专题2 线段最值问题-【荣恒专项】2026年初中数学函数秒解（初中通用）

初中致学函数解 又0≤x≤4，.当x=3时，y有 最小值-6，当x=0时，y有最大值3， .y的最大值与最小值的差为 3-(-6)=9 (3)k的值为3+2√2或7-2√2. 4.解：由题意可知，令x=a2+8xc-望， 则r+7x-望-0， 图象上有且只有一个“完美点”， .=49+49a=0,解得a=-1, ∴.二次函数的解析式为y=-x2+8x-9= -(x-4)2+7,该函数的图象开口 向下，顶点坐标为(4,7)， 当0≤x≤m时，y有最大值7， ..m≥4. 又.当0≤x≤m时，y有最小值-9， .令y=-x2+8x-9=-9,解得x1=0, x2=8. .0≤m≤8. 综上，m的取值范围为4≤m≤8. 专题2 线段最值问题 变式训练/ 1.(0,29) 如图，连接BC并延长， 交y轴于点P,此时PB-PC的值最大 98 ~二次函数的解析式为y=一号(x十 1)(x-5),.点A,B的坐标分别为(-1， 0),(5,0), 对称轴为直线x=2,∴.顶点C的坐标 为(2,4). 设直线BC所对应的函数解析式为y= kx+b, 4 则5+b=0解得 k一3 2k+b=4, : ∴.直线BC所对应的函数解析式为y= 4.20 -3x+3 当x=0时，y=9 ∴点P的坐标为(0,9). 2.解：（1)把(-1,0)，(3,0)分 别代入y=ax2+bx+3(a≠0)， 周5以60a3=0 解得4)，故y=-+2x+3. (2)抛物线的对称轴为直线x==1+3= 2 1,点A与点B关于对称轴对称， ∴.PB=PA, .△PAC的周长为PA+PC+AC=PB+ PC+AC. 要使△PAC的周长最小，即求PB+ PC的最小值.根据两点之间线段最短， 当P,B,C三点共线时，PB+PC最小， 最小值为线段BC的长.由(1)知y= -x2+2x+3,令x=0,则y=3,点C 的坐标为(0,3)， .AC=√(-1-0)+(0-3=√10， BC=√(3-0)2+(0-3=3√2， ·.△PAC周长的最小值为BC+AC= 3√2+√10 分层训练， 1.D设过点P且平行于直线y=x-2 的直线的函数解析式为y=x+b, 当直线y=x+b与抛物线只有一个交 点时，点P到直线y=x-2的距离最小， p=x+2, 联立解析式，得y=x+b, 则x2-4x+4-2b=0. 当=0时，（-4)2-4×(4-2b)=0, 解得b=0, .该直线所对应的函数解析式为y=x. 如图，作OC⊥AB于点C 直线y=x-2交x轴于点A,交y轴 于点B,点A,B的坐标分别是(（2， 0),(0,-2), .OA=OB=2,..AB=OA2+OB2= 2√2. .OC⊥AB,∴.AC=BC, 参考答案 0C=24B=2. 2.解：根据题意，令2x2-5x+3=-2x-1, 化简得2x2-3x+4=0. .=（-3)2-4×2×4=-23<0, .方程2x2-3x+4=0没有实数根， ∴.抛物线y=2x2-5x+3与直线y=-2x-1 不相交 设w=2x2-5x+3-（(-2x-1)=2x2-3x+ 4=2(x-2+ 8 2>0,当x=时，w有最小值， 最小值为受 即抛物线y=2x2-5x+3与直线y= -2x1的“完美啦离”为受 3.解：（1)由题意可知，当x=0时， y=-x+5=5;当x=4时，y=-x+5=1, .点A,B的坐标分别为（0,5)，（4， 1),把(0,5)，(4,1)分别代入 y=x2+bx+c,得 c=5, 16+4b+c=1, 解得 c=5, b=-5, ∴.抛物线所对应的函数解析式为y= x2-5x+5. (2)点P的横坐标为m,P是直线 AB下方的抛物线上的一个动点（不与 点A,B重合)， ∴.0<m<4. 设点P(m,m2-5m+5),点Q(m, -m+5）, 9 初中致学函数解 .PQ=(-m+5)-(m2-5m+5)= -m2+4m=-（m-2)2+4 .-1<0,0<m<4, .当m=2时，PQ有最大值，最大值 为4。 4.解：当x=0时，y=3,点C的坐标 为(0,3). 令y=-x2+2x+3=0,解得x1=3或 x2=-1, .点A,B的坐标分别为(-1,0)，(3,0)， ∴.抛物线的对称轴为直线x=1+3=1. 如图，作点C关于直线x=1的对称点 D（2,3),将点D向下平移2个单 位长度得到点E(2,1),连接AE, 当点Q在AE与直线x=1的交点时， AQ+QP+PC的长最小，此时四边形 ACPQ的周长也最小. B 连接PD,DE. .DE∥PQ,且DE=PQ, .四边形DEQP为平行四边形， .PD=QE 由抛物线的对称性，可知PC=PD, ∴.PC=QE, .AQ+PC=AQ+QE≥AE, .四边形ACPQ的周长≥AC+PQ+AE, A(-1,0),C(0,3),E(2,1), PQ=2, 100 .AC=√T+32=V10, AE=V[2-(-1J+12=V10, ∴.AC+PQ+AE=V10+2+√10=2+ 2V10 即四边形ACPQ周长的最小值为2+ 2√10. 5.解：(1)~抛物线y=-子4c+c 与x轴交于A,B两点，点A的坐标为 (-1,0),点B的坐标为(3,0)， 少=号（x+10(x-3)=号x+ 3t+2. （2)2PD+PE有最大值.理由如下： 由1)知，当x=0时，-号+号x+ 2=2,.点C的坐标为（0,2). 设直线BC所对应的函数解析式为y= c+2(k≠0)，把(3,0)代入y= x+2,得3k+2=0,解得k=- 2 .直线BC所对应的函数解析式为y= 导*2 设点P的坐标为(m,号m+号m+2), 则点D的坐标为(m, 2 3m+2). 2PD+PE=2(-号m+号m+2+号m 2.2.4 3 2)+m=-（m 时，2PD+PE有最大值瓷 :.当m=8 此时-号㎡+m+2=-号x(丹 含×+2-8 69 2PD+PE有最大值，最大值为瓷 此时点P的坐标为（受，2）. 专题3面积最值问题 变式训练 A如图，连接OP,过点P分别作 PE⊥y轴，PF⊥x轴，垂足分别为E,F, 设点P的坐标为(x,-+x+2), 2+ x+2. .PE=x,PF=- 令x=0,则y=2,则点C的坐标为(0， 2),即OC=2 令y=0,则-2+x+2=0, 3 解得x1=4或2=-1， ∴.点A的坐标为（-1,0)，点B的坐 标为(4,0)，即OB=4, .S△BPc=S△PCO+S△PoB-S△BOC= 0C,PE+号0B·PF-20B.0C= ×2x+×4×(-+x+2) 分×4x2, 整理，得S△BrC=-x2+4x=-(x-2P+4. :P是线段BC上方的抛物线上一动 点，.0<x<4,.当x=2时，S△rC 最大，最大值为4. 当=2时，y+x+2=3, 故此时点P的坐标为(2,3) 参考答暴 分层训练 1.解：（1)直线y=-x+4与y轴交 于点A,与x轴交于点B, ∴.当x=0时，y=4,当y=0时，x=4, ∴点A,B的坐标分别为(0,4)，(4,0) ~直线y=t+4与抛物线y=+ bx+c交于A,B两点， 「c=4, c=4, -3×4h+c=0, 解得b=1, ∴.抛物线所对应的函数解析式为y= 号+x+4 (2)如图，连接PA,PB,过点P作 PE⊥x轴于点D,交AB于点E. A B 设点P(4,-号+t+4),0<1<4, 则点E(t,-t+4), PE=++4-(-1+4)=-+ 2t, 则S四边形04PB=SAA08+SA4m=号OA 2 0B+号PE×(-》=号×4x4+号× (-2+2)×4=8-+4t=-(t-2)2+12 当t=2时，S四边形oAPs有最大值，最大 值为12，此时-号+1+4=-7×2+ 2+4=4,.点P的坐标为（2,4) 2.解：（1)由题意可设二次函数的解析 式为y=ax+bx+c(a≠0)，把(-1,0)， 10初中数学函数解 秒解技巧 解决线段最值问题的核 心思路是先将线段长度 表示为关于自变量的二 次函数，再通过配方化 为顶点式或直接利用顶 点坐标公式求解最值. 58 专题2 线段最值问题 ⊙考点突破 考点① 二次函数与线段最值3年265考重点 1.线段最值问题 y A(x1,y1) 味 A(x1,y1) 用“两 A(x1,y1） B(x2,y2) 里 -八B(x2,y2) 点坐标可 公式” 表示线 段长 水平线段AB= 铅垂线段AB=斜 线段AB lx1 x2l y1-y2 V(x-x2)2+（y-y2)2 A B 二次函 DO 数中 线段 ①利用三角函数或相似三角 PQ的 形，将斜线段PQ的最值问 最值 ①设动点P的坐标； 题转化为竖直线段PH的最 ②列式表示线段PQ的值问题；②设动点P的坐标 长； ③配方求最值 ③列式表示线段PH的长； ④构造二次函数，通过配方 求最值 将斜线段最值问题转化为竖直线段最值问 题，体现了“化斜为直”思想 2.线段和、差最值问题 线段和最小问题 线段差最大问题 图示 B B 续表 线段和最小问题 线段差最大问题 PA+PB≥AB', IPB-PA≤AB', 结论 当P,A,B'三点共线时，当P,A,B三点共线时， PA+PB取得最小值 PB-PAI取得最大值 依据 两点之间，线段最短 三角形的三边关系 母题1如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点， 直线1与抛物线交于A,C两点，其中点C的横坐标为2， P是线段AC上的一个动点（点P与点A,C不重合）， 过点P作y轴的平行线交抛物线于点E,则线段PE的最 大值为 文思路分析 已知 未知 二次函数的 求直线1所对应的函数点A的坐标，直 解析式，点C 解析式，设点P,E的 线1所对应的函 的横坐标， 坐标，并求出线段PE数解析式，PE PE∥y轴 所对应的函数解析式，长度的最大值 通过配方求解最值 €规范解答 令y=0,即-x2+2x+3=0, 解得x1=3,x2=-1.由图象可知，点A位于x轴负半轴上， ·点A的坐标是（-1,0).点C的横坐标为2， .将x=2代人y=-x2+2x+3,得y=-4+4+3=3, ·点C的坐标是（2,3) 设直线I所对应的函数解析式为y=c+b, 则0=-k+,解得 k=1, 3=2k+b, b=1, 模块团二次函数的最值问题 变式训练 1.如图，已知二次函数 y=-号(x+1)(x-5) 的图象与x轴交于A, B两点，顶点为C,P是 y轴上一动点，若PB PC的值最大，则点P的 坐标为 C 59 初中致学函数解 秒解技巧 (1)利用轴对称、平移 等变换将折线问题转化 为线段问题，依据“两 点之间，线段最短”求解； (2)常作定点关于对称 轴（或坐标轴）的对称点， 使周长中的线段共线， 60 ∴.直线1所对应的函数解析式为y=x+1. 点P在直线1上，点E在直线1上方的抛物线上， 设点P(m,m+1)(-1<m<2),点E(m,-m2+ 2m+3), PE=-m+2m+3-m-1=-(m-)2+， 当m=时，PE的长度最大，最大值为景 間答案 94 考点② 二次函数与周长最值3年186考重点 两定一动 两定两动（PQ是定长) B 动点P, Q在直 线1上 C△PMB=AB+BP+AP≥ C四边形APQB=AP+PQ+QB+ AB=EQ+PQ+QB'+AB≥ AB AB' EB'+PQ+AB 直角三角形的周长最值 非直角三角形的周长最值 动点 利用直角三角形的性质， 利用相似三角形的性质得到 在抛物 将周长最值问题转化为某三边之间关系，将周长最值 线上 条线段的最值，再用二次问题转化为某条线段的最值， 函数的性质求解 再用二次函数的性质求解 在二次函数背景的几何问题中，确定定点与动点，进一步 区分不变量与变化量，将周长最值问题转化为单条或多条 线段之和的最值问题 母题2如图，二次函数y=a(x-1)2+4（a≠0)的图 象与y轴交于点C,P是对称轴x=1上的动点，则△PCO 周长的最小值是 文思路分析 已知 未知 二次函数的 作点O关于对称轴的 图象与x轴 △PCO周长的 的交点坐标， 对称点，利用三点共 最小值 对称轴 线求解 ®规范解答 如图，作点O关于直线x=1的对称点D(2,0)，连接 CD交直线x=1于点P,则PO=PD,此时PC+PO的值最小 即△PCO的周长有最小值，此时PC+PO=PC+PD=CD 由图象可知，抛物线与x轴交于点(3,0)，把(3,0) 代入y=a（x-1)2+4,则0=a(3-1)2+4,解得a=-1, ·二次函数的解析式为y=-（x-1)2+4. 令x=0,则y=3,故点C的坐标是（0,3). ∴.CD=V(3-0)2+(0-2)2=√13， ∴△PCO周长的最小值为CD+CO=V13+3. B答案 √13+3 模块团二次函数的最值问题 变式训练 2.如图，在平面直角坐 标系中，抛物线y=ar2+ bx+3（a≠0)与x轴交 于点A(-1,0),B(3, 0),与y轴交于点C. B (1)求抛物线所对应的 函数解析式； (2)若P是抛物线对称 轴上的一点，求△PAC 周长的最小值. 61 初中数学？函数》解 ©分层训训练 @基础过关 3.如图，直线y=-x+5与抛物线y= x2+bx+c交于A,B两点，点A, 1.如图，已知抛物线y=号2-x+2与直 B的横坐标分别为0,4. 线y=x-2,P是抛物线上的一个动点， 则点P到直线y=x-2的最短距离 为() (1)求抛物线所对应的函数解析式： (2)P是直线AB下方的抛物线上 的一个动点（不与点A,B重 A.52 B.3V2 C.2D.√2 合)，过点P作PQ∥y轴交 4 直线AB于点Q,设点P的横 2.中考新角度新定义两个不相交的函 坐标为m,用含m的代数式 数图象在平行于y轴方向上的最短距 表示线段PQ的长，并求出线 离称为这两个函数的“完美距离”，求 段PQ长的最大值 抛物线y=2x2-5x+3与直线y=-2x-1 的“完美距离”. 62 4.如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴分 别交于A,B两点，与y轴交于点C, 点P,Q为抛物线对称轴上的两个动点 （点P在点Q上方)，且PQ=2,连 接AC,CP,AQ,求四边形ACPQ周 长的最小值 B 模块团二次函数的最值问题 心素养拔高 5.如图，抛物线y=-号+x+c与x轴 交于A,B两点，与y轴交于点C, 点A的坐标为（-1,0)，点B的坐 标为（3,0). A (1)求此抛物线所对应的函数解 析式 (2)若P是直线BC上方抛物线上 的一个动点，过点P作PD⊥x 轴交直线BC于点D,过点P 作PE⊥y轴，垂足为E,请探 究2PD+PE是否有最大值？若 有最大值，求出这个最大值及 此时点P的坐标；若没有最大 值，请说明理由， 63