专题4 二次函数的实际应用-【荣恒专项】2026年初中数学函数秒解（初中通用）

专题4二次函数的实际应用 ⊙考点突破 考点利用二次函数解决实际问题3年232考难点 1.利用二次函数解决实际问题的一般步骤 审 找出问题中的常量与变量，并分析它们之 间的关系 设 设适当的未知数 用二次函数表示出变量之间的关系，建立 列 二次函数模型，写出二次函数的解析式及 自变量的取值范围 解 按题目要求，结合二次函数的性质解答相 应的问题 验 检验所得解是否符合实际 答 确定实际问题的答案 2.利用二次函数解决实际问题的常见题型 图形面 根据图形中线段的关系，找到相应线段与面积 积的最 之间的函数关系，将其转化为二次函数问题 值问题 最大利润 利润=售价-进价，总利润=单件商品的利润× 问题 总销售量，利润率=利润×100% 进价 先观察图形运动的整个过程，找出这一过程中 动态几何 变化的量与不变的量，再根据这些量之间的关 问题 系构造恰当的数学模型 (1)建立适当的平面直角坐标系，将抛物线 形状的图形放在平面直角坐标系中； 抛物线形 问题 (2)设出函数解析式，结合图形和已知条件， 用待定系数法求函数解析式； (3)利用二次函数的图象和性质求解实际问题 模块四二次函数 易错警示 用二次函数解决实际问 题时，审题是关键，而 检验容易被忽略，因为 求得的结果除了要满足 题中的数量关系，还要 符合实际意义， 秒解技巧 在解决实际问题中的最 值问题时，可以用配方 法把函数解析式化为y= a(x-h)2+k的形式求 解，或直接利用顶点坐 标公式求函数的最值. 5五 切中数学函数解 变式训练 便民商店经营一种商品， 在销售过程中，发现一 周的利润y(单位：元) 与每件销售价x（单位： 元)之间的关系满足y= -2(x-20)2+1558.由 于某种原因，价格需满 足15≤x≤18，则该商 店一周可获得的最大利 润是() A.1508元 B.1550元 C.1554元 D.1558元 52 母题[广西中考]如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处） 的高度0P是子m,出手后实心球沿一段抛物线运行，到 达最高点时，水平距离是5m,高度是4m.若实心球落 地点为M,则OM= m 4 m 0-5m 效思路分析 已知 未知 抛物线的顶点设抛物线的解析式， 坐标，与y轴 实心球被推出 的交点坐标 利用待定系数法求解 的水平距离OM 假规范解答 如图，以点O为坐标原点，射线OM方向为x轴正半轴， 射线OP方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系. 个y 4m 0-5m→ M 出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平 距离是5m,高度是4m .可设抛物线的解析式为y=a（x-5)2+4. 把(0，子)代入解析式，得25a+4=4 7 解得a=-100' 9 抛物线的解析式为y=品（：-5)2+4 9 当y=0时，100（x-5)2+4=0. 35 解得x=-3（舍去)，=3， 35 即此次实心球被推出的水平距离OM为3m. 臣答案 3 模块四二次函数 © 分层训练 砀基础过关 (2)受台风降雨影响，预计水面上升 1.选材新风向农户改造某农户要改造 至离拱顶1.8m处，则水面宽度 部分农田种植蔬菜，经调查，平均每 缩小了多少？ 亩改造费用是900元，添加辅助设备 (3)有一艘宽4m、高2m的木船， 费用（单位：元）与改造面积（单 载货后露出水面的部分为子m当 位：亩)的平方成正比，比例系数为 水面上升至离拱顶1.8m时，木 18,每亩种植蔬菜还需种子、人工 船能否通过这座拱桥？ 费用600元.若每亩蔬菜年销售额为 7000元，设改造农田x亩，改造收 益为y元，则y与x之间的数量关系 可列式为（) A.y=7000x-(900x+18x+600x) B.y=7000x-(900x+18x2+600x) C.y=7000-(900x+18x2+600x) D.y=7000x-(900x+18x2+600) 2.选材新风向拱桥)某河上有一座抛 物线形拱桥，A,B为抛物线与水面 的交点，现测得水面AB离拱顶5m, 水面宽8m. (1)以拱顶O为原点建立如图所示 的平面直角坐标系，求此抛物线 的解析式 53 刀中数学？函数解 3.选材新风向风筝)下图是小关设计 的一个风筝ABCD,其中风筝的两 根龙骨AC和BD互相垂直.