精品解析：广西壮族自治区来宾高级中学2026-2027学年高二上学期9月阶段检测数学试题

2028届高二（上）数学空间向量与立体几何（基础卷） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据零向量的定义判断①，根据相等向量的定义判断②③，根据单位向量定义判断④. 【详解】零向量是大小为的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确； 方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误； 若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，③错误； 空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误； 所以正确的命题只有个； 故选：D. 2. 已知空间向量满足，则向量的夹角为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得， 所以. 又因为，所以. 故选：D． 3. 已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，设，，，则向量用 为基底表示为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图形可得，根据比例关系可得,, 再根据向量的减法,代入整理，并用基底代换得答案. 【详解】由 整理得， 由，，代入得， . 故选：D 4. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点关于轴对称的点的坐标是即可得出. 【详解】关于轴对称的点的坐标是只有横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为相反数， 所以点关于轴对称的点为. 故选：A． 5. 设，向量，，，且，，则（ ）． A. B. C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合垂直向量的坐标表示和平行向量的坐标关系求，由此可求的坐标，再求其模即可. 【详解】因为，，， 所以，所以， 因为，，，所以，所以， 所以， 所以. 故选：D. 6. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行得出，从而即可求解 【详解】若，则，从而， 即，解之得：. 故选：A 7. 已知异面直线，所成的角为，，在直线上，，在直线上，，，，，，则，间的距离为（ ） A. 或 B. 4 C. D. 或4 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理，以向量，，为基底表示向量，利用向量的模厂，计算空间两点间距离.注意异面直线所成角. 【详解】 以向量，，为基底，由题知，，，，，，或， 则， 当时，，， 当时，，． 故选：D 8. 如图，在棱长为1的正方体中，为正方形的中心，为线段的中点，在上，且满足，则直线到直线的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求证得直线与直线的距离等价于点到直线的距离，接着建立空间直角坐标系求出，即可由空间中点到直线的向量距离公式求解所求距离. 【详解】取的中点，连接，由，知为的中点， 又为的中点，故， 由正方体性质可得且，故四边形为平行四边形， 所以，所以， 故直线与直线的距离等价于点到直线的距离， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以， 故， 所以，， 故点到直线的距离为. 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】分析可知，平面的法向量与共线，逐项判断即可. 【详解】因为平面与平面平行，且是平面的一个法向量， 则平面的法向量与平行，因为，， 向量、与向量不共线，所以，AD选项中的向量可以作为平面的法向量. 故选：AD. 10. 直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则直线平面 B. 若，则平面平面 C. 若，则平面所成锐二面角的大小为 D. 若，则直线与平面所成角的大小为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由，则直线平面或，可判断不正确；根据平面法向量的概念及空间角的求解方法，可判断正确. 【详解】由，则直线平面或，故错误； 由，则平面平面，故正确； 若，设平面和平面所成角为，且， 则， 所以平面所成锐二面角的大小为，故正确； 设直线与平面所成角为， 则，且， 所以直线与平面所成角的大小为，故正确. 故选：. 11. （多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 点F到点E的距离为 B. 点F到直线的距离为 C. 点F到平面的距离为 D. 平面到平面的距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】空间向量法求两点间距离判断A，求点到直线距离判断B，应用点到平面距离判断C，求面面距离判断D选项. 【详解】以D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意知，， ， ． 设平面的法向量为， 所以则可得平面的一个法向量为． 点F到点E的距离，故A正确； 点F到直线的距离为，故B正确； 点F到平面的距离，故C正确； 由正方体的性质可知，平面平面， 平面到平面的距离即为点F到平面的距离．故D错误． 故选：ABC． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上） 12. 已知向量，，，若共面，则等于_________. 【答案】9 【解析】 【分析】利用空间向量共面定理列方程，能求出结果． 【详解】因为，，且共面， ， ， ，解得． 即， 故答案为：9． 13. 空间中直线、平面的垂直 （1）线线垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，则_________. （2）线面垂直 新知生成 设直线的方向向量是，平面的法向量是，则_________. （3）面面垂直 若平面的法向量，平面的法向量，则_________. 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】略 【详解】略 14. 二面角中，，且，若，，则此二面角的大小为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二面角定义先确定其平面角为，利用空间向量的数量积公式及模长计算夹角即可. 【详解】 如图所示，根据题意知：，， ，， 易知二面角的平面角即， 所以， 即， 由空间向量夹角的范围知，所以， 即此二面角的大小为. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面分别为棱的中点 （1）证明：平面; （2）若，求直线与平面所成角的正弦值 【答案】（1）证明：分别为的中点， 为正方形， ,平面平面， 平面.； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意易知，根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由题意，两两垂直，所以建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，再通过空间角的向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题知平面 建立如图所示的空间直角坐标系， ，则， ，，， 设平面的一个法向量为 则，令则， 设直线与平面所成的角为， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16. 在直三棱柱中，与交于点是的重心，点在线段（不包括两个端点）上. （1）若为的中点，证明：平面； （2）若直线与平面所成的角正弦值为，求. 