2026年九年级沪科版中考复习隐圆 翻折 最值 动点轨迹难题

**基本信息** 聚焦隐圆、翻折、最值、动点轨迹四大几何难点，通过61道梯度题构建“模型识别-性质应用-动态转化”解题体系，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |隐圆问题|12题（如7、25题）|“定弦定角”“四点共圆”模型|圆的定义→圆周角定理→轨迹判定→最值计算| |翻折变换|15题（如1、3题）|轴对称性质+勾股定理+全等/相似|折叠前后图形全等→对应边/角关系→方程求解| |最值计算|18题（如7、36题）|“将军饮马”“一箭穿心”“二次函数最值”|几何性质（垂线段最短）→代数建模→动态临界点分析| |动点轨迹|16题（如48、59题）|几何变换（旋转/平移）+函数建模|动点运动规律→轨迹类型（直线/圆/抛物线）→参数表达|

隐圆 翻折 最值 动点轨迹难题 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在正方形中，，分别为，的中点，连接、交于点，将沿对折，得到，延长交的延长线于点则下列结论：且；；是等腰三角形；其中一定正确的个数是(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2.如图，在正方形中，，是对角线上两点，，且将以点为中心顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，连接，则下列结论一定正确的是(    ) A. B. C. D. 3.在正方形中，，点是边的中点，连接，将沿翻折，点落在点处，与交于点，点是的中点，则的长度是(    ) A. B. C. D. 4.如图，正方形中，是上一点，将沿翻折得，点的对应点是点，直线与交于点，与的平分线交于点，连接，下列说法：；；若连接，则；若正方形边长为，为的中点，则点到直线的距离为其中正确的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，已知正方形的边长为，是边延长线上一点，，是边上一点，将沿翻折，使点的对应点落在边上，连接交折痕于点，则的长是(    ) A. B. C. D. 6.如图，正方形的边长为，是边上一点，以为直径在正方形内作半圆，将沿翻折，点刚好落在半圆的点处，则的长为  (    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共1小题，每小题3分，共3分。 7.如图，边长为的正方形中，点是其内部一点，且满足，点为边上一点，点是边的中点，连接、，则的最小值为_______． 三、解答题：本题共54小题，共432分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 8.本小题分 已知抛物线顶点坐标为且与轴交于原点和点，对称轴与轴的交点为． 求抛物线的解析式； 点在抛物线上，且点的横坐标为在抛物线对称轴上找一点，使得与的差最大，求点的坐标． 点在抛物线的对称轴上，且点的纵坐标为探究：在抛物线上是否存在点使得、、、四点共圆，若存在求出点坐标；若不存在请说明理由． 9.本小题分 如图，已知抛物线与直线交于，两点，直线与轴交于点，点的坐标为，动点在直线下方的抛物线上，动点在轴上，动点在线段上，且轴． 求、两点的坐标及抛物线的解析式； 求点到直线的距离的最大值； 是否存在以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出、的坐标；若不存在，请说明理由． 10.本小题分 如图，抛物线与直线分别相交于，两点，且此抛物线与轴的一个交点为，连接，已知，  求抛物线的解析式；    在抛物线对称轴上找一点，使的值最大，并求出这个最大值；    点为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由 11.本小题分 抛物线经过点、、三点． 求此抛物线的解析式； 在直线上方的抛物线是有一点，使得的面积最大，求出点的坐标 是抛物线上的一个动点，过作轴，垂足为，是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； 12.本小题分 如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，与轴交于点，其顶点为． 求抛物线及直线的表达式； 若抛物线的对称轴与直线相交于点，为直线上的任意一点，过点作交抛物线于点，以，，，为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点的坐标；若不能，请说明理由； 若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值． 13.本小题分 如图，已知抛物线与轴从左到右依次交于，两点，与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为，连接，． 求该抛物线的解析式； 若点是该抛物线的对称轴上的一个动点，连接，，，设点的纵坐标为，试探究： 当为何值时，的值最大？并求出这个最大值． 在点的运动过程中，能否与相等？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． 14.本小题分 综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接． 求抛物线的解析式． 是下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴于点． 求的最大值． 连接，，是否存在点，使得线段把的面积分成：两部分？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 15.本小题分 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上一动点． 求抛物线的解析式 当点在直线上方的抛物线上时，求四边形的最大面积，并直接写出此时点坐标 若点在抛物线的对称轴上，以，，，为顶点、为边的四边形能否是平行四边形若能，请直接写出点的坐标若不能，请说明理由． 16.本小题分 如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点在函数图象上，轴，且，直线是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点． 求、的值； 如图，连，线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上，求点的坐标； 如图，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由． 17.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其中点坐标为，点坐标为． 求此抛物线的函数解析式． 点是直线下方抛物线上一个动点，连接、，探究是否存在点，使得的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 点为该抛物线对称轴上的动点，使得为直角三角形，请求出点的坐标． 18.本小题分 如图，点是等边的边上的一点，且，是的外接圆，连接并延长交于、交于． 求证：； 过点作交于点，求证：是的切线； 在的条件下，当时，求的值． 19.本小题分 在中，斜边的中点关于的对称点为点，将绕点顺时针旋转至，连接，，如图所示． 在，，中，等于旋转角的是________填出满足条件的的角的序号； 若，求的大小用含的式子表示； 点是的中点，连接，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 20.本小题分 如图，在中，， _________，_________； 动点从点出发沿方向向点运动，速度为每秒，以点为圆心，长为半径 作圆，设运动时间为秒． 当时，如图求在边下方的部分与边围成的封闭图形的面积； 当与的边所在直线相切时，求的值； 当与边只有一个公共点时，直接写出的取值范围； 若的内心为点，设，直接写出的取值范围． 参考数值：，， 21.本小题分 已知：如图，四边形内接于，于点，于点，为延长线上一点． 求证：； 求证：； 当图中点运动到圆外时，即、的延长线交于点，且时如图所示，中的结论是否成立？如果成立请给出你的证明，如果不成立请说明理由． 22.本小题分 如图，已知点是外接圆上的一点，于，连接，过点作直线交于，交于，若点是弧的中点，连接，， 求证：； 若，试探究与之间的数量关系，并证明． 23.本小题分 已知为坐标原点，，分别在轴、轴正半轴上，是轴正半轴上一动点，，，矩形的面积为且． 如图，当时，直线交轴于点，求证：为中点； 如图，当时，若是中点，求点坐标； 如图，当时，是的中点，求点运动过程中的最小值． 24.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，过点、的与轴交于、两点点在点上方，连接、，点为中点． 连接，求证： 若的半径为，、的平方和等于，求的长度 连接，若，点在内部，且，则点坐标为          ． 25.本小题分 如图，点为轴正半轴上一点，交轴于、两点，交轴于、两点，点为劣弧上一个动点，且、． 如图，连结，取中点，连结，则的最大值为______； 如图，连接、、、若平分交于点，求的长； 如图，连接、，当点运动时不与、两点重合，求证：为定值，并求出这个定值． 26.本小题分 如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线折叠得到，交于点连接交于点，延长和相交于点，过点作交于点． 求证：直线是的切线； 求证：； 若，，求的值． 27.本小题分 一如图，已知二次函数的图象与轴相交于，两点，与轴相交于点． 求这个二次函数的表达式； 若是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，轴于点，与线段交于点，连接． 求线段的最大值； 当是以为一腰的等腰三角形时，求点的坐标． 二【问题背景】 如图，在四边形中，，，探究线段，，之间的数量关系． 小吴同学探究此问题的思路是：将绕点，逆时针旋转到处，点，分别落在点，处如图，易证点，，在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论： 【简单应用】在图中，若，，则________________________． 如图，是的直径，点、在上，，若，，求的长． 【拓展规律】 如图，，，若，，求的长用含，的代数式表示 28.本小题分 已知：正方形的边长为，交正方形的对角线所在直线于点，连接交于点． 如图，当经过、两点且圆心在正方形内部时，连接、． 试判断线段、的数量关系和位置关系；    求的值； 如图，当经过、两点且圆心在正方形外部时，连接、求的值； 如图，延长到点，使，当经过、两点时，连接、根据、计算，通过观察、分析，对线段、的数量关系提出问题并解答． 29.本小题分 如图，点、、、是上的动点，、在、上方，且弧弧  ，是延长线上一点，且，是的中点  探索与之间的数量关系，并说明理由． 设是的中点，在上是否存在点点除外，使得？试证明．若的半径为，当弧的长为，且时，直接写出长度的取值范围． 30.本小题分 定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形 互补四边形中，若：：：：，求的度数； 如图，在四边形中，平分，，求证：四边形是互补四边形； 如图，互补四边形中，，，点，分别是边，的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由； 如图，互补四边形中，，，，将纸片先沿直线对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为的平行四边形，求的长； 31.