30.1.2.2切线长定理课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“切线长定理”，系统涵盖定义、定理内容、四大延伸结论及双切线模型，通过折纸情境与尺规作图操作，从过圆上一点切线自然过渡到圆外一点切线，搭建新旧知识学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究，通过折纸猜PA与PB关系、尺规作图验证切线作法，培养学生几何直观与推理能力。分层练习结合基础与拔高，双切线模型口诀助学生构建知识体系，提升解题效率，教师可直接用于教学，减轻备课负担。

人教版（新教材）数学九年级上册 第三十章 直线与圆的位置关系 30.1.2.2切线长定理 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/5 30.1.2.2 切线长定理（专项精讲） 一、核心知识点（中考必考） 1. 切线长的定义 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长。 注意区分：切线是直线（无长度），切线长是线段（有长度）。 2. 切线长定理（核心定理） 定理内容：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 几何语言：若点P在⊙O外，PA、PB分别切⊙O于A、B，则： 1. $$PA=PB$$（切线长相等） 2. $$\angle APO=\angle BPO$$（平分夹角） 3. OP垂直平分弦AB（延伸结论，高频考） 3. 切线长定理四大延伸结论 1. 圆心与圆外点的连线，垂直平分两切点的连线； 2. 两切点与圆心构成等腰三角形$$\triangle OAB$$； 3. 两切线与圆外点构成等腰三角形$$\triangle PAB$$； 4. 四边形OAPB中有两个直角：$$\angle OAP=\angle OBP=90^\circ$$。 二、常考几何模型 模型：双切线模型（必考） 圆外一点引两条切线，出现一组等线段、一组等角、两个直角、两个等腰三角形，可用于求边长、求角度、证线段相等、证角相等。 三、高频易错点 1. 切线长相等仅限圆外一点引出的两条切线，任意两条切线长度不一定相等。 2. 区分切线（直线）和切线长（线段），填空题、判断题常挖坑。 3. 解题优先用定理得等腰、得等角，不用反复证全等，节省解题时间。 --- 四、专项练习题 选择题（每题4分） 1. 从圆外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，若PA=6，则PB的长为（） A. 3 B. 6 C. 12 D. 无法确定 2. 圆外一点引圆的两条切线，夹角为80°，则圆心与该点的连线平分夹角后的角度为（） A. 20° B. 40° C. 80° D. 100° 3. 关于切线长定理，下列说法正确的是（） A. 任意两条切线长相等 B. 圆外一点引两条切线，切线长相等 C. 切线是有长度的线段 D. 圆心连线不平分切线夹角 填空题（每题4分） 4. 从圆外一点引圆的两条切线，它们的________相等。 5. 圆外一点与圆心的连线，________两条切线的夹角。 6. PA、PB切⊙O于A、B，$$\angle APB=60^\circ$$，则$$\angle APO=$$________°。 基础计算题（20分） 7. 已知PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B，PA=8，求PB的长度，并说明理由。 拔高证明计算题（28分） 8. 如图，PA、PB切⊙O于A、B，连接OA、OB，已知$$\angle APB=40^\circ$$，求$$\angle AOB$$的度数。 --- 五、参考答案与详细解析 1. B 解析：根据切线长定理，圆外一点引两条切线，切线长相等，故PB=PA=6。 2. B 解析：圆心与圆外点连线平分切线夹角，$$80^\circ\div2=40^\circ$$。 3. B 解析：A缺少“同一点引出”条件；C切线是直线，无长度；D圆心连线平分夹角。 4. 切线长 5. 平分 6. 30 解析：平分夹角，$$60^\circ\div2=30^\circ$$。 第7题解析 解：$$PB=8$$。理由：根据切线长定理，从圆外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，两条切线长相等，因此$$PB=PA=8$$。 第8题解析 解：∵PA、PB是⊙O的切线，∴$$OA\perp PA$$，$$OB\perp PB$$，即$$\angle OAP=\angle OBP=90^\circ$$。在四边形OAPB中，内角和为360°，∴$$\angle AOB=360^\circ-90^\circ-90^\circ-40^\circ=140^\circ$$。 本节小结 切线长定理是圆章节高频计算、证明考点，核心口诀：一点两切，长度相等，连线平分夹角。常结合切线性质、四边形内角和、等腰三角形综合出题，熟练掌握双切线模型可快速秒杀角度、线段长度题型。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 掌握切线长的定义及切线长定理. 初步学会运用切线长定理进行计算与证明. 问题 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？ P O B A 情境导入 新课导入 情景：如图，纸上有一个⊙O, PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B. 问题1：OB是⊙O的半径吗？PB是⊙O的切线吗？ 问题2：猜一猜图中的PA与PB有什么关系？∠APO与∠BPO有什么关系？ . O P. A B 情境导入 思考：那你知道如何过圆外一点作圆的切线吗？如图 ，P 是 外一点，如何过点P 作 的切线？ 因为两点确定一条直线，并且所求作的直线过点 𝑃且与相切， 所以需在上确定一点 𝐴， 满足𝑂𝐴⊥𝐴𝑃，即 ∠𝑂𝐴𝑃=90°. 由此可知，点 𝑂，𝑃，𝐴 可以确定一个圆， 𝑂𝑃是这个圆的直径. 因此以 𝑂𝑃为直径作圆，该圆与的交点即为所要确定的点. P O A 请你根据上面的想法，用直尺和圆规作出过圆外一点的圆的切线. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 90°的圆周角所对的弦是直径 探究新知 P O 如图 ：(1) 连接 OP，作线段 OP 的垂直平分线 MN，与 OP 交于点 C； (2) 以点 C 为圆心，CO 为半径作圆，与 相交于 A，B 两点； (3) 作直线 PA，PB，即所求作的切线. M N C A B 探究新知 可以看到，过圆外一点可以作出两条直线与这个圆相切.我们把经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长（如图中的线段PA，PB的长），叫作这点到圆的切线长. P O M N C A B 注意：切线是一条直线，无法度量， 切线长是切线上一条线段的长，即圆外切线上一点和切点之间的距离，可以度量. 探究新知 如图，连接  和 . ∵  和  是  的两条切线， ∴ ，. 又 ，， ∴ Rt△POA ≌ Rt△POB， ∴ ，. 思考：如图，PA，PB 是  的两条切线，切点分别为 A，B，过点 O，P 作直线 OP. 线段 PA 与 PB，∠APO 与 ∠BPO 有什么关系？ 探究新知 知识点1 过圆外一点作圆的切线 1.如图，数学活动课上，老师让同学们根据切线的定义，用尺规过点 作 的一条切线. 举一反三 9 （1）尺规作图：作的切线 .（保留作图痕迹）. 解：如图，直线， 即为所求的切线（作一条即可）. （2）作图的依据是：________________________. 直径所对的圆周角是直角 返回 举一反三 10 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 符号语言： ∵PA和PB是的两条切线，A，B是切点， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. 探究新知 解：如图，连接 . ∵ ， 是  的两条切线，， 是切点， ∴ ，，. 又 ， ∴ ， ∴  是等边三角形， ∴ . 又 在 Rt△POA 中，∠APO = 30°，OP = 2， ∴ OA = 1，PA = ， ∴ △PAB 的周长为 . 如图 ，， 是  的两条切线，， 是切点，连接 . 若 ，，求  的周长. 例1 探究新知 如图， 是  的切线，切点分别是 P，C，D. 若 AB=10，AC=6，则 BD 的长是 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 跟踪训练 解析：∵ AC，AP 为 的切线， ∴ AC=AP=6. ∵ BP，BD 为 的切线， ∴ BP=BD， ∴ BD=PB=AB-AP=10-6=4. B 探究新知 知识点2 切线长定理 2.已知点是外一点，过点可作 的切线条数是( ) C A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 返回 举一反三 14 （第3题） 3.如图，从外一点引的两条切线， ， 切点分别为，，如果 ， ， 那么弦 的长是( ) C A.4 B. C.8 D. 返回 举一反三 15 （第4题） 4.如图，，，是 的切线，切点分 别是，，.若，，则 ( ) B A.6 B.8 C.10 D.12 返回 举一反三 16 5.如图，，为的切线，切点分别为 ， ，交于点，的延长线交于点 ， 则下列结论不一定成立的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 17 （第6题） 6.如图是一个不倒翁的平面示意图，不倒翁的圆形脸恰好 与帽子边沿，分别相切于点， ，不倒翁的鼻尖正 好是圆心，若，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 18 （第7题） 7.[重庆期末] 如图，射线，分别切 于点 ，，直线切于点，交于点，交 于点，若的周长是，则点到 的 切线长是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 19 8.［教材习题变式］如图，，， 分别 与相切于，，三点，且 ， ， . （1）求证： ； 解：证明：根据切线长定理得， . ， ， ， ， . 举一反三 20 （2）求 的长. 解：连接与相切于点， . 由（1）知 . ， ， 由勾股定理得 ， ，即 , ， 举一反三 21 . 由切线长定理得 . 返回 举一反三 （第9题） 9.如图，，是的切线，切点为， ，点 ，在上，若 ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 23 （第10题） 10.如图，已知及外一定点 ，嘉嘉进行了 如下操作后，得出了四个结论： ①点是 的中点； ②直线，都是 的切线； ③点到点、点 的距离相等； . 上述结论正确的是( ) C A.① B.② C.①②③ D.①②③④ 返回 举一反三 24 （第11题） 11.如图，过外一点作的两条切线 ， ，切点分别为，，与交于点，与 交于点，为的直径.若， ， 则 的长为( ) B A.2 B.3 C. D. 返回 举一反三 25 切线长 切线长定理 *尺规作图 *切线长定理 过圆外一点作圆的切线. 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 探究新知 谢谢观看 THANKS $