解答题03 二次函数的综合问题（4大考向）（专项训练）（安徽专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

学科网·上好课 www.zxxk.com 解答题03二次函数的综合问题 趋势领航·探考向 ··命题预测 结构：三小问分层递进（基础→综合→探究）。 第1问(4分)：求解析式、对称轴、顶点（送分）。 第2问(5分)：函数性质、线段/面积最值、坐标关系。 第3问(5分)：存在性、定值、参数范围、几何图形探究。 核心趋势 1. 双抛物线+含参：参数为系数、动点、平移量。 2. 代数推理回归：强化函数与方程、不等式、恒成立。 3. 几何融合：三角形、四边形、相似、面积、线段最值。 4. 初高中衔接：平移、旋转、对称、定值、参数讨论。 存在性探究 二次函数综合题 参数与定值（新趋势） 考法破译·知规 ··考向01.线段L坐标关系 研者向通技法 1.竖直线段/水平线段（万能最简） 设抛物线上动点P(x,y),直线上点Q(x,y2) 竖直距离：PQ=元y1-y2V元 水平距离：PQ=(x1-x2V飞 安徽中考90%面积、线段最值，优先用竖直线段列式，计算量最小。 2.线段最值技巧 线段长转化为二次函数表达式，利用开口方向：a>0有最小值，a< 1/92 上好每一堂课 (4大考向) 线段/坐标关系 面积与最值 有最大值，顶点处取最值； 命学科网·上好课 www.zxxk.com 定点+动点距离：优先配方，不用复杂勾股硬算。 3.平行/垂直判定 两直线平行：k值相等； 两直线垂直：k1k2=-1 线段平行：纵坐标差相等（水平）、横坐标差相等（竖直）。 1.(25-26九年级上·安徽芜湖期中)如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A 于点C,点P在直线AC下方的抛物线上，过点P作P?∥y轴交AC于点Q, (1)求抛物线的解析式及点C的坐标. (2)当线段PQ长等于2时，求P点的坐标. (3)直接写出线段PQ长的最大值是 【答案】(1)y=x2+2x-3;点C的坐标为(0，-3) (2)P(-1,-4)或(-2，-3) 9 (3)4 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+2x+c经过点A-3,0)和点B1,0), 9a-6+c=0 可得 a+2+c=01 a=1 解得 c=-3’ .抛物线的解析式为y=x2+2x-3, 当x=0时，y=x2+2x-3=-3, ·点C的坐标为(0，-3)： (2)解：设直线AC的解析式为y=:+b, 2/92 上好每一堂课 3,0)和点B(1,0),与y轴交 设点P的横坐标为m 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [-3k-3=0 将点4-3,0，C0,-3到代入，得6=-3， [k=-1 解得1b=3' .直线AC的解析式为y=-x-3; PQ∥y轴，点P的横坐标为m, ∴Pm,m2+2m-3,Q(m,-m-3), ∴.PQ=（-m-3)-m2+2m-3=-m2-3m=2, 解得m=-1或-2， -3<m<0, ∴P(-1,-4或(-2，-3)： 329 (3)解：PQ=-m2-3m=- +2+4 m+ -1<0,-3<m<0, 9 当x=2时，PO取最大值，最大值为 9 :PQ长度的最大值是4： 9 故答案为：4 2.(25-26九年级上安徽阜阳期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+br+C(a≠0)经过点 A-1,0),B(0,3),与，轴的另一个交点为C,抛物线的对称轴为直线x= 2 F 为 (1)求该抛物线的函数表达式. (2)求抛物线顶点D的坐标以及直线BC的函数表达式. (3)E是第一象限内抛物线上的一动点，过点E作EG⊥x轴于点G,交BC于点F,求当EF最大时，点E 3/92 命学科网·上好课 www.zxxk.com 的坐标. 1 5 【答案】(1)y=- x2+x+3 2 2 549 (2)抛物线顶点。的坐标为28 0 直线BC的函数表达式为y (3)E(3,6) a-b+c=0 【详解】(1)解：根据题意得， C=3 2a2 a=- 2 解得c=3 5 b= 该抛物线的函数表达式为y=一 (2)解：“y=2 2+5 549 抛物线顶点D的坐标为28月 5 抛物线经过点4-1,0)，对称轴为直线x= ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为C6,0) 设直线BC的函数表达式为y=kc+t t=3 将B0,3)·C6,0代入得， 6k+t=0 t=3 解得了 1 k= 2 直线BC的函数表达式为y=2x+3, 4/92 上好每一堂课 2*3 1 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .EF= 1e2+5e+3- *3=+e=e-+ 1。 2 1 30 抛物线开口向下 当e=3时，BF有最大值2 将。-3代入+e3，B3. 3.(25-26九年级上·安徽毫州期末)如图，抛物线y=-x2+2x+8与x轴交于点A,B（点A在点B的左 侧)，与y轴交于点C. M B 图1 备用图 (1)求点A,B,C的坐标： (2)点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线交直线BC于点M,交抛物线于点N,求线段MN的最大值： (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使BQ=AC？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说 明理由。 【答案】(1)点A坐标为-2,0)：点B坐标为4,0)；点C坐标为0,8) (2)4 (3)点Q的坐标为1，V59或1，-V59 【详解】(1)解：当x=0时，y=8, 点C坐标为0,8)： 当y=0时，-x2+2x+8=0,解得x=-2或x=4, 点A在点B的左侧， ∴点A坐标为-2,0) ∴点B坐标为(4,0； 5/92 品学科网·上好课 www.zxxk.com (2)解：设直线BC的函数表达式为y=x+b, 点B(4,0),点C(0,8), 4k+b=0 k=-2 1b=8 ,解得b=8’ y=-2x+8: 设点P坐标为(a,0)(0≤a≤4)， 点M坐标为a,-2a+8),点N坐标为a,-a2+2a+8, .MN=-a2+2a+8-(-2a+8)=-a2+4a=-(a-22+4, -1<0,0≤a≤4， 当a=2时，MW有最大值，最大值为4： (3)解：在该抛物线的对称轴上存在点Q,设点Q坐标为(1，m), 使BQ=AC,即BQ=AC2, “(4-1)2+(m-02=(0+2)2+(8-0)2,解得m=±√59， 点Q的坐标为1，V59或1，-59 4.(25-26九年级上·安徽毫州期末)如图，已知抛物线经过点B(-2, 对称轴与x轴交于点C(2,0). (1)求此抛物线的函数表达式： (2)连接CB,在抛物线的对称轴上找一点E,使得CB=CE, ①求点E的坐标： ②当点E在x轴上方时，求sin∠BEC的值. 【答案】y=x-x 4 2052,:512-5:②25 5 6/92 上好每一堂课 ,原点O和x轴上另一点A,它的 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：由题意可得，抛物线的对称轴为直线x=2, 抛物线经过点B(-2,3),原点0和x轴上另一点A, .A4,0, 设抛物线的表达式为y=ax(x-4)(a≠0)， 抛物线过点B(-2,3), .3=a×-2)×-2-4), 1 解得a=4 抛物线的表达式为y- (2)解：①如图，过点B作BM⊥x轴于点M. VA MO :B点坐标为(-2,3)，C点坐标为(2,0)， MC=4,BM=3, ∴.BC=VBM2+MC2=5, ∴.CE=BC=5, :点E在抛物线的对称轴x=2上， .E(2,5),E22,-5): ②当点E在x轴上方时，由①知E点的坐标为(2,5)， 如图，过点B作BD垂直于对称轴于点D,则点D的坐标为(2,3)， MO A .BD=4,DE=CE-CD=5-3=2, 7/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “BE=VBD2+DE2=V42+22=2V5, ∴sin∠BEC=BD=4_2V5 BE2√551 5.(25-26九年级上安徽合肥期末)如图，己知抛物线y=ax2+br+ca≠0)顶点为C(1,,且过原点0. y= 5 (1)求抛物线y=ar2+br+c(a≠0)的解析式： 5 (2)过抛物线上一点P(m,m向直线y=4作垂线，垂足为点M· (i)已知F1,-42+24)在线段PM的中垂线上.当m>1时，求n的最大值及此时p点的坐标： (iⅱ)对于抛物线上任意点P,是否存在点N(L,),使PM=PN恒成立？若存在请求出2的值，若不存 在请说明理由. 【答案】(1)y=-x2+2x 回1)是大值为子P》 (2’4 ()有在，么号 【详解】(1)解：由题可设y=a(x-1)+1, 将0(0,0)代入得0=a+1, 解得a=-1, y=-x-1)2+1=-x2+2x, ∴抛物线的解析式为y=一x2+2x; (2)解：(i)如图， 8/92 命学科网·上好课 www.zxxk.com V X= :F1,-42+2)在线段PM的中垂线上 ..Yu +yp=2yr, a=2-+24--24-1+2 3 所以，当1=1时，n有最大值，最大值为4， 3 1 代入得-+2x,解得三舍去)， 所以P》 3 (iD当=4时，PM=PN恒成立. 理由：过P作PH与直线x=1的垂线，垂足为H, y= N 10 x= 在Rt PNH中，PN2=m-l2+6,-m]2=m2-2m+1+2-2,n+n2, P是抛物线上的点， ∴.n=-m2+2m: PN2=-n+1+422-24,n+n2=n2-5m 25 161 1-n+62-24,n+m2=n2_5n+25 ”16 9/92 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 2n+2n+ 9 移项，合并同类项得： 642-0, 2引名-0对任意，恒度立。 2, 9 2=0且16 3 422=0, 3 4 3 故5=4时，PM=PN恒成立. ∴存在这样的点 ·考向02.面积与最值、。 研考向通技法 11.通用面积秒杀公式（铅垂法，考场核心】 S=×水平宽×铅垂商 水平宽：两点横坐标之差的绝对值； 铅垂高：动点处竖直方向上下两点纵坐标差； 适用：不规则三角形、斜三角形、抛物线下任意三角形，无需割补。 2.面积最值套路 设动点横坐标为t,用t表示铅垂高； 列出面积关于t的二次函数； 结合自变量取值范围（定义域），求顶点最值； 注意：顶点若不在取值范围内，取区间端点最值。 3.特殊图形面积 直角三角形：直角边直接相乘2； 平行四边形：底×高： 四边形：割成两个三角形相加。 1.(25-26九年级下·安徽池州·月考)已知抛物线y=x2-2x+m2-3(m是常数)，抛物线的顶点为点A. (1)求抛物线顶点A的坐标（用含m的式子表示）； (2)若点M(-3,P)和点N2,q在此抛物线上，且始终有p>q,求m的取值范围： 10/92 品学科网·上好课 www.zxxk.com (3)该抛物线与x轴的两个交点分别为B,D,点B在点D的右侧， 时，△ABC的面积是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有， 【答案】(1)顶点A的坐标为m,-3): 1 2)m的取值范围为m> 2 (3)SBc最大值为3V3 【详解】(1)解：由抛物线y=x2-2mx+m2-3=(x-m)2-3, 顶点A的坐标为(m,-3): (2)解：由(1)知抛物线的对称轴为直线x=m, 1>0, 抛物线开口向上， 始终有P>9, m-(-3)>2-m, 1 解得m>一2' 1 六m的取值范围为m> 2 (3)解：△ABC的面积有最大值，理由如下， 设抛物线对称轴与x轴的交点为E,则点E的坐标为(m,0), 当x=0时，y=m2-3, 点C的坐标为0，m2-3), 当y=0时，x2-2mx+m2-3=0,即(x-m)=3, 解得：x=m-V5,x2=m+V3, 点D的坐标为m-V5,0),点B的坐标为m+5,0, 分两种情况考虑： ①当0<m≤V3时，如图①， 11/92 上好每一堂课 与y轴的交点为C.当m≤V5,m≠0 请说明理由， 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E D B A: 图① SABC=S四边形OC4E+S。ABE-S,oCB =oc÷A6oE+BE4E-0Boc =3-m㎡+xm+分5x3-m+5j3-m m+ 2 2 2 8 2>0, ∴.0<m≤V3时，S。Bc随m的增大而增大， 当m=5时，S。Bc取最大值，为3V5: ②当-√3≤m<0时，如图②， E D B A出 图② S。ABc=S四边形OCE+SocB-Sa4BE -OC+AE)YOE+OROC-E -(3-m+3m+m+3)(3-m)-x3x3 12/92 学科网·上好课 www.zxxk.com 3m2子 3 2 2 8 3 <0 2 当m=- V5 2 取最大值，为 8； 3535 8 当m=√5时，S8c取最大值，为3V3」 2.（25-26九年级上安徽安庆·月考)已知抛物线y=ax2+3ax4经过点A (1)求a的值； (2)若点C(x,乃)，D(x,)是抛物线上的两点，对于x=m-1,:=m+1, 围； (3)点E在抛物线上，作EF∥x轴，交y轴于点M,交抛物线对称轴于点F 令S=OM+2EF,求s关于n的函数关系式，并求出S的最小值. 【答案】(1)a=-1 3 (2)m> 2 (3)= -n2-n+70<n≤1 n2+5n-1n>1 ,S的最小值为5 【详解】(1)解：依题意，把x=-3代入y=ax2+3ax4, 得y=a×-3)+3a×-3+4=9a-9a+4=4, 7≠4， 点A-3,7)不在抛物线y=ax2+3ax4, :抛物线y=ax2+3ax4经过点A-3,7),B(-1,6)中的一点， ∴把B(-1,6)代入y=r2+3ax+4, 得6=a×-1)+3a×-1+4 ,6=a-3a+4, 解得a=-l; (2)解：由(1)得a=-1, 13/92 上好每一堂课 3,7),B(-1,6)中的一点. 都有>2，求m的取值范 设点E横坐标为nn>0), 品学科网·上好课 www.zxxk.com 即抛物线y=-x2-3x+4, -33 此函数的开口方向向下，对称轴为直线x= 2×-可=2， 越靠近对称轴的x所对应的函数值越大， :点Cx,y),D(x2,y2)是抛物线y=-x2-3x+4上的两点，对于x=m-1 m-1(引1-（到 1 当0≤m+。,m+。