本小题分 如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在边上的点处不与点、重合，连接，折痕分别交、、于点、、，边折叠后交边于点． 求证：∽； 若，求的长； 若点是边上的动点，四边形的面积是否存在最值？若存在，求出这个最值；若不存在，说明理由． 32.本小题分 如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，且点与点的坐标分别为，点是抛物线的顶点点为线段上一个动点，过点作轴于点，若． 求二次函数解析式； 设的面积为，试判断有最大值或最小值？若有，求出其最值，若没有，请说明理由； 在上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 33.本小题分 如图，在矩形中，，，点是边上的动点，连接，以为边作矩形点、在的同侧，且，连接． 如图，当点在的中点时，点、、在同一直线上，求的长 如图，当时，求证：线段被平分． 在点的运动过程中，的长是否存在最大小值若存在，直接写出的最值若不存在，请说明理由。 34.本小题分 已知：如图，等腰三角形中，以为顶点作▱，其中，连接、，取的中点，连接    如图，写出一个与相等的角  ______ ；  如图，若，，且点在边上，在边上，直接写出  ______ ；  若，，  如图所示，求与的数量关系；  在图，图中分别画出取最大值与最小值时的示意图，并直接写出的最值可用含的代数式表示 35.本小题分 课堂上，数学老师组织同学们围绕关于的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． 老师给出，求二次函数的最小值． 请你写出对应的函数解析式； 求当取何值时，函数有最小值，并写出此时的值； 【举一反三】老师给出更多的值，同学们即求出对应的函数在取何值时，的最小值记录结果，并整理成如表： 的最小值 注：为的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现” 甲同学：“我发现，老师给了值后，我们只要取，就能得到的最小值” 乙同学：“我发现，的最小值随值的变化而变化，当由小变大时，的最小值先增大后减小，所以我猜想的最小值中存在最大值” 请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ 你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 36.本小题分 发现问题 爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目： 如图，点为坐标原点，的半径为，点动点在上，连接，作等边为顺时针顺序，求的最大值． 解决问题 小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图中，连接，以为边在的左侧作等边，连接． 请你找出图中与相等的线段，并说明理由； 线段的最大值为______． 灵活运用 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点，且，以为旋转中心，把逆时针旋转得，连接，求长的最大值． 迁移拓展 如图，，点是以为直径的半圆上不同于、的一个动点，以为边作等边，请直接写出的最值． 37.本小题分 【模型初识】“一箭穿心”是圆中最值问题的核心解题模型，其核心结论是：过圆外定点和圆心的直线与圆相交于两点，这两点到圆外定点的距离分别为该定点到圆上点的最大值和最小值． 【探究证明】如图，是外的一点，直线分别交于点、，则线段是点到上各点的距离中最短的线段． 证明：如图，在上任意取一个不同于点的点，连接、． 则有请补全处缺失的依据． 即． 由得，即． 从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段． 小琳认为在图中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小琳的说法正确吗？请说明理由． 【直接运用】 如图，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______． 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的半径为，为轴上一动点，切于点，则最小值是______． 【灵活运用】 如图，的半径为，弦，点为优弧上一动点，交直线于点，则面积的最大值是______． 38.本小题分 见微知著谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 阅读材料一： 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察；整体设元；整体代入；整体求和等． 例如，求证： 证明：原式 波利亚在怎样解题中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征． 阅读材料二： 基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：，，即， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为． 请根据阅读材料解答下列问题： 已知，求下列各式的值： ______； ______． 若，解方程 若正数、满足，求的最小值． 39.本小题分 如图抛物线与轴交于和两点，与轴交于点， 求抛物线的解析式； 点是轴下方抛物线上一点，设点的横坐标为，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的垂线交轴于，以，为邻边的矩形的周长记为． 请直接写出关于的函数关系式； 求的最值； 将抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，若新抛物线的顶点在内不含边界，直接写出的取值范围． 40.本小题分 如图，直线分别交轴、轴于、两点，点是线段上的一动点，以为圆心，为半径画圆． 若点的横坐标为，当与轴相切时，则半径为_____，此时与轴的位置关系是_______直接写结果 若，当与坐标轴有且只有个公共点时，求点的坐标． 如图，当圆心与重合，时，设点为上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，求长的最值并直接写出对应的点的坐标． 41.本小题分 有一正三角形，边长为，分别取、边的三等分点、，且其角平分线相交于点，过点作，交于点连接、、、、． 求的值． 将绕点逆时针旋转到，取中点，连接交于点，连接，求的值． 在的条件下，、上分别有、在线上移动，连接、，求出在什么条件下有最值？并求出最值． 42.本小题分 小亮喜欢思考，善于运用信息化工具研究数学问题在中考复习中，他运用和几何画板研究了动点最值问题以下为研究笔记的部分内容：梳理了初中常见的动点最值问题，从“距离”这一核心概念出发整理出下列表格，请阅读材料并完成下列问题． 分类 点到点的距离 点到直线的距离 点到圆的距离 基本原理 两点之间，线段最短 直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短 点到的距离为，则有 基本图形 【直接应用】 已知在中，，，，点为边上一动点． 线段的最小值为______； 若点为的中点，则线段绕点顺时针旋转，的最小值为______； 【迁移运用】 如图，一次函数和二次函数一次函数的图象与坐标轴分别交于点，点若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点求最小值； 【问题解决】 在矩形中，，，，小亮使用几何画板探究发现：四边形为平行四边形；四边形与矩形重合时周长最大，最大值为请证明四边形为平行四边形，并用模型观念探究其周长的最小值． 43.本小题分 【问题原型】 如图，菱形的边长为，，点在直线上移动试探究的值最大时点的位置． 【问题探究】 如图，梦琪同学的探究步骤如下： 射线上取点，使，构造，从而将转化为，因为是定值，这样就将双变量、问题转化为探究长度最小值的单变量问题，于是将问题转化为探究动点的运动轨迹问题； 进一步发现当∽时，总有∽，进而可知，连接，因为四边形是菱形，，可知，即，可知点、始终在的外接圆上定弦定角必定圆． 以下是梦琪同学证明的部分过程： 证明：由【问题探究】的作法可知，，又， ∽． ． 四边形是菱形， ，且． 证明过程缺失 ． 请你补全缺失的证明过程． 【问题解决】 请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺在图中作出点的轨迹圆，并标出圆心，则的最大值是______保留作图痕迹 44.本小题分 如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点，分别作，的平行线，相交于点． 求证：四边形是菱形； 若四边形的面积是，，求矩形的周长； 如图，在的条件下，点是线段上的一动点，连接，作点关于直线的对称点，若点从点开始向右运动了个单位，求点运动的轨迹的长． 45.本小题分 对某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点所形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．例如，平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆． 如图，在中，，，，是轴上一动点，当点在轴上运动时，点在坐标系中运动，点运动形成的轨迹是直线，且轴于点则直线的表达式是______． 当是等边三角形时，在的条件下，动点形成的轨迹也是一条直线． 当点运动到如图的位置时，轴，则点的坐标是______． 在备用图中画出动点形成直线的示意图，并求出这条直线的表达式． 设中这条直线分别与，轴交于，两点，当点在线段上运动时，点在线段上运动，不与、重合，且，则的取值范围是______． 46.本小题分 【问题原型】如图，在矩形中，，，点在边上，点在射线上，且，连接、交于点，若点是边上的一个动点，连接、，试探究的最小值． 【问题分析】如图，小明首先作点关于直线的对称点，连接、，由对称性可知，利用基本事实：“两点之间线段最短”，可知当、、三点共线时，，进而问题转化为探究的最小值问题，又进一步转化为探究点的轨迹的问题其次，小明发现可通过证明∽，得出，进而可知，即可确定点的轨迹以下是证明的部分过程： 证明：在矩形中， ， ，， ， 证明过程缺失 请你补全上述缺失的证明过程： 【问题解决】请结合上述探究过程，此时的最小值为______． 【方法应用】如图，正方形中，，点、分别为，上的点，过点、的直线将正方形的面积分为相等的两部分过点作于点，连接，则线段长的最小值为______． 47.本小题分 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过和两点，直线经过一个定点． 求反比例函数的函数表达式； 如图，当直线分别与轴，轴交于点，，若，点是反比例函数第一象限内一点，当时，求点的横坐标； 如图，已知，是直线上一动点，线段绕着点按顺时针方向旋转至线段，使，设此时点的运动轨迹为直线，且与反比例函数有且只有一个公共点，试确定直线的函数关系式． 48.本小题分 已知：正方形边长为点为边上的动点，以直线为对称轴翻折得如图连接，取中点，连接． 当翻折后，若点刚好落在对角线上，求此时的长度； 当点由运动到时，求点的运动轨迹的长度； 如果将“点为线段上的动点”改为“点为射线上的动点”，其它条件不变，那么当为等腰三角形时，求此时的长度． 49.