秒解8 见一线上有等线等角，想一线三等角型全等-【荣恒专项】2026年初中数学几何辅助线秒解（初中通用）

.∴.∠ADB=∠ACB=70°. AE=AD,∴.∠AED=∠ADB=70°， .∴.∠EAD=180°-∠AED-∠ADB=40°， .∴.∠BAC=∠EAD, .∴.∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC, 即∠BAE=∠CAD. 在△BAE和△CAD中， (AB=AC, ∠BAE=∠CAD, AE=AD, .△BAE≌△CAD(SAS), .∠ADC=∠AEB, ∴.∠ADB+∠BDC=∠ADB+∠EAD, ∴.∠BDC=∠EAD=40°. (3)解：∠BDC+∠BAC=180°.理由如下： 如图，在边DB的延长线上找一点E,使 AE=AD. D 设LBAC=aAB=AC,.∠1=∠2=180-e 902∠3=11=0 2 AE=AD,∠E=∠3=90-C 2 .∠EAD=180°-∠3-∠E=, ..∠EAD=∠BAC, ∴.∠EAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD, 参考答案 即∠BAE=∠CAD. AB=AC, 在△BAE和△CAD中，∠BAE=∠CAD, AE=AD, ∴.△BAE≌△CAD(SAS), 六.∠ADC=LE=90°-C 2 ∠B0C=∠3+∠ADC=2909)=180-0, .∠BDC+∠BAC=180. 秒解8见一线上有等线等角， 想一线三等角型全等 1.3如图，过点C作CF⊥AB于点F M A B N 由题意知，AD=AC,BE=BC. DM⊥AB于点M,EN⊥AB于点N,CF⊥AB 于点F,∴.∠AMD=∠AFC=∠BFC=∠BNE= 90°，∴.∠D+∠DAM=90°. .·∠CAD=90°，∴.∠CAF+∠DAM=90°， ∴.∠D=∠CAF [∠AMD=∠CFA, 在△DAM和△ACF中，{LD=∠CAF, AD=AC, .△DAM≌△ACF(AAS), .DM=AF.同理可证，△BFC≌△ENB(AAS), ∴.BF=EN=2. AB=5,∴.AF=3,.DM=3. -71- 初中数学几何辅助线秒解 2.16如图，作AE⊥BC于点E,DF⊥CB交CB 的延长线于点F. AB=AC,..BE=CE=4. ·.:∠EAB+∠ABE=∠DBF+∠ABE=90°， ∴.∠EAB=∠DBF. '∠AEB=∠BFD=90°，AB=DB, .∴.△AEB≌△BFD(AAS), ∴.DF=BE=4, sacs-2BC·DF= 1 ×8×4=16. 3.2.5如图，在BC上截取EG=BD,连接FG D E G △ABC和△DEF是等边三角形， ∴.DE=EF,AB=BC,∠DEF=∠B= ∠ACB=60°. .'∠DEC=∠BDE+∠B=∠DEF+∠FEG, ∴.∠BDE=∠FEG. (DE=EF, 在△BED和△GFE中，{∠BDE=∠GEF, BD=GE, .∴.△BED≌△GFE(SAS), ∴.∠B=∠EGF=60°，BE=FG. -72- .CF平分∠ACB,∴.∠ACF=∠ECF=30°. .'∠EGF=∠GFC+∠FCG, .∴.∠GFC=30°=∠GCF,∴.FG=CG=BE. AB=BC,BD=EG, .∴.AD=BE+CG=2BE=5, .BE=2.5. 4.(1)5.BD1l,CE⊥1， ∴.∠BDA=∠AEC=90°，∠ABD+∠DAB=90°. .∠BAC=90°， .∴.∠CAE+∠DAB=90°， .∴.∠ABD=∠CAE. 「∠BDA=∠AEC, 在△ABD和△CAE中，∠ABD=∠CAE, AB=CA, .△ABD≌△CAE(AAS), .BD=AE=2,CE=AD=3, ∴.DE=DA+AE=3+2=5. (2)解：猜想DE=BD+CE. 理由如下：：∠BAC=∠BDA=, .∠ABD+∠DAB=180°-∠BDA=180°-， ∠CAE+∠DAB=180°-∠BAC=180°-， ∴.∠ABD=∠CAE. 在△ABD与△CAE中， 「∠BDA=∠AEC, ∠ABD=∠CAE, AB=CA, .∴△ABD≌△CAE(AAS), ∴.BD=AE,DA=EC, ∴.DE=AE+DA=BD+CE. (3)证明：如图，分别过点C,E作CM⊥1于点 M,EN⊥l于点N. 由(1)可知，△ABF≌△CAM,△ADF≌△EAN, ∴.AF=CM=EN. .CM⊥l,EN⊥l,∴.∠CMG=∠ENG=90° 「LCMG=∠ENG, 在△CMG和△ENG中，{∠CGM=∠EGN, CM=EN, ∴.