专题3 二次函数与方程、不等式-【荣恒专项】2026年初中数学函数秒解（初中通用）

专题3二次函数与方程、不等式 ⊙考点突破 考点① 二次函数与一元二次方程3年189考重点 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，一元二次 方程ax2+bx+c=0(a≠0) 图象 判别式 与x轴的交 根的情况 a>0 a<0 点情况 有两个不相等 y Ay 有两个交点 0), 的实数根，x= 4>0 (x1, (x2,0) -b±b2-4ac 2a 有两个相等的 y y 有一个交点 4=0 2a 实数根，x1= b x 6 (-0) 2a 为2=-2 △<0 无交点 无实数根 母题1[黑龙江中考]抛物线y=x2-2x+c与y轴交于 点C(0,-3),与x轴交于A,B两点，则线段AB的 长是 文思路分析 已知 未知 抛物线与y轴的 c值，抛物线与 交点坐标，与 利用4>0求解 x轴的交点坐标， x轴交于两点 线段AB的长 模块四二次函数 拓展提升 已知二次函数y=+bx+ c(a≠0)，当y=0时， 得到一元二次方程ax2+ bx+c=0(a≠0)，则 一元二次方程的根就是 二次函数的图象与x轴 交点的横坐标. 变式训练 1.已知二次函数y=ax2+ (2a-3)x+a-1(a≠0) 的图象经过第一、二、四 象限，则实数a的取值范 围为( 9 A.1≤a< 6 B.0<a< 3 C.0<a< 8 D.1≤a< 47 初中致学函数解 易错警示 （1)抛物线y=ax2+ bx+c在x轴上方的 点的纵坐标都为正， 所对应的x的所有值 就是不等式ax2+bx+ c>0的解集； （2)在x轴下方的点的 纵坐标都为负，所对应 的x的所有值就是不等 式ax2+bx+c<0的解集. (3)不等式中如果带有 等号，其解集也带有等 号. 48 囹规范解答 把(0，-3)代入y=x2-2x+c,可得c=-3, ∴.抛物线的解析式为y=x2-2x-3. 令y=0,可得x2-2x-3=0, 解得x1=3,2=-1, .抛物线与x轴交于点（-1,0)和(3,0). .线段AB的长为3-（-1)I=4. 臣答案 4 考点②二次函数与一元二次不等式3年284考难点 已知y=ax2+bx+c(a≠0)，不等式y1:ax2+bx+ c>0,不等式2：ax2+bx+c<0. 4>0 4=0 4<0 抛物线y与 x轴的交点 Oxx2 0x(元 有两个交点 有一个交点 无交点 a>0 不等式y的 解集 x<x1或x>x2 x≠x(或 全体实数 x≠x2) 不等式y2的 无解 解集 x<x<x2 无解 y yx1（x2） y 抛物线y与 x轴的交点 o网无 有两个交点 有一个交点 无交点 a<0 不等式y的 无解 无解 解集 x<x<X2 不等式y2的 x≠x(或 解集 x<x1或x>x2 全体实数 x卡x2) 母题2[山东中考]如图，抛物线y=ax2+c(a≠0)与 直线y=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)两点，则不 等式ax2+mx+c>n的解集是 交思路分析 已知 未知 抛物线与直线」 的两个交点的 利用直线AB关于y轴 不等式的解集 横坐标 对称的直线求解 臣规范解答 由题意可知，-m+n=p,3m+n=9, .抛物线y=ax2+c与直线y=-mx+n交于P(1,p), Q（-3,q)两点（如图). 观察函数图象，可知当x<-3或x>1时，直线y=-mx+ n在抛物线y=ax2+c的下方， .不等式ax2+mx+c>n的解集为x<-3或x>1. 侣答案 x<-3或x>1 模块四二次函数 变式训练 2.如图，一次函数y=2x-3 的图象与二次函数y= ax2+bx+c(a≠0)的 图象交于A,B两点，且 点A在x轴上，点B在 y轴上，则关于x的不等 式ax2+(b-2)x+c+ 3>0的解集为 49 初中数学函数》解 分层训练 @基础过关 3.已知二次函数y=-x2+2x+m 1.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象 (1)若二次函数的图象与x轴有两个 如图所示，由图象可知，不等式a2+ 交点，求m的取值范围； bx+c>0的解集是 (2)若抛物线在x轴上截得的线段长 为6，求m的值， 025 2.