之0时， 2 1 5 则m≥2，m之 2 1 即m22' 1 5 .,m+ m 2, 15 22 即m>一2满足题意：， 当m+】<0,m+ 0时，则m< 5 5 2 1 5 '.-m- 2m+2 .-2m<3, 3 即m>- 满足题意： 5 5 1 当m+。<0,m+。<0时，则m< 2 2m< 2 5 即m<- 2 1 -m-2<-m-2 15 2<一2是不成立的， 14/92 上好每一堂课 ,x2=m+1,都有y>y2, 品学科网·上好课 www.zxxk.com 即m<- 2不满足题意： 综上：m之一 (3)解：由(2)得抛物线y=--3x+4:对称轴为直线= 2” 点E在抛物线上，作EF∥x轴，交y轴于点M,交抛物线对称轴于点F E-r-3n+M10-f-n+4,r22-3n+4） oM=-3+4，=n-（a+月 .S=OM +2EF, 5=2-3+4+2xa+-n+4+2n+3 当-n2-3n+4≥0时，令f=-n2-3n+4=(n+4(-n+1), 函数开口向下，当f=0时，则0=(n+4)(-n+1), 解得1=-4，n2=1 则-n2-3n+4>0时，-4≤n≤1， .'n>0 ∴.0<n≤1 此时S=-n2-3n+4+2n+3=-n2-n+7, -11 函数的开口方向向下，对称轴为直线”=一2×-可2' 越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大，把n=1代入S=-n2-n+7, 即在0<n≤1时，最小值S=5, 当-n2-3m+4<0时，则令f=-n2-3n+4=(n+4)(-n+1), 函数开口向下，当f=0时，则0=(n+4)(-n+1), 解得n=-4,2=1 则-n2-3n+4<0时，n>1或n<-4, .'n>0 .n>1, 此时S=n2+3n-4+2n+3=n2+5n-1, 15/92 上好每一堂课 ,设点E横坐标为nn>0), 得最小值为S=-12-1+7=5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 函数的开口方向向上，对称轴为直线n=一 2x1-2 越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小，则当=1时，则最小值为S=12+5×1-1=5; 即在n>l时，S>5, -n2-n+7(0<n≤1 综上：关于的函数关系式为S= n2+5n-1n>1) S的最小值为5 1 3.(25-26九年级上·安徽安庆月考)如图，抛物线y=- 2+bxr+c与x轴交于A,B6,0两点，与y轴 4 3 交于点C(0,3),直线：y=4x与抛物线交于D,E两点. (1)求抛物线的函数表达式： (2)若P是抛物线上的点且在直线I的上方，连接PD,PE,当△PDE的面积最大时，求点P的坐标及该面 积的最大值： (3)若Q是抛物线上的点，连接AD,且∠AD0=45°，请求出点Q的坐标. 【答案】(1)y=-x2+x+3 4 (2)点的坐标为 155 该面积的最大值为32 343 2'16 435 3)(-12,45)或39 1 ×62+6b+c=0 【详解】(1)解：将 4 4 (c=3 b=1 解得c=3 所以抛物线的函数表达式为y=-一x2+x+3. 4 (2)解：由题意，设点。的坐标为Pa, p 16/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 3 如图，过点p作PF⊥x轴，交直线DE于点F,则Fa,子 PF=_ 402+a+3-3 1 -a=- -a+a+3 4 4 4 y=-2+x+3 x=-3 联立 3 ,解得 9或x=4, y=4 y=- 4y=3 p433 -3<a<4,△PDF的PF边上的高为4-a,△PEF的PF边上的高为a ∴△PDE的面积为SPpF+SPEF 4-++3a+++3 _a2-a-12 8 71)2343 80-2+32 由二次函数的性质可知，在-3<a<4内，当Q=2时， △PDE 的面积最大 此时-2a2+a+3=- +3=5 16 综上，点。的坐标为21)该面积的最大值为 155 2 1 (3)解：将y=0代入y=++3得：4+x+3=0, 解得x=-2或x=6, A-2,0), 17/92 上好每一堂课 (-3)=a+3, 343 ,最大值为32， 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OA=2, 如图，过点A作GAL AD,且GA=AD,过点G作GN⊥x轴于点N,过点D作DM⊥x轴于点M, ∠ANG=∠GAD=∠DMA=90°，∠ADG=∠AGD=45°，DM=3,AM=4-(-2)=6, ∴.∠GAN+∠AGN=90°=∠GAN+∠DAM, ∴，∠AGN=∠DAM, 在△AGN和△DAM中， ∠ANG=∠DMA=90° ∠AGN=∠DAM GA=AD ,△AGN≌△DAM(AAS), .AN=DM=3,GN=AM=6. ∴ON=OA+AN=5, .G-5,6), 设直线DG的解析式为y=c+b(k≠O), k 将点 3 代入得： 4k+b,=3，解得 13 D4,3G-5,6 -5k+b。=6 bo= 3 113 “直线DG的解式为y=-3x+ 3 又：∠ADG=45°， 直线DG与抛物线y=4+x+3的另一个交点是满足条件的点Q, 18/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 J= 1.,13 3t× 4 x= 3 3 联立 1 解得〔x=4(即为点 )或 35 y=- +x+3 y=3 y= 0 435 六此时点Q的坐标为3g) 如图，延长GA至点H,使得AH=GA,连接DH, .∠DAH=90°，AD=AH,点A是GH的中点， ·∠ADH=∠AHD=45°，H(1,-6), 设直线DH的解析式为y=kx+b(k≠0)， 4k+b=3 k=3 将点D4,3'H1,6)代入得： (+6-6,解得6=-9 ∴直线DH的解析式为y=3x-9, 又：∠ADH=45°， :直线DH与抛物线y=+x+3的另一个交点也是满足条件的点0 y=3x-9 联立 4r+r+3 解得x=4(即为点)或x=-12, y=- y=3 Dy=-45 此时点Q的坐标为(-12，-45)： 7435 综上，点0的坐标为(-12，-45)或39 4.(25-26九年级下·安徽芜湖月考)在平面直角坐标系中，已知抛物线G:y=a2-2x-3和直线 I:y=x-3,直线与x轴、y轴分别相交于B、C两点. B D A 图1 图2 (1)如图1，若抛物线经过B点. ①求抛物线的解析式： 19/92 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②在直线马的下方的抛物线上是否存在一点P,使得△PBC的面积最大？若存在，求出P点的坐标与面积 最大值：若不存在，请说明理由： (2)如图2，将直线向下平移2个单位得到直线l2,点A(-2,m)与点D(2,n川是直线l2上两点.若抛物线G 与线段AD有两个交点，请写出a的取值范围， 【答案1@，-x-:②存在，P》 最大值为 7 21≤a<8或a≤-2 【详解】(1)解：①冷y=x-3=0,则x=3, .B3,0) 将B(3,0)代入y=a2-2x-3得， 9a-6-3=0,解得a=1, y=x2-2x-3; ②设Pt,2-21-3, 过点P作x轴的垂线交直线y=x-3于点Q, 图1 ∴.Qt,t-3 ∴.P0=t-3-t2-2t-3=t-3-t2+2t+3=-t2+3t, -3<0, 2 抛物线开口向下， 当-时，3有0大值，楼大值为2号北时-24(-2x-3=5即P传-》 2 8 (2)解：由题意可得直线2为y=x-5, 点A-2,m)与点D(2,n)是直线l2上两点， 20/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.m=-2-5=-7,n=2-5=-3, .A-2,-7),D(2,-3), :抛物线G与线段AD有两个交点， 4a+4-3≤-7 当 时， a<0 4a-4-3≤-31 .a≤-2： 当a>0时，△=9-8a>0, ：.a<8' 9 4a-4-32-3, .a≥1， alasg. 踪上所述：1≤a<8或a≤-2 5.(25-26九年级上·安徽滁州期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ar2-x+c(a≠0)与y轴交于 点A0,-4),与x轴交于点B(4,0),连接AB· V个 D B B 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)P是线段AB下方抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的平行线交直线AB于点C,过 点P作PD⊥x轴于点D ①求PC+PD的最大值： ②连接PA,PB.若线段PC把△PAB的面积分成上下两部分的面积比为5：3，求点P的坐标. 1 【答案】)=2--4： apC+Pn的最大值为空：②点的标为》 21/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2-x+c过点A(0,-4,B(4,0), -4=C 解 0=16a-4+c ∴抛物线的表达式为y= x2-x-4 2 2)①设点。的横坐标为，则点。坐标为-1-4101<4利 :P是线段AB下方， PD=- 2+t+4, 2 ,设直线AB表达式为y=x+b, 「-4=b k=1 把A0,-4),B40)代入得0=4k+b'解得b=-4 ∴直线AB表达式为y=x-4, :过点P作x轴的平行线交直线AB于点C, 将-4代入y=-4解得-4， 点c坐标为分-宁-1 c0-a4- 4 -1<0 25 当1=2时，PC+PD的最大值为4： ②延长pC交y轴于点p设点p横坐标为，则点。坐标为2-1 22/92 上好每一堂课 40<<4 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点坐标为0-1-4， 由0得PD=-+1+4, A0,-4, --4小4到-4， 1 PC.PD PD 5 SAPAC IPC.AF AF3 2 2+1+45 2 1 3 整理得51+3+12，即：-21-30 2 解得4=3,43=-1（舍去） 当1=3时， 12-t-4=- 5 点。的坐标为3引 ··考向Q3.存在性探究、 研考向通技法✉ 1.等腰三角形存在性（分类讨论口诀) 三边两两相等，三类不重不漏 ①PA=PB②PA=AB③PB=AB 技巧： 23/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两点距离公式列式，平方去绝对值、去根号，简化计算， 先找对称轴、中垂线，快速锁定点的位置，减少计算。 2.直角三角形存在性 直角分三类：A为直角、B为直角、P为直角 几何法：垂直斜率乘积=1最快： 代数法：勾股定理逆定理：两短边平方和=长边平方。 3.平行四边形万能坐标结论（直接背） 已知三点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),求第四点D 利用中点重合法则： 对角线中点坐标相同，分三种对角线组合： 11.AB为对角线 2.AC为对角线 3.BC为对角线 1无需画图、无需证平行，纯坐标计算，正确率最高。 进阶限定 矩形：平行四边形+邻边垂直(k,k2=-1)或对角线相等； 菱形：平行四边形+邻边相等， 1. (25-26九年级上·安徽阜阳期末)在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-l,0)、 B3,0)、C(0,3)三点. (1)求该二次函数的解析式， (2)点P是抛物线上第一象限内的一个动点，以点P为圆心，√2为半径作⊙P.当⊙P与直线BC相切时， 求点P的坐标. (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QBC是等腰三角形？若存在，请直接出点Q坐标：若不存在， 请说明理由 【答案】(1)y=-x2+2x+3 (21,4或(2,3) 31,4或1，-4或1,3+7或1,3-7或1,1) 【详解】(1)解：二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-l,0)、B3,0)、C0,3)三点， 24/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a-b+c=0 .9a+3b+c=0 c=3 a=-1 解得：b=2, c=3 该二次函数的解析式为y=-x2+2x+3: (2)解：根据题意得：BC=V32+32=3√2， 设点P的坐标为m,-m2+2m+3, 设直线BC的解析式为y=k+s, 把点B(3,0)、C(0,3)代入得： [3k+S=0 k=-1 5=3 ,解得： =3 ∴直线BC的解析式为y=-x+3, 如图，过点P作PD⊥BC于点D,PE⊥x轴交BC于点E, ∴点E的坐标为(m,-m+3), PE=-m2+2m+3-（-m+3=-m2+3m, ⊙P与直线BC相切， PD=√2， S.wc-PDx BC-PEx) 22x35=-m+3mx3, 解得：m=1或2， ∴点P的坐标为(1,4或(2,3)： 25/92 命学科网·上好课 (3)解：，y=-x2+2x+3=-(x-12+4, 抛物线的对称轴为直线x=1, 设点Q的坐标为(1，)， 当BQ=BC=3W2时，如图， B 此时V3-1)2+(0-t2=3√2， 解得：t=±V14, ∴点0的坐标为1,4或1，√14： 当CQ=BC=3V2时，如图， B 此时V0-1)2+(3-t)2=3√2， 解得：t=3±7， ∴点0的坐标为1,3+7或1,3-7： 当CQ=BQ时，如图， www.zxxk.com 上好每一堂课 26/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 此时V0-12+(3-t}2=V3-1)2+(0-t)2, 解得：t=1, ∴点Q的坐标为1，： 综上所述，点Q的坐标为1,14或山，-V4或1,3+7或{1,3-7或1,1). 2.(25-26九年级上安徽合肥月考)如图，抛物线y=x2+br+c(b,c为常数)与x轴交于A(-1,0),B 两点，与y轴交于点C(O,-4),作直线BC.若点P在线段BC上运动（点P不与点B,C重合），过点P 作x轴的垂线，分别交抛物线于点E,交x轴于点F. 备用图 (1)求该抛物线的表达式： (2)若PE=PF,求此时点P的坐标； (3)连接CE,若△CPE是等腰直角三角形，求点P的坐标. 