专题2 一次函数与方程(组)、不等式(组)-【荣恒专项】2026年初中数学函数秒解（初中通用）

初中敏学函数解 2.y=x+1 由题意可得，棋子“马”位 于点（1,2)的位置. 设同时经过棋子“帅”和“马”所在 点的一次函数解析式为y=x+b, 则-1=-2k+b, 「k=1, 解得 2=k+b, b=1, .y=x+1. 3.k<1(-3,m),（2,n)为直线 y=（k-1)x+1上的两点，且-3<2， m>n, ·y随x的增大而减小. 根据一次函数的性质，可得k-1<0, 解得k<1, 4.20设一次函数的解析式为h=t+b. 将(1,1.4)，（2,1.8)分别代入h= kt+b, k+b=1.4, 「k=0.4, 得 解得 2k+b=1.8, (b=1, ∴.一次函数的解析式为h=0.4t+1. 当h=9时，9=0.4t+1, 解得t=20. 5.解：（1)设一次函数的解析式为y= kx +b. 把A(-4,0),B（0,3)分别代入 y=kx+b, -4k+b=0, = 得 41 b=3, 解得 b=3, 3 ·一次函数的解析式为y=4x+3。 （2)设原点O到直线AB的距离为d. 在Rt△ABO中，OA=4,OB=3, 根据勾股定理，得AB=√42+32=5. 84 :SABo=A0×B0=2AB×d, 12 即4×3=5d,解得d=5, “原点0到直线4B的距离为号。 (3)设P(x,y)· 点P在线段AB上， y=x+3,其中-4≤x≤0， ：L=PD+PE=y+(-x)=x+3+ （-x)=-4x+3. :-4<0,·L随x的增大而减小， ·当x=-4时，L最大=4，此时点P的 坐标为(-4,0)，此时点P与点A重合， 点P到原点O的距离为4；当x=0时， L最小=3，此时点P与点B重合，点P 到原点O的距离为3. 专题2一次函数与方程（组）、 不等式（组) 变式训练 1. x=1, 直线y=x+3经过点P(1,m), y=4 .m=1+3=4, 点P的坐标为(1,4)， y=x+3, x=1, ·方程组 的解是 y=kx+b y=4. 2.C当x>1时，x+b>+4, 不等式x+b>+4的解集为x>1. 分层训练 1.A2.C x=1, 3. (y=2 4.x<1 a-1=2, 5.y=3x+1由题意，得 2-b=1, a=3, 解得 b=1, ·.一次函数的解析式为y=3x+1. 6.解：（1)点C（m,4)在正比例函 数y=x的图象上， 4 六3m=4, 解得m=3, .点C的坐标为（3,4) 一次函数y=+b经过点A(-3,0), C(3,4), 「-3k+b=0, 解得 k=号， 3k+b=4, b=2, 一次函数的解析式为y=号x+2。 (2)由题图可得，不等式：+b≥号x 的解集为x≤3. 7.解：由题图可知，直线1经过点A（-2, 0),B(2,2),且y随x的增大而增大. [0=-2k+b, (1)由上面分析，得12=2k+b, 「b=1, 解得 k=2, 故直线1所对应的函数解析式为y= x+1. (2)因为函数y=kx+b的图象经过点 (-2,0),所以方程kx+b=0的解是 x=-2 (3)因为当x=0时，y=1, 所以直线1经过点（0,1). 参考答案 当x>0时，有c+b>1,即不等式+ b>1的解集是x>0. （4)在线段AB上，x的取值范围是 -2≤x≤2，即-2≤a≤2： 当-2≤a≤2时，y的取值范围是0≤ y≤2，即0≤b≤2. 专题3一次函数的实际应用 变式训练 1.(1)0.5h. 提示：由题图知，停留时间为2.5-2= 0.5(h) (2)解：设线段DE对应的函数解析 式为y=+b（2.5≤x≤4.5). 将（2.5,80)，（4.5,300)分别代入y= kx+b, 2.5k+b=80, [k=110, 得 解得 4.5k+b=300, b=-195 故线段DE对应的函数解析式为y= 110x-195（2.5≤x≤4.5) (3)解：设线段OA对应的函数解析 式为y=mx(0≤x≤5). 将(5,300)代人y=mx, 得300=5m,解得m=60, .y=60x（0≤x≤5). 令110x-195=60x,可得x=3.9, .3.9-1=2.9(h), 故轿车从甲地出发后经过2.9h追上 货车. 2.解：（1)把x=-8代入y=2x+8, 可得y=-8,则C(-8,-8). 把点C的坐标(-8，-8)代入y=c-4, 85初中数学函数解 速记口诀 利用一次函数解一元 次方程： 方程化函数， 描点画直线。 横轴交点横坐标， 就是所求方程解. 速记口诀 利用两个一次函数解二 元一次方程组： 方程画出两直线， 寻找交点放前边， 横纵坐标就是解. 没有交点即无解， 重合解有无数个. 