广西壮族自治区来宾市来宾高级中学2026-2027学年高二上学期9月自主检测数学试题

2028届高二（上）数学自主检测 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．设，则在复平面内对应的点在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．经过点，且倾斜角为150°的直线的点斜式方程为 A． B． C． D． 4．从1，2，3，4，5这五个数字中任取两数，则所取两数均为偶数的概率是 A． B． C． D． 5．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是 A． B． C． D． 6．已知函数，则下列结论错误的是 A． B．的零点为3 C．在上为增函数 D．的定义域为 7．已知一个圆锥的底面半径，其侧面积与底面积之比为，则该圆锥的体积为 A． B． C． D． 8．如图，在长方体，中，，，则异面直线与所成的角的大小为 A．30° B．45° C．60° D．90° 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是 A．若直线斜率为，则它的倾斜角为30° B．若，，则直线的倾斜角为90° C．若直线过点，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点 D．若直线的斜率为，则这条直线必过与两点 10．关于直线：，下列说法正确的有 A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线经过第一、二、三象限 D．直线与直线平行 11．如图，在正方体中，下列结论正确的是 A．平面 B．平面 C．与所成的角为60° D．平面平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知过点和的直线与过点和的直线平行，则的值是______． 13．已知向量，，，若，则______． 14．函数在区间上的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知，，． （1）求直线和的斜率； （2）若点在线段（包括端点）上移动时，求直线的斜率的变化范围． 16．如图，在四棱锥中，，，，，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 17．国务院2026年印发的《关于推进服务业扩能提质的意见》，将物业服务纳入社区服务的重点提升领域．某社区为提升物业服务质量，随机选取了100名业主就小区物业服务情况进行问卷调查，并将业主的满意度评分值（百分制）按照，，，…，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）估计这组数据的众数与平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）； （3）已知这100名业主中满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为3∶2．若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率． 18．在中，角，，所对的边分别是，，，且，，． （1）求边长的值； （2）求的面积． 19．在直三棱柱中，，，，，、、分别为、、的中点，是上任意一点． （1）求证：平面． （2）求三棱锥的体积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A B A A C D A ABC AC BCD 12．7 13．2 14．6 15．（1）由斜率公式可得直线的斜率， 3分 直线的斜率， 6分 故直线的斜率为，直线的斜率为． 7分 （2）如图所示，当由运动到时，直线的倾斜角增大且为锐角， 9分 直线的斜率由增大到， 11分 所以直线的斜率的变化范围是． 13分 16．（1）证明：取的中点，连接，， 因为是的中点，所以且， 因为且，所以且． 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面． （2）因为，，，的延长线交于一点， 平面，平面，所以平面， 又因为，所以，，两两垂直， 所以以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，，，， 所以，，，， 设平面的一个法向量， 则，即，取，得， 设平面的一个法向量，则， 即，取，得， 设平面与平面的夹角为，则． 17．（1）由． （2）估计众数为65， 估计平均数为：． （3）由题意，满意度评分值为的人有人， 其中男性人，记为，，；女性有2人，记为，． 从这5人中随机抽取2人进行座谈，所有的样本点有：，，，， ，，，，，，共10个． 记“恰有1名女性”为事件，则事件包含：，，，，，6个样本点． 所以． 18．（1）由正弦定理得，， 则； （2）由（1）得， 由可得， 则， 故． 19．（1）证明：、分别为、的中点，． ∵在直三棱柱中，，． 平面，平面，平面． （2），，，、平面，平面， 平面． ，平面，平面． ，，，，． ， ． 平面， ． ． 学科网（北京）股份有限公司 $