秒解20 见一线上有等角或直角，想一线三等角型相似-【荣恒专项】2026年初中数学几何辅助线秒解（初中通用）

专题① 相似三角形相关的辅助线 秒解20见一线上有等角或直角， 想一线三等角型相似 眼看懂。 辅助线秒解导图 见到什么》】 想到什么》】 得到什么》】 ∠1=∠2 在CF上取点H,连接DH, E 使∠3=∠1=∠2 见一线上有等角 ①∠DCH=∠CAB; ②△DCH∽△CAB 利用三角形的内角 和为180°或平角 为180°进行等角 代换 线在角外 过点E作EH⊥ BD于点H ①△ABC∽△HEB; ②△DEH∽△DCA; E ③tanLBCE--BEE盟 BC AB d B B 见一线上有直角 分别过，点E,F作 EG⊥BD于点G, 线在角内 FH⊥BD于点H D D △BEGM△FBH -54- 专题代相似三角形钼关的铺助线 ·一学就会。辅助线秒解三步法 官典例【山东模拟节选】如图，在△ABC中，AB=22,∠B=45°，以A为直角顶 点作等腰直角三角形ADE,点D在BC上，点E在AC上.若CE=√5，求CD的长. ∠ADE=∠B=45 第一步：见到什么 第二步：想到什么 第三步：得到什么 一条直线上有两个相等的角。考虑作辅 △ABD∽△DFE 22 E 助线构造一线三等角型相似三角形 5 △EFC∽△DEC B45X45 D B 过点E作EF与CD交于点F,使∠EFD=459 叼满分秒解 ⊙解析（一线三等角型相似）：如图，过点E作EF与CD交于点F,使∠EFD=45° .·∠B=∠ADE=45°，∴.∠ADF=∠ADE+∠EDF=∠B+∠BAD, ∠BAD=LEDF,.△ABD∽△DFE,DFDE AB AD .DE=√2AD,AB=2√2，∴.DF=√2AB=4. ·.∠EFD=45°，∠AED=45°， A∠EFC=LDEC=135°，·△EFC∽△DEC,·.ECCD FC EC .EC=√5，∴.EC2=FC·CD=FC·(4+FC)=5, .∴.FC=1,.CD=5. (1)见到一条直线上有两个等角时，就作辅助线使第三个角与之相等，构造 一线三等角型相似三角形； 1名师点睛 (2)见到一条直线上有一个直角（或两个直角）时，一般作垂线得到另外两 个直角（或一个直角），构造一线三垂直型相似三角形. ②万能模板一条直线上有等角或直角→作等角或垂线→一线三等角型相似三角形 -55- 初中敏学？几何铺助线秒解 参考答案见P88 一 练就对· 辅助线秒解针对练 秒解精练 1.如图，在口ABCD中，E为边BC上一点，F为边AB上一点.若∠DEF=∠B, AB=10,BE=4,EF=6,则DE的长为 B E 第1题图 第2题图 2如图，在△ABC中，∠B=90,am∠BAC=2,P是边BC的延长线上一点， ∠P=∠BAC,则tan∠PAC= 3.(山西模拟)如图，在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90°，过CB的中点D 作DE⊥AD,交AB于点E,求EB的长. 且综合提升 4.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,∠B=90°，BC=6,点E在边BC上，BE= 4,P,Q分别是边AD,BE的中点.若∠AD=60,且AE=DE,求P四 的长 B O E C -56-初中数学几何辅助线秒解 .∴.△ABC∽△OBF, 0F0B1 2C=3, AC AB2OF= .EF=0E-0F=5-3=2, DE EF 2 1 ·ADAC63 的最大值为兮 :A 4.解：：∠ACB=90°，AB=CD=10, .点C是在以AB为直径的圆上运动，如图1， 设AB的中点为O,连接OC,OD,点D是跟 随点C运动，当OC+OD大于CD时，点D在 圆0外 图1 图2 AB为定值，DE是△ADB中AB边上的高， 且在运动过程中，△ADB只存在为锐角三角 形和直角三角形的两种情况， 当△ADB为直角三角形时，DE的长度最 小，如图2，即当∠ADB=90°时，DE的长度 最小， .此时点D也在以AB为直径的圆上， .A,B,C,D四点共圆，0为AB的中点， .DC是⊙0的直径，O是CD的中点， ∴.对角线AB,CD互相平分，且∠ACB=90°， .