本小题分 综合与实践 问题情境： 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，等边，绕边翻折，点落到点的位置，点为边上的动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接． 猜想证明： 如图，当点与点重合时，试判断四边形的形状，并说明理由；           边长为，求的运动轨迹的长度。 如图，当点不与点，重合时，连接交于点，点是边上一点，且，连接． 若，，求等边的边长； 试猜想线段，与的数量关系，并证明； 解决问题： 如图，在中菱形边长不变的情况下，当点运动到的中点时，将绕点顺时针旋转得到，设所在直线与，分别交于点，，若是以为斜边的直角三角形，请直接写出的长． 50.本小题分 老师给“思进小组”准备了如下思考题： 如图，在矩形中，，，点是边上一动点点不与，重合连接，以为边在直线的右侧作矩形 显然题目不完整，于是小组成员对矩形的大小形状作如下假设并提出问题： 聪聪假设：矩形∽矩形； 连接，求的最小值； 当时，求的长； 明明假设：当点在边上运动时，矩形的面积等于保持不变，点的运动轨迹是否有规律可循，能否求出的最大值？请直接写出答案． 51.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． 求抛物线的表达式及点的坐标； 若点是抛物线上一动点，连接，点在抛物线上运动时， 取的中点，当点与点重合时，的坐标为______；当点与点重合时，的坐标为______；请在图的网格中画出点的运动轨迹，并猜想点的运动轨迹是什么图形：______；并求点运动轨迹的函数的解析式； 在线段上取中点，点运动轨迹的函数的解析式为，在线段上取中点，点的运动轨迹的函数的解析式为，，在线段上取中点，点的运动轨迹的函数的解析式为为正整数；请求出函数的解析式用含的式子表示． 52.本小题分 已知，正方形，边长为，点是边、上一动点，以为直径作， 当点在边上时如图 求证：点在边的垂直平分线上； 如图，若与边相切，请用尺规作图，确定圆心的位置，不写作法，保留作图痕迹，并求出的长； 如图，点从点运动到点的过程中，若始终是的中点，写出点运动的轨迹并求出路径长； 当点在边上时如图，若始终是的中点，连接，，连接，求：的面积． 53.本小题分 在平面直角坐标系中，任意点到定点的距离等于到直线的距离，记点的轨迹为抛物线． 直接写出抛物线的解析式______； 将抛物线向右平移个单位长度，再绕点旋转得到抛物线，抛物线与轴交于，两点左右，与轴交于点，为抛物线上的动点，如图，若以、、、为顶点的四边形为梯形，求点的坐标； 如图，过点分别作直线：交中的抛物线于点，，直线：交抛物线于点、，点、分别为、的中点，若直线与直线平行，求证：为定值，并求出该定值． 54.本小题分 在中，，，，点是边上任意一点，点是直线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转，旋转角为，得到线段，连接． 如图，当点在射线上时，试探究与的数量关系； 如图，，于点，，说明：； 如图，，点在射线上，点是上一点且满足，在点的运动过程中，求点的运动轨迹的长． 55.本小题分 如图，已知抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点． 请直接写出、两点的坐标及的度数； 如图，若点为抛物线对称轴上的点，且，求点的坐标； 如图，若点、分别为线段和上的动点，且，过、分别作轴的垂线，垂足分别为、在、两点的运动过程中，试探究： 是否是一个定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由； 若将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，当点从点运动到点的过程中，求点和点的运动轨迹的长度之和． 56.本小题分 【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图，的半径为，点在上，点为线段中点，过点作垂线点是上一动点，点关于直线的对称点为，试探究点的轨迹． 【问题解决】经过讨论，小组同学猜想点在一个确定的圆上，下面是部分证明过程： 证明： 证明过程缺失 点在以点______为圆心，______为半径的圆上． 请你补全证明中的缺失过程． 【结论应用】如图，的半径为，点与点在上且点为线段上的点，且，过点作的垂线点是上一动点，点关于直线的对称点为当点从点运动到点时，点的运动路径长为          ． 【拓展提升】如图，若把上述问题的条件“”去掉，其它条件不变，为直径．点到点距离的取值范围是          ． 57.本小题分 阅渎理解：在平面直角坐标系中，若两点，的坐标分别是，则，这两点间的距离为如，，则． 对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹，如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂商平分线． 解决问题：如图，已知在平面直角坐标系中，直线交轴于点，点关于轴的对称点为点，过点作直线，平行于轴． 到点的距离等于线段长度的点的轨迹是________． 若动点满足到直线的距离等于线段的长度，求动点轨迹的函数数表达式． 问题拓展： 若中的动点的轨迹与直线交于，两点，分别过，作直线的垂线，垂足分别是，，求证： 是外接圆的切线： 为定值． 58.本小题分 【模型熟悉】 如图，已知和，点、、在一条直线上，且，，求证：； 【模型运用】 如图，在等边中，、分别为，边上的点，且，，连接若，求证：； 【能力提升】 如图，等边的面积是，，点、分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点从点运动到点，请在图中作出点的运动轨迹，并求出点的运动路程． 59.本小题分 如图，在正方形中，，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度匀速运动，到达点停止，连结交于点，以为直径作交于点，连接、设点的运动时间为秒． 当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形，请说明理由； 当时，的值为______； 在点整个运动过程中，求圆心运动轨迹的长度； 作点关于所在直线的对称点，连结，当线段恰好与正方形的一边平行时，直接写出的值． 60.本小题分 “求索”数学兴趣小组探究平面内横、纵坐标满足特定关系的动点的运动轨迹问题： 【方法探索】： 组长小谦提出问题：动点随着的变化形成的运动轨迹是什么？ 小志的思考：取个特殊值得到个点坐标，发现点在一条直线上，可以利用待定系数法求出该直线的表达式；小远的思考：令，，再求与的函数关系式． 请你选择一种方法确定点运动轨迹的函数表达式为______； 【问题解决】： 小明设计了一道动点问题考小诚，请聪明的你帮小诚解答：如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点从点出发以每秒个单位的速度沿轴向左运动，同时点从点出发以每秒个单位的速度沿轴向上运动，点是的中点，设运动时间为，请用含的式子表示点的坐标，并求的最小值； 【拓展运用】： 高老师给出坐标平面内两个动点：，． 小勇说：点、的运动轨迹都是直线；小智说：点、在运动过程中不可能重合；请你选择下面正确的看法______； A.小勇的说法对 B.小智的说法对 C.两人的说法都对 D.两人的说法都错 请你求出线段的最小值． 61.本小题分 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动． 操作判断 如图，正方形纸片，在边上任意取一点，连接，过点作于点，与边交于点根据以上操作，请直接写出图中线段与线段的关系； 迁移探究 小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：如图，在矩形纸片中，：：，在边上任意取一点连接，过点作于点，与边交于点，请求出线段与的关系，并说明理由． 拓展应用 如图，已知正方形纸片的边长为，动点由点向终点做匀速运动，动点由点向终点做匀速运动，动点、同时开始运动，且速度相同，连接、，交于点，连接，则线段长度的最小值为______，点的运动轨迹的长为______直接写出答案不必说明理由 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查的是四边形的综合题，涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及折叠的性质的知识点，解决的关键是明确三角形翻转后边的大小不变，找准对应边，角的关系求解首先证明≌，再利用角的关系求得，即可得到；；沿对折，得到，利用角的关系求出，解出，，根据正弦的定义即可求解；根据可证与相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解． 【解答】 解：，分别是正方形边，的中点，  ，  在和中，  ，  ≌，  ，，  又，  ，  ，  ，故正确； ，，  ∽，  ，，  ：：，  的面积：的面积：，  四边形，故正确； 根据题意得，，，，  ，  ，  ，  ，  是等腰三角形，故故正确； 令，则  在中，设，  ，  ，  ．故正确． 故选D． 2.【答案】  【解析】解：、四边形是正方形， ， 由旋转得，，， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ；故A正确； B、根据已知条件无法确定，所以无法确定；故B错误； C、根据已知条件无法确定，所以无法确定，所以无法确定；故C错误； D、，， ， 由旋转得，，， ， ， 由得，≌， ， ， 根据已知条件无法确定，故D错误． 故选：． 3.【答案】  【解析】【分析】连接，交于点，作于点，根据翻折变换性质得到，，，设为，分别表示出的长，再利用勾股定理解出的值，再利用∽求出的长． 【解答】解：连接，交于点，作于点， 四边形是正方形， ，，， ， ， 沿翻折，点落在点处， ，，， 设，则， 在中，，，可得，． 在中，，，可得， ，， 在中，，，， ，即， 解得舍去，， ， ，， ∽， ，即， 解得． 故选：． 【点评】本题主要考查了折叠变换的性质和正方形的性质，解题关键是利用，，三个三角形的勾股定理联合求解． 4.【答案】  【解析】解：根据翻折可知，点和点关于对称， ． 是的平分线， ． 四边形是正方形， ，， ， ， 故正确； 过点作，交于点， ， ， ，， ， ，， ， ，故正确； 如图，连接， 由可知， ，，， ， ， ， 即，故正确； 根据题意可知，，，，， 在中，， ， ， ， ， ， ， 由可知：， ， ， 就是点到直线的距离， 点到直线的距离为，故说法错误； 综上所述，正确的是． 5.【答案】  【解析】【分析】 此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地求出和的长度是解题的关键． 由翻折得，，垂直平分，可根据直角三角形全等的判定定理“”证明，得，则，而，即可根据勾股定理求得，再由，且，得，则，由，即可求出． 【解答】解：四边形是边长为的正方形， ，， 是边延长线上一点， ， 由翻折得，，垂直平分， 在和中， ， ， ， ， ， ，且， ， 解得， ， ， 解得． 6.【答案】  【解析】连接，因为四边形是边长为的正方形，所以，由折叠的性质，得，，所以又，，所以≌所以，即所以，即，，三点共线．因为为直径，所以设，则，又，所以在中，由勾股定理，得，所以，解得则． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了正方形的性质、圆周角定理、垂径定理、轴对称最短路线问题、圆内接四边形以及勾股定理，考查的知识点较多，有一定难度首先根据题意画出图形，得出点在如图所示的圆的上运动，然后作点关于的对称点，当点、、、四点共线时，最小，则最小为的长度；再根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得出，由此根据勾股定理可求出圆的半径的长度，再利用垂径定理和勾股定理可求出的长度，于是可得的长度，最后在中，根据勾股定理可求出的长度，从而可得的长度，可得答案． 