2026年九年级数学中考复习二次函数与相似三角形

二次函数与相似三角形 一、知识导航 在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”． 【相似判定】 判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形； 判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形； 判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形． 以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题． 【题型分析】 通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题． 【思路总结】 根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！ 所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角． 然后再找： 思路1：两相等角的两边对应成比例； 思路2：还存在另一组角相等． 事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1． 一、如何得到相等角？ 二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？ 搞定这两个问题就可以了． 二、典例精析 例一、如图，抛物线与轴交于点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，-3）．点Q是抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标． 例二、如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x-1与抛物线交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D． （1）求m、n的值及该抛物线的解析式； （2）如图2，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 1、 解答题 1．（2025·江苏苏州·一模）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且点，点，抛物线的对称轴为直线，连接AC，BC． (1)求抛物线的解析式； (2)将沿直线BC折叠，得到，请问：点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D落在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D没有落在对称轴上，请说明理由； (3)若点E是抛物线位于第一象限内的一个动点，连接AE交直线BC于点F，设，求n的最大值并求出此时点E的坐标． 2．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与坐标轴分别交于三点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为．    (1)三点的坐标______，______，______； (2)连接，交线段于点． ①当与轴平行时，求的值 ②当与轴不平行时，连接、，求的最大值 ③连接，是否存在点，使得，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 3．（2025九年级上·江苏苏州·期末）直线与轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B，C两点，与x轴的另一交点为A，连接，点P为上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，连接，交线段于点D，若，求此时点P的坐标； (3)如图②，连接．过点P作轴，交线段于点E，若与相似，求出点P的横坐标及线段长． 4．（2024·广东东莞·一模）如题，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的解析式． (2)点为抛物线的对称轴上一动点，当周长最小时，求点的坐标． (3)点是的中点，射线交抛物线于点，是抛物线上一动点，过点作轴的平行线，交射线与点，是否存在点使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2024·江苏苏州·三模）如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与轴交于、两点（点在点的右边），与轴负半轴交于点，且经过点，连接、，已知．         (1)求与的数量关系； (2)若抛物线对称轴与线段交于点，抛物线顶点为，连接，若，求的值； (3)连接，将绕平面内的点逆时针旋转后得到对应的，并且点、刚好落在抛物线上，点落在直线上，求的坐标． 6．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图1，抛物线（m为常数）与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C．    (1)下列说法正确的是 （填序号）． ①该抛物线开口向上； ②该抛物线与y轴的交点始终在x轴的上方； ③该抛物线的顶点在直线上． (2)如图2，若直线与该抛物线交于M、N两点，试说明：线段的长是一个定值，并求出这个值． (3)在（2）的条件下，点E是直线上的一个动点（图3），当时，与相似，求此时抛物线的函数表达式． 7．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，且与轴交于点，直线经过点且与抛物线交于另一点． (1)填空：写出下列点的坐标A__________，B__________，C__________； (2)设点是位于直线上方的抛物线上的一个动点，连接、，求的面积的最大值； (3)点在轴上且位于点的左侧，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 8．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B． (1)求k的值及抛物线的解析式． (2)如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，连接，当时，求D点的坐标； (3)如图2，若F是线段的上一个动点，过点F作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点G、E，连接．设点F的横坐标为m，是否存在以C，G，E为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 9．