如图，抛物线y=)+bx+c交x轴 于A(-2,0),B两点，交y轴于 点C(0,-4),直线y=ax+m经 过点B,C 心素养拔高 4.中考新角度新定义对于任意实数 a,b,都有a⑧b=ab-（a+b),如 2⑧3=2×3-(2+3)=1.若y关于 x的二次函数y=（+1)☒（(x-1) 的图象与x轴仅有一个公共点，求实 数k的值 (1)求抛物线和直线BC所对应的函 数解析式； (2)求不等式号2+bx+c>a+m 的解集。 50初中致学函数少解 2.y=-+2x+2 ·抛物线的对称 c=0, .函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的 轴为直线x=2,且经过点(5,0)， 两个交点为(2,0)和(4,0)， ∴.根据抛物线的对称性，可得抛物线 .y=a(x-2)(x-4). 经过点（-1,0)， 设抛物线所对应的函数解析式为y= 由题图可知，函数y= ax2+bx+c a(x+1)(x-5)(a≠0)， 1 a(x-2)(x-4) 的图象过点(3,1)， 将(1,4)代入y=a(x+1)（x-5), 得4=a(1+1)(1-5), .(3-2)×（3-4)a=1, 解得a=-1, 解得a=分y=号(x+1)(x-5)= .y=-(x-2)(x-4)=-x2+6x-8, -2+2x+3 即b=6,c=-8, 3.解：将(4,0)代入y=ax2+bx,得 .a+b+c=-1+6-8=-3. 16a+4b=0, ∴.b=-4a, 专题3 二次函数与方程、不等式 则抛物线所对应的函数解析式为y= 变式训练 ax2-4ax=a(x-2）2-4a, 1.A设抛物线与x轴两个交点的横坐标 .顶点坐标为（2，-4a). 顶点到x轴的距离为2， 分别为x1,x2,由题意可得， (2a-3)2-4a(a-1)>0, ∴.1-4adl=2, 1+x2=- 2a-3 >0, .-4a=2或-4a=-2, a 解得a=-号或a=分 1 x·=01≥0， a>0, 抛物线开口向上， 解得1≤a<8 9 3 .抛物线所对应的函数解析式为y= 2.x<0或x> 把x=0代入y=2x-3, 3(x-2)32 可得y=-3,∴点B的坐标为(0，-3). 把y=0代人y=2x-3,可得0=2x-3, 4.解：由题中图象可知，当x=2和x= 4时，不存在函数值， 解得x=多，点A的坐标为(，0). 即当x=2和x=4时，分母a2+bx+ 由题图可得，关于x的不等式ax2+bx+ 94 参考答亲 c>2x-3,即ax2+（b-2)x+c+3> :不等式号2+bx+c>ax+m的解集 0的解架为x<0或x>》 是x<0或x>4. 分层训练 3.解：（1)根据题意可知，4=22-4× (-1)×m>0, 1.-1<x<5 由题意得，抛物线的对称 解得m>-1. 轴是直线x=2,抛物线与x轴的一个 (2)令y=0,则-x2+2x+m=0, 交点坐标为(5,0)， .x1+x2=2,x1x2=-m .抛物线与x轴的另一个交点的坐标 抛物线在x轴上截得的线段长为6， 为(-1,0). .1x1-x2=(x1+x2)2-4xx2= .不等式ax2+bx+c>0的解集是-1< J22-4×（-m)=6, x<5. 解得m=8. 2解：(1)抛物线y=22+bx+c经过 4.解：a⑧b=ab-（a+b), .y=(x+1)☒(x-1)=a2-2a-1. A(-2,0),C(0,-4)两点，则 二次函数y=a2-2-1的图象与 0=7×(-2户-26+6解得2=4 b=-1, x轴仅有一个公共点， -4=C, .4=42+4k=0, 抛物线所对应的函数解析式为y= .+k=0, 分-x-4 解得k=0（舍去)或k2=-1. 当y=0时，有0=)2-x-4, 专题4 二次函数的实际应用 解得x1=-2,x2=4, 变式训练 .点B的坐标为（4,0) By=-2(x-20)2+1558,且-2<0， :直线y=ax+m经过点B,C, ·.抛物线开口向下，对称轴为直线x= [0=4a+m, a=1, -4=m, 解得 m=-4, 20, .直线BC所对应的函数解析式为y= .当x<20时，y随x的增大而增大. x-4 .15≤x≤18， (2)由(1)可知，直线BC与抛物线 .当x=18时，y取得最大值. 交于B(4,0),C(0,-4)两点， 将x=18代入解析式，得y=-2×（18- 95