广西壮族自治区柳州市柳州铁一中学2026-2027学年高二上学期9月阶段检测数学试题

高二（上)数学检测 一、单项选择题：本题共8小题，每小题6分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知集合A={x2-3x+2s0,B=2x-1>0},则AnB=() 别 .62 c.[1,2] D.[2,+oo] 2.设z=-1 则z在复平面内对应的点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知函数f)是定义域为R的奇函数，当x>0时，()=乐+，则f(4)=() A子 B c.7 D 4.经过点(4，-2)，且倾斜角为150°的直线的点斜式方程为（) 6.y2=女+4 &-9-刘 Cy254-4刘 D-29f网 5.如图，在平行六面体ABCD-AB,C,D中，M为AC与BD的交点，若AB=ā，AD=b,AA=c,则 D 下列向量中与BM相等的向量是() A+5- 2 C.10-18-8 D.+5- 6.若一个圆锥的轴截面是一个等边三角形，则该圆锥的表面积与轴截面面积之比是（) A.√5π B. 2v3t C.v 3 D.V3n 3 7.《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭ABCD-EFHG, 其上、下底面的周长分别为4、8，方亭的高为0，则该方享的体积为() 2 A.75 B.7vio 3 6 c.75 D. 3v10 6 2 8。已知函数/)=咖(am+习(a>0)在区间（令司）上单调道增，且在区间(0，)内恰有两个攀点， 则ω的取值范图是() A. .(22] c. 试卷第1页（共4页） 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法中正确的是() A.若直线斜率为 ,则它的倾斜角为30° 3 B.若A(1,-3),B(1,3),则直线AB的倾斜角为90° C.若直线过点(1,2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点(3,4) D。若直线的斜率为，则这条直线必过()与(54)两点 10.关于直线1：x-y+2=0,下列说法正确的有() A.直线I的倾斜角为T B.直线1在x轴上的截距为2 C.直线1经过第一、二、三象限 D.直线l与直线x+y-1=0平行 1,如图，正方体ABCD-48CD,的棱长为1，线段D,上有两个动点B,E,且B即=三，则下列结论 2 中正确的有() C A.当点E运动时，AC⊥AE总成立 D B.当E向D,运动时，二面角A-EF-B逐渐变小 C.二面角E-AB-C的最小值为45° D.三棱锥A-BEF的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知过点P(3,2m)和2(m,2)的直线与过点M(-2,1)和W(-3,4)的直线平行，则m的值是 13.已知平面a的-个法向量为元=(2,22)，点P(x,11)在平面a内，若点2(00,5)到平面x的距离为5 则x= 14.水平桌面上放置了3个半径为2的小球，它们两两相切，并均与桌面相切若用一个半球形容器（容器 厚度忽略不计)罩住三个小球，则半球形容器的半径的最小值是一， 试卷第2页（共4页） 四、解客题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 15.已知A(3,3),B(-4,2).C(0,-2) (1)求直线AB和AC的斜率： (2)若点D在线段BC（包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围. 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=AB=BC,AD=2BC,AB⊥BC,AB⊥AD,PA⊥AB,PA⊥CD, E是PA的中点. (1)求证：BE∥平面PCD: (2)求平面PCD与平面BCE的夹角的余弦值. 17.国务院2026年印发的《关于推进服务业扩能提质的意见》，将物业服务纳入社区服务的重点提升领 域.某社区为提升物业服务质量，随机选取了100名业主就小区物业服务情况进行问卷调查，并将业 主的满意度评分值（百分制）按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，.，[90,100]分成6组，制成如图所 示的频率分布直方图. 频率组距 0.0322 a (1)求图中a的值： 0.015 (2)估计这组数据的众数与平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）： 0.010 0.005 (3)已知这100名业主中满意度评分值在[40,50)内的男性人数与女性人数的比为 O405060708090100满意度 3:2.若在满意度评分值为[40,50)的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率. 试卷第3页（共4页） 18.