（2025·江苏苏州·一模）如图，抛物线的图象经过点，顶点D的坐标为，与x轴交于两点． （1）求抛物线的解析式． （2）连接为直线上一点，当时，求的值． （3）点是y轴上一动点，当y为何值时，的值最小．并求出这个最小值． （4）点C关于x轴的对称点为H，当取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2025九年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系内，抛物线y＝ax2＋bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，且OB＝2OA．过点A的直线y＝x＋2与抛物线交于点E．点P为第四象限内抛物线上的一个动点，过点P作PH⊥AE于点H． （1）抛物线的表达式中，a＝　 　，b＝　 　； （2）在点P的运动过程中，若PH取得最大值，求这个最大值和点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在x轴上求点Q，使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABE相似． 11．（2025·江苏苏州·一模）我们规定：关于x的反比例函数称为一次函数的“次生函数”，关于x的二次函数称为一次函数的“再生函数”． (1)按此规定：一次函数的“次生函数”为：______，“再生函数”为：______； (2)若关于x的一次函数的“再生函数”的顶点在x轴上，求顶点坐标： (3)若一次函数与其“次生函数”交于点、两点，其“再生函数”与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C． ①若点，求的正切值； ②若点E在直线上，且在x轴的下方，当时，求点E的坐标． 12．（2025九年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于三点． (1)求证：； (2)点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点． ①求的最大值； ②点是的中点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 13．（2025九年级上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C．二次函数的图像过B，C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点（不与端点O，B重合）． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，过点M作y轴的平行线l交于点F，交二次函数的图像于点E，记的面积为，的面积为，当时，求点E的坐标； (3)如图②，连接，过点M作的垂线，过点B作的垂线，与交于点G，试探究的值是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由． 14．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，且与轴交于点，直线经过点且与抛物线交于另一点． (1)填空：写出下列点的坐标______；______；______； (2)设点是位于直线上方的抛物线上的一个动点，连接，求的面积的最大值； (3)点在轴上且位于点的左侧，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 15．（2024·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，与轴的交点为，直线轴，在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求面积的最大值； (3)当时，是否存在点，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 16．（2025·江苏苏州·二模）如图1，已知二次函数的图像经过点点和点，连接，线段上有一动点P，过点P作的平行线交直线于点D，交抛物线于点E． （1）求二次函数的解析式； （2）移动点P，求线段的最大值； （3）如图2，过点E作y轴的平行线交于点F，连接，若以点C、D、P为顶点的三角形和是相似三角形，求此时点P坐标． 17．（2025·江苏苏州·一模）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点，且与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）若经过三点，N是线段上的动点，求的取值范围． （3）点P是二次函数图像上位于第一象限内的一点，过点P作，交直线于点Q，若，求点P的坐标． 18．（2025九年级上·江苏盐城·期末）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C（0，3），其对称轴是直线x＝1，点P是抛物线上第一象限内的点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交BC于点D，且点P的横坐标为a． (1)求这条抛物线对应的函数表达式； (2)如图1，过点C作CE平行于x轴，交抛物线于点E，若点P在CE的上方，连接PE，PC，DE，当S四边形CPED=S△AOC时，求点P坐标； (3)如图2，连接AP，BP，设AP交BC于点H，△PHB的面积为S1，△ABH的面积为S2 ，求的最大值； (4)如图3，在（3）的条件下，连接CQ，将CQ右侧的抛物线沿CQ翻折，交y轴于点M，请直接写出点M的坐标． 1、 解答题 1．（2025·江苏苏州·一模）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且点，点，抛物线的对称轴为直线，连接AC，BC． (1)求抛物线的解析式； (2)将沿直线BC折叠，得到，请问：点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D落在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D没有落在对称轴上，请说明理由； (3)若点E是抛物线位于第一象限内的一个动点，连接AE交直线BC于点F，设，求n的最大值并求出此时点E的坐标． 【答案】(1) (2)点不在对称轴上，理由见解析 (3)， 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、相似三角形问题(二次函数综合)、线段问题(轴对称综合题) 【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可； （2）根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，根据中点坐标公式求得点的坐标即可； （3）过点，分别作轴的垂线，交直线于点，先求得直线的解析式，根据题意设设，则，则根据，求得关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求得的最大值，即可求得的坐标． 