30.1.2.2切线长定理 课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

（人教版）九年级上 第三十章 直线与圆的位置关系 30.1.2.2切线长定理 2 学习目标 1.初步学会运用切线长定理进行计算与证明. 2.探索切线长定理，并会利用切线长定理解决问题。 判断一条直线是圆的切线的方法 定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线; 数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切； 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. l A l O l r d 复习导入 新课导入 如图，圆外一点P，如何过点P画出⊙O的切线，这样的切线你能画出几条？ O A B 两条 方法一： 通过三角板的直角找切点；再连线。 P 方法二： O P A B (1) 连接OP，作线段OP的垂直平分线MN，与OP 交于点C; (2) 以点C为圆心，CO为半径作圆，与⊙O相交于A， B两点； (3) 作直线PA，PB，即所求作的切线. C M N 推进新课 画一画： 切线长定理 知识点1 1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？ 2.这样的切线能画出几条？ 如下左图，借助三角板，我们可以画出⊙O的切线PA. . O P. A B 6 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. 切线与切线长有什么区别与联系呢？ 切线长概念 . O P. A B 切线和切线长是两个不同的概念： 1.切线是一条与圆相切的直线； 2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点. 切线和切线长 比一比： . O P. A B 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过点O，P作直线OP. 线段PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？ O P A B 新知探究 知识点1 切线长定理 发现：①PA=PB ②∠APO=∠BPO O P A B 证明：如图，连接OA和OB. ∵PA和PB是⊙O的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP. 又OA=OB，OP=OP. ∴Rt△AOP≌Rt△BOP. ∴PA=PB，∠APO=∠BPO 请证明你所发现的结论. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，将⊙O沿着直线OP对折，图中的PA与PB，∠APO与∠ BPO有什么关系? 思考 折一折 PA = PB ∠APO=∠BPO 发现： 请证明你所发现的结论. 证明： ∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点. ∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°. ∵ OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL). ∴ PA = PB，∠OPA=∠OPB. 试用文字语言叙述你所发现的结论. PA，PB分别切⊙O于A，B PA = PB ∠APO=∠BPO 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 几何语言: 切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法. 切线长定理 O P A B 探究：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C. （1）写出图中所有的垂直关系； OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （3）写出图中所有的全等三角形； △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP （4）写出图中所有的等腰三角形； △ABP △AOB （2）写出图中与∠OAC相等的角和图中相等的线段； ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC，OA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC. O B A P E C D PA、PB分别切⊙O于A、B PA = PB ∠OPA=∠OPB 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 几何语言: 切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法. 切线长定理 探究：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C. B A P O C E D （1）写出图中所有的垂直关系； OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （3）写出图中所有的全等三角形； △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP （4）写出图中所有的等腰三角形； △ABP △AOB （2）写出图中与∠OAC相等的角和图中相等的线段； ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC，OA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC. 切线长定理运用的基本模型： （1）分别连接圆心和切点 （2）连接两切点 （3）连接圆心和圆外一点 O B A P 切线的性质： 1.圆的切线和圆只有一个公共点. 2.圆心到切线的距离等于半径. 3.圆的切线垂直于过切点的半径. 4.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 1. 返回 已知：⊙O和⊙O外一点P. 尺规作图：在图中，过P点作⊙O的两条切线PE，PF，E，F为切点． 解：①连接PO，作PO的垂直平分线AB交PO于点C； ②以点C为圆心，CO长为半径作圆交⊙O于点E，F， ③作直线PE，PF，则直线PE，PF即为所求． 19 返回 2. 如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是(　　) C 例3 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，连接AB,若∠APO=30°,OP=2，求△PAB 的周长. 解：如图,连接OA. ∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点， ∴PA=PB, ∠APO=∠BPO, OA⊥PA. 又∠APO=30°, ∴ ∠APB=60° ∴ △PAB是等边三角形. ∴ AB=PA=PB. 又在Rt△POA中,∠APO=30°,OP=2, ∴ OA=1,PA==. ∴ △PAB的周长为3. . O P A B 1.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°，求∠P的度数. 解：由切线长定理可知PA=PB. ∵PA是⊙O的切线. ∴∠OAP=90°. ∵∠BAC=25°, ∴∠BAP=65°. 又∵PA＝PB, ∴∠BAP=∠ABP=65°. ∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=50°. A O B C P 【选自教材P154 练习 第1题】 试一试 返回 3. [邢台校级期中]如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D.若AB＝10，AC＝6，则BD的长是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 B 如图，一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢? 思考 三角形的内切圆 知识点2 ． o 外接圆圆心(外心)：三角形三边垂直平分线的交点. 外接圆的半径：交点到三角形任意一个顶点的距离. 三角形外接圆 三角形内切圆 ． o 内切圆圆心(内心)：三角形三个内角平分线的交点. 内切圆的半径：交点到三角形任意一边的垂直距离. A A B B C C 1.通过本课的学习，你学到了哪些内容？ 2.学习了本课你有何感想？ 请畅所欲言. 26 课堂小结 切线长 切线长定理 原理 作用 辅助线 →图形的轴对称性 →提供了证线段和角相等的新方法 ①分别连接圆心和切点； ②连接两切点； ③连接圆心和圆外一点. → 谢谢大家聆听 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. A．4 B．4 C．8 D．8 $