30.1.2 圆的切线（ 第1课时 切线的性质与判定）课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦切线的性质和判定定理，通过转动雨伞雨滴、砂轮磨刀火花等生活实例导入，连接直线与圆位置关系的已有知识，搭建从生活现象到数学概念的学习支架。 其亮点在于以数学思维（反证法、构造法证明定理）和数学语言（规范应用格式、辅助线口诀）为主线，结合“判一判”互动和分层例题，培养学生推理意识与应用能力。教师可利用结构化小结和当堂练习提升教学效率，学生能在实例中深化对切线的理解。

M A T H E M A T I C S 直线与圆 L I N E & C I R C L E 离在毫厘 交在咫尺 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 数学课件 教 学 设 计 数缺形时少直观，形少数时难入微。 ——华罗庚 教 学 课 件 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线的性质与判定 1 第三十章 直线与圆的位置关系 30.1.2　切线的性质和判定 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线的性质与判定 目录页 新课导入 讲授新课 当堂练习 课堂小结 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线的性质与判定 3 1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线. 2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.（重点） 3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.（难点） 学习目标 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线的性质与判定 新课导入 教学目标 教学重点 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线的性质与判定 5 情境引入 转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？ 都是沿切线方向飞出的. 生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白. 新课导入 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线的性质与判定 讲授新课 典例精讲 归纳总结 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线的性质与判定 7 思考：如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？ A l O ∵直线l是⊙O 的切线，A是切点， ∴直线l ⊥OA. 切线的性质 圆的切线垂直于过切点的半径． 应用格式 1 知识点 切线的性质 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线的性质与判定 小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直. （1）假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M, （2）则OM<OA,即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾. C D B O A （3）所以AB与CD垂直. M 证法1：反证法. 性质定理的证明 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线的性质与判定 C D O A 证法2：构造法. 作出小⊙O的同心圆大⊙O，CD切小⊙O于点A,且A点为CD的中点，连接OA,根据垂径定理，则CD ⊥OA,即圆的切线垂直于经过切点的半径． 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线的性质与判定 如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC. (1)求证：△ACB≌△APO； (2)若AP＝ ，求⊙O的半径． 解析：(1)根据已知条件我们易得∠CAB=∠PAO=90°，由∠P=30°可得出∠AOP=60°，则∠C=30°=∠P，得AC= AP.这样就凑齐了角边角，可证得△ACB≌△APO； O A B P C (2)由已知条件可得△AOP为直角三角形，因此可以通过勾股定理求出半径OA的长. 例题1 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线的性质与判定 11 (1)求证：△ACB≌△APO； O A B P C 在△ACB和△APO中， ∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB， ∴△ACB≌△APO. (1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点， 又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°， 又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形． ∴AB＝AO，∠ABO＝60°. 又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°. ∴∠OAP＝90°. 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线的性质与判定 12 (2)若AP＝ ，求⊙O的半径． O A B P C ∴OP=2OA. ∴AP= OP. ∴OA＝1，即⊙O的半径为1. (2)解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝ ， 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线的性质与判定 13 利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题. 方法总结 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线的性质与判定 知识点 切线的判定 2 　　如图，在⊙O中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA，则圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和⊙O 有什么位置关系？ 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． l O A 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线的性质与判定 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. OA为⊙O的半径 BC ⊥ OA于A BC为⊙O的切线 Ｏ A B C 切线的判定定理 应用格式 要点归纳 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线的性质与判定 判一判：下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ O. A O. A B A O (1) (2) (3) (1)不是，因为没有垂直. (2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A. 在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 注意 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线的性质与判定 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线; 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切； 3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. l A l O l r d 要点归纳 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线的性质与判定 如图,∠ABC=45°，AB是☉O的直径，且AB=AC. 求证：AC是☉O的切线. 解析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可. 证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°. ∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°. ∵AB是☉O的直径， ∴ AC是☉O的切线. A O C B 例题2 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线的性质与判定 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线. O B A C 分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可. 证明：连接OC(如图). ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.　 ∴ AB⊥OC. ∵ OC是⊙O的半径, ∴ AB是⊙O的切线. 例题3 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线的性质与判定 如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB 求证：直线AB是⊙O的切线. C B A O 如图，OA＝OB=5，AB＝8, ⊙O的直径为6. 求证：直线AB是⊙O的切线. C B A O 对比思考 ？ 作垂直 连接 方法归纳 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线的性质与判定 (1) 有交点，连半径,证垂直; (2) 无交点，作垂直,证半径. 证切线时辅助线的添加方法 有切线时常用辅助线添加方法 见切点，连半径，得垂直. 切线的其他重要结论 (1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; (2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 要点归纳 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线的性质与判定 当堂练习 当堂反馈 即学即用 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线的性质与判定 23 1 (5分) 选择题 如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点， 连接OB交⊙O于点C.若AB＝8，OA＝6，则BC的长为（　） A．3 B．4 C．5 D．6 答案 答案：B 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线的性质与判定 2 (5分) 选择题 如图，点A，B均在⊙O上，直线PC与⊙O相切于点C.若∠CAP＝35°， 则∠APC的度数是（　） A．20° B．25° C．30° D．35° 答案 答案：A 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线的性质与判定 3 (10分) 解答题 如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C.求证：AC＝BC. 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线的性质与判定 26 3 (10分) 解答题（续） 答案 证明：连接OC. ∵⊙O与AB相切于点C， ∴OC⊥AB. ∵OA＝OB， ∴AC＝BC. 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线的性质与判定 4 (10分) 解答题 如图，已知AB＝AC，BD＝CD，点D在BC上， 以点A为圆心的圆恰好经过点D.求证：BC为⊙A的切线． 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线的性质与判定 4 (10分) 解答题（续） 答案 证明：连接AD. ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC. 又∵AD是⊙A的半径， ∴BC为⊙A的切线． 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线的性质与判定 课堂小结 归纳总结 构建脉络 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线的性质与判定 30 切线的 判定方法 定义法 数量关系法 判定定理 1个公共点，则相切 d=r，则相切 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的 性质 证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径. 有1个公共点 d=r 性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 有切线时常用辅助线 添加方法： 见切线，连切点，得垂直. 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线的性质与判定 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 E N D O F C L A S S · 感谢您的聆听 再会 愿图形与数量之间的对话，成为你日常的乐趣。 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 · 切线的性质和判定 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 切线的性质与判定 32 $