【答案】（1） 连接并延长，交于点，则为的中点， 连接， 因为为直三棱柱，所以平面平面， 又分别为的中点，所以， 故四边形为平行四边形，故， 又因为平面平面，平面平面， 所以， 因为平面平面，所以平面， 同理可得平面， 因为平面，且， 所以平面平面， 又平面，所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，证明出，，从而得到平面平面，证明出线面平行； （2）建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，求出平面的法向量，利用线面角的正弦值列出方程，求出，得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系， 设 则， 所以， 因为为的中点，所以，则， 设平面的一个法向量为， 由得，，取，则， 因为直线与平面所成的角正弦值为， 所以， 整理得，，解得或（不合题意舍）， 所以. 17. 如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，⊥平面，为上一点，且⊥，连接. （1）证明:⊥平面 ； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为⊥平面，平面， 所以⊥.又⊥，且，平面， 所以⊥平面. 因为，所以⊥平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到⊥，又⊥，从而得到线面垂直，根据得到答案； （2）作出辅助线，求出各边长，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，利用法向量夹角余弦公式进行求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作⊥，垂足为.则，又， 所以四边形是平行四边形，又⊥， 所以四边形是矩形，又四边形为等腰梯形， 且，，所以. 由（1）知⊥平面，又平面，所以⊥. 又，所以，在Rt中，. 在Rt中，. 以B为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示空间直角坐标系. 则， 所以，，，， 设平面的法向量为， 由，得， 解得，令，则，故， 设平面的法向量为， 由，得， 令得，， 可得， 因此. 故平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值为. 18. 如图，在四面体ABCD中，是正三角形，是直角三角形，，． （1）证明：平面平面； （2）若二面角的正切值为，求四面体与四面体的体积之比． 【答案】（1） 由题设得，，从而. 又是直角三角形，所以. 取AC的中点O，连接DO、BO，则DO⊥AC且， 又是正三角形，故. 则中，，又， 所以，故. 而且都在面，故面， 而面，所以平面ACD⊥平面ABC. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点O，连接，，得到，再由是正三角形，得到，利用面面垂直的判定证明； （2）以O为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立的空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式列出方程，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设， ，结合（1）结论， 以O为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 易知平面的法向量为， 设，由，可得，得， 设面的法向量为，则， 取，得，所以， 因为二面角的正切值为，则， 又，解得，所以， 所以到底面的距离与到底面的距离之比为， 所以四面体与四面体的体积之比. 19. 如图1，在等腰直角三角形中，分别是上的点，为的中点.将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） 连接，则， 在中，由余弦定理可得， 同理得， 因为，则，可得， 因为，则 可知， 又因为平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理和勾股定理可得，结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求点到面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，则， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得，， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则，可得， 所以点B到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高二（上）数学空间向量与立体几何（基础卷） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（ ）． A. B. C. D. 2. 已知空间向量满足，则向量的夹角为（    ） A. B. C. D. 3. 已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，设，，，则向量用 为基底表示为 （ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（ ） A. B. C. D. 5. 设，向量，，，且，，则（ ）． A. B. C. 5 D. 6 6. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知异面直线，所成的角为，，在直线上，，在直线上，，，，，，则，间的距离为（ ） A. 或 B. 4 C. D. 或4 8. 如图，在棱长为1的正方体中，为正方形的中心，为线段的中点，在上，且满足，则直线到直线的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（ ） A. B. C. D. 10. 直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则直线平面 B. 若，则平面平面 C. 若，则平面所成锐二面角的大小为 D. 若，则直线与平面所成角的大小为 11. （多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 点F到点E的距离为 B. 点F到直线的距离为 C. 点F到平面的距离为 D. 平面到平面的距离为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上） 12. 已知向量，，，若共面，则等于_________. 13. 空间中直线、平面的垂直 （1）线线垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，则_________. （2）线面垂直 新知生成 设直线的方向向量是，平面的法向量是，则_________. （3）面面垂直 若平面的法向量，平面的法向量，则_________. 14. 二面角中，，且，若，，则此二面角的大小为_________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面分别为棱的中点 （1）证明：平面; （2）若，求直线与平面所成角的正弦值 16. 在直三棱柱中，与交于点是的重心，点在线段（不包括两个端点）上. （1）若为的中点，证明：平面； （2）若直线与平面所成的角正弦值为，求. 17. 如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，⊥平面，为上一点，且⊥，连接. （1）证明:⊥平面 ； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 如图，在四面体ABCD中，是正三角形，是直角三角形，，． （1）证明：平面平面； （2）若二面角的正切值为，求四面体与四面体的体积之比． 19. 如图1，在等腰直角三角形中，分别是上的点，为的中点.将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $