专题1 二次函数-【荣恒专项】2026年初中数学函数秒解（初中通用）

初中敏学函数》解 y=k(k≠0,0<x≤30，x为整数). .…函数经过点（5,1.8)， 1.8=5,解得k=9, y=2(0<x≤30，x为整数) 首付款为12-9=3（万元). (2甩x=20代人y=是，得y=易=045， .平均每月应付0.45万元. (3)根据题意，可知每月付款不超过 4000元，即0.4万元. 把y=04代入y=是得04 x 解得x=22.5. 由反比例函数的性质知，对于y=?(0< x≤30)，y随x的增大而减小. 又x取整数， ·.王先生至少要23个月才能结清余额 模块四 二次函数 专题1二次函数 变式训练 1.D把y=2x2-4x+1化为顶点式，得 y=2(x2-2x)+1=2(x-1)2-1. .·a=2>0,.图象开口向上，选项A 错误； 该抛物线的对称轴为直线x=1,选项 B错误； :抛物线开口向上，顶点坐标为 (1,-1), 2 ∴.二次函数的最小值为-1，选项C错误； .·a>0,对称轴为直线x=1,∴.当 x<1时，y随x的增大而减小，选项D 正确。 2.D由题中图象开口向下，可知a<0.由 对称轴x=-名>0，得b>0, ∴.一次函数y=x+b的图象经过第一、 二、三象限，不经过第四象限 3.C抛物线y=x+2x-1=（x+1)2-2 向右平移3个单位长度后得到的新抛物 线为y=(x+1-3)2-2=(x-2)2- 2,新抛物线的顶点坐标为(2，-2). 分层训练 1.C抛物线开口问下，∴.a<0, .直线y随x的增大而减小. 抛物线的对称轴在y轴右侧， x=-2a>0, .b>0,.直线与y轴交于正半轴.故 选项C符合题意， 2.解：点A(-4,m)在抛物线y=x2- 2x-8上，.将x=-4代入y=x2-2x-8, 得m=（-4)2-2×（-4)-8=16, .点A的坐标为（-4,16). y=x2-2x-8=(x-1)2-9, .抛物线开口向上，顶点坐标为 (1,-9), 参考答案 .抛物线的最小值为y=-9, 10), .·点P在抛物线上且在直线1下方， ∴.水流的最高点到地面的距离为10m. 不与点A,B重合， (2),左、右两条抛物线关于y轴对称， ∴，的取值范围是-9≤y。<16. y轴左侧抛物线的顶点为(-3,10)， 3.y=x2-2x（答案不唯一）当x<1 .y轴右侧抛物线的顶点坐标为(3， 10), 时，y随x的增大而减小， ∴.左、右两条水流最高点之间的距离 ∴.抛物线开口向上，即二次项系数a> 为13-(-3)川=6(m). 0且对裕销x=名≥1 .二次函数的图象经过原点，.常数 专题2 求二次函数的解析式 项c=0, 变式训练 取a=1,对称轴为直线x=1,则-2× 6 x1=0,x2=6.抛物线y=x2+bx+C 经过点A(-1,0),B(5,0), 1,解得b=-2, .将A,B两点的坐标分别代入y=x2+ 因此符合条件的二次函数的解析式可 bx+c,可得 1-b+c=0, 以为y=x2-2x 解得 25+5b+c=0, 4.解：（1)把(3,0)代入y=x2-4x+ b=-4, c,得9-12+c=0, c=-5. 将b=-4,c=-5代入一元二次方程 解得c=3, (x-1)2+c=-bx+b, .该二次函数的解析式为y=x2-4x+3. 得(x-1)2-5=4x-4. (2)点P(4,n)向上平移2个单位 整理，得x2-6x=0, 长度得到点P'（4,n+2), 解得x1=0,x2=6. 把点P'的坐标代入y=x2-4x+3,得 分层训练 n+2=42-4×4+3, 1.y=-(x-1)2-2设该二次函数的 解得n=1. 解析式为y=a(x-1)2-2(a≠0)， 5.解：（1)由题意，得y=-x2-6x+1= 将(2，-3)代入y=a(x-1)2-2, -(x+3)2+10, 得-3=a(2-1)2-2,解得a=-1, ∴.y轴左侧抛物线的顶点坐标为（-3， ∴.y=-（x-1)2-2 93模块四 二次函数 专题1二次函数 ③考点突破 考点① 二次函数的图象和性质3年366考重点 函数 y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) a>0 a<0 b yA:x=- 2a 图象 b 2a 在对称轴的左侧，即当 在对称轴的左侧，即当 x<-b时，y随x的增 x<- 2a 时，y随x的增 2a 增减性 大而减小；在对称轴的 大而增大；在对称轴的 右侧，即当x>力时， 右侧， 20 即当x>- b时， y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 抛物线有最低点，当 抛物线有最高点，当 最值 时，y有最小值， 2a x= 时，y有最大值， 2a y最小= 4ac-b2 4ac-b2 Aa y最大= 4a 母题1二次函数y=ax2-ax+c(a<0)的图象过A(-2, y1),B（1,2),C(2,3)三个点，则y1,2,3的 大小关系是() A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 C.y3<y2<y1 D.y2<y3<y1 易错警示】 比较函数值时，先看开 口方向，再比较点到对 称轴的距离· 速记口诀 二次函数抛物线， 图象对称是关键. 开口、顶点和交点， 共同确定图象现. 开口方向由a断， c与y轴来相见. b的符号较特别， 符号与a相关联. 顶点坐标最重要， 一般式配方它就现. 39 初中数学函数解 变式训练 1.