【解答】 解：点是正方形内部一点，且满足， ， 如图，过、、三点作圆，连接，， 则点在如图所示的圆的上运动， 作点关于的对称点，如图所示，当点、、、四点共线时，最小，最小为的长度， 在圆上任取一点，连接，， 则四边形为圆内接四边形， ， 根据圆周角定理可得：， ， 在中，根据勾股定理可得：， 是正方形边的中点，连接交于点， ，，， 在中，根据勾股定理可得：， 则，， 在中，根据勾股定理可得：， ， 因此的最小值为． 8.【答案】解：抛物线顶点坐标为且与轴交于原点 所求函数解析式为过 ， ； 连接，的延长线与对称轴的交点为点， 当时，，点坐标为 设直线的解析式为，且过，， 当时， 则点的坐标为 点的坐标为，点的坐标为 ，为圆的直径，，圆的半径， 圆心为的中点，坐标为 设点的坐标为， ， 化简得 当时，此时点与点重合 当不为时，， 分解因式得由因式定理判断左边的代数式有的因式注：本题考查学生探究三次方程的解，学生可以用圆规在图中画出圆，大概判断点的位置，再用综合除法除去得到因式 解得：， 点的坐标为或，  【解析】本题考查二次函数的综合题，涉及到一次函数、圆周角定理，勾股定理，三角形三边关系，高次方程的解法，点的坐标的确定． 根据顶点坐标为且与轴交于原点，设所求函数解析式为过即可解答； 根据当点、、三点共线时与的差最大即可解答； 先求出点和点的坐标，由根据圆周角定理得为圆的直径，设点的坐标为再根据列方程解方程即可解答． 9.【答案】解：当时，，解得，则点的坐标为， 当时，，则点的坐标为， 将、代入得， 解得， 所以抛物线的解析式为； 延长交轴于，作于，如图， 在中，，， ， 设点，则， ， ，， ， 又， ∽， ，即， ， 当时，有最大值，最大值为； 即点到直线的距离的最大值是； 存在． 当以、、、为顶点的四边形为菱形时，，如图， 即， 整理得，解得，舍去， 此时点坐标为， ， ， ， ； 当以、、、为顶点的四边形为菱形时，， 即， ， 当， 解得，舍去， 此时点坐标为，对应的点坐标为； 当，解得，舍去， 此时点坐标为，对应的点坐标为； 综上所述，满足条件的点为，或，或，  【解析】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；灵活运用相似比表示线段之间的关系；利用菱形的性质和分类讨论的思想解决小题． 利用坐标轴上点的坐标特征求出点和点坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式； 延长交轴于，作于，如图，设点，则，则，然后证明∽，利用相似比得到，然后利用二次函数的性质解决问题； 讨论：当以、、、为顶点的四边形为菱形时，，利用两点间的距离公式得到，解方程求出，得到点坐标，再计算出的长，然后计算出的长，从而得到点坐标；当以、、、为顶点的四边形为菱形时，，利用两点间的距离公式得到，解方程即可确定点和点的坐标． 10.【答案】解：将，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式是； 将直线表达式与二次函数表达式联立方程组， 得 解得 点坐标为，点坐标为， 当点、、三点不共线时， ， 当点、、三点共线时， ， 当点、、三点共线时，取最大值，即为的长， 过点作垂直轴于点， ，， 在中，由勾股定理得， 取最大值为； 存在点使得以、、为顶点的三角形与相似，， 理由如下， 设点坐标为，， 在中，， ， 在中，， ，由勾股定理得， ， 过点作交轴于点，则，过点作轴于点， ，， ∽， ， 当时， ∽， ， 解得，舍去， 点的纵坐标为， 点为； 当时， ∽， ， 解得舍去，舍去， 综上所述，存在点．  【解析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似、勾股定理运用． 将，代入，即可求解； 分当点、、三点不共线时、当点、、三点共线时两种情况，求解即可； 分当时、当时两种情况，分别求解即可． 11.【答案】 解：设抛物线的解析式为， 点在抛物线上， ， ， 抛物线的解析式为； 如图， 当点在抛物线上，且使的面积最大， 必有平行于直线的直线，且和抛物线只有一个交点； ，， 直线解析式为， 设直线解析式为------， 抛物线的解析式为-------； 联立化简得，， ， ， ， ， 如图， 过点作， ，， ，， ， 设点 ，-----， ， 以、、为顶点的三角形与相似， ， ------， 联立解得，或， 或， ， ------ 联立解得，或， 或 综上，得到点或或或．   【解析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，极值的确定，相似三角形的性质，解本题的关键是求出点的坐标，分类讨论是解本题的难点． 用待定系数法求出抛物线解析式； 先判断出点在平行于并且和抛物线只有一个交点，从而确定出点的坐标； 以、、为顶点的三角形与相似，分两种情况讨论计算即可． 12.【答案】解：由抛物线过点及， 得 解得 故抛物线的表达式为． 设直线的表达式为， 由直线过点及， 得 解得 故直线的表达式为； ， ． 当时，， ． 点在直线上， 设． 当点在线段上时，点在点上方，则． 点在抛物线上， ， 解得或点与点重合，舍去， ． 当点在线段或延长线上时，点在点下方，则． 在抛物线上， ， 解得或， 或． 综上，满足条件的点的坐标为或或． 如图，过点作轴交于点，交轴于点，过点作轴于点． 设，则， ． 又， 的面积的最大值为．  【解析】本题主要考查的是待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的判定和性质，三角形的面积，二次函数的应用和最值，二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，运用了分类讨论思想． 利用待定系数法求函数解析式即可； 将二次函数解析式进行配方得到点的坐标，令得到点的坐标，根据点在直线上，设分当点在线段上时，点在点上方，则当点在线段或延长线上时，点在点下方，则两种情况讨论求解即可； 如图，过点作轴交于点，交轴于点，过点作轴于点设，则，根据三角形的面积进行求解即可． 13.【答案】解：把，代入， 得：，解得：， 此抛物线的解析式为，即； 抛物线的对称轴为直线， 可设点． 由三角形的三边关系可知，， 当，，三点共线时，的值最大，为的长度， 延长交直线于点，则点为所求，如图． 点的坐标为，对称轴为直线， ， 又， 则有，， ． 设直线的解析式为， 则，解得． 直线的解析式为， ， 当时，的值最大，最大值为； 如图，设直线与轴的交点为点，作的外接圆，与直线位于轴下方部分的交点为，关于轴的对称点为，则、均为所求的点． B、都是弧所对的圆周角， ，且直线上的其它点都不满足． 圆心必在边的垂直平分线即直线上． 点的横坐标为． 又，边的垂直平分线即直线． 圆心也在直线上， ． 在中，，， 由勾股定理得， ， ， 由对称性得 符合题意的点的坐标为，  【解析】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，三角形三边关系，勾股定理，三角形的外接圆，圆周角定理等知识，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线是解题的关键． 把，代入，得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得到该抛物线的解析式； 设点根据三角形三边关系定理可知，当，，三点共线时，的值最大，为的长度．所以延长交直线于点，利用勾股定理求得利用待定系数法求出直线的解析式，将代入即可求出的值； 设直线与轴的交点为点，作的外接圆，与直线位于轴下方部分的交点为，关于轴的对称点为，根据同弧或等弧所对的圆周角相等可知、均为所求的点，且直线上的其它点都不满足根据圆心在边的垂直平分线上，可得点的横坐标为，根据圆心也在边的垂直平分线即直线上，可得利用勾股定理求得，进而得解． 14.【答案】解：抛物线 过，，代入得： ， 解得：， 该抛物线的函数表达式为； 设，设交于点，如图， 则， ，， 是等腰直角三角形， ， 轴，轴， ，， 、均为等腰直角三角形， ，  ， ， ， 当时，取得最大值，此时点的坐标为； 存在点，使得线段把的面积分成：两部分．理由如下： 如图，延长交轴于点，连接，设，则， 当 ：：时， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，即， 即 ， 解得：或 舍去， ； 当 ：：时，同理可得， 即 ， 解得：或 舍去， ； 综上所述，存在点，使得线段把的面积分成：两部分，点的坐标为 或 ．  【解析】运用待定系数法即可求得答案； 设，则 ，利用等腰直角三角形性质可得，进而可得，运用二次函数的性质即可求得答案； 延长交轴于点，设，则 ，分两种情况：当 ：：时，当 ：：时，分别得出或，建立方程求解即可得出答案． 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，三角形的面积，等腰直角三角形的判定和性质．熟练掌握二次函数图象和性质，灵活运用分类讨论思想，方程思想是解题的关键． 15.【答案】解：抛物线与轴交于，两点， ． ． 抛物线的解析式为 如图， 由知，抛物线的解析式为， 令，则， ， 设直线的解析式为， 点， ， ， 直线的解析式为， 过点作轴交于， 设， ， ， ， 当时，的最大面积为，此时，点的坐标为； 能，或．  【解析】解：见答案； 见答案； 以，，，为顶点、为边的四边形能是平行四边形，如图， 由知，抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为， 设点，， 假设存在以，，，为顶点、为边的四边形是平行四边形， 当四边形是平行四边形时，即以、为对角线， 点，， ， ， 当四边形是平行四边形时，即以、为对角线， 点，， ， ， 即：满足条件的点或． 本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，一次函数、二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数的最值，坐标系中三角形面积的求法，平行四边形的性质，线段中点坐标的求法，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 将点，的坐标代入抛物线解析式中求解，即可求出答案 过点作轴交于，先求出点的坐标，进而求出直线的解析式，设出点的坐标，进而表示出点的坐标，最后求出，即可求出答案 先求出抛物线的对称轴，设出点的坐标，再分两种情况，利用平行四边形的对角线互相平分，结合线段中点横坐标建立方程求解，即可求出答案． 16.【答案】解：轴，，点在轴上， 抛物线对称轴为． ，． ，， 点的坐标为， ， 解得或舍去， ； 设点的坐标为． 对称轴为直线， 点关于直线的对称点的坐标为． 由可知抛物线解析式为， ， 直线经过点，， 利用待定系数法可得直线的表达式为． 点在上， ，即点的坐标为； 存在点满足题意． 设点坐标为，则，，． 作，垂足为， ， ， ． 点在直线的左侧时，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 在中，， 时，取最小值此时点的坐标为； 点在直线的右侧时，点的坐标为． 同理，， 时，取最小值此时点的坐标为 综上可知存在满足题意的点，其坐标为或  【解析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、三角形的面积、勾股定理、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等知识． 