【答案】(1)y=x2-3x-4 (2)(1,-3) (3)点P的坐标为3，-1)或(2，-2) 【详解】(1)解：抛物线y=x2+bx+c过点A(-1,0),点C(0,-4), 1-b+c=0 (c=-4· b=-3 解得c=4 27192 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴该抛物线的表达为y=x2-3x-4: (2)解：由(1)得：抛物线的表达式为y=x2-3x-4」 当y=0时，x2-3x-4=0,解得x=-1,x2=4, B(4,0), 设直线BC的表达式为y=kc+n, 4k+n=0 代入B4,0和c0,-4'得1 n=-4 k=1 解得n=4 直线BC的表达式为y=x-4, 设点P(m,m-4),则F(m,0),Em,m2-3m-4. PE=(m-4)-m2-3m-4=-m2+4m,PF=0-(m-4)=4-m. PE=PF, ∴.-m2+4m=4-m, 整理，得m2-5m+4=0,解得m=1,m2=4(舍去). 当m=1时，m-4=1-4=-3. ∴点P的坐标为L,-3) (3)解：B(4,0),C(0,-4), ∴.OB=OC=4. ∴.∠OCB=∠OBC=45°. PF⊥x轴， PF∥y轴. .∠OCB=∠CPE=45 由(2)知直线BC的表达式为y=x-4, 设点P(,1-4) 如答图1.当∠CEP=90°时，PE=CE=OF. 28/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 PE=-2+4H=0F=t,即-2+41=1，解得1=3,3=0（舍去）. ∴此时P3,-): 如答图2，当∠PCE=90°时，过点C作CH⊥PE于点H,则有PE=2CH=2OF, 图2 ∴PE=-t2+4t=20F=21,解得4=2,4=0（舍去）. ∴此时P(2,-2)」 综上，点P的坐标为3，-)或(2，-2) 3.(25-26九年级上安徽阜阳期末)如图，抛物线y=a2+br-2(a≠0)与x轴交于A4,0,B(-2,0),与 y轴交于点C. 6 2 C (1)求抛物线的解析式. (2)在抛物线的对称轴上有一点P,若△PBC是以BC为底的等腰三角形，求点P的坐标， NO (3)若点M在抛物线上，且它的横坐标为1(0<1<4，M0与AC交于点N,当MN的值最小时，求点M 的坐标. 29/92 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】y= 2t2 (2)点p的坐标为(1，) (3)M(2,-2 【详解】(1)解：将点A4,0),B(-2,0)代入y=ax2+bx-2中， 16a+4b-2=0, 得{4a-2b-2=0. 1 a=4 解得 1 b=-2 抛物线的解析式为y= x2- 42-2, (2)解：对于y-方-2，当=0，y-2 .C(0,-2), ,抛物线的解析式为y= x- 4 22, ∴对称轴为直线x=1. 设P1,m), B(-2,0) .BP=V9+m2,CP=V1+(m+22. ,△PBC是以BC为底的等腰三角形， :.BP=CP,+m=+(m+2)2, 解得m=1, 点P的坐标为1,1： (3)解：C(0,-2), ∴设直线AC的解析式为y=c-2, 把A4,0代入，得4k-2=0, 解得大子 30192 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=2-2, 如图，过点M作MD∥y轴交AC于点D, B C M ,△ONC∽△MWD, NO CO ∵MNMD :点M的横坐标为t, NO CO 22 MN MD I 2+t+2 1 2 4-2+1 :当，=2时，1-2+1有最大值1， NO N有最小值2，此时M(2,-2) 4.(25-26九年级上安徽毫州月考)如图，抛物线y=ax2+br+4经过A(-1,0、B4,0)两点，与y轴交 于点C,点D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m(0<m<4),连接AC、BC、DB、DC. A A B (1)求抛物线的函数表达式， (2)当△BCD的面积等于△AOC的面积的4倍时，求m的值. (3)当m=2时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点 31/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)y=-x2+3x+4 (2)2 (3)(0,0)或(1,0)或(8,0或(-2,0) 【详解】(1)解：将点A(-l,0),B4,0)代入y=ax2+bx+4, a-b+4=0 116a+4b+4=01 b=3 .(a=-1 .y=-x2+3x+4: (2)解：令x=0,则y=4, .C0,4), 0C=4, A(-1,0), .OA=1, S01c=7×1×4=2, 】 :△BCD的面积是△AOC的面积的4倍， S.BCD=8, 过点D作DE⊥x轴交BC于点E, 设直线BC的解析式为y=+b,代入B(4,0),C(0,4 [b=4 .4k+b=0 [k=-1 :b=4, y=-x+4, Dm,-m2+3m+4,则E(m,-m+4), .DE=-m2+4m, &S2=。×4×ED=8 .∴.-m2+4m=4, 32/92 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即m2-4m+4=0 .m1=m2=2, (3)解：存在点M使得以点A,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： m=2, D(2,6), 设M化，0)，Nn,-n2+3n+4), 平行四边形对角线互相平分， 对角线中点重合， ①当DM和AN为平行四边形对角线时， 2+tn+(-1) 2 2 此时 6+0-n2+3n+4+0' (2 ∫n=1n=2 t=-2或=-1 ∴M(-2,0)或M(-1,0)(舍去)； ②当DA和MN为平行四边形的对角线时， 2+(-l)t+n 2 此时 2 6+0_-n2+3n+4+0 2 2 n=1.n=2 :=0或4=-1 ∴M(0,0)或M(-l,0)(舍去)； ③当DN和AM为平行四边形的对角线时， 2+n_t+(-1) 2 2 此时了 6+-n2+3n+40+0 2 2 n=5n=-2 :t=8或=1， ∴.M(8,0)或M1,0): 综上所述：M点的坐标为(0,0)或(1,0)或(8,0)或(-2,0). 33/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA E 5. (2025安徽合肥一模)已知抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于点A,B2,0)(点A在点B的左侧)，与 y轴交于点C,对称轴是直线x=2P是第一象限内抛物线上一个动点，过点p作PH1x轴于点月'与线 段BC交于点M. (1)求抛物线的解析式. (2)当△PMC是以MC为底边的等腰三角形时. (i)求线段PM的长： (i)已知2是直线PC上一点，直线PM上是否存在一点K,使得以O,M,C,K为顶点的四边形是矩形？ 若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由， 【答案】(1)y=-2x2+2x+4 回0PM（国)存在，点K的坠标为8G 1175 1 【详解】(1)解：.…抛物线的对称轴为直线x=2: 21 2a2' 解得a=-2, B2,0), .-2×22+2×2+c=0, .c=4, :.抛物线的解析式为y=-2x2+2x+4. (2)解：(i)设直线BC的解析式为y=x+4,将点B代入，得k=-2, ∴直线BC的解析式为y=-2x+4, 设Pm,-2m2+2m+4(0<m<2),则Mm,-2m+4), ∴.PM=-2m2+2m+4+2m-4=-2m2+4m, 由题意知PM=PC=-2m2+4m, 34/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，过点C作CE⊥PH,则CE=m, M A O HB主 .PE=EH-PH=4+2m2-2m-4=2m2-2m 在RtACEP中，由勾股定理得(-2m2+4m)2=m2+2m2-2m2, 11 解得m=0（舍去)，m,=8, ∴.PM=-2× 1)2 8 4 (i)由(i)可知， rg8)ng 设直线PC的解析式为y=kx+4, 将Pg2)代入得<=-子 ∴.y= x+4 若以Q,M,C,K为顶点的四边形是矩形，如图所示， M AO ∴四边形CMQK为矩形， ∴.CM KO,CM=KQ,KC⊥CM, 11 11 ,点c先向右平移8个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点M 35/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11 11 将点K先向右平移8个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点Q 11,1111 .∴.9= 8+8=4 3 +4=3x *9+43 16 m=317 16416, 传 w- 3025 256 ..CK2+CM2=KM2, .∠KCM=90°， 则四边形CMQK为矩形，满足题意， 1175 点，的坐标为8'16 6. (24-25九年级下安徽准南自主招生)如图，抛物线y=+x-4与x轴交于A,B(4在B的左侧)， 与y轴交于点C,点P为抛物线上的动点，且在直线AC的下方，过点P作PF⊥AC,垂足为F,且直线 PF与y轴交于点D,交抛物线于点E. B G 图① 图② 「-5≤x≤2 (1)关于的不等式组 有解，求的最大值： k 36192 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)直线AP与直线EC交于点G,MN分别为ACEP的中点，若PE长为8，求△GMN的面积： (3)当PC∥x轴时，把△DFC绕顶点F旋转45°，得到△D'FC',再把△D'FC'沿直线PD平移至△D"FC", 在平面上是否存在点K,使得以O,C”,D”,K为顶点的四边形为菱形？若存在直接写出点K的坐标；若不存 在，说明理由 5 【答案】()2 (2)4V2 3)KW2,V2),K(2+V2,-2-2). 【详解】山)解，设：=2水+4*- 当2+x-4=0时，x=4,5=2,即点4(-4,0)：B2,0) 当-4或x>2时.+-4>0，当4≤x2时，分+-40， 回当55rs-4时，=-2r++G*x-42-12-- 2 当x=5时，2= 2x=-4时，2=0 7 25 Z= 2 -5≤x≤2 “关于的不等式组 即k≤z, 25 k的最大值为气： 2》”=0时，+-44， ∴.C(0,-4) ..0A=OC, .∠0AC=∠OCA=45°， :PF⊥AC, 37192 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠PDC=90°-∠AC0=45° 过点P作PI⊥y轴，过点E作EI⊥x轴，EI、PI交于点I O(N) /Bx F) 图③ .∠IPE=∠IEP=45°， ∴PI=IE, 又：PE=8, PI-IE- ×8=4V2, 设点E坐标+-，则P:45+-44同，代入解斩式得： -4+-4-4=+-4-45, 解得：x=2√2， “点E坐标为(2V2,22),点P坐标为(-2W2,-22), 设直线AP的解析式为yAP=cx+b 将A(-4,0),P(2V2,-2②)，代入解析式中得 -4k+b=0 k=-√2-1 -2V2k+h=-2V5解得 b=-4W2-4 直线AP解析式为yP=(W2+1)x-4(2+), 同法可求：yc=(W2+1)x-4, 联立直线AP、EC得： y=-(2+1)x-4V2+) x=-4+2√2 y=(W2+1)x-4 ，解得： y=-4-2√2 38/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com ∴点G-4+22,-4-22, 过点G作GKLy轴，垂足为K,连接MK, O(N B 图③ :点M、N分别为AC、EP的中点， M40,49.M225252.即：点22 2,2 2 2 5me=5m+5.em-5u=4-22x4+25-2)+4+22jx2 (3):pC∥x轴，C0,4:当2+x-4=-4时，5=0,5=-2， ∴点P坐标为(-2，-4)， 由(2)可知：∠PDC=45°，△PDC是等腰直角三角形， ∴.CD=PC=2,即D(0,-2),PD=2V2, 直线PD解析式为y=x-2, 又：PF⊥AC, DP=Pr=5:r(210,24=F-1-3 2,2 如图2-1，把△DFC绕顶点F逆时针旋转45°，得到△D'FC', 39/92 上好每一堂课 N(0,0) 24+22)x4-22)=42. 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图2-1 ∴.C(-1+V2,-3),Dt-1,-3h2) 再把△D'FC'沿直线PD平移至△DFC”,连接D'D”,C'C”,显然OC"≥√2+1>2=C"D 以O,C”,D”,K为顶点的四边形为菱形，OC”不可能为边，只能以OD,C”D”为邻边构成菱形 ..OD"=C"D"=OK=2, OK∥C"D"∥C'D', 点O向右V2个单位，向下√2个单位，可得K(W2,-V2), 如图2-2，把△DFC绕顶点F顺时针旋转45°，得到△D'FC',, 图2-2 ∴C(-1,-3-V2),D-1+2,-3 把aD'FC'沿直线PD平移至△D"FC",连接D'D”,CC", 显然，CD°∥PD,OK1PD,易求OK=2(V2+)=2V2+2,∠KOC=45°， 0C"≥√2+1>2=C"D”,0D"≥√2+1>2=C"D", 以O,C”,D”,K为顶点的四边形为菱形，C"D”只能为对角线， ∴点0向右V2+2个单位，向下V2+2个单位，得K,(2+V2,-2-√2). 综上所述，点K的坐标为：K(N2,-V2),K,(2+√2，-2-√2) 40/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ··考向04参数与定值（新趋势）.。。 研考向通技法、 1.含参数m、t、h,先列式化简； 2.消去参数：合并同类项，让参数系数=0； 3剩余常数即为定值； 4定点问题：式子整理成「含参式子+常数=0」，令含参部分系数为0，解固定坐标。 关键技巧 不要代入特殊值直接猜，先代数恒等变形，是安徽中考评分关键。 1.