关于二次函数y=2x2 4x+1的图象，下列结论 正确的是（) A.图象开口向下 B.图象的对称轴是直线 x=2 C.最小值为1 D.当x<1时，y随x的 增大而减小 40 文思路分析 已知 未知 二次函数解析 式，开口方向， 用不同的方法解题： 对称轴，A,B, 图象经过的三 ①图象法；②代数法 C三点的纵坐标 点的横坐标 的大小关系 侣一题多解 方法①（图象法） 由题意可知，抛物线的对称销为直线x=一治-宁 由A,B,C三点的横坐标可知，点A在对称轴的左侧，B, C两点在对称轴的右侧. 设点A关于对称轴的对称点为A'(d,y,), 则22 解得d=3,即A'(3,y) .a<0, .抛物线开口向下，在对称轴右侧，y随x的增大而减小 .3>2>1, y,y2,⅓3的大小关系是y1<y3<y2 方法②（代数法) 把A(-2,y1),B(1,y2),C(2,3)分别代入y=ax2- ax+c,y=6a+c,y2=c,y3=2a+c. a<0, .6a<2a<0, .∴.6a+c<2a+c<c, .y1<y3<y2 囹答案 B 考点②二次函数的图象与字母系数的关系3年192考 系数特点 图象特征 a>0 开口向上 a决定抛物线 a<0 开口向下 开口大小和 方向 lal越小 开口越大 lal越大 开口越小 a和b的符号 b=0 对称轴为y轴 决定对称轴 ab>0(a,b同号) 对称轴在y轴左侧 的位置 ab<0(a,b异号) 对称轴在y轴右侧 c决定抛物线 c=0 经过原点 与y轴交点的 c>0 与y轴正半轴相交 位置 c<0 与y轴负半轴相交 母题2[湖南中考]已知二次函数y=ax2+bx-c(a≠0) 其中b>0,c>0,则该函数的图象可能为() 交思路分析 已知 未知 a的大小，开口 b,c均大于0 用排除法 方向，对称轴 的位置 模块四二次函数 拓展提升 (1)抛物线与x轴有两 个交点，b2-4ac>0; (2)抛物线与x轴有 个交点，b2-4ac=0; (3)抛物线与x轴没有 交点，b2-4ac<0. 变式训练 2.二次函数y=ax2+bx 的图象如图所示，则一 次函数y=x+b的图象 一定不经过( X=- 6 2a A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 41 切中数学函数解 易错警示 抛物线平移时，根据h 的值可以确定左、右平 移的方向和距离，根据飞 的值可以确定上、下平 移的方向和距离， 42 固规范解答 令x=0,则y=-c,∴.抛物线与y轴的交点坐标为(0，-c). .c>0,∴.-c<0, ∴.抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上， 则选项A,D不符合题意： 对于选项B,C,抛物线的对称轴x=-2a >0. .b>0, .a<0, .抛物线开口向下， 则选项B不符合题意，选项C符合题意. 侣答案 C 考点③ 二次函数图象的平移规律3年258考重点 y=ax 向上(k>0)或向下(k<0) →y=ax2+k 平移k1个单位长度 可 计 分 向右(h>0)或向左(h<0) 平移个单位长度 再向上(k>0)减向下(k<0) 0 平移1k1个单位长度 y=ax-h)向上>0)或向下≤0y=a(x)产+k 平移k个单位长度 左加右减、上加下减《 母题3[四川中考]已知二次函数y=x2-2x+1的图象向 左平移2个单位长度得到抛物线C,点P（2,y),Q(3, 2)在抛物线C上，则y2.（填“>”“=”或“<”) 模块四二次函数 交思路分析 变式训练 已知 未知 3.将抛物线y=x2+2x-1 二次函数的解析利用平移的规律求 向右平移3个单位长度 式，二次函数图象 出平移后的二次函 平移的方向和距 数解析式，再根据 判断y1,y2的 后，得到新抛物线的顶 离，抛物线上两点 二次函数图象的性 大小 点坐标为() 的横坐标 A.(-4,-1) 质求解 B.(-4,2) C.（2,-2) 囹规范解答 D.(2,1) y=x2-2x+1=(x-1)2. .二次函数的图象向左平移2个单位长度得到抛物线C, .抛物线C的函数解析式为y=（x+1)2, .抛物线C的开口向上，对称轴为直线x=-1, ∴.当x>-1时，y随x的增大而增大. .2<3,.y1<y2 臣答案 分层训练 呦基础过关 1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图 所示，则一次函数y=ax+b的图象 大致是( 2.已知直线1交抛物线y=x2-2x-8于 点A(-4,m),B（5,7).若点P 在抛物线上且在直线1的下方（不与 点A,B重合)，求点P的纵坐标y。 的取值范围· 43 初中数学函数解 心素养拔高 11 3.中考新角度发散性试题已知一个 二次函数满足：①图象经过原点； ②当x<1时，y随x的增大而减小.请 写出一个符合上述条件的函数解析 式： 4.已知二次函数y=x2-4x+c的图象 经过点（3,0) (1)求该二次函数的解析式； (2)点P（4,n)向上平移2个单位 长度得到点P,若点P'落在该 二次函数的图象上，求n的值， 4 5.选材新风向喷灌机将科技与农业资 源相结合，是推动农业现代化、提升 农业综合生产能力和质量效益的重要 途径.某农田引进了一台移动喷灌机， 如图，喷灌机喷出的两条水流均是抛 物线，而且左、右两条抛物线关于y 轴对称.按照图中的平面直角坐标系， y轴左侧的一条抛物线可以用y= -x2-6x+1表示 (1)求水流的最高点到地面的距离； (2)求左、右两条水流最高点之间的 距离. m 地面 0 x/m