【详解】（1）抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且点，点，抛物线的对称轴为直线， ， 设抛物线的解析式为， 将点代入得， 解得， 物线的解析式为， 即，； （2）点不在对称轴上，理由如下， ， ， ，， ， ， 是直角三角形， 将沿直线BC折叠，得到，点A的对应点为点D， ， ， 设，则， 解得， ， 故点不在对称轴上； （3）如图，过点，分别作轴的垂线，交直线于点， ， ， ， ,， 设直线解析式为， 则， 解得， 直线解析式为， 令，则， ， ， 设，则， ， ， ， 当时，取得最大值，最大值为， ． 此时． 【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质求最值，第三问中转化线段的比是解题的关键． 2．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与坐标轴分别交于三点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为．    (1)三点的坐标______，______，______； (2)连接，交线段于点． ①当与轴平行时，求的值 ②当与轴不平行时，连接、，求的最大值 ③连接，是否存在点，使得，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②；③存在，． 【难度】0.4 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、角度问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）分别把与代入，再解方程可得答案； （2）①当与轴平行时， 则，再利用相似三角形的性质可得答案；②如图，过点作的平行线，交于点，可得，再利用相似三角形的性质可得答案；③假设存在点，如图，延长交轴于点，过点作的垂线，交抛物线于点，求解，设的解析式为，将代入解析式可得解析式为，再建立方程求解即可； 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，可得方程， 解得或， ． （2）①当与轴平行时， ∴， ∴， ∵当， ∴，， ∴，， ∴，而， ∴； ②如图，过点作的平行线，交于点，    ， ，， ， ， 设， 设的解析式为， 将代入解析式，得， 解得， 的解析式为， ∴时，， ∴， ， 当时，取最大值为． （3）假设存在点，如图，延长交轴于点，过点作的垂线，交抛物线于点，    ， ，， ， ，， ， ， ， ， 设的解析式为，将代入解析式得：， 解得：， 解析式为， 令，解得或（舍）， 存在点满足题意，此时． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，一次函数的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 3．（2025九年级上·江苏苏州·期末）直线与轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B，C两点，与x轴的另一交点为A，连接，点P为上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，连接，交线段于点D，若，求此时点P的坐标； (3)如图②，连接．过点P作轴，交线段于点E，若与相似，求出点P的横坐标及线段长． 【答案】(1) (2)或 (3)，或， 【难度】0.4 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）先确定点的坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式； （2）先求直线和的解析式，再联立求出交点的横坐标，证明，根据相似三角形对应边成比例建立方程求解即可； （3）分两种情况：或，根据对应边成比例建立方程求解即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 令，则；令，则， ， 抛物线经过，两点， 将的坐标代入解析式可得 ， 解得， 抛物线解析式为：； （2）解：令抛物线，可得或， ， ， 设直线的解析式为：， 将代入直线，得 ， 解得：， 直线的解析式为：， 设P点坐标为（,）， 设直线的解析式为：， 将， ）代入解析式中，得 ， 解得：， 直线的解析式为：， 联立直线与直线 ， 解得， 如图过点P作轴于点H，作轴于点G ， 又 ， 解得：或， 经检验，，都是方程的根， 当时，； 当时， 故点P的坐标为（，），（，）； （3）解：设P点坐标为， ， ，， ， 轴， ， 又, ， ， ①当时， ， 即， 解得：或， 经检验不是方程的根，应舍去， ； ②当时， ， 即， 解得：或， 经检验不是方程的根，应舍去， ． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 4．（2024·广东东莞·一模）如题，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的解析式． (2)点为抛物线的对称轴上一动点，当周长最小时，求点的坐标． (3)点是的中点，射线交抛物线于点，是抛物线上一动点，过点作轴的平行线，交射线与点，是否存在点使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【难度】0.4 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、利用相似三角形的性质求解、线段周长问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）点关于对称轴的对称点为点，连接交对称轴于点，连接，此时最小，得出直线的解析式为，当时，，得出即可求解； （3）分两种情况：，，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：把点，分别代入， 得解得 ∴抛物线的解析式为． （2）∵， ∴对称轴为直线 点关于对称轴的对称点为点，连接交对称轴于点，连接，此时最小， 当时，， ∴点． 设直线的解析式为，代入得 ∴ ∴直线的解析式为 当时，， ∴点． （3）存在． ∵，是的中点， ． 又， ∴直线的解析式为，． 联立得． 解得，（舍）． 当时，． ∴． 设，则． ∴． 分以下两种情况： ①如图2，若，则，． ∴轴． ∴． ∴． 解得或（舍）． ∴． ②如图3，若，则，． 过点作于点，则， 即． 解得或（舍）． ∴． 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求二次函数解析式，线段周长问题以及相似三角形的性质，解题的关键是求出二次函数解析式． 5．（2024·江苏苏州·三模）如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与轴交于、两点（点在点的右边），与轴负半轴交于点，且经过点，连接、，已知．         (1)求与的数量关系； (2)若抛物线对称轴与线段交于点，抛物线顶点为，连接，若，求的值； (3)连接，将绕平面内的点逆时针旋转后得到对应的，并且点、刚好落在抛物线上，点落在直线上，求的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解、相似三角形问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据题意得到，，根据，得到，将点代入即可得到结论； （2）根据题意，画出示意图，由（1）知，，得抛物线解析式为：，求出，抛物线对称轴为直线，则，，，，，，由，得到，据此建立关于m的方程求解即可； （3）根据题意画出图形，设抛物线对称轴交于点Q，交x轴于点P，连接，由（2）知．根据逆时针旋转角为可得轴，轴，设点的横坐标设为，则点的横坐标设为，点点的横坐标设为，根据横坐标中点在抛物线的对称轴上求出点的坐标，再证明，求出，由，得到，代入抛物线解析式，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ， ， 将点代入， 则， ， ； （2）解：如图， 由（1）知，， 抛物线解析式为：， 令， ， ， 或， 根据题意得：， 抛物线的对称轴为直线， ， 当时，， ， ，，，， ， ，即， （负值舍去）； （3）解：根据题意画出图形，设抛物线对称轴交于点Q，交x轴于点P，连接， ∵将绕平面内点M逆时针旋转后得到对应的，点落在直线上， ∴轴，轴， 由（2）知． ， 点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为， 点与点D重合， ， 点与点关于抛物线对称轴对称， 点在抛物线对称轴上， 点的横坐标为， 设， ， 是等腰直角三角形， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， 由旋转的性质得到， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 抛物线， 将点代入得：， ，即， 解得：或（舍去）， ， 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，旋转的性质，二次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，对称，三角形全等，三角形相似等知识．熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 6．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图1，抛物线（m为常数）与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C．    (1)下列说法正确的是 （填序号）． ①该抛物线开口向上； ②该抛物线与y轴的交点始终在x轴的上方； ③该抛物线的顶点在直线上． (2)如图2，若直线与该抛物线交于M、N两点，试说明：线段的长是一个定值，并求出这个值． (3)在（2）的条件下，点E是直线上的一个动点（图3），当时，与相似，求此时抛物线的函数表达式． 【答案】(1)①③ (2)线段的长度是定值 (3) 【难度】0.4 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、证明两三角形相似、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）由二次项系数判定①，令计算y的值判定②，由解析式得到顶点的坐标，然后代入直线判定③； （2）联立直线解析式和抛物线解析式得到关于x的一元二次方程，进而由根与系数的关系得到点M和点N两点横坐标之间的关系，再结合两点之间的距离公式求得线段的长度，判定是否为定值； （3）先根据算出的长度，然后利用两点间的距离公式计算得到点N的坐标，再将点N的坐标代入抛物线解析式求出m得到相关抛物线的解析式，进而联立直线和抛物线的解析式求出点M和点N的坐标进行判定三角形是否相似，进而求解． 【详解】（1）由得顶点坐标为，二次项系数为1， ∴开口向上，故①正确，符合题意； 当时，， ∴点不一定在轴正半轴上，故②错误，不符合题意； 将顶点坐标代入直线，得，故③正确，符合题意； 故答案为：①③； （2）由，得：， 设，则， ， ， ∴线段的长度是定值． （3）∵， ∴， ， 对直线，当时，， ， 设，则， 解得：或， 或 将代入，得， 解得：或， 当时，， 令时，或， ∴， 由，得：或， ∴，符合条件； ∴， ∴， ∴与不相似，舍去： 当时，， 令时，，无解； 将代入，得， 解得：或， 当时，不符合条件，舍去； 当时，， 由，得：或， ∴， 当时，， 解得：或， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，时，与相似， 则抛物线的表达式为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、二次函数的性质、两点之间的距离公式、相似三角形的判定、一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是学会将题目中的语句和相关的知识点连接解题． 7．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，且与轴交于点，直线经过点且与抛物线交于另一点． (1)填空：写出下列点的坐标A__________，B__________，C__________； (2)设点是位于直线上方的抛物线上的一个动点，连接、，求的面积的最大值； (3)点在轴上且位于点的左侧，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1)，，． (2)． (3)或． 【难度】0.4 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）当时，解出的值，即可知道、点坐标；当时，解出的值，即可知道点坐标； （2）过点作轴的垂线，与轴交于点，与交于点，过点作轴的平行线，与的延长线交于点，设，求出长度，再转化的面积，得到，进而可求出面积最大值； （3）通过计算可得，进而可知只可能存在和两种情况，利用相似三角形性质进行分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，且与轴交于点， ∴当时，，解得，， 当时，， ∴，，， 故答案为：，，． （2）如图，过点作轴的垂线，与轴交于点，与交于点，过点作轴的平行线，与的延长线交于点， 由题意得， 解得， ∴， 设，则， ∵在直线上， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴当时，的面积的达到最大值，最大值为． （3）如图，过点作轴，垂足为点， ∵，，，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴，，， 设，则， ∵， ∴只可能存在和两种情况， 当时，有，即，解得， 当时，有，即，解得， 综上点坐标可以为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题、面积最值问题以及相似三角形性质，能够正确做出辅助线是解题关键． 