专题3 一次函数的实际应用-【荣恒专项】2026年初中数学函数秒解（初中通用）

初中数学函数解 易错警示 分析图象时，需注意拐点 代表的实际意义. 变式训练 1.已知甲、乙两地相距 300km,一辆货车和一 辆轿车先后从甲地出发 驶向乙地.如图，线段 OA表示货车离甲地的距 离y(单位：km)与时间 x(单位：h)之间的函数 关系，折线BCDE表示轿 车离甲地的距离y(单 位：m)与时间x(单位： h)之间的函数关系.根 据图象解答下列问题： 个y/km 300 80 D B人 O122.54.55x/h (1)线段CD表示轿车 在途中停留了 (2)求线段DE对应的函 数解析式； (3)轿车从甲地出发后经 过多长时间追上货车？ 16 专题3一次函数的实际应用 ⊙考点突破 考点【 利用一次函数解决实际问题的一般步骤 3年186考 审 仔细审题，理解题意 找 找出实际问题中的变量和常量，明确它们之间的 关系 列 列出一次函数解析式，弄清自变量的取值范围 解 根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量， 也就是解方程的过程 验 检验结果，得出符合实际的结论 选择最佳方案实际上是在比较的基础上完成的，可以把全部 方案都列出来，再选择一个最优的方案 母题1某草莓采摘园的草莓售价为每千克40元.为吸 引游客，该采摘园推出两种优惠方案 :方案一：每名游客进园需购买一张40元的门票，采摘的！ 草莓按原价的八折收费； 方案二：游客进园不需要购买门票，采摘的草莓质量在！ 10kg以内（包含10kg)时按原价收费，超过10kg后， 超过部分按原价的六折收费. 设某游客的采摘量为xkg,按方案一所需总费用为y1元， 按方案二所需总费用为2元. (1)当采摘量超过10kg时，分别求出y1,y2关于x 的函数解析式； (2)当采摘多少千克草莓时，两种方案的总费用相同？ (3)直接写出当x在什么取值范围内时，选择方案一 比选择方案二更合算 女思路分析 已知 未知 草莓原价40元kg; 先按规则列函数解 方案一：40元门票，析式，再根据取值 当x>10时， 采摘的草莓打八折： 范围列方程，求费 ,2的表达 式；费用相等 方案二：10kg内按用相同时的采摘量， 时的采摘量； 原价收费，超过最后比较，进而选 最优方案 10kg的部分打六折出最优方案 ®规范解答 解：（1)当采摘量超过10kg,即x>10时，根据题意， 得y1=40+40×0.8x=32x+40, y2=40×10+40×0.6(x-10)=24x+160. （2)当0≤x≤10时，=40x,令y=y2,则32x+40= 40x,解得x=5. 当x>10时，令y1=2,则32x+40=24x+160,解得 x=15 即当采摘5kg或15kg草莓时，两种方案的总费用相同， (3)当5<x<15时，选择方案一比选择方案二更合算， 考点②一次函数和几何的综合应用3年245考重点D 解一次函数与几何综合题的核心在于数形结合，解 题的关键是将图形特征转化为坐标与方程，灵活运用数 形结合思想求解问题. 母题2[山东中考]如图，已知点A(-6,0),B(0,8), 点M在线段OB上，将△ABM沿直线AM折叠，点B 恰好落在点B(a,0)处， y个B M B (1)求a的值； (2)求直线AM的解析式； (3)若直线y=-x+t与直线AM的交点在直线x=a 的左侧，请直接写出t的取值范围. 模块白一次函数 秒解技巧● 解一次函数与几何综合 题时，重点关注一次函数 的图象与几何图形的交 点、顶点及动点位置，这 些点往往是解题突破口. 立 切中数学函数解 变式训练 2.如图，已知直线41： y=x-4与x轴交于点 A,直线l2:y=2x+8与 x轴、y轴分别交于点D 和点B,且两直线交于点C, 点C的坐标为(-8，m). y个/2 B D (1)求k的值. (2)在y轴上是否存 在一点P,使△BCP与 △ABC的面积相等？