专题2 特殊三角形存在性问题-【荣恒专项】2026年初中数学函数秒解（初中通用）

参考答暴 直线4C的解析式为y=x-1. .点C的坐标为（6,0)，.OC=6, ∴.OM=PM=3. ∠PBA=∠CAB,.AC∥PB, :直线PB的解析式为y=3x-3, 直线y=子+m, OB_2 “OA-31 .∠OAB=∠PAM,∠AOB=∠APM= 当y=0时，x=9,故点P坐标为(9,0) 综上所述，点P的坐标为(1,0)或 90°， (9,0). ..△AOB∽△APM, PM_OB_2 “PAOA=3 .P4=9 在Rt△MPA中，MA=√PM+PP= +-B, 图2 分层训练/ 01=3+号丽或01=3丽-3 1.解：(1)把(-2,0)，(4,0)分 :点A的横坐标为2m, 别代入y=-方+x+c, m=3+ 或m=3-压， 方×(-2)2-2b+c=0, .m=2+√13或m=2-√13. 得 2×43+4b+c=0, 综上，m的取值范围是2-√13≤m≤ 2+V13. 解得 b=1, ·抛物线所对应的函数解 c=4, 专题2 特殊三角形存在性问题 析式为y=-24x+4 12 变式训练 (2)存在点P,使∠DCE=∠DEC, 1.解：（1)令y=0,则2x+4=0,解得 其中点P的坐标为(4-2√2,0)或 x=-2, (4+2√2,0) .点A的坐标为（-2,0) 2.解：要使∠OPC=90°，则直线AB必 令x=0,则y=4, 经过以OC为直径的圆，如图，设直 点B的坐标为(0,4). 线AB与⊙M相切于点P. （2)如图，过点C作CE⊥BD,垂 足为E. A 103 初中致学函数少解 .CB=CD,CE⊥BD,.BE=DE 分层训练 BD∥x轴， 1.解：存在. “点D的坐标为(4k,4), :二次函数y=-x2+bx+c的图象经过 “点C的坐标为（号k,8) 点A(-1,0),B(3,0), -1-b+c=0, b=2, :点C在一次函数y=2x+4的图象上， -9+3b+c=0, 解得 C=3, ∴4k+4=8,解得k=16. .抛物线所对应的函数解析式为y= 2解：(1)把(-2,2)代入y=鉴得 -x2+2x+3. -2=,解得k=4, .B(3,0),C(0,3),∴OC=OB, “反比例函数的解析式为广是 则△BOC是等腰直角三角形. 把(a,1)代人y=是得1=是解得 :·当△BCP是以BC为底的等腰三角 a=4,∴点B的坐标为（4,1). 形时，PB=PC, 把(-2，-2)，(4,1)分别代人一次函数 ∴.点P在∠COB的平分线上，即在直 线y=x上， -2=-2m+n, 解析式y=mx+n,得 1=4m+n, 联立得=+2x+3, y=x, 解得 n=-1, x=1-3 x=l+13 解 2 或 2 一次函数的解析式为y=x-1 1-3 y= y=1+V13 2 (2)AP2=(-2-0)2+(-2-b)2=b2+ 点P的坐标为 -3,1-3)或 4b+8, 2 AB2=(4+2)2+(1+2)2=45, (1+3,1+3) 2， 2 BP2=(4-0)2+（1-b)2=b2-2b+17. 2.解：（1)抛物线y=a2+bx+c经 当∠BAP=90°时，AB2+AP2=BP2, 过点A(-3,0),B(1,0),C(0,3), 即45+b2+4b+8=b2-2b+17, 9a-3b+c=0, a=1, 整理，得6b=-36,.b=-6. ∴.a+b+c=0, 解得b=2, 当LABP=90°时，AB2+BP2=AP2, c=-3, c=-3, 即45+b2-2b+17=b2+4b+8, .抛物线所对应的函数解析式为y= 整理，得6b=54,.b=9. x2+2x-3. 综上，b的值为-6或9. (2)存在，点M的坐标为(0，多)或 104 参考答暴 (0,-3)或(0，-1)或(0，-3). 