专题1 角的存在性问题-【荣恒专项】2026年初中数学函数秒解（初中通用）

模块 函数中动点存在性问题 专题1角的存在性问题 ©考点突破 考点 角的存在性问题3年215考重点 已知角的度数或三角函数值，在函数图象 已知定角或三角上求符合条件的点.通过构造直角三角形， 函数值找点 利用三角函数关系列方程，结合等腰、直 角三角形等图形的性质，确定点的坐标 常见于两角相等、互余、倍分等关系，利 角的数量关系 用相似、全等的性质转化角度，结合一次 问题 函数的斜率、三角函数建立等式求解 判断是否存在动点，使得夹角为直角、45° 角等特殊角· 特殊角存在性 思路：若为直角，可利用勾股定理或两直 问题 线垂直的斜率关系kk2=-1列方程；若为 45°角，可构造等腰直角三角形，结合边 长建立等量关系求解 母题如图，抛物线与x轴交于点A,B(3,0),与y 轴交于点C,其顶点D的坐标为(1，-4). B D (1)求抛物线所对应的函数解析式· (2)如果直线y=x+a与抛物线交于M,N两点， 那么是否存在a的值，使得∠MON=90°？若存在， 求出a的值；若不存在，请说明理由. 67 初中致学函数少解 效思路分析 已知 未知 变式训练 如图，直线y=x-3与 本题为特殊角的存在 x轴和y轴分别交于A, 性问题，设出点的坐 抛物线所对应 B两点·第四象限中有 抛物线上点 标，通过根与系数的的函数解析式 一点C(2,a),连接 的坐标 关系和勾股定理求及M,N两点 AC,BC,BC∥x轴. 得点坐标之间的数的坐标 将△ABC沿AB折叠， 量关系 使点C落在点C处.若 在x轴上存在一点P,满 足∠PBA=∠CAB,则 ®规范解答 点P的坐标为 解：（1)设抛物线所对应的函数解析式为y=a（x-1)2- 4,把B（3,0)代入，得0=a(3-1)2-4,解得a=1, 则y=(x-1)2-4=x2-2x-3. (2)存在.理由如下：假设存在a的值，使直线y=x+ a与抛物线y=x2-2x-3交于M(x1,y),N(x2,2) 两点（点M在点N的左侧），且∠MON=90°， 由 2x+a, 得2x2-5x-6-2a=0, y=x2-2x-3, 出+名=多 ,3=-a-3. 又=x+a,为=+a, =(3x+a)(3+a) x+号 1 1 x1+x2)a+a2 =d+a :∠MOW=90°，Of+OW2=MN2 x+y+x+2=(x2-x1)2+(y2-y1)2, x1x2+yy2=0, -a-3+d+a-是=0，即4d2-15=0, 解得a=± 2 当a=±乎时，LMON=90e 68 模块穴函数中动点存在性问题 分层训练 @基础过关 心素养拔高 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2.如图，直线y=-号x+m分别交x y=-2+bx+c过点A(-2,0), 轴、y轴于A,B两点，已知点C的 B(4,0),x轴上有一动点P(t,0), 坐标为(6,0).若直线AB上存在 过点P作垂直于x轴的直线，分别交 点P,使∠OPC=90°，求m的取值 直线BC及抛物线于点D,E,连接 范围 CE. (1)求抛物线所对应的函数解析式. (2)当点P在x轴上运动时，是否存 在点P,使∠DCE=∠DEC? 若存在，直接写出点P的坐标； 若不存在，请说明理由。 69初中致学函数少解 (2,0),(0,-2)分别代入函数解 模块六函数中动点存在性问题 析式， 专题1角的存在性问题 a-b+c=0, a=1, 变式训练 得4a+2b+c=0, 解得b=-1, lc=-2, (1,0)或(9,0)把x=0代入y=x-3, C=-2, ·.二次函数的解析式为y=x2-x-2. 得y=-3,则点B的坐标为(0，-3). (2)如图，连接AC,CM,MB, 把y=0代入y=x-3,得x=3, BC,过点M作MN∥y轴交BC于点N. 则点A的坐标为(3,0)， .OA=OB=3. .∠AOB=90°， 入WB ∴.△AOB是等腰直角三角形， .∠OAB=∠OBA=45 设直线BC所对应的函数解析式为y= BC∥x轴，∴.∠CBA=∠OAB=45°， mx+n,将点B,C的坐标分别代入y= .∠OBA=∠ABC. 2m+n=0, mx+n,得 .C(2,a),∴.CB=2. n=-2, 解得m=1, 当点P在点A左侧时，如图1，将 ∴.y=x-2. ln=-2, △ABC沿AB折叠，点C落在y轴上， PA 设点M的坐标为（x,x2x-2)(0< x<2),则点N的坐标为(x,x-2), .MW=x-2-(x2-x-2)=-x2+2x. A(-1,0),B(2,0),C(0,-2), ∴.AB=3,OC=2,OB=2, 、.S四边形ACMB=S△ABc+S△MBC=2X 图1 由折叠可知，CB=CB=2. AB×0C+7×MN×OB=3×3x2+ ,·∠PAB=∠ABC,∠PBA=∠CAB, 2×(-+2)×2=-2+2x+3= AB=AB, -（x-1)2+4, .△PAB≌△CBA(ASA), .当x=1时，四边形ACMB的面积取 ∴.PA=CB=2,∴.OP=OA-PA=1, 得最大值，最大值为4，此时y=x2 .点P的坐标为（1,0). x-2=-2, 当点P在点A右侧时，如图2. .点M的坐标为（1，-2). .C(0,-1),A(3,0), 102 参考答暴 直线4C的解析式为y=x-1. .点C的坐标为（6,0)，.OC=6, ∴.OM=PM=3. ∠PBA=∠CAB,.AC∥PB, :直线PB的解析式为y=3x-3, 直线y=子+m, OB_2 “OA-31 .∠OAB=∠PAM,∠AOB=∠APM= 当y=0时，x=9,故点P坐标为(9,0) 综上所述，点P的坐标为(1,0)或 90°， (9,0). ..△AOB∽△APM, PM_OB_2 “PAOA=3 .P4=9 在Rt△MPA中，MA=√PM+PP= +-B, 图2 分层训练/ 01=3+号丽或01=3丽-3 1.解：(1)把(-2,0)，(4,0)分 :点A的横坐标为2m, 别代入y=-方+x+c, m=3+ 或m=3-压， 方×(-2)2-2b+c=0, .m=2+√13或m=2-√13. 得 2×43+4b+c=0, 综上，m的取值范围是2-√13≤m≤ 2+V13. 解得 b=1, ·抛物线所对应的函数解 c=4, 专题2 特殊三角形存在性问题 析式为y=-24x+4 12 变式训练 (2)存在点P,使∠DCE=∠DEC, 1.解：（1)令y=0,则2x+4=0,解得 其中点P的坐标为(4-2√2,0)或 x=-2, (4+2√2,0) .点A的坐标为（-2,0) 2.解：要使∠OPC=90°，则直线AB必 令x=0,则y=4, 经过以OC为直径的圆，如图，设直 点B的坐标为(0,4). 线AB与⊙M相切于点P. （2)如图，过点C作CE⊥BD,垂 足为E. A 103