若 存在，请求出点P的坐 标；若不存在，请说明 理由. 18 效思路分析 已知 未知 用待定系数法求函数 点B的坐标， 点A,B的坐标， 一次函数的解 解析式，结合图象求 图形的翻折 析式，未知参 未知参数的取值范围 数的取值范围 ®规范解答 解：（1)A(-6,0),B(0,8), OA=6,OB=8. ∠AOB=90°，AB=VOA+OB2=10. ~将△ABM沿直线AM折叠，点B恰好落在点B'(a,0)处， .AB=AB=10,∴.OB=AB-OA=10-6=4, .B（4,0)，即a=4. (2)设OM=x.根据折叠的性质，得BM=BM=8-x, AB=AB'. 由（1)得OB=4. B'M2=OM2+OB'2, （8-x)2=x2+42,解得x=3,·M(0,3). 设直线AM的解析式为y=x+b, 「-6k+b=0, k=》 1b=3, 解得 b=3, 故直线AM的解析式为y=x+3. (3)由（1)得a=4.设直线x=4与直线AM的交点 为点N,如图所示. yAB x-4 M OB 当x=4时，y=x+3=7×4+3=5,N(4,5). ,直线y=-x+t与直线AM的交点在直线x=a的左侧， 点N恰好是临界点， ∴.5=-4+t,解得t=9,.t的取值范围为t<9. 模块白一次函数 ©分层训练 @基础过关 该产品的销售成本y2（单位：万元) 1.爸爸和小明从家出发前往超市.两 与销售量x(单位：t)之间的关系.当 人骑行的路程s(单位：m)与时 销售收人y1大于销售成本2时， 间t（单位：min)的函数关系如图 该产品才开始盈利· 所示，关于图象提供的信息，正确 (1)销售收入y,与销售量x之间的 的说法有( 关系式为 ， 销售成本 s/m y2与销售量x之间的关系式为 小明 2000 爸爸 (（2)该产品的销售量超过多少吨时， 该产品才能盈利？ 800 y/万元 o 4.4 7.6 8 t/min ①家到超市的全程是2000m; ②小明先到达超市； ③从刚出发到4.4min的时间段内， 小明的骑行速度比爸爸的骑行速 34 x/t 度快； ④在爸爸出发6.8min时，小明追 上了爸爸 A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 2.某品牌护眼灯的进价为每个240 元，商店以每个320元的价格出 售.“五一”假期期间，商店为让 利于顾客，计划以利润率不低于 20%的价格降价出售，则该护眼灯 最多可降价 元 3.如图，直线1反映了某产品的销售 收入y(单位：万元)与销售量x(单 位：t)之间的关系，直线12反映了 19 初中数学？函数解 4.荣荣和爸爸准备一起测试新买的电 动汽车的性能.他们先将汽车充满 电，测试时让汽车保持匀速行驶.荣 荣记录了行驶路程s(单位：km) 与行驶时间x(单位：h)的几组对 应值（如下表所示)，绘制了剩余 电量y(单位：kWh)与行驶时间 x(单位：h)之间的函数关系的图 象（如图所示). 行驶时间x/h 0 1 2 3 行驶路程s/km 0 80 160240 个y/(kW·h) 0 50 35- 23 x/h (1)直接写出s与x之间的函数解 析式： (2)求y与x之间的函数解析式， 并求出a的值 (3)荣荣从汽车说明书中得知， 当剩余电量小于总电量的25% 时，该汽车会自动报警.在这 次测试中，汽车行驶多少千 米后将自动报警？ 20 心素养拔高 5.跨学科整合物理)在探究小球的速 度随时间变化规律的实验中，小球 由静止开始沿斜面向下滚动，到达 斜面底端后，在水平面上继续滚动 直至停止，如图1所示.小球滚动 过程中的速度y（单位：m/s)与时 间x（单位：s)之间的关系如图2 所示 (1)求AB所在直线的函数解析式： (2)求该小球在滚动过程中从斜 面底端至停止所用的时长， 图1 y/(m/s) B 0123.5 x/s 图2a-1=2, 5.y=3x+1由题意，得 2-b=1, a=3, 解得 b=1, ·.一次函数的解析式为y=3x+1. 6.解：（1)点C（m,4)在正比例函 数y=x的图象上， 4 六3m=4, 解得m=3, .