由条件可求得抛物线对称轴，则可求得的值；由，可用表示出点坐标，代入抛物线解析式可求得的值； 可设，则可表示出的坐标，由、的坐标可求得直线的解析式，把坐标代入直线解析式可得到关于的方程，可求得点的坐标； 设点坐标为，可表示出、、的长，作，垂足为，则可求得的长，分情况讨论，用可表示出、、的坐标，在中，由勾股定理可得到关于的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时的值，则可求得点的坐标， 17.【答案】解：抛物线的图象经过点，点， ， 解得， 抛物线的解析式为； 存在． 理由：如图中，设，连接． 令，则， 解得或， ，， ， ， ， ， 时，的面积最大，最大值为，此时； 如图中，设抛物线的对称轴交轴于点，过点作抛物线的对称轴于点，则，； ，， ， 当时，是等腰直角三角形， ， ， 当时，是等腰直角三角形， ， ， 当时，设，设的中点为，连接，则， ， ， 解得或， ，， 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或．  【解析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 把点，两点坐标代入抛物线的解析式，解方程组，可得结论； 存在．如图中，设，连接构建二次函数，利用二次函数的性质，解决问题； 如图中，设抛物线的对称轴交轴于点，过点作抛物线的对称轴于点则，分三种情形：，，，分别求解可得结论． 18.【答案】证明： 是等边三角形， ， 又， ， 连接， 为直径， ， ， ， ； 连接， 由知， ， ，即， ， ，即， 是的切线； 过点作， 在中，， ， 在中，， ，， 在中，， ， ，即， ， ， ， ， ， ∽， ．  【解析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，圆的切线的判定，圆的相关性质，相似三角形的判定和性质，是一道综合题，有一定难度，解题的关键是要能够灵活运用相似三角形、圆和等边三角形的知识，综合解决问题． 连接，利用三角形外角的性质，等边三角形的性质和圆周角的性质，分别求出和的度数，即可证明他们相等； 连接，利用平行线的性质证明，从而得出，所以是的切线； 过点作，分别求出，，再证明∽，用相似三角形的性质得出． 19.【答案】解：； 连接，，，． 中，，为的中点， ． ． ， ． 点和点关于直线对称， ． ， 点，，在以为圆心，为半径的圆上． ． ，证明如下： 连接并延长到点，使，连接． ，， ． ． ， ． ， ． ， ． ． ． ． ，， ． ， ． 四边形是平行四边形． ． ，， ． ．   【解析】【分析】 此题主要考查旋转的性质，直角三角形的性质，圆周角定理及其推论，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理此题综合性比较强，难度比较大． 根据旋转角的定义可以得出等于旋转角的是， 连接，，，，根据直角三角形的性质以及圆周角定理即可求出的大小； 连接并延长到点，使，连接通过角的计算，可以证明，四边形是平行四边形，从而得到． 【解答】 解：如图所示： 连接，，，． 根据旋转角的定义可以求得等于旋转角的是， 故答案为； 见答案； 见答案． 20.【答案】； 连接， ，， 在边下方的部分与边围成的封闭图形的面积△BEF 过点作于，延长交于， 过点作于，延长交于， ，，， ，， ，，， 只能与直线或相切， 当和相切时，，解得：， 当和相切时，，解得： 综上所述当或当与平行四边形的边所在直线相切； ； ．  【解析】【分析】 本题考查平行四边形的性质，解直角三角形，直线和圆的位置关系，三角形的内心的性质，圆周角的定理，扇形面积的计算，三角形的面积，分类讨论的扇形思想。 过作于，分别解直角三角形和直角三角形即可解答； 连接，由圆周角定理得，根据在边下方的部分与边围成的封闭图形的面积即可解答； 过点作于，延长交于，过点作于，延长交于， 求得，，，，， 判断只能与直线或相切，根据或等于半径得方程，解方程即可解答； 当经过点时，，得即可解答； 连接，由的内心为点得，平分，，再根据，，三角形的内角和定理即可解答．【解答】 解：过作于，四边形是平行四边形中，，， ， ， 由勾股定理得： ． ， ． 故答案为：；． 见答案 见答案 当经过点时，，， ， 当时当与边只有一个公共点． 故答案为：； 连接， 的内心为点， ，， ，，， ，， ， ． 21.【答案】证明：是的外角， ． ，， 分 证明：连接并延长交于点，连接， 过点，为圆直径， ． 于点， 为中点． ． ， ． ． 且， ． ． 分 解：的结论成立． 证明：连接并延长交于点，连接， ． 于点， 为中点． ． 由证明可知，， ． ． 分  【解析】利用三角形外角的性质可以得到，再根据，即可得到结论； 连接并延长交与点，连接，利用三角形中位线的性质即可得到． 结论仍然成立，证明方法同． 本题考查了圆周角定理、三角形中位线定理垂径定理等知识，是一道难度较大的综合题目． 22.【答案】证明：， ， ， ； 与之间的数量关系为：． 理由如下： 作于点，连接． ， ， 为中点， ， ， 于， ， ， ，， ，， ， ， 设，则， ，，，，，， ， ， ， ， 即．  【解析】根据平行线性质及圆周角性质直接得出结论． 作于点，连接先证明，再根据与的关系推出，然后可得出结论． 本题主要考查了三角形的外接圆及其性质、圆中各种角度的相互转化、含的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，判断出以及证明是解答的关键． 23.【答案】证明：矩形的面积为且， ， ， ， 过点作交于点、交于点，如图所示： 则四边形为矩形、四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， 在和中，， ≌， ，， 设， 则，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 为中点； 解：是中点， ， ， 是等腰直角三角形， ， 连接，如图所示： ， 为等边三角形， ， ， 垂直平分， ，， 点的横纵坐标都为：， 点坐标为， 解：连接、，如图所示： ，是的中点， ， ， ， 、、、四点共圆， ，， ， ， 点的运动轨迹为与轴的一个夹角为的射线， 当时，有最小值， ．  【解析】由题意得出，，过点作交于点、交于点，则四边形为矩形、四边形为矩形，证明≌，得出，，设，则，，证明是等腰直角三角形，得出，证出是等腰直角三角形，得出，证出即可； 证明是等腰直角三角形，得出，连接，证明为等边三角形，得出，证明垂直平分，由等腰三角形的性质得出，由勾股定理得出，即可得出答案； 连接、，由等腰三角形的性质得出，证明、、、四点共圆，由等腰三角形的性质得出，由圆周角定理得出，得出点的运动轨迹为与轴的一个夹角为的射线，当时，有最小值，由含角的直角三角形的性质即可得出答案． 本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、坐标与图形性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质、四点共圆、圆周角定理等知识；证明三角形全等和四点共圆是解题的关键． 24.【答案】证明：延长交于， ，， ， ． ， ， ， ， ； 解：由题可知：， 过作于，作于． 易得四边形是矩形，则， ，， 由勾股定理可知：， 两式相加可得： ， ， ； ．  【解析】【分析】 本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，直角三角形斜边上的中线，垂径定理，圆周角定理，涉及知识点较多，属于难题． 延长交于，点为中点，易得，再利用圆周角定理即可解答； 由题意得，过作于，作于，易得四边形是矩形，再利用勾股定理解答即可； 由题意易得是等腰直角三角形，点为中点，可得点在上，过作于，作于，设，，则，，，又易得四边形是正方形，再利用勾股定理即可解答． 【解答】 解：见答案； 见答案； 由，易得是等腰直角三角形， 又点为中点， ， 点在上， 如图，过作于，作于． 设，， 则，，， ， 又易得四边形是正方形， ， 又， ， 整理得， 负值舍去， 又点在轴正半轴上， ． 25.【答案】解：； 如图，连接，，， ，， ， ， 垂直平分， ， ， ，即为等边三角形， 直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ； 证明：由题可得，直径， 垂直平分， 如图，连接，， 则， 由可得，为等边三角形， ， ， 将绕点顺时针旋转至， ≌， ，， 四边形为圆内接四边形， ， ， ，，三点共线， ， 过作于，则， ， 在中，， 设，则， ， ， ， ， 为定值．  【解析】【分析】 本题综合考查了圆的相关知识，全等三角形的判定与性质．解答本题的关键是通过作辅助线，构造图形，达到转化的目的． 连接，首先证明是的中位线，然后根据中位线的性质得出，求出的最大值，即可求解； 连接，，，则，垂直平分线段，根据线段垂直平分线的性质得出，进一步得出是等边三角形，利用等弧所对的圆周角相等可证明，由可得，，根据的长求出的长即可； 连接，，将绕点顺时针旋转至，过作于，利用三角形的全等导出，再根据勾股定理得出，即可得出结论． 【解答】 解：由题可得，为直径，且， 由垂径定理可得，， 连接，如图， 又为的中点， ，且， 当，，三点共线时，此时取得最大值， 且， 的最大值为， 故答案为； 见答案； 见答案． 26.【答案】解：折叠，  ， 点在的垂直平分线上， 同理得：点在的垂直平分线上，  即，                        ，             ， 是的半径，    直线是的切线。 为的直径，    ，  ， ，                         ， ∽  ，             ，    ，           ．  ，      ，     ， ，        ． 弧弧，         ， ，             ， ， ，          ∽， ． ，，     ， ，      解得：或舍去， ，，      【解析】本题考查圆的综合题，主要轴对称的性质，平行线的性质，切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，勾股定理掌握相关性质是关键。 先根据轴对称的性质证明垂直平分，再根据平行线的性质证明即可解答； 先根据圆周角定理证明，再证明∽，根据相似三角形的性质即可解答； 先根据锐角三角函数的定义证明，结合中的结论的，再根据平行线的性质，证明∽得，把，代入得，再根据勾股定理得关于的方程，解方程求得的长，最后根据余弦的定义即可解答． 27.【答案】解：一将，，代入函数解析式，得 ， 解得， 这个二次函数的表达式； 设的解析式为， 将，的坐标代入函数解析式，得 ， 解得 的解析式为， 设，， 当时， 当时， ： 时，为等腰直角三角形，轴 设，则 解得舍去或， 当时，设， 则 解得 综上所述：或． 二； 连接，，， 是的直径， ， ， ， ，， 由勾股定理可求得：， 由得， ； 以为直径作，连接并延长交于点， 连接，， ，如图， 由的证明过程可知，， ， 又是的直径， ， 又，， 由勾股定理可求得：， ， 又  ，  ， ， ．   【解析】【分析】 一 本题考查了二次函数综合题，解的关键是利用待定系数法求函数解析式，解的关键是利用平行于轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出二次函数，又利用了二次函数的性质；解的关键是利用等腰三角形的定义得出关于的方程，要分类讨论，以防遗漏． 