(25-26九年级上安徽合肥月考)已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点(6,0) (1)求该抛物线的对称轴： (2)若a=-4,且对于该抛物线上的两点P(m,),Q(m2,n2),当t≤m≤t+1,2≥5时，均满足n≥n2, 求t的取值范围： 2=龙 (3)点Ax,y)和B(x,乃，)分别在抛物线y=ax2+hx和y=2x2-x上(4，B都不与原点重合)·当2=x 时，若受是一个与x无关的定值，求P前位， 【答案】(1)直线x=3 (2)1≤t≤4 312 【详解】(1)解：抛物线y=ax2+br(a≠0)经过点(6,0)， .36a+6b=0, .b=-6a, 对称轴为直线x二- -6a=3: 2a2a (2)解：当a=-4时，b=-6a=24, 抛物线的解析式为y=-4x2+24x, 抛物线的开口向下，对称轴为直线x=3, 离对称轴越远，函数值越小， 41/92 命学科网·上好课 www.zxxk.com 对于该抛物线上的两点P(m1,),Q(m2,n),且当t≤m≤t+1,m2≥5时， ∴点P到对称轴的距离小于或等于点Q到对称轴的距离， t≥3-(5-3) t+1≤5 解得1≤t≤4： (3)解：，点A,)和Bx2,y2)分别在抛物线y=a2+bx和y=2x2-x上 ∴y=ax2+bx,=2x2-x3, ,y2= 2’ 2x2-x2= 2ax2+bxx’ 由(1)可得：b=-6a, 2x22-x2 一= 2ax2-6ax）' .2x2x=2axx2-12ax2, 2ax2x-2x2=12ax2 xx22ax-2x2)-xx212a-1=0, ∴xx[2ax-2x-(12a-1]=0, A,B都不与原点重合， 七≠0，x2≠0 2ax-2x2）-(12a-1)=0, .2ax-2x2=12a-1, 2=a 12a-1 2x1 “元是一个与x无关的定值P, ,12a-1=0, 1 ,.a= 12 42/92 上好每一堂课 均满足n≥n2, (A,B都不与原点重合)， 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 p=点=a-12a-1=1 2x12· 2.(25-26九年级上·安徽六安期末)已知抛物线y=ax2-2x(a为常数)的对称轴与抛物线y=x2-4x的 对称轴是同一条直线， (1)求a的值： (2)若点A()是抛物线y=ax2-2x上的动点，随着点A的移动，点Bm,+6m,+h)(m,t,h为 常数，且m≠0)恰好在抛物线y=x2-4x上运动. (i)求m,t,h的值： (i)过A、B作直线，直线AB对应的一次函数解析式为y=k+b,随着点A、B的移动，直线AB过一个 定点P,求定点P坐标 【答案】(1)a=2 1 m=9 2 (2)(1) {t=1;(i) h=-3 P(2,-6) 【详解14)解：由题意得名。 =2 （2)解0点是拥物线y-2上的动点， %=26-2x①， ·点B(mx+t,y+h列是抛物线y=x2-4x上的动点， .y+h=(x+t)-4(mx+t)② ①代入②，得： 合-2h-+-4s+小. 则2m-2m+h=m2x号+(2mt-4m),+2-4, :A、B为动点， …x为变量， .对于任意的。2m-2m,+h=m+(2mt-4m侧x,+-4t都成立， 1 43/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 mm2 1 ∴.-2m=2mt-4m, h=12-4t 又m≠0 1 m= 2 .{t=1: h=-3 (i)由题意得A(x,%小、 +-3在直线-+6上， y=+b③ ④×2-③，得-6=2k+b, 则b=-2k-6, :.直线AB解析式为y=x-2k-6,即y=(x-2)-6, :直线过定点P(2,6) 3.(25-26九年级下安徽合肥期中)已知抛物线C:y=x2,抛物线C,的顶点A2,m在抛物线C上，且 在y轴上的截距为6 1y=x2 (1)求抛物线C2的函数解析式. (2)抛物线C与抛物线C另一个交点为B,P在抛物线C,上且在AB之间，Q在抛物线C上且在AB之间. 若PQ⊥x轴，求P的最大值 点M5,6>0与点N5,y+2'为定D分别抛物线CC上.者：Ch症 为定值c,求定值a、b、c. 44/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1答案】y=2x22x+6 (2)8 3)a=4,b=2,c=V2 【详解】(1)解：点A2,m在抛物线C:y=x2上， m=22=4, A2,4, 设抛物线C,的解析式为y=a(x-2+4, 抛物线C2在y轴上的截距为6，即抛物线C,过点(0,6)， a0-22+4=6, 解得a=2' 抛物线c的解折式为yx-2+4,即y=-2x+6。 [y=x2 (2)解：联立与的解析式得 y=xr2-2x+6 2 x=2 x2=-6 解得 y=4'2=36 .B-6,36), 设P-2+6-6<1<2, :PQ1x轴，Q在抛物线C上， 45/92 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .04,2）, P0--2+6=-2+6=+2+8， 1 “-6<t<2”2 <0 当t=-2时，P取得最大值，最大值为8. (3)解：点MxM)(x>0)与点N(x2出+(2>2，a为定值)分别抛物线C、C2上， 1 “y=X2,乃+a=2-2x+6, 1 +a=2号-2+6，即写-45+12-2a=2 七3-b ∴x2=cx+b,代入上式得(cx+b)2-4(cx+b)+12-2a=2x2, (c2-2x+(2bc-4cx+b2-4b+12-2a=0, :该式对任意x>0恒成立， 「c2-2=0 ∴.2bc-4c=0 b2-4b+12-2a=0 [a=4 解得b=2 (c=±V2 x>0,x3>2, .x2-2>0 c=5b=5-2>0 a=4,b=2,c=V2 4.(25-26九年级下·安徽安庆月考)已知抛物线y=x'+br+c(a≠0)与x轴交于点A、C(C在A的左 侧)，与y轴交于点B. 46/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA 图1 图2 1)若A3,0),B(0,-3),C(-1,0). ①直接写出抛物线解析式： ②若D点与C点关于y轴对称，在直线AB上是否存在点M使△ABC与△ADM相似，若存在，求出点M 的坐标： (2)如图2，点P和点Q在抛物线y=ax+br+c上，其中P在点C左侧抛物线上，Q点在y轴右侧抛物线上， 直线CQ交y轴于点F,直线PC交y轴于点H,设直线PQ解析式为y=xr+t,当S△cg=2S△cQ,试证明 b 为一个定值，并求出定值 【答案1a0,-2x-3②存在，引或3 b (2)元为定值1，证明见解析 【详解】(1)解：①将A3,0),B0,-3),C-1,0)代入y=ax2+bx+c 0=9a+3b+c 得， C=-3 a-b+c=0 a=1 解得b=-2 c=-3 故抛物线解析式为y=x2-2x-3: ②过M作MF⊥x轴 47192 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 点D与点C关于y轴对称 .D1,0),AC=4,AB=3N2,AD=2 当△ADM∽△ACB时， AD AM AC AB 以35 .OA=OB, ∴∠OAB=45° 4r=r-月 3引 当△AMD∽△ACB时， AD AM AB AC w=6, .OA=OB, .∠OAB=45 AF=MF-4 3 到 故引我w) (2)解：抛物线解析式为y=ax2+br+c 当x=0时，y=C 48/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .B0,c 设直线PC的解析式为y=mx+n,直线CQ的解析式为y=d+e .H0,n,F(0,e ..FH=yr-yn=e-n FB=yr-y8=e-c SHco=2SRc0 Fmx。--2xarx- ..e-n=2(e-c) ∴.e=2c-n （即=c=,即点B是FH的中点) 2 y=mx+n (y=ax2+bx+c ..ax2+(b-m)x+c-n=0 pc =c-n a 「y=dx+e y=ax2+bx+c ∴.ax2+b-d)x+c-e=0 .xoxc=c-e=c-2c+n_n-c a a Xpxc c-n a,Xoxc =1-c e≠0 ..xpxc+xoxc=xc(xp+xo=0 49/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..xp+xo=0 又：直线y=x+t经过抛物线y=ax2+br+c上两点p、Q 「y=kx+t y=ar+bx+c .ax2+b-k)x+c-t=0的两个根为xp和g b-k .'.Xp+xo=- a b-k=0而a+0 a ..b=k b =1 b 为定值1. 5.(25-26九年级上·安徽合肥月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+C与x轴交于 A,B(1,0)两点，与y轴交于点C,且OA=OC=3OB. 备用图 (1)求该抛物线的函数表达式： (2)若此函数图象上有一点T(s,)到y轴的距离不大于2，求t的最大值与最小值之差： (3)若M为线段AB的中点，N为抛物线的顶点，直线y=x+k-2交抛物线于D,E两点，直线ND交x轴 于点P,直线E交x轴于点g.试探究：MPM⑨是否为定值？若为定值，求出MP·MQ的值；若不是定 值，请说明理由. 【答案】(1)y=x2+2x-3 (2)9 (3)是定值，8 【详解】(1)解：B1,0),OA=OC=3OB 50192 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A-3,0),C0,-3), 将A-3,0),B(1,0),C(0,-3)代入， 0=9a-3b+c [a=1 0=a+b+c,解得b=2, c=-3 c=-3 .该抛物线的函数表达式为y=x2+2x-3: (2)由(1)可知：y=x2+2x-3, :函数图象上有一点T(s,)到y轴的距离不大于2， t=s2+2s-3,-2≤s≤2， 1=s2+25-3=(8+1)2-4, 抛物线的开口向上，对称轴为直线s=-1, ∴当s=-1时，1的值最小为-4，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ÷-2≤s≤2，-2-(-<2-(-儿 当=2时，1的值最大为(2+1)2-4=5， t的最大值与最小值的差为5-(-4)=9： (3)解：MP,M0的值为定值， :D、E为抛物线上两点， .设D(m,m2+2m-3到，E(n,n2+2n-3, ·D、E为直线与抛物线的交点， 联立得：x2+2x-3=G+k-2, 得：x2+(2-k)x-k-1=0, ∴.mn=-k-1,m+n=k-2, :N为抛物线的顶点， .N(-1,-4, Dm,m2+2m-3), 设lwp的解析式为y=x+b, 把N(-1,-4),Dm,m2+2m-3代入，得为 51/92 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m2+2m-3=m+b 1-4=-k+b k=m+1 解得 b=m-3' ,y=m+1)x+m-3, :直线ND交x轴于点P, :令=0，得(m+1)x+m-3=0,解得x=3二m m+1 En,n2+2n-3), 同法可得l的解析式：y=(n+1x+n-3, 令y=0?得(n+1x+n-3=0,解得x=3-0 n+1 mio M为线段AB的中点， M-1,0), p= a 16 16 .MP.MO= -4-4 =8, m+1n+1 mn+m+n+l -k-1+k-2+1 故MP.MQ的值为定值，为8 命题预测 ·夺高分 刷模拟 1.(2026安徽阜阳一模)已知抛物线C:y=ar-4ax-5a(a>0). (1)求抛物线C的顶点坐标（用a表示）； (2)当a=1时，点M(m,p),N(n,9在抛物线上. 52/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (i)若9-p=4,m<n,对于某一个实数P,若n-m的最小值为1，求n-m的最大值： (i)若对于任意的t-2≤m≤t+1,t+2≤n≤1+5，总存在点M(m,p)、N(n,q)使得MN∥x轴，求t的 取值范围。 【答案】(1)顶点坐标为(2，-9a (2)(i)n-m的最大值为4：(i)-1≤t≤2 【详解】(1)解：y=ar2-4ac-5a=a(x-2)}2-9a, 顶点坐标为2，-9a: (2)(i)当a=1时，抛物线的解析式为y=x2-4x-5. :点M(m,p),N(n,q)在抛物线上， ∴.p=m2-4m-5,q=n2-4n-5. ∴.q-p=(n2-4n-5)-(m2-4m-5)=n2-m2-4(n-1m)=(n-m)(n+m-4), 9-p=4, ∴.(n-m)(n+m-4)=4. 令n-m=d则d0a+m-4=4即n+m-4= 4 ∴.n+m=4+ d 当d=1时，n-m=1,n+m=4+4=8, n-m=1 联立n+m=8' 7 2 解得9· n=2 则p2)】 -4x7-5=-27,g=9 4,92 x9-5=- -4× 2 当p=- 4时，m2-4m-5=-27 4 即4m2-16m-20+27=0, 1 7 解得m=2’%=2· 当g=4时，n2-4n-5=- 11 4 53/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即4n2-16n-20+11=0, 1 9 解得n= 2,n=2 .m<n, 当m 0一号时，网取得最大值，厦大值为号}4， 9 (i)M(m,p),N(n,q)在抛物线上且MN∥x轴， .p=9,即m2-4m-5=n2-4n-5, m2-n2-4m-m）=0, ∴.(m-n)(m+n-4)=0, .m≠n, ∴.m+n-4=0,即n=4-m. :t-2≤m≤t+1,t+2≤n≤t+5, 把n=4-m代入t+2≤n≤t+5,得 t+2≤4-m≤t+5 解得-t-1≤m≤2-t 要使满足条件的点M,N存在，需m的两个范围有公共部分：对应的n=4-m在给定范围内. 即区间t-2≤m≤t+1与-t-1≤m≤2-t有公共部分，因此 [t+1≥-t-1 t-2≤2-t 解得-1≤t≤2 [t-2≤m≤t+1 t+2≤4-m≤t+5 解得-1≤t≤2 2.(2026安徽准南一模)已知直线y=-x+3与x轴相交于点A,与y轴相交于点C.抛物线 y=ar2-2ax+c(a≠0)经过点A,C,与x轴的另一个交点为B. (1)求抛物线的表达式和点B的坐标. (2)点P(m,n(m>O)为抛物线上一动点，直线PB与y轴相交于点D,作PM⊥x轴于点M,交直线 y=-x+3于点N. (i)求证：CD=OM: (i)若要使以C,D,N,P为顶点的四边形是平行四边形，求m的值. 【答案】(1)y=-x2+2x+3,B(-1,0 54/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)(i)证明见解析；(i)m的值为2或4 【详解】(1)解：将y=0代入y=-x+3得：-x+3=0,解得x=3, A3,0), 将x=0代入y=-x+3得：y=3, .C0,3, 9a-6a+c=0 将43,0·C0,3)代入y=ar2-2r+c(a≠0)得：c=3 ia=-1 解得c=3, 抛物线的表达式为y=-x2+2x+3, 将y=0代入y=-x2+2x+3得：-x2+2x+3=0,解得x=3或x=-1, B(-1,0) (2)证明：()由题意，画出图形如下： B P(m,n)(m>0),PM⊥x轴于点M, ∴.OM=m, 将点P(m,n(m>0)代入y=-x2+2x+3得：n=-m2+2m+3, .Pm,-m2+2m+3, 设直线PB的解析式为y=k,x+b(k≠O), km+b=-m2+2m+3 将点pm,-m2+2m+3),B-1,0代入得： -k。