8．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B． (1)求k的值及抛物线的解析式． (2)如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，连接，当时，求D点的坐标； (3)如图2，若F是线段的上一个动点，过点F作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点G、E，连接．设点F的横坐标为m，是否存在以C，G，E为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【难度】0.4 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）将点的坐标直接代入直线解析式可得出的值；再求出点的坐标，将，的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论； （2）连接，过点作轴的对称点，角度推导得到，设直线表达式为：，代入得：，解得：，则，设直线表达式为：，求得直线表达式为： ，联立直线表达式和抛物线表达式，得：求解即可； （3）根据题意需要分两种情况，当时，当时，一种是发现，另一种过点作轴于点，得到为等腰直角三角形，则，建立方程，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点， ， ， 直线的表达式为； 当时，， 点的坐标为， 将，点的坐标，代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：连接，过点作轴的对称点， 对于，当，则， 解得：或， ∴， 则， 由对称得：， 当，， ∴，而由知， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴， ∴， 设直线表达式为：，代入得：， 解得：， ∴, ∴设直线表达式为：， 代入得：， 解得：， ∴直线表达式为： ， 联立直线表达式和抛物线表达式，得：， 解得：或（舍）， ∴； （3）解：存在，理由如下： 由图形可知， 若与相似，则需要分两种情况， 当时，过点作轴于点， 由上知， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则, 则，， ∴， 解得：或； 当时，则 令， 解得：或（舍） 即， 综上，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查的是待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是第（3）问中需分两种情况讨论． 9．（2025·江苏苏州·一模）如图，抛物线的图象经过点，顶点D的坐标为，与x轴交于两点． （1）求抛物线的解析式． （2）连接为直线上一点，当时，求的值． （3）点是y轴上一动点，当y为何值时，的值最小．并求出这个最小值． （4）点C关于x轴的对称点为H，当取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，点有最小值为；（4）存在，点Q的坐标为：或或或． 【难度】0.4 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、利用同角三角函数关系求值、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）当时，根据题意先求得，，的长，由得：，即可求解； （3）连接，过点作于，当折线段与重合时，取得最小值，即可求解； （4）①当点为直角顶点时，由得：；②当点 为直角顶点时，点，则点；③当点F为直角顶点时，同理可得：点． 【详解】（1）抛物线的图象经过点，顶点D的坐标为， 解得 抛物线的解析式为：； （2）与x轴交于两点， 令，即 解得 , （3）如图，连接,过点作于点 ，， 则 当折线段与重合时，取得最小值 由（2）可知， 当折线段与重合时，在线段上 当时，即点有最小值为； （4）①当点为直角顶点时 依题意，由（3）可知 ,点C关于x轴的对称点为H 顶点D的坐标为， 抛物线的对称轴为 设，过点作于，如图： 由题意是 解得 或者 ②当点为直角顶点时 则轴 ③当点为直角顶点时 则轴 综合①②③可知 点Q的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、点的对称性、三角形相似、图形的面积计算等，其中(4)，要注意分类求解，避免遗漏，综合运用以上知识是解题的关键． 10．（2025九年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系内，抛物线y＝ax2＋bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，且OB＝2OA．过点A的直线y＝x＋2与抛物线交于点E．点P为第四象限内抛物线上的一个动点，过点P作PH⊥AE于点H． （1）抛物线的表达式中，a＝　 　，b＝　 　； （2）在点P的运动过程中，若PH取得最大值，求这个最大值和点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在x轴上求点Q，使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABE相似． 【答案】（1），；（2）最大值为，；（3）或 【难度】0.4 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、相似三角形的判定与性质综合、根据特殊角三角函数值求角的度数、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据直线方程求得点坐标，再根据求得点坐标，代入抛物线解析式，即可求解； （2）过点作并延长交于点，过点作，设交于点，可得，得到，利用二次函数的性质求得的最大值，即可求解； （3）根据点坐标求得，分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）由直线y＝x＋2可得，∴ ∵，∴，即 将、代入抛物线解析式可得 ，解得 故答案为：， （2）由（1）得抛物线解析式为 过点作并延长交于点，过点作，设交于点，如下图： 则， 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴，即 联立直线与抛物线可得 ，即 解得， ，即， ∴， ∴，即的最大值，即是的最大值 设，则 ∵， ∴时，最大，为 此时， 故答案为：最大值为，， （3）由（2）得， ， 又∵，都为锐角 ∴ 当在点左侧时，，此时以A，P，Q为顶点的三角形与△ABE不相似，所以在点右侧， 设，则 由题意可得：，， 当时，，即，解得，此时 当时，，即，解得，此时 综上所述，或 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握并灵活运用相关基本性质进行求解． 