二次函数综合问题（特殊三角形问题） 高频考点归纳 专项练 2026年数学中考一轮复习备考

二次函数综合问题（特殊三角形问题） 高频考点归纳 专项练 2026届初中数学中考一轮复习备考 1.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,作直线BC,其中 点A(-1,0),点C(0,-4). (1)求该抛物线的解析式： (②)若点E是抛物线上B,C两点之间的一个动点（不与点B,C重合），设点E的横坐标为 x,过点E作EF∥y轴，交直线BC于点P,交x轴于点F (i)连接CE,BE,求△BCE面积的最大值，并求此时点E的坐标； (ⅱ)是否存在点P使得△CPE为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存 在，请说明理由 2.已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A-1,0),B(m,0)两点，与y轴交于点C(0,7. B 图1 图2 (1)求b,c,m的值： (②)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作 x轴的平行线交抛物线于点E,作y轴的平行线交x轴于点G,过点E作EF⊥x轴，垂足为 点F,当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC,NB与y轴交于点Q, 在对称轴上找一点P,使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点 P的坐标 3.综合与探究 已知抛物线y=-x2+bx+c与直线BC交于B(4,0,C(0,4)两点，与x轴的另一个交点为A B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式. (2)若N为抛物线顶点，则线段CN的长为 (3)如图1，点M是直线BC上方抛物线的一动点，过点M作MD⊥x轴，交BC于点E.连 接CM,BM,求aCBM的面积的最大值， (4)如图2，在抛物线上是否存在点Q,使得△BCQ是以BC为直角边的直角三角形？若存在， 请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 4.如图，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C. A B A 图1 图2 (1)求抛物线的解析式及C点坐标； (2)如图1，连接AC,在对称轴上找一点D,使得△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形， 求点D的坐标； (3)如图2，第一象限内的抛物线上有一动点M,过点M作MN⊥x轴，连接BC交MN于点 Q.当MQ+√2CQ的值最大时，求M点的坐标，并求出这个最大值 5.如图，直线y=-x+n与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经 过A,B 备用图 (1)求抛物线解析式； (②)E(m,O)是线段OA上一动点，过点E作ED⊥x轴于点E,交AB于点D,交抛物线于点 P,连接PB, ①点E在线段OA上运动时，若△PBD是直角三角形，点P的坐标为 ；(直接写出) ②点E在线段01上运动时，连结PC交B于点Q,当号的 的值最大时，请你求出点E的坐 的动大达 标和 6.如图，直线y=-x+n与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经 过A,B两点，点E(m,0)是线段OA上的一个动点（不与点O和点A重合），过点E作 ED⊥x轴，交直线AB于点D,交抛物线于点P,连接PB. COEA (1)求抛物线解析式： (②)当线段PD的长度最大时，求点P的坐标： (3)若线段BD和PD为等腰三角形PBD的腰，求此时点E的坐标。 7.己知：如图，抛物线y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B(1,0),与y轴交于点 C连接AC,有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E,交x轴 于点F,AB=4,设点D的横坐标为m. y E B: o (1)求抛物线的解析式. (2)连接AE、CE,当△ACE的面积最大时，求点D的坐标. (3)当m为何值时，△CDE是等腰三角形 8.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q2,-1),且与y轴交于点C(0,3) ，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物 线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D y (1)求该抛物线的函数关系式： (2)若点D的横坐标为2，求△ABD的周长； (3)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标 9.