+b=0 k=3-m 解得 b=3-m' 直线PB的解析式为y=(3-m)x+3-m, 55/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将x=0代入y=(3-m)x+3-m得：y=3-m, .D(0,3-m, C(0,3), .CD=3-3-m=m, ..CD=OM. 解：(i)将x=m代入y=-x+3得：y=3-m, .N(m,3-m, Pm,-m2+2m+3 :.PW=m2+2m+3-(3-m=m2-3m, PN⊥x轴，CD⊥x轴， PN∥CD, ∴要使以C,D,N,P为顶点的四边形是平行四边形，则只需PN=CD,即m-3m=m, 解得m=4或m=0(不符合题意，舍去)或m=2, 综上，m的值为2或4. 3.(2026安徽合肥一模)已知抛物线G:y=ar2-2ax(a≠0)与直线1：y=x-2交于A、B两点，其中 B点在x轴上. (1)若A点横坐标为-1，直线1与y轴交于点C. ①求a的值； ②P为线段BC上一点，过P点作PO∥y轴交抛物线于点Q,求四边形PBQO面积最大时P点的坐标. 2若Ms,小、Nm.川为该抛物线上不同的两点，且满足-二m≠0，m≠1s≠，已知抛物线 m m-1 存在最小值 2a2+1 设-+川太，访断，是否为定值，若为定值，请求出，若不是定值，请确 t+1 定其范围 (2)定值4 【详解】(1)解：①把x=-1代入y=x-2得y=-3, .A-1,-3), 56/92 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 把A-L,-3)代入y=ar2-2ax, 得a=-l: ②xa=-1, 抛物线G:y=-x2+2x, 当y=x-2=0时，x=2, B2,0): 如图， B 由题意得：PQ⊥BO, ÷uw=P0066x2-2+2到-x-2=-(x习+ x= 时，四边形PBQO的面积最大， 把x三，代入y=x一2得y=), 四边形200面积最大时。点的坐标为[公。》： (2)解s-1= m m-m≠0，m≠， .sm=(s-l(m-1),即m=1-s, ,抛物线G存在最小值-2a2+1, -a=-2a2+1'解得a=l,a,=- 2(舍)， ∴y=x2-2x, :M(s,t、N(m,n)为该抛物线上不同的两点， 57192 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴t=s2-2s,n=m2-2m=(1-s2-21-s=s2-1, .t-n+1=s2-2s-s2-1+1=-2s+2, (-n+12_（-2s+2_41-s2 =4, t+1 s2-2s+1(s-1)2 即k为定值4. 4.(2026安徽三模)已知，二次函数y=x2+bx+C的图象交x轴于点A,B,交y轴于点C,点B的坐标 为1,0)，对称轴是直线x=-1,点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M,交抛物线于点N· (1)求这个二次函数的解析式： (2)若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点 P的坐标； (3)若点P(xy)、Q(xy)为该抛物线上不同的两点，且满足x+:,=-1,设h=(y-乃+12-4，请判 断h是否为定值.若为定值，请求出h的值；若不是定值，请说明理由. 【答案】(1)y=x2+2x-3 (2)S边形1BCN 大值为此时0 (3)是，h=16 【详解】(1)解：：二次函数y=x2+bx+c的对称轴为直线x=-1, b b=2, 二次函数经过点B(1,0), 12+b+c=0,即1+2+c=0, c=-3, 二次函数解析式为y=x2+2x-3: (2)解：，二次函数经过点B1,0),且对称轴为直线x=-1, .A-3,0), AB=4, “二次函数y=2+2x-3与y轴交于点C, C(0,-3), 58/92 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0C=3: VA B 设直线AC的解析式为y=+b', 「-3k+b=0 6=-3 「k=-1 6=-3' 直线AC的解析式为y=-x-3, 设P(m,0),则M(m,-m-3),Nm,m2+2m-3, .MW=-m-3-m2+2m-3=-m2-3m: 5=4份00=x4x3=6, 2 S四边形ABCw=S△MBc+S△4CN =SAABC+SAHN+S△cMN -号rN+p-Aw+6 =2x3-m2-3m+6 8 3 c0 3 当m=- 75 时，S四达形4C最大，最大值为8， 流时点P的坐标为： (3)解：已知P(x、(x2y2)在抛物线上，且x+x2=-1,则： 59/92 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y1=x2+2x1-3,y2=x3+2x2-3, y-=(x2-x)+2(x-x) =(x-x2(x+x2)+2(x-x2) =-1×x-x)+2(x-x2)=x-x2 h=(y-2+1)2-4y=(x-x2+1)2-4y, 由x+2=-1,得x2=-1-x, 代入得：x-x3+1=x-(-1-x)+1=2x+2=2(x+1, h=[2(x+1]-4x+2x-3) =4x2+2x+1-4x2-8x+12 =4x2+8.x+4-4x2-8x+12 =16, h是定值，h=16. 5.(2026安徽合肥.一模)抛物线y=x2和抛物线2=x2+br+C(b<0)在同一坐标系中.抛物线y2与y轴 交于(0，-1，其最小值为2'点P为，上一动点，点A坐标为 0, 过点P作直线y=的垂线，垂 足为B,连接AB. (1)求b,c的值； (2)求证：∠PAB=∠PBA: (3)点M是抛物线，上的任一动点，其纵坐标记为m,在直线x=1上是否存在一定点Q,使得M0-m的值 为定值？若存在，求出Q点坐标及该定值；若不存在，请说明理由， 【答案】(1)-2，-1 (2)见详解 在定点Q-使得0-0的值为定值。定值为 【详解】(1)解：：抛物线2与y轴交于(0，-， 点将点(0，-)代入=x2+br+C,可得-1=0+0xb+c, c=-1, 对于抛物线y,=x2+x-1,其对称轴为x三-)， 60192 可学科网·上好课 www.zxxk.com 1>0, 该抛物线开口向上， 在对称轴处取得最小值，且最小值为-2， b<0, “.b=-2: (2)证明：设Px,x2）, 减坐标为》， 16 PB垂直于直线y=- 4 P=-(4+ ..PA=PB, ∴.∠PAB=∠PBA: (3)解：由(1)可知，2=x2-2x-1, 设点Mx,m),则m=x2-2x-1, 设直线x=1上定点Q坐标为(1，k), M0=Vx-12+(m-k2, 令u=(x-1)2≥0，将m=x2-2x-1=(x-12-2代入上式， 可得M0=Vu+(u-2-k)2, 要使M0-m的值为定值，可设M0-m=C(C为常数)， ..MO=m+C, Vu+(u-2-k=m+C=u-2+C, 等号两边平方，可得u+(u-2-k)2=(u-2+C2, 61/92 Y= 系一母好丁 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 整理可得u2+(-3-2k)u+(2+k)=u2+2(C-2)u+(C-2)2, [-3-2k=2(C-2 2+2=(C-2)2, 7 k=- 4 解得 9 C= 4 存在定点Q-）,使得0-川的值为定值，定值为子 9 6.(2026安徽滁州一模)已知二次函数y=ar2-4ar+4a+ca<0)与x轴交于Ax,0),B(x,0)两点， 且-2<x<-1,与y轴交于点D,抛物线顶点为C. (1)将二次函数解析式化为顶点式，写出抛物线对称轴： (2)若OD=4,求a的取值范围： (3)令m=aC,是否存在定值m,无论aa<0),c为何值，都存在△ABC为等边三角形，如果存在，求出 m的值，若不存在，请说明理由， 【答案】(1y=a(x-2)2+c:直线x=2 1 (3)m=-3 【详解】(1)解：y=ax2-4ax+4a+c=a(x-2)2+c,抛物线对称轴为直线x=2; (2)解：由题意可知，4a+c=4, .c=4-4a, 故抛物线解析式为y=ax2-4ar+4. 1 由题意可知，当x=-2时，y<0,即4a+8a+4<0解得a<-3 当天=-1时，>0：哥g4和+40解得0>子 62192 命学科网·上好课 www.zxxk.com 4 <a<- 5 3: (3)解：当m=-3时，△ABC为等边三角形，证明如下： 4,B关于对称轴对称， ..CA=CB 如图，连接AC和BC,对称轴与x轴交于点E, 若△ABC为等边三角形，则AB=AC, :~sin∠CAB=CE AC sin∠60°，CE=c' .AB=AC=2c 3, 又：AB=x2-x,y=ax2-4ax+4a+ca<0), -x= 2c)2 ,+6=4,x-4如+c=4+9 4c2 4g=16-44+=4 a a :抛物线与x轴交于A,B两点，故顶点不可能在x轴上， 故c≠0， ∴.ac=-3, ..m=ac, m=-3, ∴.当m=-3时，无论a,c为何值，都存在△ABC为等边三角形 7.(2026安徽蚌埠一模)如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y= B(3,0)两点，且与y轴交于点C(0,3) 63/92 上好每一堂课 x2+bx+c的图象经过A(-1,0), 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E PA D B B B 图1 图2 备用图 (1)求该二次函数表达式： (2)如图2设抛物线顶点为E,连接BE,将线段BE绕着B点旋转90°，得到线段BD,连接AD,求经过 A,D两点的直线表达式： (3)若点P为x轴上方该二次函数图象上的动点，当P在对称轴右侧时，求△PBC面积的最大值，及此时P 点坐标 【答案】(1)y=-x2+2x+3 11 (2)y=4x+ 4 B)△P8C面积的最大值为2 315 ,此时P点坐标为24) 【详解】(1)解：：二次函数的图象经过A(-1,0),B(3,0)两点， ·设二次函数表达式为y=a(r+1)x-3), 将C(0,3)代入得3=a(0+l(0-3), 解得a=-1, .y=-(x+1)(x-3),即y=-x2+2x+3. (2)解：由(1)可知二次函数表达式为y=-x2+2x+3, 2 :对称轴为直线=2×-可1，顶点纵坐标为y=-1+2+3=4 E1,4) 过点E作EF⊥x轴于点F, EF=4,OF=1, B(3,0) ∴.OB=3, ..BF=OB-OF=2, 过点D作DG⊥x轴于点G,则∠EFB=∠DGB=90°， 64/92 学科网·上好课 D A OF G 由旋转的性质得BE=BD,∠EBD=9O°， ∠EBF+∠DBG=90°， ∠EFB=90°， ∠EBF+∠BEF=90°， ∴∠BEF=∠DBG, 在△BEF和△DBG中， ∠BEF=∠DBG ∠EFB=∠BGD, BE=DB ,△BEF≌ADBG(AAS), ∴BG=EF=4,DG=BF=2, 点D的横坐标为3+4=7，纵坐标为2， …点D的坐标为(7,2)， 设直线AD的表达式为y=x+d, 「0=-k+d 把4-1,0'D7,2)代入得{2=7k+d 1 k= 4 解得 1 d= 4 1 经过A,D两点的直线表达式为y=一x+ 4 4 (3)解：设P6,-2+21+31<1<3), 设直线BC的表达式为y=mx+n, 3m+n=0 把B3,0)'C0,3)代入得 n=3 ww.zxxk.com 上好每一堂课 65/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m=-1 解得 n=3 ∴直线BC的表达式为y=-x+3, 过P作PM⊥x轴于点M,交BC于点H, YA D H,-t+3), PH=-t2+2t+3-(-t+3)=-t2+3t, 过点C作CN⊥PM于点N, ∴.SAPBC=S△PHc+SAPHB 1 1 =二PHxCN+-x PHx BM 2 2 -xPHx(CN+BM) 1 x PHxOB =方+刘x3 引要 27 当t=2时，△PBC面积的最大值为8， )2 当t=3时，-12+21+3= +2×+3=15 315 ∴点P的坐标为24 8.(2026安徽六安一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3(a0)经过A-l,0),B3,0)两 点，与y轴交于点C,点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方，过点P作PD⊥x轴，交直线BC于点 E 66192 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA F B B 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，若PE=2DE,求点P的坐标： (3)如图2，连接AP与BC交于点F,连接BP,当△PFE与△PEB的面积都等于S时，求S的值. 【答案】(1)y=-x2+2x+3 (2)点P(2,3) (3)S=1 【详解】解：(1)由题意，把点A-1,0),B(3,0)分别代入y=ax2+bx+3, a-b+3=0 a=-1 得 9a+3b+3=0:解得b=2· 抛物线的表达式为y=-x2+2x+3 (2)当x=0时，y=-x2+2x+3=3, ∴点C(0,3」 设直线BC的表达式为y=kx+n, 3k+n=0 「k=-1 把点B3.0和c0,3到分别代入，得n-=3，解得n=3· ∴直线BC的表达式为y=-x+3 设点P(m,-m2+2m+3), PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E, .PD=-m2+2m+3, ∴点E(m,-m+3),D(m,0). .DE=-m+3 .PE=PD-DE=-m2+2m+3--m+3)=-m2+3m 67192 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由PE=2DE,得-m2+3m=2(-m+3). 解得m=2,m2=3(不合题意舍去)· m=2,即点P(2,3)」 (3)如答图，过点A作AG⊥x轴交BC延长线于点G,过点F作FH⊥x轴于点H. G .AGIOC‖FH‖PD 同(2)设Pm,-m2+2m+3列，则PD=-m2+2m+3,PE=-m2+3m,D(m,0). 