11．（2025·江苏苏州·一模）我们规定：关于x的反比例函数称为一次函数的“次生函数”，关于x的二次函数称为一次函数的“再生函数”． (1)按此规定：一次函数的“次生函数”为：______，“再生函数”为：______； (2)若关于x的一次函数的“再生函数”的顶点在x轴上，求顶点坐标： (3)若一次函数与其“次生函数”交于点、两点，其“再生函数”与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C． ①若点，求的正切值； ②若点E在直线上，且在x轴的下方，当时，求点E的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)①；点E的坐标 【难度】0.4 【知识点】求角的正切值、相似三角形问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合)、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）先根据y=x-3确定a，b的值，然后根据“次生函数”和“再生函数”的定义即可； （2）先写出y=x+b的“再生函数”函数，再根据二次函数的性质列出关于b的式子，求出b即可确定顶点； （3）①先说明△BCD是直角三角形，然后根据三角函数的定义即可； ②根据E所在的位置，利用等腰直角三角形的性质求出点E的坐标即可． 【详解】（1））∵一次函数y=x-3的a=1，b=-3， ∴y=x-3的“次生函数”为y＝−， ∴y=x-3的“再生函数”为y=x2-3x+2， 故答案为y＝−，y=x2-3x+2； （2）∵y=x+b的“再生函数”为：y=x2+bx-（1+b）， 又∵y=x2+bx-（1+b）的顶点在x轴上， ∴b2+4（1+b）=0， ∴解得：b1=b2=-2， ∴y=x2-2x+1=（x-1）2， ∴顶点坐标为：（1，0）； （3）①∵y=ax+b与其“次生函数”的交点为：（1，-2）、（4，−）， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为y＝， ∴y＝的“再生函数”为：y＝ 令y=0，则 解得：x1=1，x2=4， ∴A（1，0），B（4，0），C（0，2）， 如图，过点C作CH∥x轴交直线x=1于点H， ∵D（1，3），C（0，2）， ∴CH=DH=1， ∴∠CDH=45°， 又∵AD=AB=3， ∴∠ADB=45°， ∴∠CDB=90°， ∵CD=，BD=， ∴； ②如图， ∵∠CBE=∠ABD=45°， ∴∠ABE=∠CBD， 又∵∠EAB=∠CDB=90°， ∴△CBD∽△EBA， ∴， ∴＝， ∴AE=1 ∴E（1，-1）. 【点睛】本题主要考查新定义概念类型题以及二次函数的综合应用，正确理解新定义的函数是本题的关键． 12．（2025九年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于三点． (1)求证：； (2)点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点． ①求的最大值； ②点是的中点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或． 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）分别计算三点的坐标，再利用勾股定理求得的长，最后利用勾股定理逆定理解题； （2）①先解出直线的解析式，设，得出，由，得出利用二次函数的配方法求最值； ②根据直角三角形斜边的中线性质，解得的长，再证明，再分两种情况讨论以点为顶点的三角形与相似，结合相似三角形对应边成比例性质解题即可． 【详解】（1）解：令，得， ， 令得， ， ， ，， ， ， ， ， （2）①设直线的解析式为：，代入，得 ， ， ， 设， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 即的最大值为9； ②点是的中点， 在中，， 即为等腰三角形， ， ， ， ， ， 若以点为顶点的三角形与相似， 则①， ， 又， ， ， ，， ， ，， 或， 经检验：不符合题意，舍去， ②， 又， ， ， ， 整理得，， ，， 或， 同理：不合题意，舍去， 综上所述，或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及其逆定理、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，掌握相关知识是解题关键． 13．（2025九年级上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C．二次函数的图像过B，C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点（不与端点O，B重合）． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，过点M作y轴的平行线l交于点F，交二次函数的图像于点E，记的面积为，的面积为，当时，求点E的坐标； (3)如图②，连接，过点M作的垂线，过点B作的垂线，与交于点G，试探究的值是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是，定值为； 【难度】0.4 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据坐标轴交点特点利用一次函数求出B，C两点坐标，代入抛物线解析式即可得到答案； （2）连接，设点M坐标为，根据题意写出点F，E的坐标，表示出，，根据列等式求出m即可得到答案； （3）过G作，根据垂直易得，根据对应成比例即可得到答案； 【详解】（1）解：在一次函数中， 当时，， 当时，， ∴，， 将，代入抛物线得， ， 解得：，， ∴； （2）解：连接，设点M坐标为， ∵， ∴点E的坐标为：，点F的坐标为， 由题意可得， ， ， ∵， ∴， 解得： ，（不符合题意舍去）， ∴E的坐标为：； （3）解：过G作，由题意可得， ∵，， ，， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴设点G坐标为，点M坐标为， 可得， 解得：， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查二次函数综合应用，解题的关键是设出动点坐标写出相关联的坐标，根据等量列式求解． 14．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，且与轴交于点，直线经过点且与抛物线交于另一点． (1)填空：写出下列点的坐标______；______；______； (2)设点是位于直线上方的抛物线上的一个动点，连接，求的面积的最大值； (3)点在轴上且位于点的左侧，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1)，，； (2)最大值为； (3)点坐标为或． 