把点A的坐标(1,2)代入y=套解 提示：y=x2+2x-3=(x+1)2-4, 得k=2, .顶点D的坐标为（-1，-4). 则反比例函数的解析式是)=子 点A的坐标为（-3,0)， (2)存在点C,使△ABC为直角三角形， AD2=（-1+3)2+（-4-0)2=20. 分两种情况讨论。 设点M的坐标为(0，t),则AM2= ①当∠ACB=90°时，如图1所示. (-3-0)2+t2=t+9,DM2=(-1-0)2+ (t+4)2=t2+8t+17 分情况讨论： ①当点A为直角顶点时，由勾股定理， 得AM2+AD2=DM, B 即r+9+20-+8+17,解得1多 图1 :点A与点B关于原点对称，点A的 则点M的坐标为(0， 3) 坐标为（1,2)， ②当点D为直角顶点时，由勾股定理， .OA=OB,点B的坐标为(-1，-2)， 得DMP+AD2=AM, .AB=√(1+1)2+(2+2)2=2√5. 即48+7+20=f49,解得1=-名 :△ABC为直角三角形， 则点M的坐标为(0，-子). ·.OC是斜边AB上的中线， ③当点M为直角顶点时，由勾股定理， 0C=2AB=5. 得AM+DMP=AD2, 又.点C在x轴正半轴上， 即+9+2+8t+17=20,解得t=-1 .点C的坐标为（√5,0）. 或-3，则点M的坐标为（0，-1)或 ②当∠CAB=90°时，如图2所示 (0,-3). 过点A作AD⊥x轴于点D, 综上所述，在y轴上存在点M,使得 △ADM是直角三角形，此时点M的坐 标为(0， )或(0，-3)或(0，-1) 或(0，-3). 3.解：（1)把点A的坐标（1,2)代入 y=mx,得m=2, B 则一次函数的解析式是y=2x. 图2 105 初中致学函数少解 .∠CAB=∠ADO=90° .·AD为新抛物线的对称轴， 又.∠AOD=∠COA, .∠CAD=∠BAD=45°，AB=AC, .△AOD△COA, .∠BAC=90°， 04=0D ∴.△ABC是等腰直角三角形. ∴OCOA 由（1)得，点B的坐标为（0,1)， 点A的坐标为（1,2)， 新抛物线的对称轴为直线x=1, .0A=√2+1=√5，OD=1, 点C的坐标为（2,1)， .5=,解得0C=5, 0c5, 故存在点C,使△ABC为等腰直角三 点C的坐标为(5,0) 角形，点C的坐标为(2,1). 综上可得，点C的坐标为（√5,0）或 专题3 特殊四边形存在性问题 (5,0). 变式训练 4.解：(1)由题意可得，新抛物线所对 应的函数解析式为y=(x-a)2,∴.新 1.① 根据抛物线的解析式y=)（(x-1)2- 抛物线的顶点为A(a,0),∴.OA=a. 可知其对称轴是直线x=1,顶点坐 当x=0时，y=a2,∴点B的坐标为(0， a2),即OB=a2. 标为(1，-)，故①正确； :△AOB为等腰直角三角形， .OA=OB,.a=a2,解得a=1或 令y=x-1只0，解得x=5+1, x2=1-V5,AB=2√5， a=0(舍去)，.a的值为1. （2)存在. .⊙M的面积为元(25)2=5元，故 如图，作点B关于新抛物线对称轴对 ②错误； 称的点C,连接AC,BC,BC交新抛 当x=0时，y=3×(0-1)2-3=-2, 物线的对称轴于点D. .点C的坐标为(0，-2). AB为直径， ∴.点M的坐标为(1,0)，AM=√5。 四边形ACEM为平行四边形， .CE∥AM,CE=AM, 点E的坐标为（√5，-2） .△AOB是等腰直角三角形， 当x=5时，y=7×(5-1)2 ∴.△ABD是等腰直角三角形， .∠BAD=45° 分5≠-2， 106初中数学函数解 速记口诀 一顶二顶圆周动，三顶 中垂直线行， 易错警示 “两圆一线”找动点时， 需排除与直线AB的交点 (圆与直线AB的交点会 导致三点共线，无法构 成三角形)， 变式训练 1.