秒解19 见同弦等角或对角互补，想四点共圆-【荣恒专项】2026年初中数学几何辅助线秒解（初中通用）

专题公圆相关的辅助线 秒解19 见同弦等角或对角互补， 想四点共圆 5年325考 眼看懂 辅助线秒解导图 见到什么】 想到什么》】 得到什么】】口 ∠A=∠D D A,B,C,D 四点共圆 见同弦等角 以BC为直径作圆 ∠A=∠D=90° A,B,C,D 四点共圆 ∠A+∠C=180° D →A,B,C,D 四点共圆 B B 见对角互补 ∠A=∠C=90° 连接BD,以BD为直径作圆 A,B,C,D 四点共圆 。一学就会。 辅助线秒解三步法 典例【贵州中考节选】如图，在四边形ABCD中，∠1=∠2， C 3 ∠3=45°，则∠4的度数为 4 B -51- 初中敏学？几何铺助线秒解 第一步：见到什么 第二步：想到什么 第三步：得到什么 由∠1=∠2可判 A, B,C,D四点共圆 定四点共圆 B ∠1=∠2 ☑满分秒解 ⊙解析（四点共圆)：由∠1=∠2与共弦CD,可知A,B,C,D四点共圆。 如图，作经过点A,B,C,D的⊙0 D AD=AD,∠3=45°， 39 4 B .∠4=∠3=45°. A 【答案】45 见到同弦等角或对角互补的四边形，就作圆构造四点共圆，进而借助圆的相 P1名师点晴 关性质解题 参考答案见P87 练就对 辅助线秒解针对练 秒解精练 1.(陕西模拟)如图，AD,BE是△ABC的两条高，连接DE,CD=6,AC=8.若 DE=kAB,则k的值为 () 3 5 4 A. B. C. D. 4 3 第1题图 第2题图 -52- 专题公圆相关的辅助线 2.(江苏模拟)如图，将矩形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转得到AF,连接 BF,过点D作BF的垂线，垂足E在线段BF上，连接CE.若AD=3,AF= √3，则LDEC的度数为 且综合提升 3.(山东模拟)如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一动点，过点B作 BE⊥AD交AD的延长线于点E.若AC=6,BC=8,则DE的最大值为(） A n 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，在AB的下方有一点D,作DE⊥AB于点 E,连接DA,DC,DA,若A=CD=10,am∠ACD-子，求线段DE长度的最 小值. -53-则DB2+0D2=0B2,即(7-x)2+x2=52,解得 x1=3,x2=4, .DB=3m或DB=4m OD⊥BC, .D是BC的中点，即BC=2DB, ,.BC=6m或BC=8m. 秒解19见同弦等角或对角互补， 想四点共圆 1.A:AD,BE是△ABC的高， .A,B,D,E四点共圆， .∠ABD+∠AED=180 :∠CED+∠AED=180°， .∴.∠CED=∠ABD :∠C=∠C, ∴.△ABC∽△DEC, DE_DC,即DE_6 AB AC'AB 8' DE=B,即=子 2.30°如图1，连接AC与BD相交于点0，连 接OE, 图1 图2 :四边形ABCD是矩形， .∠BAD=∠BCD=90°，AB=CD,∴A,B,C,D 四点共圆， 又.DE⊥BF于点E, 参考答案 ∴.∠BED=∠BAD=90°， ∴.A,B,C,D,E五点共圆，作图，如图2所示 则有∠DEC=∠CAD. 由旋转的性质，可知AF=AB, 又·AF=√3，AB=CD, .CD=AF=√3 在Rt△ACD中，AD=3,CD=√3， an∠CAD=CDV3 AD 3' ·.∠DEC=∠CAD=30. 3.B如图1，过点E作EF⊥BC于点F. ∠C=90°，∴.AC∥EF, ∴.△ACD∽△EFD, DE EF AD AC' AE⊥BE, .A,B,E,C四点共圆. 设AB的中点为O,连接OE, 当且仅当O,E,F三点共线，即OE⊥BC时， EF有最大值，作图，如图2所示 图1 图2 .AC=6,BC=8, .AB=10,.0E=5. .:OE⊥BC, ∴.OF∥AC, -87- 初中数学几何辅助线秒解 .∴.△ABC∽△OBF, 0F0B1 2C=3, AC AB2OF= .EF=0E-0F=5-3=2, DE EF 2 1 ·ADAC63 的最大值为兮 :A 4.解：：∠ACB=90°，AB=CD=10, .点C是在以AB为直径的圆上运动，如图1， 设AB的中点为O,连接OC,OD,点D是跟 随点C运动，当OC+OD大于CD时，点D在 圆0外 图1 图2 AB为定值，DE是△ADB中AB边上的高， 且在运动过程中，△ADB只存在为锐角三角 形和直角三角形的两种情况， 当△ADB为直角三角形时，DE的长度最 小，如图2，即当∠ADB=90°时，DE的长度 最小， .此时点D也在以AB为直径的圆上， .A,B,C,D四点共圆，0为AB的中点， .DC是⊙0的直径，O是CD的中点， ∴.对角线AB,CD互相平分，且∠ACB=90°， .四边形ACBD是矩形 3 .tan∠ACD= 4 -88 tan∠CAB=3 在Rt△ABC中，tan∠CAB= 4,4B=10, .BC=6,AC=8, .AD=6,BD=8, ·SA4B=2AD·BD=2AB·DE, 解得DB=24 , “线段D5长度的最小值是 专题七相似三角形相关的辅助线 秒解20见一线上有等角或直角， 想一线三等角型相似 1.15如图，延长BC到点M,使DM=DC, 则∠DCM=∠M. ,四边形ABCD是平行四边形， .DM=CD=AB=10,AB∥CD, .∴.∠B=∠DCM=∠M. .·∠FEC=∠DEF+∠DEC=∠B+∠BFE, ∠B=∠DEF, .∴.∠DEC=∠BFE, .△BFE∽△MED,DEDM EF BE 64 DE10DE=15.