【难度】0.4 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（）当时，解出的值，即可知道点坐标； 当时，解出的值，即可知道点坐标； （）过点作轴的垂线，与轴交于点，与交于点，过点作轴的平行线，与的延长线交于点，设 ，求出长度，再转化的面积，得到 ，进而可求出面积最大值； （）通过计算可得，进而可知只可能存在和 两种情况，利用相似三角形性质进行分情况讨论即可； 本题考查了二次函数综合问题、面积最值问题以及相似三角形性质，能够正确做出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）∵抛物线 与轴交于两点，且与轴交于点， ∴当时，，解得，， 当时，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）如图，过点作轴的垂线，与轴交于点，与交于点，过点作轴的平行线，与的延长线交于点， 由题意得， 解得 或， ∴， 设，则， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ∴当时，的面积的达到最大值，最大值为； （3）如图，过点作 轴，垂足为点， ∵，，，， ∴，，，， ∴，， 又∵， ∴，，， 设，则， ∵， ∴只可能存在和 两种情况， 当时， ∴，即， 解得：； 当时， ∴，即， 解得， 综上点坐标为或． 15．（2024·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，与轴的交点为，直线轴，在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求面积的最大值； (3)当时，是否存在点，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，面积有最大值，为 (3)、或 【难度】0.15 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据抛物线对称性得到，再由得到，联立方程组求解得到，，利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案； （2）由（1）中所求解析式，得到，，求出直线：，根据在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线的交点为，分二种情况：①当在轴之间时；②当在轴右边时；利用平面直角坐标系中三角形面积的表示方法，最后结合抛物线图象与性质求解即可得到答案； （3）分两种情况：点在上方；点在下方；当点在上方时，如图所示，，当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；利用相似比代值求解即可得到答案；同理，当点在下方时，如图所示，，当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；利用相似比代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线， 对称轴为， 抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且， ，，则，解得， ，， 将代入得，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：由得：， 设直线：，将，代入得，解得， 直线：， 在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为，根据，，则分二种情况：①当在轴之间时；②当在轴右边时； 当在轴之间时，如图所示： ，， ， ，， 抛物线开口向下，当时，有最大值，为； 当在轴右边时，过作轴，如图所示： ，， ， ，对称轴为，， 抛物线开口向上，则当时，随着的增大而增大，即当时，有最大值，为； ， 当时，面积有最大值，为； （3）解：由（1）知，当时，，解得或， ， 当在上方，即时，如图所示： ， 当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②； 由（1）（2）可知，，，且，， 当时，， ， ，即，解得（舍去）或； 当时，， ， ，即，解得（舍去）或（舍去）； 当在下方，即时，如图所示： ， 当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②； 由（1）（2）可知，，，且，， 当时，， ， ，即，解得（舍去）或； 当时，， ， ，即，解得（舍去）或； 综上所述，存在点，使以为顶点的三角形与相似，此时，、或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象与性质、抛物线与三角形面积问题、抛物线与三角形相似、解一元二次方程等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数综合题型的解法，分类讨论是解决问题的关键． 16．（2025江苏苏州·二模）如图1，已知二次函数的图像经过点点和点，连接，线段上有一动点P，过点P作的平行线交直线于点D，交抛物线于点E． （1）求二次函数的解析式； （2）移动点P，求线段的最大值； （3）如图2，过点E作y轴的平行线交于点F，连接，若以点C、D、P为顶点的三角形和是相似三角形，求此时点P坐标． 【答案】（1）二次函数的解析式为：；（2）ED最大值为；（3）点P坐标为（0，0）或（，0）． 【难度】0.15 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）先待定系数法求BC的函数解析式为：，过点E作EF∥y轴交BC于点F，过点D作DG⊥EF于点G，证明△DFG～△BCO，再证△EDG∽△CAO，则DG=3k，EG=6k，ED=，ED=EF，要线段DE的最大，只要求EF的最大值．设点E坐标为（e，），则点F坐标为（e，），然后表示出EF，结合最值的性质，即可得到答案； （3）△CPD与△DEF中，已有∠CDP=∠EDF，分两种情况讨论：①△DPC∽△DEF，易得P与O重合，点P坐标为（0，0）； ②△DCP∽△DEF先求tan∠DCP=tan∠ACO=，过点B作BQ⊥CB交CP于点Q，过点Q作QM⊥BO于点M，在Rt△CBQ中．，证明△OCB∽△MBQ，求出点Q坐标为（2，），用待定系数法求直线CQ的解析式为：y=+2，当y=0时，x=，即得点P坐标为（，0）． 【详解】解：（1）把点A（-1，0）点B（3，0）和点C（0，2）代入二次函数y=ax2+bx+c，得， ，解得，， ∴二次函数的解析式为：； （2）设BC的函数解析式为：y=mx+n， 把点C（0，2）和B（3，0）代入，得， ， 解得，， ∴BC的函数解析式为：， 过点E作EF∥y轴交BC于点F，过点D作DG⊥EF于点G， ∴∠GFD=∠BCO， ∵∠BOC=∠DGF， ∴△DFG～△BCO， ∴， ∵AC∥EP，DG∥AO， ∴∠GDE=∠OAC， ∵∠COA=∠EGD=90°， ∴△EDG∽△CAO， ∴， 设GF=2k，则DG=3k，EG=6k， ∴ED=， ∴ED=EF， 要线段DE的最大，只要求EF的最大值． 