根据待定系数法，可得答案； 根据平行于轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案； 根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 二本题考查圆的综合问题，每一问都紧扣着前一问的结论，涉及勾股定理、圆周角定理，旋转的性质等知识，解题的关键是就利用好已证明的结论来进行解答． 由题意可知：，所以将与的长度代入即可得出的长度； 连接、、即可将问题转化为第问的问题，利用题目所给出的证明思路即可求出的长度； 以为直径作，连接并延长交于点，由问题可知：；又因为，所以利用勾股定理即可求出的长度． 【解答】 一解：见答案； 见答案； 见答案． 二解：由题意知：， ， ； 故答案为； 见答案； 见答案． 28.【答案】解：线段、的数量和位置关系分别是：，， 理由如下： 为正方形的对角线， ， 为直径， ， 又， ， 为等腰直角三角形， ，； ， ， 又为直径， ， ， ， 而， ≌， ， ， 而正方形的边长为， ， ； 为直径， ，， ， 而， ， ， 为等腰直角三角形， ， 又，， ≌， ， ； 提出的问题是：求的值．解答如下： 在上截取，连接，如图， ， 为等腰直角三角形， ， 又， 在和中， ≌， ，， 而， ， 为等腰直角三角形， ， ， ．  【解析】本题考查了圆周角定理以及推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为直角．也考查了正方形的性质以及三角形全等的判定与性质． 根据正方形的性质得，再根据圆周角定理和推论得，，易得为等腰直角三角形，则，； 由得，易证得≌，得，所以； 同样可证得为等腰直角三角形，得到，而，，则≌，，得； 提出的问题是：求的值．在上截取，连接，易证得为等腰直角三角形，得到，易证≌，得到，， 得到为等腰直角三角形，则，而，于是有． 29.【答案】解：， 理由：如图，连接， 是的中点， ， ， 是的中位线， ， ， ， ， ； 当不是直径时，上存在点，使，是直径时，不存在， 方法、理由：如图，过点作交于点，连接，，， 由知， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ≌， ， 即存在满足条件的点； 根据题意由图可知若的半径为，当弧的长为，且时， ．  【解析】此题是圆的综合题，主要考查了三角形的中位线定理，同圆中等弧所对的弦相等，等弧所对的圆周角相等，全等三角形的判定和性质，解的关键是得出，解的关键是判断出，是一道中等难度的题目． 先判断出是的中位线，得到，再判断出，即可得出结论； 先判断出，再判断出，进而得出≌，即可得出结论． 根据题意可直接写出长度的取值范围． 30.【答案】解：四边形是互补四边形， ， ：：：：， ，， 又， ； 证明：在上截取，连接，如图所示： 在和中， ， ≌， ，． ， ． ． ， ， 四边形是互补四边形； 解：不变． 理由如下： 如图，延长到，使，连接， 四边形是互补四边形， ， ， ， 在和中，  ， ≌， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ． ， 连接，在和中， ， ≌， ， 的周长； 分两种情况：如图所示： 四边形是平行四边形， ， ， 同得：≌， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 设，作于，则， 菱形的面积， 解得：， ， ，， ，， ； 如图所示： 同得：≌，四边形是菱形，， ，， ， ， ， 作交于，则， ， ， 由三角形的外角性质得：， ， ； 综上所述：的长为或．  【解析】本题是四边形综合题目，考查了互补四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键． 由互补四边形和四边形内角和定理即可求出的度数； 在上截取，连接，证明≌得出，证出由等腰三角形的性质得出，即可得出结论； 延长到，使，连接，由互补四边形的定义得出，由证明≌，得出，，再由已知得出，由证明≌，得出，连接，由三角形全等得出，即可得出结果； 分两种情况：证明四边形是菱形，得出，，设，作于，则，由菱形的面积得出，求出，，，即可得出的长； 同得：≌，四边形是菱形，， ，，由三角形内角和求出，作交于，则，由含角的直角三角形的性质得出，，由三角形的外角性质和等腰三角形的判定得出，即可求出的长． 31.【答案】证明：四边形是正方形， ， ， 由折叠知，， ， ， ∽； 解：正方形的边长为， ， ， ，， 设，则， 由折叠知，， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， 由知，∽， ， ， ； 解：存在最大值，为； 理由：如图，过点作交于点， ， 四边形是矩形， ， 同理：四边形是矩形， 由折叠知，， ， ， ， ， ， 又 ≌， ， 设，，则， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， 当时，有最大值为．  【解析】利用同角的余角相等判断出，即可得出结论 先求出，，设，则，利用勾股定理得，求出得出，再用的相似得出比例式建立方程求解即可得出答案； 先判断出四边形是矩形，得出，同理：四边形是矩形，再判断出≌，得出，设，，则，再利用勾股定理得出，进而得出，即可求出答案． 此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理建立方程是解本题的关键． 32.【答案】解：把、代入， 得，解得， 二次函数的解析式为． 有最大值． 如图，设直线的解析式为， ， 该抛物的顶点坐标为， 把、代入，得，解得， ， ， ； 由， 得； 当点与点重合时，不存在以、、为顶点的三角形， ， 不存在最小值； ， 当时，， 的最大值为． 存在． 若，如图，则轴， ，且在直线上， ， 解得， ； 若，如图，则， ， 整理得， 解得不符合题意，舍去； ； 若，则， ， 整理得，此方程无解． 综上所述，点的坐标为或  【解析】将、代入，列方程组求出、的值即可； 先求所在直线的解析式，用含的代数式表示点的坐标及的面积，求出关于的函数关系式，用函数的性质判断并求出的最值； 存在符合条件的点，分三种情况根据点的位置或勾股定理列方程求出的值及点的坐标． 此题重点考查二次函数的图象和性质、勾股定理、用待定系数法求函数解析式、二次根式的化简等知识，解第题时应分类讨论并进行必要的检验，求出所有符合条件的点的坐标． 33.【答案】解：四边形是矩形，， ，， 点为的中点， ， 在中，，， ，， 四边形是矩形， ， 在中，，，，， ， ， 由勾股定理可得，，即， ， ； 证明：设与交于点，过作交于，如图： 则， ， ，， 在中，，，， ， 在和中， ≌， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， 线段被平分； 存在，的最小值为，的最大值； 过点作的垂线，交的延长线于点，过点作的平行线交于点，交于点，如图： 四边形是矩形， ， 于，， ，， ，， ，， 四边形和四边形都是矩形， ，，， 设，，则， 四边形是矩形， ， ， 又， ， ， 又， ∽， ， ，， ，， ， 在中，， ，即， 当时，的最小值为，此时， 的最小值为； ， 当时，取最大值，此时， 的最大值为， 在点的运动过程中，的长存在最小值，最大值．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 34.【答案】；    ；     ；   的最小值为，最大值为．  【解析】解：，  ，即，  故答案为：；  等腰三角形中，，  是等边三角形，  ，  又，  ，  ，  又是平行四边形，  ，且，  ∽，  ，  ，即，  ，  故答案为：；  ；理由如下：  延长到，使，连接，    是的中点，  是的中位线，  ，  是平行四边形，且，  ，  又，  ，  ，  又，  ≌，  ；  的最小值为，最大值为理由如下：  如图，当点在边上时，最小，    这时，  ；  如图，当点在的延长线上时，最大，    这时，    综上所述，的最小值为，最大值为． 根据角的和差得到，即可得到答案；  先判定是等边三角形，然后根据勾股定理得到，然后利用相似得到，然后根据勾股定理求出长即可解题；  延长到，使，连接，则有，然后根据证明≌，即可得到结论；  当点在边上时最小，点在的延长线上时最大，作图根据中结论计算即可． 本题属于四边形综合题，主要考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 35.【答案】解：时，； 当时，取得最小值为：； 合理，理由： ，故函数有最小值， 当时，取得最小值， 故甲同学的说法合理； 正确， 当时，， ，故有最大值， 当时，的最大值为：．  【解析】，； 当时，取得最小值，即可求解； ，故函数有最小值，即可求解； 当时，，，故有最大值，即可求解． 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的图象和性质、函数最值的求解等，熟悉函数的性质是解题的关键． 36.【答案】；理由如下： 如图，连接，以为边在的左侧作等边，连接． 、都是等边三角形， ，，， ，即， 姑和中， ， ≌， ；   ；  ；   的最小值为，最大值为  【解析】；理由如下： 如图，连接，以为边在的左侧作等边，连接． 、都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ≌， ； 的半径为，点． ，， ， 当、、共线时，的值最大，最大为， 的最大值为， 故答案为：； 如图，以为旋转中心，把逆时针旋转得，连接， ，， 将绕着点顺时针旋转得到，连接， ，，， 在直角三角形中，由勾股定理得：； 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 当在线段的延长线上时，取得最大值，最大值为， 的最大值为； 的最小值为，最大值为理由如下： 如图，以为边作等边三角形，连接， ， ， 在和中， ， ≌， ， 欲求的最小值，只要求出的最小值即可， 当、、共线时，最小， 如图， ，是中点，是等边三角形， ， 在中，由勾股定理得：， ， 的最小值为． 如图，以为边作等边三角形， ， ， ，， ≌， ， 欲求的最大值，只要求出的最大值即可， 由图可知，当点在上方，时，的值最大，最大值为， 的最大值为． 综上所述，的最小值为，最大值为． 由等边三角形的性质可得，，，再证明≌，即可得解； 由题意可得，，再由三角形三边关系可得，从而得出当、、共线时，的值最大，即可得解； 连接，由旋转的性质可得，，将绕着点顺时针旋转得到，连接，则由旋转的性质可得，，，推出是等腰直角三角形，求出，结合线段的最大值等于线段的最大值得出当在线段的延长线上时，取得最大值，最大值为，即可得解； 以为边作等边三角形，由≌，推出，推出欲求的最大值，只要求出的最大值即可，由定值，，推出点在以为直径的上运动，由图可知，当点在上方，时，的值最大；欲求的最小值，只要求出的最小值即可． 本题属于圆的综合题，主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、圆和坐标与图形等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 37.【答案】两点之间，线段最短  小琳的说法正确，理由如下： 在圆上任意取一个不同于点的点，连接、， 在中，，， ，即． 线段是点到圆上各点的距离中最长的线段． 小琳的说法正确      【解析】解：证明：如图，在上任意取一个不同于点的点，连接、， 则有两点之间，线段最短， 即， 由得，即； 小琳的说法正确，理由如下： 在圆上任意取一个不同于点的点，连接、， 在中，，， ，即． 线段是点到圆上各点的距离中最长的线段． 