如图，一次函数y= 2x+4的图象与x轴、 y轴分别交于A,B两 点，与反比例函数y=月 (k≠0，x>0)的图象 交于点C,过点B作x 轴的平行线与反比例函 数y=皇(k≠0，x>0) 的图象交于点D,连接 CD. 70 专题2 特殊三角形存在性问题 ⊙考点突破 考点① 等腰三角形存在性问题3年219考重点 1.“两圆一线”找动点 已知条件 作法 △ABC是等腰三角形， ①以点A为圆心、AB长为 A,B是定点，C是动点， 半径作圆； 确定点C的轨迹 ②以点B为圆心、AB长为 半径作圆； ③作线段AB的垂直平分线 核心结论 两圆和一线上的点为点C(不含直线AB上的点) 2.求动点坐标 利用两点间距离公式、中点坐标公式求解 已知条件 一题多解 等腰三角形ABC,求动 ①代数法（设出动顶点坐标， 顶点C 通常用一个未知数表示)； ②几何法 注意事项 利用代数法求解时，需分AB=AC,BA=BC,CA=CB 三种情况，分别列方程求解 母题1如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3, 0),C(0,3)三点，直线1是抛物线的对称轴. (1)求抛物线所对应的函数解析式. (2)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形？ 若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. B 模块穴函数中动点存在性问题 交思路分析 已知 未知 抛物线经过 利用代数法（套用两函数解析式、 三点的坐标 点间距离公式)求解 动点坐标 ®规范解答 B 解：(1)将(-1,0)，(3,0)，(0,3)分别代入 [a-b+c=0, a=-1, y=ax2+bx+c,得9a+3b+c=0,解得b=2, c=3, (c=3, (1)求A,B两点的坐标 ∴.抛物线所对应的函数解析式为y=-x+2x+3. (2)若△BCD是以BD （2)存在. 为底边的等腰三角形， 如图，过点C作CH⊥I交直线I于点H. 求k的值， B 抛物线与x轴交于A（-1,0),B（3,0)两点， ·抛物线的对称轴为直线x=-1+3=1,·CH=1. 2 设点M的坐标为（1，m). A(-1,0),C(0,3), AM2=m2+4,CM2=（3-m)2+12=m2-6m+10, AC2=10 分三种情况讨论： ①若AM=CM,则Af=Cf,.m2+4=m2-6m+ 10,解得m=1,.点M的坐标为（1,1). ②若AM=AC,则Af=AC2,·.m2+4=10, 解得m=±√6，点M的坐标为(1，√6)或(1，-√6). ③若CM=AC,则Cf=AC2,m2-6m+10=10,解 得m=0或m=6. 当m=6时，M,A,C三点共线，不构成三角形（不符合 题意，舍去)，点M的坐标为（1,0) 综上所述，存在点M,使△MAC为等腰三角形，符合条 件的点M的坐标为(1,1)或（1，√)或(1，-√6) 或（1,0). 1 初中数学函数解 易错警示 未明确哪个点是三角形 的直角顶点时，需分情 况讨论·分别以各点为直 角顶点，利用勾股定理 或两直角边所在直线的 斜率关系列方程，并结 合函数解析式求解. 72 考点②直角三角形存在性问题3年166考难点 1.“两线一圆”找动点 已知条件 作法 △ABC是直角三角形， ①过点A作AB的垂线； A,B是定点，C是动点 ②过点B作AB的垂线； 确定点C的轨迹 ③以AB为直径作圆 核心结论 “一圆”和“两线”上的点为点C(不含点A,B) 2.