又由0B=0C=3,得AG=AB=3-(-1)=4. :△PFE和△PBE的面积相等， .FE=BE .HD=BD=3-m. AH=AB-HD-BD=4-(3-m)-3-m=2m-2. PDIAG ,△PEFAAGF」 4G折，即m+3m3-m PE HD 42m-2 解得m3=2,m4=-1。 经检验，m=2,m4=-1,是原方程的解，但m4=-1不符合题意，舍去 ∴.PE=-m2+3m=-22+3×2=2,BD=3-m=3-2=1. :.S=-PE.BD=-x2x1=1. 2 2 9.(2026·安徽合肥一模)如果两个图形不仅相似，而且对应点的连线都经过同一个定点，那么称这两个 图形位似，定点叫做位似中心，相似比叫做位似比.图中的抛物线y=-2x2-4x-2与抛物线y=ax2+bx+c 位似，它们的顶点A,B是其中一对对应点，它们与y轴的交点C,D也是一对对应点，位似中心为坐标原点 68/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 O4 1 O,位似比为OB2 y=ax2+bx+c y=ax2+bx+c D B y=-2x2-4x-2 y=-2x2-4x-2 备用图 (1)求a,b,c的值： (2)点P为抛物线y=ax2+br+c上一点；且在点B,D之间（包含点B、点D)· (i)直线OP将四边形ACBD分为面积相等的两部分，求此时点P的坐标： (iⅱ)求△ACP面积的最小值 【答案】(1)a=1,b=-4,c=4 a(i)P9-56-2(i)月 【详解】(1)解：y=-2x2-4x-2=-2(x+1)2, 顶点A-1,0, 当x=0时，y=-2, .C0,-2, .0A=1,0C=2, OA 1 :位似比为OB2’ OC 1 ·0D2' .OB=2,OD=4, .B(2,0),D04), 抛物线y=ax2+bx+c的顶点式为y=a(x-2)2, 69/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将D(0,4)代入y=a(x-2得， a(0-22=4, 解得a=1, y=(x-22=x2-4x+4, .b=-4,c=4: (2)解：(i)如图所示， V 由(1)得0A=1,0C=2,OB=2,0D=4. OA OB OC OD' 又：∠AOC=∠BOD=90°， .△AOC△BOD, ∴.∠OCA=∠ODB, AC∥BD ∴当直线OP平分AC,BD时，OP将四边形ACBD分为面积相等的两部分， BD中点坐标为(1,2)， 设直线OP的解析式为y=c,将(1,2)代入得，k=2, ∴直线OP的解析式为y=2x, y=x2-4x+4 联立 y=2x 解得x=3±√5， 点P在BD之间， 70192 命学科网·上好课 www.zxxk.com ∴x=3-√5，此时y=6-2V5, p3-5,6-25; (i)设直线AC的解析式为y=kx+b, 将A(-1,0),C(0,-2)代入解析式得， -k2+b2=0 k2=-2 6=2，解得6。=-2 直线AC的解析式为y=-2x-2」 过点P作PO∥y轴，交AC于点Q, 设Pn,n2-4n+4,则2n,-2n-2), .P0=n2-4n+4-(-2n-2)=n2-2n+6, SAPc=SaAP阳-SPc 1 =2P0n-x小-P(p-) rox- =m-2m+6j[0--明 5 当n=1时，S.c有最小值，最小值为2： 10.(2026安徽合肥一模)已知直线，：y=号x -3x-2与y轴交于点A 71/92 上好每一堂课 与抛物线y=-x+c交于x轴上一 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点B,P为直线I上方的抛物线上一点，设其横坐标为m. (1)求c的值： (2)当△PAB的面积最大时，求m的值： (3)点A关于x轴的对称点为A',设点P到x轴的距离为s,到点A'的距离为t,已知m在某个范围时，s+t 是一个与m无关的定值，请确定这个范围，并求出这个定值， 9 【答案】(1)c=4 2)ms2 3 (3)当- m≤时，g+,是一个与n无关的定值，这个定值为 5 4 【详解】(1)解：：直线，：y=-x-2 3 当y=0时，0= 32, 解得 3即0 3 起0代入y-+e,0=-(+ 解得c= 9 4 2）解：如图，设过点，且与直线，平行的直线，的解析式为y少=专+6， 9 .'C= 4 抛物线y=-x+9 72/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com :AB的长度是定值， .当点P到AB的距离最大时，即当直线'与抛物线只有一个交点时， V=- x+b 联立 3 和 得， y=- 3+by=-2+ 4 9 9 4 y=-x2+ 4 4 “x=x’且x+x= 3· 2 .X1=x2= 3,即m= 3 4 (3)解：直线：y= 3t2 当x=0时，y=-2 A0,-2 点A关于x轴的对称点A(0,2), 9 9 当点p在x轴上方时，s=p=-m2+ 4 15 ,∴.S+t=-m2+ 三+m+ 4 42 此时-m2+2≥0 4 3 3 解得-2≤m≤2 当点，在箱下方时，s=-,=m-}, 9 1 s+t=m +m+ =2m2-2,不是定值，不符合题意； 73/92 上好每一堂课 △PAB的面积最大， 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 :当 m时，s+1是一个与m无关的定值，这个定值为2 11.(2026安徽合肥.一模)已知：抛物线y=ar2+br+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其中 A-1,0),B(3,0),C(0-3). 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)若点P是抛物线上异于点A的点，且△PBC的面积与△ABC的面积相等，求出点P的坐标： (3)若点Q在抛物线上，且满足∠QCB=∠OCA,请直接写出点Q的坐标. 【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2-2x-3 (2)点P的坐标为(4,5) 同点Q的坐标为利45或行号引 【详解】(1)解：设抛物线的解析式为y=ax+br+c(a≠0)， 由题意知抛物线经过A-1,0),B(3,0),C(0,-3), 0=a-b-3a=1 则{0=9a+36-3解得1b=-2' 抛物线的解析式为y=x2-2x-3: (2)解：设直线BC为y=+m, 代入B3,0),C(0,-3),解得k=1,m=-3, ∴.直线BC的解析式为y=x-3, 要使S△PBc=S△BC,点P必在过点A且平行于BC的直线（上，或者在与I关于BC对称的 直线上， 情况一：点P必在过点A且平行于BC的直线I上， 过点A-L,O)作AP∥BC 74192 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 设直线AP为y=x+b 代入A-1,0)得0=-1+b→b=1 直线AP的解析式为y=x+1 「y=x+1 联立直线 与抛物线： y=x2-2x-3 解得x=-1或4， 当x=4时，y=5, 则P(4,5), 情况二：在与（关于BC对称的直线12上， 则直线4的解析式为y=x-3-1-(-3]=x-7, y=x-7 联立直线，抛物线： =2-2-3即-3+4-0 △=(-3)2-4×1×4=-7<0，方程无解， ∴点P的坐标为(4,5)： (3)解：设，-21-3)，∠4C0=a, 由题意可知tan∠AC0=40-=1 C03' 作QM⊥y轴于M则 75192 函学科网·上好课 www.zxxk.com y个 M B 0 M 0M=4CM=2-21-3-(-3=r2-2 ∠QCB=∠OCA 且∠0CB=45°，∠QCM1=45°+a,∠Q2CM2=45°-a, :.△QMC中直角边满足 2 2 W10 2 3 22 或， v 1 5 Vi0 2 tan∠gCM,=9M=2 ta CM, QM1-2 ①CM t t2-2t 2解得，=0或4- 代入得 -2×-3=-7 2 4 76192 乙_'N2='D07u ī=W石 散系一母好丁 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 别 QM2-1 @CM,2 P-212解得1=4 y=42-2×4-3=5, 24,5, 点0的坐标为45或侵引 12.(2026安徽阜阳一模)在平面直角坐标系中，一次函数y=3x+4的图象与，轴、y轴分别交于A、C 4 两点，抛物线y=ax2+bx+c经过A,B(1,0),C三点. (1)求抛物线的解析式. (2)当m-2≤x≤m+1时，少先随x的增大而增大，后随x的增大而减小，求m的取值范围. (3)P为抛物线上一动点，在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四 边形且A,B,卫三点不共线？若存在，求出△ABQ的面积；若不存在，说明理由. 【答案】y=- 3+4 (2)-2<m<1 日存在符合题意的点Q:且。1B0的面积为台吸 16 【详解】(1)解：令x=0,得y=4, ∴点C的坐标为(0,4) 令y=0,得x=-3, 点A的坐标为(-3,0) 抛物线y=ax2+bx+c经过A,B1,0),C三点， c=4 9a-3b+c=0 a+b+c=0 77192 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 a=- 3 8 解得 b= c=4 抛物线的解析式为y= 3+4 (2)解：A(-3,0),B1,0), 抛物线的对称轴为直线x=-1. 4 .'a= 30 ∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，随x的增大而减小. 当m-2≤x≤m+1时，先随x的增大而增大，后随x的增大而减小， 「m-2<-1 m+1>-1 解得-2<m<1. 3:存在点0.设Pp-+4.-gl ①当AC为平行四边形的边时， 若四边形APQC是平行四边形，如图1所示. 图1 A-3,0),C(0,4) ∴.-3-1=0+p, ∴.p=-4 78192 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20 +4=0+9, 8 q=3' “点0的坐标为-》 又AB=4, 1 816 此时△AB0的面积为2×4× 3-3 若四边形AQPC是平行四边形，如图2所示. B 图2 A-3,0),C0,4) .-3+p=0-1, .p=2, 2-》 20 +0=4+9, 32 q=-3’ 流@的坐标为》 又AB=4, 1 此时。ABQ的面积为 x4x32_64 33 79192 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②当AC为平行四边形的对角线时，如图3所示. A-3,0,C0,4), B 图3 ∴.-3+0=p-1 p=-2, P-2,4, .4+0=4+9, 9=0, …点的坐标为-1,0)， ∴此时A,B,三点共线，不符合题意 1664 综上所述，存在符合题意的点Q,且。4BQ的面积为3或3： 13.(2026安徽一模)已知抛物线y=x2+2bx+1-4b的对称轴在y轴左侧，若将此抛物线向上平移4个 单位后，顶点刚好在x轴上 (1)求b的值： (2)当m≤x≤m+2时，原函数y的最大值等于12，求m的值； (3)原抛物线与x轴交于A,B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C,点P为第三象限内抛物线上一点， PD 连接AC,BP交于点D.判断： D是否有最大值，如有请求出最大值，如没有请说明理由. 【答案】(1)1 (2)-5或1 PD 9 (3)8D有最大值，最大值为16，理由见解析 【详解】(1)解：抛物线y=x2+2bx+1-4b=(x+b)+1-4b-b2, 对称轴为直线x=-b,顶点坐标为-b,1-4b-b2), 对称轴在y轴左侧， 80/92 命学科网·上好课 www.zxxk.com .-b<0,即b>0 :将抛物线向上平移4个单位后，新抛物线顶点为-b,1-4b-b2+4),即-b,5-4b-b）, :平移后顶点在x轴上， 5-4b-b2=0,解得b=1,b2=-5, rb>0, b=1. (2)解：由(1)知b=1,则抛物线为y=x2+2x-3, 抛物线的开口向上，对称轴为直线x=-1, 抛物线上的点离对称轴越远，相应的函数值越大， ①若m-(-≥m+2)-(-川，即m≤-2， 当x=m时，原函数y取得最大值为12， ∴.m2+2m-3=12, 解得m=-5或m=3(不合题意，舍去)； ②若m-(-<m+2)-(-川，即m>-2, 当x=m+2时，原函数y取得最大值为12， .(m+2)+2(m+2-3=12, 解得m=1或m=-7(不合题意，舍去)： 综上所述，m的值为-5或1. PD 9 (3)解：BD有最大值，最大值为16·理由如下： 对于抛物线y=x2+2x-3, 当y=0时，x2+2x-3=0,解得x=-3,x3=1, .A-3,0),B(1,0), 当x=0时，y=-3, .C(0,-3 设过点A(-3,0),C(0,-3)的直线AC的解析式为y=x+b', 「-3k'+b'=0「k'=-1 6-3，解得6=-3 直线AC的解析式为y=-x-3 81/92 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点P是第三象限抛物线上的一点， ∴，设Pn,n2+2n-3(n<0), 过点P作PM∥y轴，交AC于点M,过点B作BN∥y轴，交AC于点N, .Mn,-n-3, 把x=1代入函数y=-x-3,得y=-4, .N(1,-4, PM=(-n-3)-n2+2n-3=-n2-3n,BN=4, PM∥y轴， BN∥y轴， PM∥BN, ∴.△BMP∽aDNB, DPM-0==4n++2, n+ BD BN 3 PD 9 .当n=- 时， D有最大值，最大值为 14.(2026安徽蚌埠一模)抛物线y=x2-3x-4与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧)，与y轴交于 点C,连接AC,BC. (1)求△ABC的面积. (2)点P是抛物线上一点，设点P的横坐标为a. ①当抛物线上P,C两点之间的部分（含点P,C)的高度（最高点与最低点的纵坐标之差）为10时，求 点P的坐标. ②当点P位于第四象限时，过点P分别作PE⊥BC于点E,PF⊥y轴于点F,当PE+PF取得最大值时， 求a的值. 