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,3 asin B=√7 bcosA. (1)求cosA的值： 2若西.C=子，a=反，求△MBC的周长. 19.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABI‖CD,∠ABC=90°， AB=PB=PC=BC=2CD=2,平面PBC⊥平面ABCD (1)求证：AB⊥平面PBC: (2)求三棱锥C-ADP的体积： (3)在棱PB上是否存在点M,使CM1/平面PAD?若存在，求PM, 的值若不存在，请说明理由 PB B 试卷第4页（共4页） 参考答案 题号 2 4 6 2 8 9 10 11 答案 A D B A A B B ABC AC ACD 1.C【详解】由题可得A=(d2-3x+2s={x(x-x-2)s=(x1sxs2,8=(x>之， 所以A∩B={x1sx≤2}=[，2] 2,A【详解】由愿意得2田-+1，则2对应于复平面的点为四，在第一复型 112 3.D【详解】因为函数/是定文域为R的奇函数，所以八-4)=-④=气+)号放选：D 4.B【详解】因为直线的倾斜角为150，所以斜率k=150。-5,又直线经过点（(4，-2，代入点斜式方程得 3 直线方程为y-(2)=5:~4利故选：日 5.A【详解】由思意得，吸-丽+丽=-+号历。+号+而列=-+-a+=-+5- 6.A【详解】设底面圆的半径为r,则母线长为2r,得侧面积是元×r×2r=2加2，所以圆锥的表面积为心2+2π2=3m2, 轴截面是一个正三角形，边长为2，则其面积为×2r×2r×sin60°=Vr2,所以面积之比是V5π 7.B【详解】由己知得该方享上、下底面的边长分别为1、2所以该方李体积为×+22+x2)x√0_70 2 6 8,B【详解1因为x(引且@>0，（引+经r+<+子因为数/创=m(r+到 [m,π、π (w>0)在区间 上单调递增，所以 8+42-2 -8'8 0r,元元 解第一个不等式紧+2-受，即-受2-空晋 8+4≤2 即-受之子即@56，解第二个不等式管+号解得管号受即管经即052.又0>0，则0<0s2, + 81 84-2 8 4 因为xeQ,在区同(Q网内哈有两个g点，所以ar+子任o+引则2zn<m+经s,解得2<o+s3片 。1 即子03号又0<@s2,则子<0s2,则0的取值范国是0e(径] 9.ABC【详解】对于A,设直线的倾斜角为a(O°≤a<l80),则由题意得tana= 号，所以a=30°，故A正确： 对于B,因为A(L,-3),B(1,3),所以直线AB与x轴垂直，则其斜率不存在，故其倾斜角为90°，故B正确：对 于C,因为直线过定点(1,2)，且斜率为tan45°=1，所以直线的方程为y-2=x-1,即y=x+1, 3 3 3 易知4=3+1，放直线必过(3,4)，故C正确：对于D,不妨取y-,满足直线的斜率为，但显然该直线y=子 4 不过(1,1)与(5,4)两点，故D错误.故选：ABC. 10.AC【详解】直线I:x-y+2=0可化为y=x+2.对于A,直线1的斜率为1，所以倾斜 角为牙，故A正确：对于B,当y=0时，x=-2,所以在x轴上的截距为-2，故B错误： 对于C,作出直线I的图象如下：由图象可知，直线I经过第一、二、三象限，故C正确： 答案第1页（共4页） 对于D,直线x+y-1=0的斜率为-1，与直线I不平行，故D错误. 11.ACD【详解】对于A,连接AC，,AD,AB,因为四边形4B,C,D,为正方形，故 BD⊥AC,又AA⊥平面ABCD,BD,c平面4B,CD,所以B,D⊥AA,又 AC∩AA=A,4C.44C平面ACCA,所以B,D,⊥平面ACCA.因为4Cc平面 ACCA,所以BD,⊥AC,同理可证AD⊥AC.因为AD∩B,D=D,,D,B,D,c平 面ABD,所以AC⊥平面ABD,因为AEc平面AB,D,所以AC⊥AE总成立，故A正确对于B,平面EFB 即平面BDDB,平面EFA即平面ABD,所以当E向D,运动时，二面角A-EF-B 的大小不变，故B错误对于C,建立如图所示的空间直角坐标系，则A(,1,0), B0,10,所以B=(-10,0,因为E,F在aD上，且EF=5,故可设EU,1-4,, 2 F(-2号-1小方：s1,则正=-14，由题知平面8c的-个法向量为 n=(0,0,1),设平面ABE的一个法向量为m=(x,y,z),则 m·AB=(xy2)(-1,0,0）=-x=0 m:正=(5y习(1-l,-4)(1-)x-y+2=0解得x=0,取y=1,则z=1,故m=(0,10,设二面角E-AB-C 1 的平面角为0，则0为钱角，所以6os0=kos(血训- m-n O0.以本对1s1,所以 V2+1 1+ 当1=时.cos0取得最大值，0取最小值45”，故C正确对于D,因为8*PXB,2x1:B 22 点A到平面BB的距离即到平面BDDB的距离，为受，所以 是x巨x巨，为定值，故D正确 34212 12.7【详解】由题意得，直线MN的斜率为4- 73+2-3,直线P0的斜率为2m-2, 则2m-2=-3,得m=7. 3-m 3-m 13.2或4【详解】因为P=(x,1,-4),所以点2到平面α的距离d= p.