设点E坐标为（e，），则点F坐标为（e，）， ∴EF= = =； 当时，EF最大=， ∴ED最大=EF=； （3）∵△CPD与△DEF中，已有∠CDP=∠EDF，分两种情况讨论： ①△DPC∽△DEF， ∴点C与点F对应，∠PCD=∠EFD， ∴CP∥EF，即P与O重合， ∴点P坐标为（0，0）； ②△DCP∽△DEF， ∴点E与点C重合， ∴∠DEF=∠PCD， ∵∠DEF=∠ACO， ∴∠DCP=∠ACO， ∴tan∠DCP=tan∠ACO=； 过点B作BQ⊥CB交CP于点Q，过点Q作QM⊥BO于点M， 在Rt△CBQ中，， ∵∠CBO+∠MBQ=90°，∠CBO+∠OCB=90°， ∴∠MBQ=∠OCB， ∵∠COB=∠BMQ， ∴△OCB∽△MBQ， ∴， ∴BM=OC=1，MQ=BO=， ∴点Q坐标为（2，）， 设CQ的关系为： ， 解得：， ∴直线CQ的解析式为：， 当y=0时，， ∴点P坐标为（，0）， 综上，点P坐标为（0，0）或（，0）； 【点睛】本题考查了二次函数、一次函数待定系数法求关系式，三角形相似的判定与性质的综合运用，解题关键是熟练掌握所学的知识，熟练运用化斜为直的解题策略， 17．（2025·江苏苏州·一模）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点，且与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）若经过三点，N是线段上的动点，求的取值范围． （3）点P是二次函数图像上位于第一象限内的一点，过点P作，交直线于点Q，若，求点P的坐标． 【答案】（1）抛物线的表达式为；（2）的取值范围为： ；（3）故点P坐标为（1，4）或（2，3）． 【难度】0.15 【知识点】判断三角形外接圆的圆心位置、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）抛物线经过点两点代入求解即可， （2）根据题意得出是的外接圆，确定点M为线段AB，BC垂直平分线的交点，分别求出线段AB，BC垂直平分线表达式再求出圆心M坐标即可， （3）先求出AC的函数表达式，再求出BC函数表达式，根据，交直线于点Q，，设出点P，Q坐标，根据列方程求解即可； 【详解】（1）∵抛物线经过点两点， ∴把点代入得： ， 解得： ， 故抛物线的表达式为； （2）∵经过三点， 即是的外接圆， 故点M为线段AB，BC垂直平分线的交点， ∵点， ∴线段AB垂直平分线表达式为： ， 由抛物线的表达式为知点C坐标为：（0，3）， ∴线段BC中点P坐标为： ， 又∵， ∴OC=OB， ∴线段BC垂直平分线即为直线OP， 解得： ， ∴点M坐标即为：（1，1）， ∵N是线段上的动点， ∴当N在点B，点C时MN最大，在点P时MN最小， 即当N在点B，点C时， ， 当N在点P时， ， ∴的取值范围为： ； （3）由（1）知， 设AC的函数表达式为： ， 把点A，C代入解得： ， 设BC表达式为：， 把点B，C坐标代入解得： ， ∵，交直线于点Q， 过P作x轴的垂线，过Q作QF垂直PF（如图）， ∵，CO∥PF ∴ ， ∴， ∵AO=1，OC=3 ∴， ∴设， ∴ 解得： ， 当时，点P为（1，4）， 当时，点P为（2，3）， 故点P坐标为（1，4）或（2，3）． 【点睛】此题考查二次函数相关知识，涉及到三角形外接圆，三角形相似相关知识，及函数上有关动点的线段取值范围，有一定难度． 18．（2025九年级上·江苏盐城·期末）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C（0，3），其对称轴是直线x＝1，点P是抛物线上第一象限内的点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交BC于点D，且点P的横坐标为a． (1)求这条抛物线对应的函数表达式； (2)如图1，过点C作CE平行于x轴，交抛物线于点E，若点P在CE的上方，连接PE，PC，DE，当S四边形CPED=S△AOC时，求点P坐标； (3)如图2，连接AP，BP，设AP交BC于点H，△PHB的面积为S1，△ABH的面积为S2 ，求的最大值； (4)如图3，在（3）的条件下，连接CQ，将CQ右侧的抛物线沿CQ翻折，交y轴于点M，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)y=-x2+2x+3 (2)P（1，4） (3) (4)M（0，-） 【难度】0.15 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、面积问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）将C（0，3）代入y=-x2+bx+c求出c=3，再由x＝−＝1求出b，即可求解析式； （2）分别求出AD和CE的长，根据列方程计算即可； （3）根据计算即可； （4）根据翻折后CQ是对称轴，作M关于CQ的对称点M′，先求出M点坐标即可． 【详解】（1）将C （0，3）代入y=-x2+bx+c可得c=3， ∵对称轴是直线x=1， ∴x=-=1，即=1，解得b=2， ∴二次函数解析式为y=-x2+2x+3； （2）∵二次函数解析式为y=-x2+2x+3； ∴A（-1,0），B（3,0） ∴直线BC的解析式为， ∵P的横坐标为a，，PQ⊥x轴， ∴P点坐标为，D点坐标为 ∴ ∵CE平行于x轴 ∴C、E关于对称轴x=1对称，且PQ⊥CE ∴E点坐标为（2,3） ∴CE=2 ∵ ∴，解得 当a=2是P与E重合 ∴a=1 ∴P（1，4）； （3）过点A作x轴的垂线交BC于点G， ∵直线BC的解析式为：y=-x+3，A（-1，0）， ∴G（-1，4）， ∴AG=4， ∴PQ⊥OB，AG⊥OB， ∴PQ∥AG， ∴△PDH∽△AGH， ∴， ∴当a=时，有最大值，最大值是； （4）当a=时，Q（，0）， 设直线CQ的解析式为：y=kx+b， 把C（0，3），Q（，0），代入可得：，解得， ∴直线CQ的解析式为：y=-2x+3， 如图，设点M关于CQ的对称点为M′，连接MM′，交CQ于点R，交x轴于点N，则R是MM′的中点，且MM′⊥CQ， ∴∠OMN+∠QCO=90°， ∵∠CQO+∠QCO=90°， ∴∠CQO=∠OMN， ∵∠COQ=∠NOM=90°， ∴△COQ∽△NOM， ∴， 设点M（0，m）， ∴，解得NO=-2m， 设直线MM′的解析式为：y=k′x+b′， 将M（0，m），N（-2m，0）代入可得：，解得， ∴直线MM′的解析式为：y=x+m，令x+m=-2x+3，解得x=， ∴y=-2×+3=， ∴R（，）， ∵M（0，m），且R是MM′的中点， ∴M′（，）， ∵点M′在抛物线上， ∴=-（）2+2×+3， 解得m=-．（m=3舍）， ∴M（0，-）． 【点睛】本题考查二次函数与相似三角形的综合、图形翻折，解题的关键是设未知数表示各个未知点的坐标再根据题意列方程． 学科网（北京）股份有限公司 $