若他计 划用长为100cm的毛竹制作风筝的 龙骨（不计损耗），且要求AC≥ 多D,则当骨架BD的长为多少时， 四边形ABCD的面积最大？求此时 的最大面积. B 54 心素养拔高 4.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°， AB=3cm,BC=4cm.点P从点A 出发，以1cm/s的速度沿AB运动， 同时，点Q从点B出发，以2cm/s 的速度沿BC运动.当点O到达点C 时，P,Q两点同时停止运动.设动 点运动的时间为t（单位：s), (1)当t为何值时，△PBQ的面积为 2cm2? (2)求四边形PQCA面积的最小值.参考答亲 c>2x-3,即ax2+（b-2)x+c+3> :不等式号2+bx+c>ax+m的解集 0的解架为x<0或x>》 是x<0或x>4. 分层训练 3.解：（1)根据题意可知，4=22-4× (-1)×m>0, 1.-1<x<5 由题意得，抛物线的对称 解得m>-1. 轴是直线x=2,抛物线与x轴的一个 (2)令y=0,则-x2+2x+m=0, 交点坐标为(5,0)， .x1+x2=2,x1x2=-m .抛物线与x轴的另一个交点的坐标 抛物线在x轴上截得的线段长为6， 为(-1,0). .1x1-x2=(x1+x2)2-4xx2= .不等式ax2+bx+c>0的解集是-1< J22-4×（-m)=6, x<5. 解得m=8. 2解：(1)抛物线y=22+bx+c经过 4.解：a⑧b=ab-（a+b), .y=(x+1)☒(x-1)=a2-2a-1. A(-2,0),C(0,-4)两点，则 二次函数y=a2-2-1的图象与 0=7×(-2户-26+6解得2=4 b=-1, x轴仅有一个公共点， -4=C, .4=42+4k=0, 抛物线所对应的函数解析式为y= .+k=0, 分-x-4 解得k=0（舍去)或k2=-1. 当y=0时，有0=)2-x-4, 专题4 二次函数的实际应用 解得x1=-2,x2=4, 变式训练 .点B的坐标为（4,0) By=-2(x-20)2+1558,且-2<0， :直线y=ax+m经过点B,C, ·.抛物线开口向下，对称轴为直线x= [0=4a+m, a=1, -4=m, 解得 m=-4, 20, .直线BC所对应的函数解析式为y= .当x<20时，y随x的增大而增大. x-4 .15≤x≤18， (2)由(1)可知，直线BC与抛物线 .当x=18时，y取得最大值. 交于B(4,0),C(0,-4)两点， 将x=18代入解析式，得y=-2×（18- 95 初中致学函数少解 20)2+1558=1550, S4m=74CDB=7×（(100- 即该商店一周可获得的最大利润是 1550元. x)·x=-72+50x 由此可知，二次函数的图象开口向下， 分层训练 其对称轴为直线x=50,.当0<x≤40 1.B设改造农田x亩，则总成本为900x+ 时，S随x的增大而增大，.当x=40, 18x2+600x,总销售额为7000x,故 即BD的长为40cm时，S值最大，S最驮= 可列式为y=7000x-（900x+18x2+ 600x). -7×40+50×40=1200(cm2). 2.解：（1)设抛物线的解析式为y=ax2 4.解：(1)由题意，得PB=（3-t)cm, (a≠0) BO=2t cm, 根据题意，得点A（-4,-5) Saw=7B0·PB=7·2·(3-)= 将(-4，-5)代人y=a2,得16a=-5, -2+3t(0≤t≤2). 解得a=一。 由题意，得-+3t=2, ∴.抛物线的解析式为y=- 解得t=1或t=2. (2)由(1)知，抛物线的解析式为y= .当t=1s或2s时，△PBQ的面积 -名2当y=-18时，-18=-6， 为2cm2. 解得x1=2.4,x2=-2.4, (2)由(1)知，SP0=-f+3t=-(t- ∴此时水面宽度为2.4-（-2.4)= 3)+?,且0s1≤2 4.8（m), .-1<0, ∴水面宽度缩小了8-4.8=3.2（m). (3)当x=2时，y=-8×2=- 5 当1=时，△P80的面积最大，最 则-1+=2>18， 大值是cm2。 S四边形PQCA=S△ABC-S△PB0,S△ABC的 ∴水面上升至离拱顶1.8m时，木船不 值不变， 能通过这座拱桥 ·.当SAP最大时，四边形PQCA的 3.解：设BD=xcm,则AC=(100-x)cm. 面积最小，最小值为乞×3×4-？ 根据题意，得10-x≥多x且x>0, 解得0<x≤40 (em). 96