【答案】(1)10 82/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3+2W1015 (2)①点P的坐标为(-2,6或24 ②a=2+2 2 【详解】(1)解：对于y=x2-3x-4,令y=0,则x2-3x-4=0, 解得x=-1,x2=4, .A-1,0),B4,0), AB=5, 对于y=x2-3x-4,令x=0,则y=-4, .C(0,-4), .0C=4, 4B.0C=1x5x4=10」 2 2解，=-3-4= (325) 抛物线的顶点坐标为2一4 点C的纵坐标为4顶点纵坐标为一4， 25 25 9 ∴两者高度差为4 4 =2<10, 4 分两种情况讨论： a.当点P位于y轴左侧时，令a2-3a-4=-4+10, 解得a=-2,a2=5(舍去)， ….P(-2,6): b,当点P位于抛物线的对称轴右侧时，令42-3a-4=-2+10, 4 解得a=3+20 .3-2W10 ，42= 2 (舍去)， p3+2W015 24 3+2W1015 综上，点P的坐标为(-2,6或 24 83/92 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②设点Pa,a2-3a-4(0<a<4), 设直线BC的函数表达式为y=kc+b, 将B(4,0),C(0,-4)分别代入， 「4k+b=0 k=1 得6=-4，解得6=4' ∴直线BC的函数表达式为y=x-4, 如图，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点M,则M(a,a-4), 1 B .PM=a-4-a2-3a-4=-a2+4a, OB=OC=4,∠COB=90°， ∴△COB是等腰直角三角形， .∠0CB=∠0BC=45°， MP∥OC, .∠CMP=45°， ∴△MEP是等腰直角三角形， .PE-PM pE-马+， PF+PE=a+2-a+4=-2a+2v2+1a 2√2+1 (2 2+ 对称轴是 2× (2 20<2+ <4 2 当a=2+2 时， PF+PE 取得最大值， 84/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 刷真题 1.(2021安徽中考真题)已知抛物线y=ax2-2x+1(a≠0)的对称轴为直线x=1. (1)求a的值： (2)若点M(x,y),N(x2,2)都在此抛物线上，且-1<x<0,1<<2.比较y与y2的大小，并说 明理由； (3)设直线y=m(m>0)与抛物线y=ax2-2x+1交于点A、B,与抛物线y=3(x-1)交于点C,D,求线 段AB与线段CD的长度之比， 【答案】(1)a=1;(2)y>2,见解析：(3)√5 【详解】解：(1)由题意得：x三) ∴.a=1 (2)抛物线对称轴为直线x=1,且a=1>0 .当x<1时，y随x的增大而减小， 当x>1时，y随x的增大而增大， 当1<x<1时，y随x的增大而减小， :x=-1时，y=4,x=0时，y=1 .1<y<4 同理：1<x<2时，y2随的增大而增大 x=1时，y=0 x=2时，y=1 ∴.0<y2<1 4>2 85/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (-1,4) ◆4 ◆2 (0,1) (2,1) -2-1 0 1(1,0)2 3 4x ! ! (3)令x2-2x+1=m x2-2x+(1-m)=0 4=(-2)2-41.(1-m) =4m x-2生y4m=-1±vm 21 .x=Vm+1 x2=-Vm+1 AB√m+1-(-Vm+1)川 =2√m 令3(x-1)2=m (-102= 3 ,x= 3m+1x3= 3m+1 3 3 2V3m :.CD==3 AB 2m CD2√3m .AB与CD的比值为V3 2.(2022·安徽中考真题)如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC 为12米，另一边AB为2米.以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标 86/92 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 系xOy,规定一个单位长度代表1米.E(0,8)是抛物线的顶点. oM)P.C OM P P.O P. 图2 图3（方案一） 图3（方案二） (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2在隧道截面内（含边界）修建“”型或 型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P,卫 在x轴上，MN与矩形PPPP的一边平行且相等.栅栏总长I为图中粗线段PB,BB,PP,MN长度之和. 请解决以下问题： (i)修建一个“”型栅栏，如图2，点B,B在抛物线AED上.设点P的横坐标为m0<m≤6)， 求栅栏总长1与m之间的函数表达式和1的最大值： (i)现修建一个总长为18的棚栏，有如图3所示的修建“”型或“ 型栅型两种设计方案， 请你从中选择一种，求出该方案下矩形PPPP面积的最大值，及取最大值时点？的横坐标的取值范围(？ 在P右侧). 【答案】(1y=一6r+8 1 (②)(i)1=-2m+2m+24,1的最大值为26：（ii)方案-：最大面积27，-V30+9s,横坐标≤√30： 81 9 方案二：最大面积4-N2十2≤P横坐标≤V2i 【详解】(1)由题意可得：A(-6,2),D(6,2), 又，E(0,8)是抛物线的顶点， 设抛物线对应的函数表达式为y=ax+8,将A(一6,2)代入， (-6)2a+8=2, 1 解得：a=一6， 1 抛物线对应的函数表达式为=石+8， (2)(1):点P,的横坐标为m(O<m≤6)，且四边形PPPP4为矩形，点P,P在抛物线AED上， 87/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 “P的坐标为(m,一石m+8), PiP:=P:P,=MN=+8,P:P=2m. 1 1 l=3(- 6m+8)+2m=2m+2m+24=2(m-2)2+26, 1 -2<0, ∴.当m=2时，1有最大值为26， 即栅栏总长1与m之间的函数表达式为1=一2m+2m+24,1的最大值为26： (i)方案一：设PP1=n,则PP=18-31, 矩形PPP3P4面积为(18-3n)n=一3n2+181=-3(n-3)2+27, -3<0, .当n=3时，矩形面积有最大值为27， 此时PP1=3,PP3=9, 1 令6r+8=3, 解得：x=±30， 此时P,的横坐标的取值范围为-V30+9<P,横坐标≤V30, 方案二：设PP1=,则PP=9-n, 9 矩形PPPP面积为(9-)n=一m+9m=一(n一))2+， -1<0 9 81 当=2时，矩形面积有最大值为4， 9 9 此时PP=2,PP=2, 1 9 令-6+8=2： 解得：x=±√21， 9 此时P,的横坐标的取值范围为2+2≤P,横坐标≤√2： 3.(2023安徽中考真题)在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，抛物线y=ar2+bx(a≠0)经过点 88/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A3,3),对称轴为直线x=2. (1)求a,b的值： (2)已知点B,C在抛物线上，点B的横坐标为t,点C的横坐标为t+1.过点B作x轴的垂线交直线OA于点 D,过点C作x轴的垂线交直线OA于点E. (i)当0<t<2时，求△OBD与△ACE的面积之和； 3 (i)在抛物线对称轴右侧，是否存在点g’使得以B,C,D,E为顶点的四边形的面积为2？若存在，请求 出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)a=-1,b=4 2)(i)2:2)1=2 9a+3b=3 【详解】(1)解：依题意， =2, 2a a=-1 解得： b=4, y=-x2+4x: (2)(1)设直线OA的解析式为y=c, A3,3), 3=3 解得：k=1, ∴直线y=x, 如图所示，依题意，B6,-+4,Ct+1,-(t+1)+4t+,D,),Et+1,t+1), y B 2 E D 2 234 89/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BD=-2+3= -t2+3t(0<t≤3) t2-3t(t>3 cE=十+2+3+--1211≥2 -t2+t+2(0<t<2) 当01<2时，08D与△1CE的面积之和为Dx1+CE(3-1-2, (iⅱ)当点B在对称右侧时，则t>2, ∴.CE=t2-t-2, 当2<t<3时，BD=-t2+3t, -2+3+2-t-2×1=t-1, .S梯形BDEc=2 1s3 5 解得：t= y 3 01 4 当t>3时，BD=t2-3t, 5s-p2-3+4-2小x12-2-1, -21-1=3 解得：1=2+Vd (舍去)或1=2-4 (舍去) 2 90192 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 2 B 0123 456x 5 综上所述，t= 2 4.(2025安徽中考真题)已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点(4,0). (1)求该抛物线的对称轴： (2)点A(x,)和B(x2,y2)分别在抛物线y=ax2+bx和y=x2-2x上(A,B与原点都不重合). @若a弓，且5=5比较与的大小 ②当时， 是一个与x无关的定值，求。与b的值. 【答案】(1)对称轴是直线x=2 2)052>y:②a2,b=-4a=-2 【详解】(1)解：由题意得，将点(4,0)代入y=ax2+bx得， 16a+4b=0,即b=-4a, 所以合02. 故所求抛物线的对称轴是直线x=2。 (2)解：①由(1)可知，当a=2时，b=-4a=-2' x-2x 抛物线y=ar2+hx的解析式为y=2 x=x2, -=(-2--2x】 91/92 命学科网·上好课 www.zxxk.com =(x-2x- 2-2 1 =-2x2+2x 2, :抛物线y=2 -2x过原点，且点A与原点不重合， ,≠0， 式>0 故y2>片. ②由题意知，=a2-4ax,2=-2x2. 业=五 x’ x3-2x2_X2 a(x2-4x)x 因为两条抛物线均过原点，且A,B与原点都不重合，所以x≠0， 七2-2 故ax-4 =1,即x,=ax-4+2 于是 点=a-0+2=a+2-4 2-4a 依题意知，a+ :是与x无关的定值. 1 则2-4a=0,解得a=2: 经检验，当子对，左=是-个与x无关的定值，符合愿意 1 所以a=2’b=-4a=-2 92/92 上好每一堂课 x2≠0 解答题03 二次函数的综合问题（4大考向） 结构：三小问分层递进（基础→综合→探究）。 · 第 1 问（4 分）：求解析式、对称轴、顶点（送分）。 · 第 2 问（5 分）：函数性质、线段 / 面积最值、坐标关系。 · 第 3 问（5 分）：存在性、定值、参数范围、几何图形探究。 核心趋势 1. 双抛物线 + 含参：参数为系数、动点、平移量。 2. 代数推理回归：强化函数与方程、不等式、恒成立。 3. 几何融合：三角形、四边形、相似、面积、线段最值。 4. 初高中衔接：平移、旋转、对称、定值、参数讨论。 考向01 线段 / 坐标关系 研考向·通技法 1. 竖直线段/水平线段（万能最简） 设抛物线上动点 ，直线上点 竖直距离： 水平距离： 安徽中考90%面积、线段最值，优先用竖直线段列式，计算量最小。 2. 线段最值技巧 线段长转化为二次函数表达式，利用开口方向： 有最小值， 有最大值，顶点处取最值； 定点+动点距离：优先配方，不用复杂勾股硬算。 3. 平行/垂直判定 两直线平行：k值相等； 两直线垂直：； 线段平行：纵坐标差相等（水平）、横坐标差相等（竖直）。 1．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线经过点和点，与轴交于点，点在直线下方的抛物线上，过点作轴交于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标． (2)当线段长等于2时，求点的坐标． (3)直接写出线段长的最大值是________． 2．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为，抛物线的对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)求抛物线顶点的坐标以及直线的函数表达式． (3)是第一象限内抛物线上的一动点，过点作轴于点，交于点，求当最大时，点的坐标． 3．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A，B，C的坐标； (2)点P在线段上，过点P作x轴的垂线交直线于点M，交抛物线于点N，求线段的最大值； (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，已知抛物线经过点，原点和轴上另一点，它的对称轴与轴交于点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)连接，在抛物线的对称轴上找一点，使得． ①求点的坐标； ②当点在轴上方时，求的值． 5．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知抛物线顶点为，且过原点． (1)求抛物线的解析式； (2)过抛物线上一点向直线作垂线，垂足为点． （ⅰ）已知在线段的中垂线上．当时，求的最大值及此时点的坐标； （ⅱ）对于抛物线上任意点，是否存在点，使恒成立？若存在请求出的值，若不存在请说明理由． 考向02 面积与最值 研考向·通技法 1. 通用面积秒杀公式（铅垂法，考场核心） 水平宽：两点横坐标之差的绝对值； 铅垂高：动点处竖直方向上下两点纵坐标差； 适用：不规则三角形、斜三角形、抛物线下任意三角形，无需割补。 2. 面积最值套路 设动点横坐标为，用表示铅垂高； 列出面积关于的二次函数； 结合自变量取值范围（定义域），求顶点最值； 注意：顶点若不在取值范围内，取区间端点最值。 3. 特殊图形面积 直角三角形：直角边直接相乘÷2； 平行四边形：底×高； 四边形：割成两个三角形相加。 1．（25-26九年级下·安徽池州·月考）已知抛物线（是常数），抛物线的顶点为点． (1)求抛物线顶点的坐标（用含的式子表示）； (2)若点和点在此抛物线上，且始终有，求的取值范围； (3)该抛物线与轴的两个交点分别为，，点在点的右侧，与轴的交点为．当，时，的面积是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由． 2．（25-26九年级上·安徽安庆·月考）已知抛物线经过点，中的一点． (1)求的值； (2)若点，是抛物线上的两点，对于，，都有，求的取值范围； (3)点在抛物线上，作轴，交轴于点，交抛物线对称轴于点，设点横坐标为，令，求关于的函数关系式，并求出的最小值． 