四边形ACBD是矩形 3 .tan∠ACD= 4 -88 tan∠CAB=3 在Rt△ABC中，tan∠CAB= 4,4B=10, .BC=6,AC=8, .AD=6,BD=8, ·SA4B=2AD·BD=2AB·DE, 解得DB=24 , “线段D5长度的最小值是 专题七相似三角形相关的辅助线 秒解20见一线上有等角或直角， 想一线三等角型相似 1.15如图，延长BC到点M,使DM=DC, 则∠DCM=∠M. ,四边形ABCD是平行四边形， .DM=CD=AB=10,AB∥CD, .∴.∠B=∠DCM=∠M. .·∠FEC=∠DEF+∠DEC=∠B+∠BFE, ∠B=∠DEF, .∴.∠DEC=∠BFE, .△BFE∽△MED,DEDM EF BE 64 DE10DE=15. 2.三如图，过点C作CDLAC交AP于点D, d 过点D作DE⊥BP于点E. .tan LBAC=2 1 BC 1 AB2’ ∴.AB=2BC. 1 ∠P=∠BAC,∴.tanP= 2 AB 1 六BP2BP=2AB. 设BC=x,则AB=2x,BP=4x, .CP=BP-BC=4x-x=3x. 易求得∠BAC=∠ECD, .∠P=∠ECD,∴.DC=DP. 又DE⊥BP, 1 3 ∴，∠B=∠CED=90°，CE=EP= 2, .△ABC∽△CED, 3 CD CE 2*3 ·0A82x4 在Rt△ACD中，tan L PAC=亿. 3.解：如图，过点E作EF⊥BC于点F. D是CB的中点，BC=4, 六CD=DB=BC=2, 在Rt△ACD中， .CD=2,AC=3, CD 2 '.tan∠CAD= AC-31 参考答案 ·∠C=90°，DE⊥AD, .∴.∠CAD+∠CDA=90°，∠EDF+∠CDA= 90°，∴.∠CAD=∠EDF, 3 ,∴.tan∠EDF=tan∠CAD= 3 EF 2 ·DF3 设EF=2x,则DF=3x. :tan∠ABC=4C3 BC4' 器路 FB-4.FB=8 8 DF+FB=DB=2.3x3=2 解得x=17' 6 ,Fa=8=8x616 12 .EF=2x= 3 31717 在△EFB中，EB=√EF2+FB2 4.解：如图，过点D作DF⊥AB,交BA的延长线 于点F. 根据题意，得四边形BCDF为矩形 假设∠DAE=90°， ,∠AED=60°， .∴.∠ADE=90°-∠AED=30°， ∴.DE=2AE, BQGE C 满足AE=DE, ∴，∠DAE=90正确. 又.∠F=∠B=90°，∠FAD+∠FDA=90°， -89- 初中数学几何铺助线秒解 ∠FAD+∠BAE=90°， ∴.∠FDA=∠BAE, ·.△ADF∽△EAB, AB BE AE 六DF AF AD 在Rt△ADE中，设AE=x,则DE=2x, 由勾股定理可得，AD=√DE2-AE2=√3x, AD AB-DF-2,AF-3BE-4J3,CD- 3 BF=6√3. 过点P作BC的垂线，G为垂足， 则PG∥AB∥CD. BG AP :P是AD的中点，心CC-PD-I, .PG是梯形ABCD的中位线， ...BG=CG= BC =3,QG=BG-BQ=1,PG= 21 AB+CD 2 =43, .PQ=√QG2+PG=7. 秒解21 见图形内相交垂线， 想十字型相似 1.C如图，过点D作DK∥EF,分别交CF,AC 于点K,P. -90 ,四边形ABCD是矩形， .AD∥BC,∠ABC=∠DCB=90°，AD=BC=4, AB=CD=2. ∴.四边形DEFK为平行四边形， .EF=DK. ,EF⊥AC, ..DK⊥AC,∠DPC=90. ∠DCB=90°， ∴.∠CDK+∠DCP=9O°，∠DCP+∠ACB=90°， .∠CDK=∠ACB. ,·∠DCK=∠ABC=90°， ∴.△CDK∽△BCA, “保指即忌解得QK=1 CK AB' 根据勾股定理，得EF=DK=√CK+CD2=√5. 2.B如图，过点F作FH⊥DC于点H, 0 F B E C 由题意可得，小正方形的边长为4，即AB=4, 则FH=12. 在Rt△ABE中，利用勾股定理，可得AE= √AB2+BE2=2W5. 易证∠BAE=∠MFH, 又.：∠MHF=∠B=90°， ∴.△ABE∽△FHM, ,AB_AE即4 六用W即2M解得FM=65 2w5