如图，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A、点B,与y轴交于点C,其中 A3,0,C0,3). ()求二次函数的解析式： (2)若点P在二次函数图象上，且S4op=6,求点P的坐标； (3)若M是抛物线对称轴上一点，△ACM是等腰三角形，直接写出点M的坐标， 10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-3,0),B两点，交y 轴于点C(0,4),对称轴是直线x=1,顶点为D D 0 C E B B 0 备用图 (1)求抛物线的表达式： (②)设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E,P为第一象限内抛物线上一点，过点P作轴的 垂线，交线段BC于点F,若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标； (3)设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN∥AB,交AC于点N.点Q从点B出以每 秒3个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t(秒).当以MN为边的△OMW 是等腰直角三角形时，直接写出此时t的取值， 11.【综合探究】 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,作直线BC,其 中点A-1,0),点C(0,-4).若点P在线段BC上运动（点P不与点B,C重合），过点 P作x轴的垂线，交抛物线于点E,交x轴于点F. (1)求该抛物线的解析式： ②若PE=PF,求此时点P的坐标， (③)是否存在点P使得△CPE为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在， 请说明理由， 12.如图，己知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过A1,0),B-3,0两点 备用图 (1)求a、b的值， (2)若点D为抛物线上一动点，△ABD的面积为10时，求点D的坐标. (3)设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形的点P的坐标. 13.综合与探究 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点A(-2,0),B(4,0)且与y轴交于点C(0,4),点 D是直线BC上方抛物线上的点. 备用图 (1)求二次函数的解析式： (2)点E是y轴上任意一点，若是△ACE以AC为腰的等腰三角形，求点E的坐标； (3)当SBCD:S。ABc=1:3时，在x轴上存在一点F,连接CF、DF,求CF+DF的最小值， 此时点F的坐标是多少， 14.如图1，抛物线y=-2 2+bx+c交x轴于A(-3,0)和点B(1,0),交y轴于点C. 3 A B 0 图1 (1)求该抛物线的解析式： (2)点M为抛物线对称轴上的一个动点. ①如图2，当点M是抛物线的顶点时，连接AM、CM、BC,求四边形ABCM的面积； A B 图2 ②如图3，是否存在点M,使。BCM为直角三角形，若存在，请求出点M的坐标；若不存 在，请说明理由。 Mi !! 图3 参考答案 1.(1)y=x2-3x-4 (2)(i)当m=2时，△BCE面积的最大值为8，此时点E的坐标为2，-6)；(i)存在，点 P的坐标为(3，-1)或(2，-2)，理由见解析 (1)用待定系数法求二次函数的解析式即可； (2)（i)设E(m,m2-3m-4,先求出P(m,m-4),得到PE=-m2+4m,可求得△BCE的 面积为-2m2+8m,再根据二次函数的性质求最大值即可； （ⅱ)当∠PEC=90°时，证明CE=PE=OF,即可列方程求解；当∠PCE=90°时，过点 C作CH⊥PE于点H,证明CH=PE,即可列方程求解. 1D解：把-L0,C0-利的坐标代入y=r+6r+e,存-+hx(-+c=0, c=-4 b=-3 解得 c=-41 :该抛物线的解析式为y=x2-3x-4; (2)解：(i)设E(m,m2-3m-4), 令y=0,则x2-3x-4=0, 解得x=-1,x2=4, B(4,0), 设直线BC的解析式为y=x+b', 「4k+b'=0 将B(4,0),C(0,-4)的坐标代入得 b=-4· 「k=1 解得6=4' :直线BC的解析式为y=x-4, P(m,m-4), .PE=m-4-(m2-3m-4)=-m2+4m, △8CE的面积为2×4×PE=2-m2+4m)=-2m+8m=-2m-2+8, :0<m<4, :当m=2时，△BCE的面积有最大值，最大值为8， 此时m2-3m-4=22-3×2-4=-6, ·点E的坐标为2，-6)： （ⅱ)存在，点P的坐标为3，-1)或(2，-2.理由如下： 由(i)知，0B=0C=4, 在RtaB0C中，∠BC0=45°， EF∥OC, LCPE=∠BC0=45°， 当∠PEC=90°时，如图，∠CPE=∠PCE=45°， :CE=PE=OF, .-m2+4m=m, 解得m=0或3， P(3,-1; 图1 当∠PCE=90°时，过点C作CH⊥PE于点H, 则∠PEC=90°-∠CPE=45°，