△CMG≌△ENG(AAS),∴.CG=EG, ∴.G是CE的中点 专题四 直角三角形相关的辅助线 秒解9见特殊角，想构造直角三角形 1.(152-5W6)如图，过点C作CD⊥AB于 点D. 北 东 A B 根据题意，得∠CAD=45°，AC=30 n mile, ∠CBD=60°， 在Rt△ACD中，AD=CD=AC·sin∠CAD=30x 2=152(nic 参考答案 CD152 在Rt△BCD中，BD= tan LCBD√3 5√6(n mile), .AB=AD-BD=(15√2-5√6)n mile.. 2.解：如图，过点C作CD⊥BA,交BA的延长线 于点D D---_ B ,∠B=30°，∠ACB=15°， ∴.∠CAD=∠B+∠ACB=45° 在Rt△ACD中，CD=AD=AC·cos45°= 3√2km. 在R△BCD中，BD=CD=36km,则 tan30° AB=(3√6-3√2)km. 答：B站点离公交总站的距离为(36- 3√2)km. 3.解：(1)如图，过点A作AD⊥BC于点D,则 ∠ADC=∠ADB=90°. 在Rt△ADC中，.∠ACB=60°，AC=2, c0=4c=1,40=ac-00-3. 在Rt△ABD中，.∠B=45°，.∠DAB=90°- ∠B=45°，.∠DAB=∠B, ∴.DB=DA=√3，.AB=VDB2+DA2=√6. E -73-专题白全等三角形相关的辅助线 秒解8见一线上有等线等角， 想一线三等角型全等魔 一眼看懂 辅助线秒解导图 见到什么》】 想到什么】】 得到什么》】 一条线上两等角 作等角 及等边 B +△BAC≌△CPD AC 想一线三等 角型全等 △BAE≌△ACD 见一线上 有等线等角 一条线上的直角 作两条垂线 及等边 +△BMA≌△ANC B 想一线三等 角型全等 ·△BMA≌△ANC 一学就会。 辅助线秒解三步法 典例如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接DE, 将DE绕点E逆时针旋转9O°得到EF,连接DF,BF,若∠ADF=a, 则∠EFB等于 -19- 初中敏学？几何铺助线秒解 第一步：见到什么 第二步：想到什么 第三步：得到什么 D在直线BC D △DEC≌△EFG 上，有等线 构造一线三 等角：ED 等角型全等 三角形 EF∠C= ∠DEFP-90 G B E E DE=EF,∠C=∠DEF=909 作FG⊥CB,交CB的延长线于点G ☑满分秒解 ⊙解析：如图，过点F作FG⊥CB,交CB的延长线于点G 由旋转得，DE=EF,∠DEF=90°， ∴.∠EDF=45. 四边形ABCD为正方形， .CD=BC,∠ADC=∠C=90°， .∠C=∠EGF=90°. .·∠CDE+∠CED=90°，∠FEG+∠CED=90°， .∠CDE=∠FEG,.△CDE≌△GEF(AAS), ∴.FG=CE,EG=CD, .EG=BC,BG+BE=BE+CE, ∴.BG=CE=FG,∴∠FBG=45°. :∠ADF=a,∠EDF=45°， .∠CDE=∠FEG=45°-a,∴.∠EFB=LFBG-∠FEB=a. 【答案】a 见到一线上有等线等角（或直角），就作等角（或两条垂线），构造一线三等 91名师点晴 角型全等三角形. 参考答案见P71 练就对 辅助线秒解针对练 秒解精练 1.如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，把边AC绕点A按逆时针方向旋转90°得 到AD,把边BC绕点B按顺时针方向旋转90°得到BE,作DM⊥AB于点M, EN⊥AB于点N,若AB=5,EN=2,则DM= B N 第1题图 第2题图 2.如图，AC=AB=BD,∠ABD=90°，BC=8,则△BCD的面积为 -20- 专题白全等三角形相关的辅助线 目综合提升 3.如图，在等边三角形ABC内部放置等边三角形DEF,且点 D,E分别落在AB,BC上，AD=5,连接CF.若CF平分 ∠ACB,则BE的长度为 4.直线I经过点A,△ABC在直线L上方，AB=AC: (1)如图1，∠BAC=90°，分别过点B,C作直线l的垂线，垂足分别为D, E.若BD=2,CE=3,则DE= (2)如图2，D,A,E三点在直线I上，若∠BAC=∠BDA=∠AEC=(a为任 意锐角或钝角)，猜想线段DE,BD,CE之间的数量关系，并说明理由。 (3)如图3，∠BAC=90°，过点B作直线L的垂线，垂足为F,点D是BF延 长线上的一个动点，连接AD,作∠DAE=90°，且AE=AD,连接DE, CE,直线l与CE交于点G.求证：G是CE的中点， E 图1 图2 图3 -21-