点C的坐标为（3,4) 一次函数y=+b经过点A(-3,0), C(3,4), 「-3k+b=0, 解得 k=号， 3k+b=4, b=2, 一次函数的解析式为y=号x+2。 (2)由题图可得，不等式：+b≥号x 的解集为x≤3. 7.解：由题图可知，直线1经过点A（-2, 0),B(2,2),且y随x的增大而增大. [0=-2k+b, (1)由上面分析，得12=2k+b, 「b=1, 解得 k=2, 故直线1所对应的函数解析式为y= x+1. (2)因为函数y=kx+b的图象经过点 (-2,0),所以方程kx+b=0的解是 x=-2 (3)因为当x=0时，y=1, 所以直线1经过点（0,1). 参考答案 当x>0时，有c+b>1,即不等式+ b>1的解集是x>0. （4)在线段AB上，x的取值范围是 -2≤x≤2，即-2≤a≤2： 当-2≤a≤2时，y的取值范围是0≤ y≤2，即0≤b≤2. 专题3一次函数的实际应用 变式训练 1.(1)0.5h. 提示：由题图知，停留时间为2.5-2= 0.5(h) (2)解：设线段DE对应的函数解析 式为y=+b（2.5≤x≤4.5). 将（2.5,80)，（4.5,300)分别代入y= kx+b, 2.5k+b=80, [k=110, 得 解得 4.5k+b=300, b=-195 故线段DE对应的函数解析式为y= 110x-195（2.5≤x≤4.5) (3)解：设线段OA对应的函数解析 式为y=mx(0≤x≤5). 将(5,300)代人y=mx, 得300=5m,解得m=60, .y=60x（0≤x≤5). 令110x-195=60x,可得x=3.9, .3.9-1=2.9(h), 故轿车从甲地出发后经过2.9h追上 货车. 2.解：（1)把x=-8代入y=2x+8, 可得y=-8,则C(-8,-8). 把点C的坐标(-8，-8)代入y=c-4, 85 初中数学函数解 得-8k-4=-8,解得k=2 （2)存在. 在直线12：y=2x+8上，当x=0时， y=8；当y=0时，x=-4, .B（0,8),D(-4,0). 由(1)知直线（的解析式为y=5x-4。 在直线4：y=2x-4上，当y=0时， x=8, .A(8,0), ∴.AD=8-（-4)=12, Sac=Sa4m+am=3×12×8+号× 12×8=96. △BCP与△ABC的面积相等， .SABCP=96,即5BP·8=96, .BP=24, ∴.点P的纵坐标为8-24=-16或8+ 24=32, ∴.点P的坐标为(0，-16)或(0,32). 分层训练 1.C2.32 3.(1)y1=2x;y2=x+2. (2)解：由1=y2,得2x=x+2, 解得x=2, 观察题中图象知，当产品的销售量超 过2t时，该产品才能盈利. 4.(1)s=80x (2)解：设y与x之间的函数解析式 为y=c+b. 将(2,50)，（3,35)分别代人y= kx+b, 86 2k+b=50, k=-15, 得 解得 3k+b=35, b=80, .y与x之间的函数解析式为y=-15x+ 80. 当x=0时，y=80,则a=80. (3)解：80×25%=20（kW·h). 将y=20代入y=-15x+80, 可得20=-15x+80,解得x=4. 将x=4代入s=80x, 可得s=320 故在这次测试中，汽车行驶320km后 将自动报警. 5.解：(1)设OA所在直线的函数解析 式为y=(k≠0)， 将（1,2)代入y=,得2=k, ∴.OA所在直线的函数解析式为y=2x. 当x=2时，y=2×2=4, ∴.点A的坐标为（2,4). 设AB所在直线的函数解析式为y= mx+b（m≠0)， [4=2m+b, 根据题意，得 2=3.5m+b, 解得 咖， 20 b= 3’ ∴.AB所在直线的函数解析式为y= +9 (2)当y=0时，号x+9=0, 3 解得x=5, .5-2=3（s), 即该小球在滚动过程中从斜面底端至 停止所用的时长为3s.