专题1 区间最值问题-【荣恒专项】2026年初中数学函数秒解（初中通用）

模块 二次函数的最值问题 专题1区间最值问题 ⊙考点突破 考点 二次函数在给定自变量取值范围内的最值 3年214考重点 已知二次函数y=a(x-h)2+k的对称轴为直线 x=h, 自变量的取值范围为x1≤x≤2 秒解技巧」 h<x h>x2 x1≤h≤x2 当自变量的取值区间在 Y ix=h ix=h ix=h 对称轴同侧时，函数最 值仅在区间端点处取得， X2 当自变量的取值区间跨 对称轴时，顶点为其中 一个最值点，另一个最 a>0 当x=h时，y 值点在离对称轴更远的 当x=x1时，y当x=x2 时， 取最小值，若x 区间端点处. 取最小值；当x=取最小值；当x= (或)距对称 轴更远，则当x :时，y取最大值x时，y取最大值 x1（或)时，y 取最大值 ix=h ix=h y x=h 1x2 a<0 当x=h时，y 当x=x1时，当x=x2 时，y 取最大值，若x （或x2)距对称 取最大值；当x= 取最大值；当x= 轴更远，则当x= 龙时，y取最小值x时，y取最小值 x1(或x2)时，y 取最小值 母题已知二次函数y=a(x-))2-a(a≠0)， 当-1≤x≤多时，y的最小值为-6，则a的值为( A.6或-2B.-6或2 C.-6或-2 D.6或2 55 初中致学函数少解 攻思路分析 已知 未知 变式训练 分a>0和a<0两种 二次函数y=x2在-1≤ 二次函数的 情况讨论，且结合对称 x≤2时的最大值和最小 对称轴，自变轴与区间的位置关系， 值分别是( 量的取值区间判断区间上最小值的 a的值 A.最大值为4，最小值 及函数在该区 取得位置（顶点或区 为1 间的最小值 B.最大值为2，最小值 间端点)，再列方程 为-1 求解 C.最大值为4，最小值 ®规范解 为0 D.最大值为1，最小值 由题意可知，二次函数的对称轴为直线x=· 为0 若a>0,则当x=时，y取最小值，y最小=-a=-6, .a=6; 若a<0,1-2<1分-， 当x=昌时，y取最小值，y水=a×(号-号)2-a=-6, a=-2. 综上所述，a的值为6或-2. 臣答案 A 分层训练 @基础过关 2.当m≤x≤m+2时，函数y=-x+ 1.当-1≤x≤1时，二次函数y=-（x- 4d-2的最小值为-2，求m满足的 m)2+m2+1有最大值4，求实数m 条件. 的值. 56 模块团二次函数的最值问题 3.中考新角度分类讨论已知函数y=x2+心素养拔高 bx+c(b,c为常数)的图象经过点 4.中考新角度新定义若点P的横坐标 (0,3),(6,3). 和纵坐标相等，则称点P为“完美 (1)求b,c的值； 点”.已知二次函数y=a2+8x-49 (2)当0≤x≤4时，求y的最大值 (a是常数，a≠0)的图象上有且只 与最小值的差； (3)当k-4≤x≤k时，若y的最大 有一个“完美点”，且当0≤x≤m时， 值与最小值的差为8，请直接写 二次函数y=a2+8x-9有最小值-9， 出k的值. 最大值7，求m的取值范围. 57模块五 二次函数的最值问题 专题1区间最值问题 变式训练 C由题意可知，二次函数图象的开 口向上，对称轴为直线x=0. -1≤x≤2，.当x=0时，y取得 最小值，最小值为0： 当x=2时，y取得最大值，最大值为 22=4. 分层训练 1.解：由题意可知，二次函数的图象开口 向下，对称轴为直线x=m. ①若m<-1,则当x=-1时，y取得最 大值， y最大=-(-1-m)2+m2+1=4, 解得m=-2. ②若-1≤m≤1，则当x=m时，y 取得最大值， y最大=m+1=4,解得m=±√3. ,m=±3不满足-1≤m≤1， .此情况不存在. ③若m>1,则当x=1时，y取得最大值， y最大=-(1-m)2+m2+1=4,解得m=2. 综上所述，实数m的值为-2或2. 2.解：当x<0时，函数解析式为y=-x- 4x-2=-（x+2)2+2,图象开口向下， 对称轴为直线x=-2,顶点坐标为(-2， 2). 当x=0时，y=-2; 当x=-4时，y=-2 参考答案 当x>0时，函数解析式为y=-x+4x-2= -(x-2)2+2,图象开口向下，对称轴 为直线x=2,顶点坐标为(2,2). 当x=0时，y=-2; 当x=4时，y=-2. 函数图象如图所示· x=-2 =2 (-4,-2〉 (4,2)元 0,2) -y=-2 由图象可知，当m=-4时，-4≤x≤-2， 函数y=-x+4lxl-2的最小值为-2； 当m=2时，2≤x≤4，函数y=-x2+ 4lx-2的最小值为-2； 当-2≤m≤0时，x=0在m≤x≤ m+2中， 此时函数y=-x2+4x-2的最小值 为-2. 综上述，m满足的条件为m=-4或 m=2或-2≤m≤0. 3.解：(1)把(0,3)，(6,3)分别代 c=3, 人y=x2+bx+c,得 36+6b+c=3, 解得c=3. 「b=-6, (2)由(1)可知，该函数的解析式 为y=x2-6x+3=（x-3)2-6, ∴.抛物线的顶点坐标为（3，-6). .·1>0,.抛物线开口向上. 97 初中致学函数解 又0≤x≤4，.当x=3时，y有 最小值-6，当x=0时，y有最大值3， .y的最大值与最小值的差为 3-(-6)=9 (3)k的值为3+2√2或7-2√2. 4.解：由题意可知，令x=a2+8xc-望， 则r+7x-望-0， 图象上有且只有一个“完美点”， .=49+49a=0,解得a=-1, ∴.二次函数的解析式为y=-x2+8x-9= -(x-4)2+7,该函数的图象开口 向下，顶点坐标为(4,7)， 当0≤x≤m时，y有最大值7， ..m≥4. 又.当0≤x≤m时，y有最小值-9， .令y=-x2+8x-9=-9,解得x1=0, x2=8. .0≤m≤8. 综上，m的取值范围为4≤m≤8. 专题2 线段最值问题 变式训练/ 1.(0,29) 如图，连接BC并延长， 交y轴于点P,此时PB-PC的值最大 98 ~二次函数的解析式为y=一号(x十 1)(x-5),.点A,B的坐标分别为(-1， 0),(5,0), 对称轴为直线x=2,∴.顶点C的坐标 为(2,4). 设直线BC所对应的函数解析式为y= kx+b, 4 则5+b=0解得 k一3 2k+b=4, : ∴.直线BC所对应的函数解析式为y= 4.20 -3x+3 当x=0时，y=9 ∴点P的坐标为(0,9). 2.解：（1)把(-1,0)，(3,0)分 别代入y=ax2+bx+3(a≠0)， 周5以60a3=0 解得4)，故y=-+2x+3. (2)抛物线的对称轴为直线x==1+3= 2 1,点A与点B关于对称轴对称， ∴.PB=PA, .△PAC的周长为PA+PC+AC=PB+ PC+AC. 要使△PAC的周长最小，即求PB+ PC的最小值.根据两点之间线段最短， 当P,B,C三点共线时，PB+PC最小， 最小值为线段BC的长.由(1)知y=