专题2 求二次函数的解析式-【荣恒专项】2026年初中数学函数秒解（初中通用）

专题2求二次函数的解析式 ⊙考点突破 考点 用待定系数法求二次函数解析式的步骤 3年256考重点 设 先设出二次函数的解析式 代 根据题中所给的条件，将点的坐标代入二 次函数的解析式中，得到关于函数解析式 中待定系数的方程（组） 解 解此方程（组)，求出待定系数 将求出的待定系数还原到所设解析式中， 还原 从而得到二次函数的解析式 母题[山东中考]若下表中y与x对应的数据满足二次 函数关系，求其函数解析式 -1 0 1 3 0 3 4 0 文思路分析 已知 未知 y与x的对应 用不同的方法解题： 数据 ①一般式；②交点式； 求二次函数的 ③顶点式 解析式 固一题多解 方法①（一般式）》 解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0)， 把(-1,0)，(0,3)，（1,4)分别代入y=ax2+bx+c, a-b+c=0, a=-1, 得c=3, 解得b=2, La+b+c=4, c=3, .二次函数的解析式为y=-x+2x+3. 模块四二次函数 拓展提升 (1)若抛物线的顶点在 原点，可设解析式为y= ax2(a≠0）； (2)若抛物线的对称轴 是y轴，可设解析式为 y=ax2+c（a≠0)； (3)若抛物线的顶点在 x轴上，可设解析式为 y=a(x-h)2(a≠0)； (4)若抛物线过原点， 可设解析式为y=ax2+ bx（a≠0). 变式训练 已知抛物线y=x2+bx+ c过点A(-1,0),B(5, 0),则关于x的一元 二次方程（x-1)2+ c=-bx+b的解为 45 初中致学函数》解 方法②（交点式） 解：根据表中数据，可知抛物线与x轴的交点坐标为（-1， 0)和(3,0). 设二次函数的解析式为y=a（x+1)（x-3)（a≠0). 将(0,3)代入y=a（x+1)(x-3),得3=-3a,解 得a=-1, ·.二次函数的解析式为y=-（x+1)（x-3)=-x2+2x+3. 方法③（顶点式） 解：(-1,0)和（3,0)的纵坐标相同， :抛物线的对称轴为直线x=1+3=1 2 由表可知，当x=1时，y=4, .抛物线的顶点坐标为（1,4) 设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+4(a≠0)， 将(0,3)代入y=a(x-1)2+4, 得3=a+4,解得a=-1, ∴.二次函数的解析式为y=-（x-1)2+4=-x2+2x+3. ©分层训练 @基础过关 ~素养拔高 1.若二次函数图象的顶点坐标为(1，-2)， 4.函数y=a+bx+C 1 的部分图象如图 且图象经过点（2，-3)，则该二次 所示，求a+b+c的值. 函数的解析式为 2.已知抛物线的对称轴为直线x=2, 3 2 且过点（1,4)和(5,0)，则这个 二次函数的解析式是 2虾367 3.已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经 过点(4,0).若抛物线开口向上， 且顶点到x轴的距离为2，求抛物线 所对应的函数解析式. 46参考答亲 ∴.抛物线的最小值为y=-9, 10), .·点P在抛物线上且在直线1下方， ∴.水流的最高点到地面的距离为10m. 不与点A,B重合， (2).左、右两条抛物线关于y轴对称， ∴，的取值范围是-9≤y。<16 y轴左侧抛物线的顶点为（-3,10)， 3.y=x2-2x(答案不唯一）.当x<1 .y轴右侧抛物线的顶点坐标为(3， 10), 时，y随x的增大而减小， ∴.左、右两条水流最高点之间的距离 ∴.抛物线开口向上，即二次项系数a> 为3-（-3)川=6(m). 0且对称销=名≥1 .二次函数的图象经过原点，.常数 专题2 求二次函数的解析式 项c=0, 变式训练 取a=1,对称轴为直线x=1,则-2× 6 x1=0,x2=6.抛物线y=x2+bx+C 经过点A(-1,0),B(5,0), 1,解得b=-2, ∴.将A,B两点的坐标分别代入y=x2+ 因此符合条件的二次函数的解析式可 bx+c,可得 1-b+c=0, 以为y=x2-2x, 解得 25+5b+c=0, 4.解：(1)把(3,0)代入y=x2-4x+ b=-4, c,得9-12+c=0, c=-5. 将b=-4,c=-5代入一元二次方程 解得c=3, (x-1)2+c=-bx+b, .该二次函数的解析式为y=x2-4x+3. 得（x-1)2-5=4x-4. (2)点P(4,n)向上平移2个单位 整理，得x2-6x=0, 长度得到点P'(4,n+2), 解得x1=0,x2=6. 把点P'的坐标代入y=x2-4x+3,得 分层训练 n+2=42-4×4+3, 1.y=-（x-1)2-2设该二次函数的 解得n=1. 解析式为y=a(x-1)2-2(a≠0)， 5.解：（1)由题意，得y=-x2-6x+1= 将(2，-3)代入y=a(x-1)2-2, -(x+3)2+10, 得-3=a（2-1)2-2,解得a=-1, ∴.y轴左侧抛物线的顶点坐标为（-3， ∴.y=-（x-1)2-2 93 初中致学函数少解 2.y=-+2x+2 ·抛物线的对称 c=0, .函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的 轴为直线x=2,且经过点(5,0)， 两个交点为(2,0)和(4,0)， ∴.根据抛物线的对称性，可得抛物线 .y=a(x-2)(x-4). 经过点（-1,0)， 设抛物线所对应的函数解析式为y= 由题图可知，函数y= ax2+bx+c a(x+1)(x-5)(a≠0)， 1 a(x-2)(x-4) 的图象过点(3,1)， 将(1,4)代入y=a(x+1)（x-5), 得4=a(1+1)(1-5), .(3-2)×（3-4)a=1, 解得a=-1, 解得a=分y=号(x+1)(x-5)= .y=-(x-2)(x-4)=-x2+6x-8, -2+2x+3 即b=6,c=-8, 3.解：将(4,0)代入y=ax2+bx,得 .a+b+c=-1+6-8=-3. 16a+4b=0, ∴.b=-4a, 专题3 二次函数与方程、不等式 则抛物线所对应的函数解析式为y= 变式训练 ax2-4ax=a(x-2）2-4a, 1.A设抛物线与x轴两个交点的横坐标 .顶点坐标为（2，-4a). 顶点到x轴的距离为2， 分别为x1,x2,由题意可得， (2a-3)2-4a(a-1)>0, ∴.1-4adl=2, 1+x2=- 2a-3 >0, .-4a=2或-4a=-2, a 解得a=-号或a=分 1 x·=01≥0， a>0, 抛物线开口向上， 解得1≤a<8 9 3 .抛物线所对应的函数解析式为y= 2.x<0或x> 把x=0代入y=2x-3, 3(x-2)32 可得y=-3,∴点B的坐标为(0，-3). 把y=0代人y=2x-3,可得0=2x-3, 4.解：由题中图象可知，当x=2和x= 4时，不存在函数值， 解得x=多，点A的坐标为(，0). 即当x=2和x=4时，分母a2+bx+ 由题图可得，关于x的不等式ax2+bx+ 94