才_2x-6_ 253 ,解得x=2或 x=4.故答案为：2或4. 14.2+2y【详解】当半球形容器的半径最小，即三个小球与半球球面都相切，且各 3 切点与对应小球球心、半球球心共线，各小球两两也相切，此时三个小球球心在桌面 A 上投影所成正三角形的中心，即为半球最大圆的圆心（也为球心），如下图示：A,B,C 为三个小球球心，D,E,F分别为它们在桌面上的投影，O为半球球心，所以 c0 △ABCDEF为边长为4的等边三角形，故D0=x5DF=45,而AD=2,故 32 3 A0=√D02+AD2= +4=22 16 V3 3 所以半球最小半径为40+2=2+2故答案为：2+2 3 3 15.（1)由斜率公式可得直线AB的斜率kB= 2-31 4-3气…3分 直线AC的斜率kc 3-（-2_三，…6分 3-03 答案第2页（共4页） 故直线4B的斜率为直线4C的斜率为号…7分 (2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角、…9分 直线AD的斜率由kB增大到kAC,…I1分 所以直线AD的斜率的变化范围是 151 73 …13分 16.(1)证明：取PD的中点F,连接CF,EF, 因为E是PA的中点，所以EFIAD且EF=AD, 2 因为BCIIAD且AD=2BC,所以EF∥BC且EF=BC, 所以四边形BCFB是平行四边形，所以CF∥BE, B 又因为BE平面PCD,CFS平面PCD,所以BE∥平面PCD (2)因为PA⊥AB,PA⊥CD,AB,CD的延长线交于一点，ABS平面ABCD,CDS平面ABCD, 所以PA⊥平面ABCD, 又因为AB⊥AD,所以PA,AB,AD两两垂直， 所以以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设AB=1,则A0,0.0,B100,C110）,D(0,20,P(0,0),E0,0 1 所以死=-（102》8c=01o0,而=(-11o,而=(02-， 设平面PCD的一个法向量万=(x,少，z), D 则方CD=元.PD=0,即-x+y=2y-z=0,取x=1,得i=(（1,1,2), 设平面BCE的一个法向量m=(a,b,c),则m.BC=m·BE=0, 即6=-a+c=0,取c=2,得m=0,2, 设平面PCD与平面8CE的夹角为9，则os0=m月_30 园6 17.（1)由10×(0.005+0.010+2×0.015+a+0.03)=1→a=0.025 (2)估计众数为65， 估计平均数为：45×0.05+55×0.15+65×0.30+75×0.25+85×0.15+95×0.10=71. (3)由题意，满意度评分值为[40,50)的人有100×0.05=5人， 其中男椎5×32=3人记为4，%，店：女性有2人记为叫，心 从这5人中随机抽取2人进行座谈，所有的样本点有：（%，乃2)，(h,乃)，(n,m)、(,m2), (n2,乃)，(n,m)，(h2,m2)，(n,m)，（(n,m2），(m,m2)，共10个. 记“恰有1名女性”为事件A,则事件A包含：(%，m),(n,m2),(,m),（n,m2),（,m),（乃，m2)6个样本 点 63 所以P(4)=0亏 答案第3页（共4页） 18.(1)根据正弦定理3 asinB=√7 bcosA可化为3 sin Asin B=V7 sin BcosA, 因为sinB≠0，所以3sinA=√7cosA, 又sin2A+cos2A=1,sinA>0(A是三角形内角). 把sinA= 2 3cosM代入得： V7 s2A=1,o34+co3A=1-ow2A=1, 9 9 所以cos2A=: 16’ 由3sinA=√7cosA>0,得cosA>0, 3 所以cosA= 4 2)因为孤c=co4-号代入ca=得：bc是是be=2, 由余弦定理a2=b2+c2-2bc0sA,已知a=2,所以(2=6+c2-222与6+c2=5, 所以(b+c)2=b2+c2+2bc=5+2×2=9,所以b+c=3. 所以△ABC周长为a+b+c=V2+3 19.(1)因为平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC, 又因为∠ABC=90°，所以AB⊥BC,所以AB⊥平面PBC: (2)取BC的中点E,连接PE, 因为PB=PC,且E为BC中点，所以PE⊥BC, 又因为AB⊥平面PBC,所以AB⊥PE,且AB∩BC=B, 所以PE⊥平面ABCD, 所以PE是三棱锥P-ACD的高，且PE=√PB2-BE2=√5， 因为A81/CD,∠ABC=0,所以.*CDxC-1, 所w=m方8mXPE=5 3 (3)存在M为PB的中点满足题意： 证明如下：取PB的中点为M,取PA的中点N,连接MC,MW,DN, 因为M,N为PB,PA的中点，所以N IIAB,.N=克AB, 又因为CDAB,CD=AB,所以MM1CD,MN=CD, 所以四边形NDC为平行四边形，所以CM//DN, 又因为CM￠平面PAD,DWc平面PAD,所以CMII平面PAD, 所以M为PB中点满足题意，所以PM= PB2 答案第4页（共4页）