变式训练 1.如图，直线y=x+3 与直线y=x+b相交于 点P(1,m),则方程组 「y=x+3, y=kx+b 的解是 y=kx+b Py=x+3 m 12 专题2 一次函数与方程（组）、 不等式（组) ⊙考点突破 考点① 一次函数与方程（组)3年266考重点 1.一次函数与一元一次方程的关系 （1)从“数”的角度看，令y=0,得方程x+b= 0,解方程得x=冬 (2)从“形”的角度看，-是就是直线y=c+6与 x轴交点的横坐标. 2.两个一次函数的图象与二元一次方程组解的关系 两条直线的位置关系 二元一次方程组的解的个数 相交 有唯一解 平行 无解 重合 有无数组解 二元一次方程组对应两个一次函数，解方程组相当于求 这两条直线交点的坐标 母题1在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b与 y=mx+n(a<0,m<0)的图象如图所示，则关于x, y的方程组 y=ax+b, 解是 y=mx+n y y=ax+b3 y=mx+n .-2 -4-3-21012 文思路分析 已知 未知 交点坐标为 交点坐标对应 方程组的解 (-3,2) 方程组的解 ®规范解答 :一次函数y=ax+b的图象与y=mx+n(a<0,m<0)》 的图象交于点(-3,2 x=-3, “关于x,y的方程组 y=ax+b, 的解为 y=mx +n y=2. 固答案 [x=-3, y=2 考点② 一次函数与不等式（组)3年246考 函数与不等式 函数与不等式组 y个y=lcx+b y2=kx+b Ay y=kx+b 图象 衣 y>0时，x>a; 解集 y1>y2时，x>n; y<0时，x<a y<2时，x<n 位置 y>0时，图象在x轴上方； 乃>时，直线y在上方； y<0时，图像在x轴下方 y<时，直线y在为下方 母题2如图，直线y=x+a和y=x+4与x轴分别交 于点A(-4,0)和B(2,0),则 x+a>0,的解集为 mx+4>0 () y=mx+4 A.x<-4 y=x+a B.x>2 C.-4<x<2 A B D.x<-4或x>2 边思路分析 已知 未知 直线y=x+a和y= 利用两条直线在x mx+4分别与x轴交 不等式组的 轴上方部分的公 于点A(-4,0)和 共部分求解 解集 B(2,0) 模块日一次函数 拓展提升 不等式mx+n1>m2x+ n2的解集，就是直线y,= mx+n1位于直线y2= m2x+n2上方部分对应的 自变量x的取值范围. 变式训练 2.如图，一次函数y1=x+ b与一次函数y2=x+4 的图象交于点P(1,3), 则关于x的不等式x+b> x+4的解集是() 2=+4 y1=x+b A.x>-2 B.x>0 C.x>1 D.x<1 3 初中致学函数》解 ®规范解答 :直线y=x+a与x轴交于点A（-4,0), .x+a>0的解集是x>-4. 直线y=mx+4与x轴交于点B(2,0), ∴.mx+4>0的解集是x<2. x+a>0, 故不等式组 的解集为-4<x<2: mx+4>0 間答案 分层训练 @基础过关 3.如图，一次函数y=+b与y= 1.如图，一次函数y=ax+b(a≠0) x+1的图象相交于点P(n,2), 的图象经过A(2,4),B(4,1) 则关于x,y的二元一次方程组 两点，则关于x的方程ax+b=1 kx-y=-b, 的解是() 的解是 y-x=1 y y=kx+b A(2,4) y=x+1 B（4,1) A.4 B.3 C.2 D.1 2.如图，已知直线y,=ax+b与直线 2=mx+n相交于点P(-5,10), 4.已知一次函数y=ax+b(a,b是常 则不等式ax+b≥mx+n的解集是 数)，x与y的部分对应值如下表： 2 3 10 -2 -4 则不等式ax+b>0的解集是 -5 5若是方程 ax+y=2, 2x+by =1 的 A.x<-5 B.x≥-5 解，则一次函数y=ax+b的解析 C.x≤-5 D.x≥10 式为 14 心素养拔高 6.如图，在平面直角坐标系中，一次 函数y=c+b的图象与x轴的交点 为点A（-3,0),与y轴的交点为 点B,且与正比例函数y=专x的图 象交于点C(m,4). B (1)求m的值及一次函数y=+ b的解析式； (2)结合图象直接写出不等式c+ b≥生x的解集， 模块二一次函数 7.如图，直线1是一次函数y=+b 的图象，点A,B在直线1上，根 据图象回答下列问题. 2 B -432-1012345 -2 -3 -4H (1)求直线1所对应的函数解析式： (2)求方程c+b=0的解； (3)求不等式x+b>1的解集； (4)若点P(a,b)在线段AB上 移动，求a,b的取值范围. 5