求动点坐标的方法 已知条件 一题多解 直角三角形ABC,求动 ①垂直求“k”值法； 顶点C ②定点定长法； ③“一线三直角”模型法； ④勾股定理法 注意事项 利用“一线三直角”模型法求解时，有以下常见题型： ①利用该模型求“两线”上的点C; ②利用该模型求“一圆”上的点C 母题2如图，抛物线y=x2-mx-5与x轴交于点A,B, 与y轴交于点C,且对称轴1为直线x=2 (1)求该抛物线所对应的函数解析式. (2)连接BC.在对称轴1上是否存在点N,使△CNB为 直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说 明理由 交思路分析 已知 未知 抛物线对称 求抛物线所对 利用抛物线顶点式、 轴，直角三 应的函数解析 角形CNB 勾股定理解题 式、动顶点N ®规范解答 解：（1)'抛物线y=x-mx-5的对称轴为直线x=2, -=2,六m=4, ∴.抛物线所对应的函数解析式为y=x2-4x-5. (2)存在. 由（1)知，抛物线所对应的函数解析式为y=x2-4x-5. 令x=0,则y=-5,点C的坐标为(0，-5). 令y=0,则x2-4x-5=0,解得x=-1或x=5. :点A在点B的左侧， 点A的坐标为(-1,0)，点B的坐标为（5,0). 设点N的坐标为（2，n).B(5,0),C(0,-5), NC=22+（n+5)2=n2+10n+29,NB2=(2-5)2+n2 9+n2,BC2=52+52=50. 分三种情况讨论： ①当∠CNB=90°时，NC+NB2=BC2, 即n2+10n+29+9+n2=50,解得n=-6或n=1, 点N的坐标为（2，-6)或（2,1). ②当∠NCB=90°时，NC+BC2=NB, 即m2+10n+29+50=9+m2,解得n=-7, 点N的坐标为（2，-7). ③当∠NBC=90°时，NB2+BC2=NC, 即9+n2+50=n2+10n+29,解得n=3, 点N的坐标为（2,3). 综上所述，点N的坐标为（2，-6)或(2,1)或(2，-7 或(2,3). 模块穴函数中动点存在性问题 变式训练 2.如图，一次函数y= mx+n（m,n为常数， m≠0)的图象与反比例 函数y=(k≠0)的 图象交于A(-2,-2), B(a,1)两点. (1)求一次函数和反比 例函数的解析式； (2)点P(0,b)是y 轴上一点，若△ABP是 以AB为直角边的直角三 角形，求b的值， 73 初中数学函数》解 分层训练 @基础过关 2.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过 点A(-3,0),B(1,0)，,C(0,-3). 1.如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的 图象经过点A(-1,0),B(3,0), 交y轴于点C.抛物线上是否存在点 P,使△BCP是以BC为底的等腰三 角形？若存在，求出点P的坐标；若 不存在，请说明理由。 (1)求抛物线所对应的函数解析式 (2)设抛物线的顶点为D,过点 D作DE⊥x轴于点E,在 y轴上是否存在点M,使得 △ADM是直角三角形？若存 在，请直接写出点M的坐标； 若不存在，请说明理由· 74 心素养拔高 3.如图，一次函数y=mx与反比例函 数y=的图象相交于，B两点， 点A的坐标为(1,2). B (1)求一次函数和反比例函数的解 析式. (2)在x轴正半轴上是否存在点C, 使△ABC为直角三角形？若存 在，请求出点C的坐标；若不 存在，请说明理由。 模块穴函数中动点存在性问题 4.如图，将抛物线y=x向右平移a（a> 0)个单位长度得到新抛物线，新抛 物线的顶点为A,与y轴交于点B, 且△AOB为等腰直角三角形 (1)求a的值 (2)在新抛物线上是否存在一点C, 使△ABC为等腰直角三角形？ 若存在，请求出点C的坐标； 若不存在，请说明理由. 5