3．（25-26九年级上·安徽安庆·月考）如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，直线与抛物线交于D，E两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若P是抛物线上的点且在直线l的上方，连接，，当的面积最大时，求点P的坐标及该面积的最大值； (3)若Q是抛物线上的点，连接，且，请求出点Q的坐标． 4．（25-26九年级下·安徽芜湖·月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线和直线，直线与轴、轴分别相交于、两点． (1)如图1，若抛物线经过点． ①求抛物线的解析式； ②在直线的下方的抛物线上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标与面积最大值；若不存在，请说明理由； (2)如图2，将直线向下平移个单位得到直线，点与点是直线上两点．若抛物线与线段有两个交点，请写出的取值范围． 5．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)是线段下方抛物线上一动点（不与点、重合），过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴于点． ①求的最大值； ②连接，.若线段把的面积分成上下两部分的面积比为，求点的坐标． 考向03 存在性探究 研考向·通技法 1. 等腰三角形存在性（分类讨论口诀） 三边两两相等，三类不重不漏 ① ② ③ 技巧： 两点距离公式列式，平方去绝对值、去根号，简化计算； 先找对称轴、中垂线，快速锁定点的位置，减少计算。 2. 直角三角形存在性 直角分三类：A为直角、B为直角、P为直角 几何法：垂直斜率乘积=-1 最快； 代数法：勾股定理逆定理：两短边平方和=长边平方。 3. 平行四边形万能坐标结论（直接背） 已知三点，求第四点 利用中点重合法则： 对角线中点坐标相同，分三种对角线组合： 1.AB为对角线 2.AC为对角线 3.BC为对角线 无需画图、无需证平行，纯坐标计算，正确率最高。 进阶限定 矩形：平行四边形 + 邻边垂直（）或对角线相等； 菱形：平行四边形 + 邻边相等； 1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过、、三点． (1)求该二次函数的解析式． (2)点P是抛物线上第一象限内的一个动点，以点P为圆心，为半径作．当与直线相切时，求点的坐标． (3)在拋物线的对称轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请直接出点坐标；若不存在，请说明理由． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，抛物线（b，c为常数）与x轴交于，B两点，与y轴交于点，作直线．若点P在线段上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，分别交抛物线于点E，交x轴于点F．      (1)求该抛物线的表达式； (2)若，求此时点P的坐标； (3)连接，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，抛物线与轴交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)在抛物线的对称轴上有一点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标． (3)若点在抛物线上，且它的横坐标为，与交于点，当的值最小时，求点的坐标． 4．（25-26九年级上·安徽亳州·月考）如图，抛物线经过、两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m（），连接、、、． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当的面积等于的面积的4倍时，求m的值． (3)当时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴是直线是第一象限内抛物线上一个动点，过点作轴于点，与线段交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)当是以为底边的等腰三角形时． （i）求线段的长； （ii）已知是直线上一点，直线上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）如图，抛物线与轴交于（在的左侧），与轴交于点，点为抛物线上的动点，且在直线的下方，过点作，垂足为，且直线与轴交于点，交抛物线于点． (1)关于的不等式组有解，求的最大值； (2)直线与直线交于点分别为的中点，若长为8，求的面积； (3)当轴时，把绕顶点旋转，得到，再把沿直线平移至，在平面上是否存在点，使得以为顶点的四边形为菱形？若存在直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 考向04 参数与定值（新趋势） 研考向·通技法 1.含参数，先列式化简； 2.消去参数：合并同类项，让参数系数=0； 3.剩余常数即为定值； 4.定点问题：式子整理成「含参式子+常数=0」，令含参部分系数为0，解固定坐标。 关键技巧 不要代入特殊值直接猜，先代数恒等变形，是安徽中考评分关键。 1．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）已知抛物线经过点 (1)求该抛物线的对称轴； (2)若，且对于该抛物线上的两点，，当，时，均满足，求t的取值范围； (3)点和分别在抛物线和上（A，B都不与原点重合）．当时，若是一个与无关的定值p，求p的值． 2．（25-26九年级上·安徽六安·期末）已知抛物线（为常数）的对称轴与抛物线的对称轴是同一条直线． (1)求的值； (2)若点是抛物线上的动点，随着点的移动，点（，，为常数，且）恰好在抛物线上运动． （i）求的值； （ii）过作直线，直线对应的一次函数解析式为，随着点的移动，直线过一个定点，求定点坐标． 3．（25-26九年级下·安徽合肥·期中）已知抛物线，抛物线的顶点在抛物线上，且在y轴上的截距为6． (1)求抛物线的函数解析式． (2)抛物线与抛物线另一个交点为B，P在抛物线上且在之间，Q在抛物线上且在之间．若轴，求的最大值． (3)点与点（，为定值）分别抛物线、上．若（为定值）为定值c，求定值a、b、c． 4．（25-26九年级下·安徽安庆·月考）已知抛物线与x轴交于点A、C（C在A的左侧），与y轴交于点B． (1)若，，． ①直接写出抛物线解析式： ； ②若D点与C点关于y轴对称，在直线上是否存在点M使与相似，若存在，求出点M的坐标； (2)如图2，点P和点Q在抛物线上，其中P在点C左侧抛物线上，Q点在y轴右侧抛物线上，直线交y轴于点F，直线交y轴于点H，设直线解析式为，当，试证明为一个定值，并求出定值． 5．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若此函数图象上有一点到y轴的距离不大于2，求t的最大值与最小值之差； (3)若M为线段的中点，N为抛物线的顶点，直线交抛物线于D，E两点，直线交x轴于点P，直线交x轴于点Q．试探究：是否为定值？若为定值，求出的值；若不是定值，请说明理由． 刷模拟 1．（2026·安徽阜阳·一模）已知抛物线：． (1)求抛物线的顶点坐标（用表示）； (2)当时，点，在抛物线上． （i）若，，对于某一个实数，若的最小值为1，求的最大值； （ii）若对于任意的，，总存在点、使得轴，求的取值范围． 2．（2026·安徽淮南·一模）已知直线与轴相交于点，与轴相交于点．抛物线经过点，，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的表达式和点的坐标． (2)点为抛物线上一动点，直线与轴相交于点，作轴于点，交直线于点． （i）求证：； （ii）若要使以为顶点的四边形是平行四边形，求的值． 3．（2026·安徽合肥·一模）已知抛物线：与直线：交于、两点，其中点在轴上． (1)若点横坐标为，直线与轴交于点． ①求的值； ②为线段上一点，过点作轴交抛物线于点，求四边形面积最大时点的坐标． (2)若、为该抛物线上不同的两点，且满足，已知抛物线存在最小值，设，请判断是否为定值，若为定值，请求出，若不是定值，请确定其范围． 4．（2026·安徽·三模）已知，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标； (3)若点、为该抛物线上不同的两点，且满足，设，请判断h是否为定值．若为定值，请求出h的值；若不是定值，请说明理由． 5．（2026·安徽合肥·一模）抛物线和抛物线在同一坐标系中．抛物线与y轴交于，其最小值为，点P为上一动点，点A坐标为，过点P作直线的垂线，垂足为B，连接． (1)求b，c的值； (2)求证：； (3)点M是抛物线上的任一动点，其纵坐标记为m，在直线上是否存在一定点Q，使得的值为定值？若存在，求出Q点坐标及该定值；若不存在，请说明理由． 6．（2026·安徽滁州·一模）已知二次函数与轴交于两点，且，与轴交于点，抛物线顶点为． (1)将二次函数解析式化为顶点式，写出抛物线对称轴； (2)若，求的取值范围； (3)令，是否存在定值，无论，为何值，都存在为等边三角形，如果存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 7．（2026·安徽蚌埠·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，两点，且与y轴交于点． (1)求该二次函数表达式； (2)如图2设抛物线顶点为E，连接，将线段绕着B点旋转，得到线段，连接，求经过A，D两点的直线表达式； (3)若点P为x轴上方该二次函数图象上的动点，当P在对称轴右侧时，求面积的最大值，及此时P点坐标． 8．（2026·安徽六安·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）经过，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线的上方，过点P作轴，交直线于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，若，求点P的坐标； (3)如图2，连接与交于点F，连接，当与的面积都等于S时，求S的值． 9．（2026·安徽合肥·一模）如果两个图形不仅相似，而且对应点的连线都经过同一个定点，那么称这两个图形位似，定点叫做位似中心，相似比叫做位似比．图中的抛物线与抛物线位似，它们的顶点是其中一对对应点，它们与轴的交点也是一对对应点，位似中心为坐标原点，位似比为． (1)求的值； (2)点P为抛物线上一点；且在点之间（包含点B、点D）． （ⅰ）直线将四边形分为面积相等的两部分，求此时点P的坐标； （ⅱ）求面积的最小值． 10．（2026·安徽合肥·一模）已知直线：与轴交于点，与抛物线交于轴上一点，为直线上方的抛物线上一点，设其横坐标为． (1)求的值； (2)当的面积最大时，求的值； (3)点关于轴的对称点为，设点到轴的距离为，到点的距离为，已知在某个范围时，是一个与无关的定值，请确定这个范围，并求出这个定值． 11．（2026·安徽合肥·一模）已知：抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上异于点A的点，且的面积与的面积相等，求出点P的坐标； (3)若点Q在抛物线上，且满足，请直接写出点Q的坐标． 12．（2026·安徽阜阳·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、C两点，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式． (2)当时，先随的增大而增大，后随的增大而减小，求的取值范围． (3)P为抛物线上一动点，在抛物线的对称轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形且三点不共线?若存在，求出的面积；若不存在，说明理由． 13．（2026·安徽·一模）已知抛物线的对称轴在y轴左侧，若将此抛物线向上平移4个单位后，顶点刚好在x轴上． (1)求b的值； (2)当时，原函数y的最大值等于12，求m的值； (3)原抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点P为第三象限内抛物线上一点，连接AC，BP交于点D．判断：是否有最大值，如有请求出最大值，如没有请说明理由． 14．（2026·安徽蚌埠·一模）抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，． (1)求的面积． (2)点P是抛物线上一点，设点P的横坐标为a． ①当抛物线上P，C两点之间的部分（含点P，C）的高度（最高点与最低点的纵坐标之差）为10时，求点P的坐标． ②当点P位于第四象限时，过点P分别作于点E，轴于点F，当取得最大值时，求a的值． 刷真题 1．（2021·安徽·中考真题）已知抛物线的对称轴为直线． （1）求a的值； （2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且，．比较y1与y2的大小，并说明理由； （3）设直线与抛物线交于点A、B，与抛物线交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比． 2．（2022·安徽·中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题： （ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值； （ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）． 3．（2023·安徽·中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线． (1)求的值； (2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点． （ⅰ）当时，求与的面积之和； （ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由． 4．（2025·安徽·中考真题）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $