重（单位：克）的关系模型为，其中为常数．已知一只体重为300克的豚鼠的脉搏率为300次/分钟，若一只小狗的体重为克，那么该小狗的脉搏率最接近的是（    ） A．120次/分钟 B．110次/分钟 C．100次/分钟 D．90次/分钟 【典例2】（25-26高三上·北京·阶段检测）在声学中，人们用分贝来描述声音的强弱等级．分贝数由声音强度（单位：）与基准声强（通常取，是人耳能听到的最弱声音）的比值共同决定，计算公式为：．一场热闹的演唱会正在进行，其声音强度是基准声强的倍，而普通交谈时的声音分贝约为．记普通交谈时的声音强度为，则（    ） A． B． C． D． 技法点拨09 幂函数模型的应用 适用于中等增速、常规变量关联的实际拟合问题，依托第一象限幂函数图象规律与单调性解题． 根据幂指数正负、大小判断函数增减速率与图象走势，结合实际数据拟合幂函数模型，求解变量对应关系、取值范围与变化规律，适配常规非线性变化的实际应用场景． 【典例1】某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 【典例2】遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据：，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 易错点01 图象辨识只看局部不看整体致错 辨析：仅凭局部特殊点匹配图象，忽略函数整体单调性、极限趋近趋势、渐近线特征，选错匹配图象． 【典例1】（25-26高二下·北京海淀·期中）已知函数的图象如图所示，则可以为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·北京·阶段检测）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 易错点02 对零点存在定理理解不当致错 辨析：误以为端点异号则零点唯一，忽略区间内函数波动、极值穿越x轴的情况，导致零点个数判断失误；忽略函数间断点造成误判． 【典例1】（25-26高三上·北京通州·期末）“”是“函数在上存在零点”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】（25-26高一上·北京海淀·阶段检测）函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间上没有零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（25-26高三上·北京·阶段检测）函数的图象可以由函数的图象经过以下变换得到（    ） A．图象上的点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍 B．图象上的点横坐标不变，纵坐标变为原来的倍 C．函数的图象向右平移2个单位 D．函数的图象向左平移2个单位 2．（25-26高三上·北京·阶段检测）下面四个函数中，当时，图像大致为下图的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·北京东城·二模）已知函数的部分图象如图所示，若，则可以为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·北京丰台·三模）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（ ）（注：，） A．9级 B．11级 C．13级 D．15级 5．（2026·北京石景山·二模）人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为I的声音对应的等级为LdB，则有．已知某品牌笔记本电脑工作时产生的噪音强度的等级约为52dB，如果通过改善相关结构，将其噪音的强度减少为原来的一半，则改善后的噪音强度的等级约为（    ） （参考数据：） A．49dB B．46dB C．26dB D．13dB 6．（2026·北京·三模）将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到函数的图象．再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合．则可以是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·北京·三模）已知函数是偶函数，当时，若的图象与轴恰有4个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知定义域为R的函数满足是奇函数，是偶函数，则下列各数一定是零点的是（    ） A．2019 B．2022 C．2025 D．2028 9．（2026·北京朝阳·二模）设函数若关于的方程恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（24-25高一上·北京·期中）用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间内，当（为精确度）时，函数零点的近似值与真实零点的误差的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·北京·阶段检测）若函数恰有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·北京昌平·二模）已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．（，1） D． 13．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知函数是上的奇函数，当时，.若关于x的方程有且仅有两个不相等的实数解则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高三上·北京·期中）已知，其中是常数，则（    ） A．存在实数，使得对任意实数，函数都有零点 B．存在实数，使得对任意实数，函数至少有2个零点 C．对于任意实数，存在实数，使得函数恰有2个零点 D．对于任意实数，存在实数，使得函数恰有3个零点 二、填空题 15．（25-26高三上·北京延庆·阶段检测）已知函数，则其零点为______，______. 16．（2026·北京海淀·二模）某环保基金会的生态修复专项账户有资金2000万元．基金会制定了如下使用方案：在第年开始时，若账户中的资金超过10万元，则在该年将账户中的一半资金投入使用；若账户中的资金不超过10万元，则在该年将账户中的全部资金投入使用，修复项目在该年结束．按上述使用方案，第4年投入使用的资金为___________万元，该修复项目将在第___________年结束． 17．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数，则函数的零点为____；若函数有3个零点，则实数的取值范围为________． 18．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数．若关于的方程有两个不同的实数解，则满足条件的一个的值是_____． $