专题3 面积最值问题-【荣恒专项】2026年初中数学函数秒解（初中通用）

初中数学函数解 秒解技巧 图解铅垂法：如图1,2， S△PB=)X水平宽X铅 垂高=立ah, :（动点)： (定点)A民a 铅锤高 --------- PaB(定点) 水平宽 图1 (动点) P铅垂高 (定点)Ba 水平宽 a 图2 拓展提升 求三角形的高，也可以 利用点到直线的距离公 式： 若直线1所对应的函数 解析式为Ax+B+C=O (A,B不同时为0)， 平面内一点P的坐标为 (x,%),则点P到 直线I的距离公式为d =L4x0+Byo+Cl √A+B 64 专题3 面积最值问题 ⊙考点突破 考点 二次函数下的面积最值问题3年217考重点 已知动三角形PAB,P为抛物线上一动点. 过点P作定边上的高，找到该高与“横平竖直” 直接法 线段的倍数关系，利用“S=)×底×高”求解 求和：S△PMB=S△RMB+S△RBB= PE (xB-xA) 铅垂法 求差：S△RMB=S△RAF-S△RBF= P2F (xa-x) 补成矩形或梯形：S△P4B S矩形ODEB-S△PHD-S△PBE-S△AOB= S梯形DPBO-S△PHD-S△AOB 割补法 补成其他四边形：S△4B= S四边形OAPB-S△4OB=S△PH0+ SAPOB-S△AOB 若要使△PAB的面积最大，只 需底边AB上的高最大，过点P 作AB的平行线I,当直线I与 切线法 抛物线有唯一交点（即相切）时， 底边上的高最大，此时△PAB 的面积最大 母题如图，抛物线y=-x2-2x+3与x 轴交于A（1,0),B(-3,0)两点， 与y轴交于点C.P是抛物线上位于第 二象限内的一个动点，连接PB,PC, B BC,求△PBC面积的最大值，并求出 此时点P的坐标 交思路分析 已知 未知 利用“铅垂法”列出 二次函数解析 △PBC的面积与点P点P的坐标， 式及其与x轴的横坐标之间的函数 △PBC面积的 的交点坐标 解析式，利用二次函 最大值 数的性质求解 ®规范解答 解：令x=0,则y=3,点C的坐标为(0,3). 设直线BC所对应的函数解析式为y=c+3(k≠O), 把（-3,0)代人y=x+3,得-3k+3=0,解得k=1, ∴直线BC所对应的函数解析式为y=x+3. 设点P的横坐标是x(-3<x<0),则点P的坐标是 (x,-x2-2x+3). 如图，过点P作PM∥y轴交BC于点M,则点M的坐标 是(x,x+3), ·PM=-x2-2x+3-(（x+3)=-x2-3x, Sm=3 xPMxka-=×(-2-3)×3=-(x+ 34贸. -3<0, 当x=-多时，SaPc有最大值，最大值是贸， 当x=-多时，2-2x+3=, “点P的坐标为（(-多，) 模块团二次函数的最值问题 变式训练 如图， 抛物线y=+ 昌x+2与x轴交于，B 两点，与y轴交于点C. 若P是线段BC上方的 抛物线上一动点，连接 PB,PC,BC,当△BCP 的面积取得最大值时， 点P的坐标是() A.（2,3) B.(3) C.(1,3) D.(3,2) 65 初中数学函数》解 分层训练 @基础过关 ~素养拔高 1.如图，直线y=-x+4与抛物线y= 2.如图，二次函数的图象交x轴于点 -x+bx+c交于A,B两点，点A A(-1,0),B(2,0),交y轴于 点C(0,-2). 在y轴上，点B在x轴上 (1)求这个二次函数的解析式； (1)求抛物线所对应的函数解析式 (2)若M为该二次函数图象在第 (2)若P是抛物线上位于第一象限 四象限内的一个动点，求在 内的一点，当点P位于何处时， 点M运动的过程中，四边形 四边形OAPB的面积最大？求 ACMB面积的最大值，并求出 出四边形OAPB面积的最大值 此时点M的坐标 以及此时点P的坐标 662PD+PE有最大值，最大值为瓷 此时点P的坐标为（受，2）. 专题3面积最值问题 变式训练 A如图，连接OP,过点P分别作 PE⊥y轴，PF⊥x轴，垂足分别为E,F, 设点P的坐标为(x,-+x+2), 2+ x+2. .PE=x,PF=- 令x=0,则y=2,则点C的坐标为(0， 2),即OC=2 令y=0,则-2+x+2=0, 3 解得x1=4或2=-1， ∴.点A的坐标为（-1,0)，点B的坐 标为(4,0)，即OB=4, .S△BPc=S△PCO+S△PoB-S△BOC= 0C,PE+号0B·PF-20B.0C= ×2x+×4×(-+x+2) 分×4x2, 整理，得S△BrC=-x2+4x=-(x-2P+4. :P是线段BC上方的抛物线上一动 点，.0<x<4,.当x=2时，S△rC 最大，最大值为4. 当=2时，y+x+2=3, 故此时点P的坐标为(2,3) 参考答暴 分层训练 1.解：（1)直线y=-x+4与y轴交 于点A,与x轴交于点B, ∴.当x=0时，y=4,当y=0时，x=4, ∴点A,B的坐标分别为(0,4)，(4,0) ~直线y=t+4与抛物线y=+ bx+c交于A,B两点， 「c=4, c=4, -3×4h+c=0, 解得b=1, ∴.抛物线所对应的函数解析式为y= 号+x+4 (2)如图，连接PA,PB,过点P作 PE⊥x轴于点D,交AB于点E. A B 设点P(4,-号+t+4),0<1<4, 则点E(t,-t+4), PE=++4-(-1+4)=-+ 2t, 则S四边形04PB=SAA08+SA4m=号OA 2 0B+号PE×(-》=号×4x4+号× (-2+2)×4=8-+4t=-(t-2)2+12 当t=2时，S四边形oAPs有最大值，最大 值为12，此时-号+1+4=-7×2+ 2+4=4,.点P的坐标为（2,4) 2.解：（1)由题意可设二次函数的解析 式为y=ax+bx+c(a≠0)，把(-1,0)， 10 初中致学函数》解 (2,0),(0,-2)分别代入函数解 模块六函数中动点存在性问题 析式， 专题1角的存在性问题 a-b+c=0, a=1, 变式训练 得4a+2b+c=0,解得 b=-1, c=-2, (1,0)或(9,0)把x=0代入y=x-3, c=-2, .二次函数的解析式为y=x2-x-2. 得y=-3,则点B的坐标为(0，-3). (2)如图，连接AC,CM,MB, 把y=0代入y=x-3,得x=3, BC,过点M作MN∥y轴交BC于点N. 则点A的坐标为（3,0)， .OA=OB=3. .∠AOB=90°， .△AOB是等腰直角三角形， ∴.∠OAB=∠OBA=45° 设直线BC所对应的函数解析式为y= BC∥x轴，∴.∠CBA=∠OAB=45°， x+n,将点B,C的坐标分别代入y= .∴.∠OBA=∠ABC 2m+n=0, mx+n,得 C(2,a),∴.CB=2. n=-2, 解得m1, 当点P在点A左侧时，如图1，将 ∴.y=x-2. ln=-2, △ABC沿AB折叠，点C落在y轴上， 设点M的坐标为（x,x2x-2)(0< x<2),则点N的坐标为(x,x-2), .MW=x-2-(x2-x-2)=-x2+2x. A(-1,0),B(2,0),C(0,-2), ∴.AB=3,OC=2,OB=2, .S四边形4CMB=S△MBC+S△MBc=2 十 图1 由折叠可知，CB=CB=2. AB×0C+7xMN×OB=3×3x2+ ,·∠PAB=∠ABC,∠PBA=∠CAB, 2×(-+2)×2=-+2x+3= AB=AB, -（x-1)2+4, .△PAB≌△CBA(ASA), .当x=1时，四边形ACMB的面积取 ∴.PA=CB=2,∴.OP=OA-PA=1, 得最大值，最大值为4，此时y=x2 .点P的坐标为（1,0). x-2=-2, 当点P在点A右侧时，如图2. ∴.点M的坐标为（1，-2). .C(0,-1),A(3,0), 102