小琳的说法正确； 如图，取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小， ，， ，， ， 的最小值为：， 故答案为：； 如图，连接、， 根据切线的性质定理，得， ，， 要使最小，只需最小， 当轴于时，最短， 此时点的坐标是， 点坐标为， ， 在中，，， ， 最小值是， 故答案为：； 如图，连接，，作的外接圆，过圆心作于点，连接，，，， 半径为， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 要使的面积最大，则需点到的距离最大， ，， ， ， ， ， 解得， ， ， 当且仅当点，，共线时，等号成立， 当点，，共线时，，此时的值最大，最大值为， 的最大面积是， 故答案为：． 根据两点之间，线段最短即可解答； 在圆上任意取一个不同于点的点，连接、，类比于题干分析过程进行说明即可； 取半圆的圆心，连接交半圆于点，结合题意得到当与点重合时，最小，利用勾股定理求出，即可解题； 如图，连接、，由勾股定理可知要使最小，只需最小；当轴于时，最短，可确定点的坐标，进而确定，最后在中求出的值即可； 连接，，作的外接圆，过圆心作于点，连接，，，，先根据等边三角形的判定与性质可得，根据圆周角定理可得，则可得，再作的外接圆，求出，然后可得当点，，共线时，，此时的值最大，最大值为，利用三角形的面积公式求解即可得． 本题考查了切线的性质、勾股定理、垂线段最短、坐标与图形，等边三角形的判定与性质、圆周角定理、含度角的直角三角形的性质、圆中的最值问题等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，是解此题的关键． 38.【答案】解：；； ，且， ， ， ， ， ， ； 正数、满足， ，，， ， ， 当时，的值最小， 最小值．  【解析】【分析】 本题考查了分式的化简求值以及一元一次方程的解法，读懂材料，理解题意并能类比运用是本题的关键． 由题意可得，代入式中可求值； 由题意可得，代入式中可求值； 将代入方程进行变形可求解； 把变形为，可得当取最小值时，的值最小． 【解答】 解：， ， 原式； ， ， 原式； 见答案； 见答案． 39.【答案】解：抛物线的解析式为；理由如下： 抛物线与轴交于和两点，把点，点的坐标代入得： ， 解得 抛物线的解析式为； 关于的函数关系式为理由如下： 对于抛物线， 当时，得：， ， 设直线的解析式为，把点，点的坐标代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 点是轴下方抛物线上一点，点的横坐标为， ， 轴， 点的纵坐标为， 把代入函数，得， 解得， ， ，， 以，为邻边的矩形的周长为， 若点在点的左侧，即当时， ， 若点在点的右侧，即当时， ， 综上所述，关于的函数关系式为； 当时，， 当时，随着的增大而减小， 当时，，当时，， ； 当时，， 当时，有最大值，为， 当时，，当时，， ； 综上所述，周长的最大值为． 理由如下： 抛物线，顶点坐标为， 将该抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，新抛物线的顶点为， 由点，可得直线的解析式为， 对于直线：，令，则， 解得． 对于直线，令，则， 解得． 点在内不含边界， ， ．  【解析】将点，代入抛物线解析式即可求解； 对于抛物线，令，得到，采用待定系数法求得直线的解析式为，进而得到，，从而表示出，，矩形的周长为，分两种情况：点在点的左侧，即；点在点的右侧，即，进行化简即可； 根据二次函数的性质求解即可； 根据二次函数的性质得到原抛物线的顶点为，从而由平移得到，根据点在内不含边界，得到点的横坐标的取值范围，进而求解即可． 本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，点的平移，不等式的应用等，综合运用相关知识，掌握数形结合思想是解题的关键． 40.【答案】解：，相离； 当，与轴相切时， 由，得， 则与轴相交， 此时点的坐标为， 当，与轴相切时， 由， 则与轴相交， 此时点的坐标为 综上，或； 连接、， ， ， ， ， 在和中， ≌， ， 点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 当点在线段上时，最小值为， 设点的坐标为， 则， 解得，或舍去， 则， 点坐标为； 当点在线段的延长线上时，最大值为， 设点的坐标为 则， 解得，或舍去， 则， 点坐标为．   【解析】【分析】 本题考查一次函数与坐标轴的交点，直线与圆的位置关系、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握直线与圆的位置关系的判断方法、正确得到最长或最短时点的位置是解题的关键． 根据坐标轴上点的坐标特征求出点和点的坐标，根据相似三角形的性质解答； 根据直线与圆的位置关系解答； 连接，，证明≌，求出的长，得到最长、最短距离，利用勾股定理求出点的坐标． 【解答】 解：当时，，当时，， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 设点为与轴的切点，连接， 则， ∽， ，即， 解得，， 点的横坐标是，的半径是， 的圆心到轴的距离为，大于半径， 与轴的位置关系是相离， 见答案； 见答案． 41.【答案】【小题】 解：如图，连接并延长交于点， 、为、边的三等分点，为正三角形，边长为， ，，，则 ， 点为的角平分线的交点 又 垂直平分 ，则 ，即， 在中， 解得：， ， ，则， 又 ， ，则 ， 又 四边形是平行四边形， 又 四边形是菱形， 在中， 在中， 【小题】 解：如图，过点作，过点作，垂足分别为， 绕点逆时针旋转到， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 设，则 解得： 由可得， 点是的中点， ， 又， 是的中位线， ， 在中， 又 ； 【小题】 解：如图， 由可得， ， ， ， 、上分别有、在线上移动， ，时，取得最小值， 当时，， 当时，重合，则 最小值为 根据三角形中斜线段最长可得，当重合时取得最大值，当重合时，取得最大值 由可得， 当重合时，中， 最大值为： 当重合，重合时，最大值为：．   【解析】  连接并延长交于点，先证明，进而根据已知结合等边三角形的性质，勾股定理求得的值，即可求解；   过点作，过点作，垂足分别为，根据旋转的性质可得，设，则得出，进而求得，证明是的中位线，在中求得，进而代入，进行计算即可求解；   根据垂线段最短可得，时，取得最小值，进而将代入可得最小值，根据斜线段最长可得当重合，重合时，取得最大值，勾股定理，分别求得的最大值，即可求解． 42.【答案】； ；  ；   证明见解析，四边形周长最小值为．  【解析】已知在中，，，， ， ， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，如图， 此时有， ， 线段的最小值为， 故答案为：； 设点的对应点为， 点为的中点， ， 点为的中点，则线段绕点顺时针旋转， ， 点在以点为圆心，半径为的圆上运动， 当点在线段上时，会存在最小值，最小值为，如图， 故当有最小值，且点在线段上，有最小值，最小值为， 的最小值为， 故答案为：； 过点作轴，交直线于点，如图， 一次函数的图象与坐标轴分别交于点，点， 当时，得：， 解得：； 当时，得：， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 三角形为等腰直角三角形， ， 设的横坐标为，则，， ， 当时，取最小值为， 此时，取最小值，值为； 四边形为矩形， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 同理可得，， 四边形为平行四边形； 四边形周长为其邻边之和的倍， 平行四边形周长最小时，的值最小； 如图，作点关于的对称点，连接，，则， 当，，三点共线时，有最小值，最小值为的长， 由轴对称的性质可得， 又， 四边形为平行四边形， ， 四边形周长最小值为． 由垂线段最短可知，当时，有最小值，据此利用等面积法求解即可； 设点的对应点为，由线段中点的定义和旋转的性质可得，则点在以点为圆心，半径为的圆上运动，故当有最小值，且点在线段上，有最小值，最小值为，据此求解即可； 过点作轴，交直线于点，求出，，可证明为等腰直角三角形，则，可证明三角形为等腰直角三角形，得到，设的横坐标为，则，则，求出的最小值即可得到答案； 证明≌得到，同理可得，，则可证明四边形为平行四边形；根据平行四边形的周长计算公式可知，当平行四边形周长最小时，的值最小；作点关于的对称点，连接，，则，故当，，三点共线时，有最小值，最小值为的长，证明四边形为平行四边形，则，即四边形周长最小值为． 本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数综合，一点到圆上一点的距离的最值问题，平行四边形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，轴对称的性质等等，正确理解题意确定取得最值的情形是解题的关键． 43.【答案】  【解析】解：【问题探究】 ， 又， ∽； 【问题解决】尺规作图如下： ，为定值， 当最小时，最大， 连接交圆于点，交于点，此时最小，即． 连接，并延长交于点， 则，，， 四边形是菱形，，， 是等边三角形，，， ，，， 是外接圆的圆心， ，同弧所对圆心角是圆周角的两倍， ，， ， ， ， 的最大值为， 故答案为：． 【问题探究】由∽得到，又根据，要证明，需通过证明三角形相似，利用相似三角形对应角相等来推导．关键在于根据已知条件找到对应边成比例和对应角相等的关系来证明∽； 【问题解决】作三边垂直平分线，交点即为外接圆的圆心垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，所以三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点距离相等，是外接圆的圆心以为圆心，为半径作圆，此圆即为点的轨迹圆．由，及是定值，得当最小时，最大．证是等边三角形，则再分别求出，即可得解． 本题主要考查相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形外接圆的作法以及圆的相关性质．解题关键在于通过构造相似三角形将问题转化，利用相似三角形的性质推导角度关系，再根据圆的性质找到线段最值来求解的最大值． 44.【答案】证明：，， 四边形是平行四边形； 四边形是矩形， ，，， ， ▱是菱形； 解：连接，交于点，如图： 四边形是菱形，面积是， ，， 点，分别是，的中点， ， ， ， 在中，， ， ， 或舍去， 矩形的周长为：； 解：由知，，； 将式代入式得：， 解得：，， 点关于直线的对称点， ， 点运动的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 当时， ， ， ， 点在上， 点运动的轨迹是弧， ．  【解析】首先由矩形的性质得到然后结合，，即可证明出四边形是菱形； 连接，交于点，首先得到，，进而得到，然后利用勾股定理求出，进而求解即可； 首先根据题意求出，，然后得到点运动的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，然后得到点在上，点运动的轨迹是弧，然后利用弧长公式求解即可． 此题考查了矩形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理，轴对称性质，弧长公式等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 45.【答案】解：； ； 由知点坐标为， 且当时，由、关于轴对称可知在轴上存在点使为等边三角形， 点也在点所形成的直线上， 设直线表达式为， 把点和代入可得，解得． 直线的表达式是； 动点运动形成的直线如图所示 ．  【解析】解：过作轴于点，如图， ， ， ， 在和中 ≌， ，且轴， 直线的表达式为， 故答案为：； 过作轴于点，如图， 轴， ， 又为等边三角形， ， ， ， 点坐标为， 故答案为：； 见答案； 当点在线段上时，以为圆心，长为半径画圆， 当圆过点时，如图，连接， 的中点满足，且此时点到线段的最大值等于， 时，的最大值． 由可求得点坐标为，， 由勾股定理可求得， 由，可知此时， 当圆与轴相切时，则切点即为满足条件的点，连接，如图， 于时，取得最小值， 当且时，取得最小值， ，且， ，即，解得， 又点与、不重合， 取不到最大值， 的取值范围为， 故答案为：． 过作轴，证明≌，可求得的长，可得出的表达式； 过作轴于点，由等边三角形的性质可求得和，可求得点坐标；可再求得满足条件的一个点，如当时，满足条件，利用待定系数数法可求得直线表达式；以为圆心，长为半径画圆，当该圆过点时，利用直角三角形的性质，结合条件可确定出当时，有最大值取不到该值，当该圆与轴相切时，当于时，取得最小值，即当且时，取得最小值，再分别根据等腰三角形和平行线分线段成比例求得的值，即可求得答案． 本题主要考查一次函数的综合应用，涉及知识点有全等三角形的判定和性质、待定系数法、等边三角形的性质、圆的有关性质等．在中求得到轴的距离是解题的关键，在确定出取得最大值和最小值时的图形形态，是解题的关键．本题知识点较多，综合性较强． 46.【答案】    【解析】【问题分析】证明：在矩形中， ， ，， ， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上； 【问题解决】作线段的垂直平分线，交于，交于，以为圆心，为半径画圆，则点的轨迹，如图即为所求； 由题意得：，，， 作点关于直线的对称点，连结交于，交于，连接并延长交于，连接并延长交于，则， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 的最小值为， 故答案为：； 【方法应用】连接，交于， 过点、的直线将正方形的面积分为相等的两部分， 过点， ， ， 点在以为直径的半圆弧上， 设的中点为， 连接交半圆弧于， 则此时，最小， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【问题分析】由题意可得，，结合，即可得证； 【问题解决】证明出点再以为直径的圆上，作线段的垂直平分线，交于，交于，以为圆心，为半径画圆，则点的轨迹即为所求，结合题意可得，，，作点关于直线的对称点，连结交于，交于，连接并延长交于，连接并延长交于，则，再结合勾股定理计算即可得解； 【方法应用】连接，交于，得到过点，推出点在以为直径的半圆弧上，设的中点为，连接交半圆弧于，则此时，最小，根据正方形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、圆周角定理、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 47.【答案】解：反比例函数的图象过和两点， ， 解得：，， 反比例函数表达式为； 如图，作轴，垂足为，轴，垂足为，连接． ， ∽， 又， ， ， ，，，， ，， 设点，则，，， ， ， 整理得：， 解得：或舍去， 点的横坐标为． 如图，线段绕点顺时针旋转度至线段，连接从点、分别向轴作垂线，交轴于、两点． 由题意可得：，，则为等腰直角三角形． 设直线的函数关系式为，点的坐标为，点的坐标为． 点在直线上， ，即． 直线函数关系式为． 在和中，，， ≌． ， 如图中点和点都在第二象限，，，，； ，即． 点在直线上，则 ． 同理，在第二象限可以再找到另一组点和点，这两点坐标也满足上述关系． 根据两点确定一条直线，则直线上任意点都满足 点的轨迹为直线：． 直线函数关系式与反比例函数联立得， ，整理得，． 直线与反比例函数图象只有一个交点． ，则或． 代入直线：，则直线函数关系式为：或． 当直线与轴平行时，，如图： 设点坐标为． 同理，可得，，． 则点坐标为． 点在直线：上．此时直线与反比例函数只有一个交点． 当直线与轴平行时符合题意，直线的函数关系式为． 当直线与轴平行时，，如图： 同理，可得，点在直线：此时直线与反比例函数也只有一个交点． 当直线与轴平行时符合题意，直线的函数关系式为． 故直线的函数关系式为：或或或．  【解析】根据、两点坐标，由待定系数法求出反比例函数表达式即可； 作轴，轴，证明∽，根据相似比求出相应线段的长度，然后设点，利用，建立关于的方程，求出值即可得到点的横坐标； 根据点坐标得出直线函数表达式，通过构造全等三角形得出动点和坐标之间的关系，然后利用函数转化思想求出直线的函数表达式，与反比例函数联立得出关于的一元二次方程，再结合根的判别式求出值，即可确定直线的函数关系式．同理，由三角形全等和函数转化法求出直线分别与坐标轴平行时的函数关系式． 本题是反比例函数和一次函数的综合题，涉及到三角形相似与全等，函数转化思想求动点轨迹，一元二次方程判别式的应用等知识点．求出直线的解析式是本题的关键和难点． 48.【答案】解：如图， 四边形是正方形， ，， 以直线为对称轴翻折得， ，，， ， ，， ， ， ； 如图，取的中点，连接， 点是的中点，点是的中点， ， 即点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 点由运动到， 点的运动轨迹的长度； ， 点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 如图，当时，则点在的中垂线上， 四边形是正方形， ，， 点在的中垂线上， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 如图，当且点在的上方时，作，交于， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ，，， ， ， 当且点在的下方时， 同理可证是等边三角形， ， ， ， ， 又， ∽， ， ， 当时，此时点与点重合，不合题意舍去， 综上所述：的长为或或．  【解析】由折叠的性质和勾股定理可求解； 由三角形的中位线定理可求的长，即可求解； 分三种情况讨论，由正方形的性质和等边三角形的性质可求解． 本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 49.【答案】解：四边形是菱形，理由如下： 四边形是菱形， ，  ， ． ， 是等边三角形， ，， ， 由旋转可知：，， ，，   ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形；  由题得四边形是菱形，， ， ， ，， ≌， ， 如图，以点为顶点作 点在上 当点与点重合时，，点在延长线上，交于点与重合，此时即 点的轨迹为， ， 是等边三角形， ， 如图，过点作，垂足为点，  由可得，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，，， ，， ， 即菱形的边长为； 证明如下： 如图，作，交的延长线于点， ， ， 又， ， 在和中， ≌ ，． ，， ，， 在和中， ≌， ， ，即； 如图，当为的斜边，即时，， 设垂足为点，过点作，垂足为点， 则四边形是矩形， 设，则， ， ， ， ， ， 由得．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 50.【答案】； 或；    【解析】如图，在矩形中，，，过点作交延长线于点，则， 矩形∽矩形， ， ， 四边形，是矩形， ，， 又， ，， ∽， ， 解得：， 设，则， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得：，，， 角度固定，则在上运动， 当时，取得最小值， ，， ， ， 当时，； 如图，过点作于点， 由可得， 在中，由勾股定理得：， 当时， 在中，由勾股定理得：， 当在上时，， 由可得，， ， ； 当在的延长线上时，， 由可得，， ， ， 综上所述，的长为或； 点的运动轨迹有规律可循，能求出的最大值，的最大值为理由如下： 如图，延长至，使得，则，过点作于点，则四边形是矩形，连接，取的中点，连接，，，则， 四边形的面积为， ， 矩形的边过定点， ， 在以为直径，为半径的圆弧上运动， ． 的最大值为． 根据矩形∽矩形 得出，证明∽得出，设，则，根据当时，取得最小值，进而解直角三角形，即可求解； 过点作于点，由可得，在中，，当时，得到，进而分点的位置得出的长，求得的值，进而求得的值； 延长至，使得，则，过点作于点，则四边形是矩形，连接，取的中点，连接，，，根据矩形的面积等于保持不变，得出矩形的边过定点，根据，得出在以为直径，为半径的圆弧上运动，进而根据，即可求解． 本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的性质与判定，相似多边形的性质，矩形的性质，解直角三角形，直角所对的弦是直径，熟练掌握以上知识是解题的关键． 51.【答案】解：设抛物线的表达式为：， 则； 当时，，即点； ；；  抛物线； 当点、关于抛物线的对称轴对称时，则的坐标为：，该点的对称点为：， 再取上述两点、，可以大概画出点的运动轨迹如图，从图看点的运动轨迹是抛物线， 由中点坐标公式得的坐标为：， 令，则，则， 即点的运动轨迹的函数表达式为：； 由题意得，点的坐标为：， 则的表达式为：； 同理可得的表达式为：； ．  【解析】见答案； 取的中点，当点与点重合时，由中点坐标公式得：的坐标为； 当点与点重合时，同理可得：的坐标为， 当点、关于抛物线的对称轴对称时，则的坐标为：，该点的对称点为：， 再取上述两点、，可以大概画出点的运动轨迹如图，从图看点的运动轨迹是抛物线， 故答案为：、，抛物线； 求的解析式见答案 见答案。 用待定系数法即可求解； 当点、关于抛物线的对称轴对称时，则的坐标为：，该点的对称点为：，再取上述两点、，可以大概画出点的运动轨迹；再求出的坐标为：，即可求解； 由求出的表达式为：，同理可得的表达式为：，进而求解． 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的图象性质、点的运动轨迹、作图，其中，利用找规律的方法确定点的运动轨迹是本题的难点． 52.【答案】证明：如图， 连接， ， 点在的垂直平分线上； 解：如图， 作的垂直平分线，交于，交于，连接，作的垂直平分线，交于， 则点就是求作的圆心， 设，则， ， ， ， ； 解：如图， 作的垂直平分线，交于，在上截取，连接，， 是的中点， ，，， ， ∽， ， 、在直线上，点运动轨迹是线段， 是正方形的中心， ， 点的运动路径长为：； 如图， 链接，作，交的延长线于， 是的中点， 是等腰直角三角形， ， ， 设，则，， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， ．  【解析】连接可得出，进而得出结论； 作的垂直平分线，交于，交于，连接，作的垂直平分线，交于，则点就是求作的圆心，设，则，从而，进而求得结果； 的垂直平分线，交于，在上截取，连接，，可证得∽，从而，从而得出、在直线上，点运动轨迹是线段，进一步得出结果； 链接，作，交的延长线于，设，则，，从而，进而得出， 在中，可得出，进一步得出结果． 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，切线的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 53.【答案】，   点的坐标为或；   证明见解答．  【解析】解：点到定点的距离为， 点到直线的距离为， 根据题意得， 整理得：， 故答案为：； 解：将抛物线：向右平移个单位长度得：，顶点为， 再将点绕点旋转得到点， 将抛物线：绕点旋转后得到新抛物线：， 令，得， 解得：，， ，， 令，得， ， 当时，与关于对称轴直线对称，此时； 当时，如图，设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 联立得， 解得：，， ； 当时，同理可得直线的解析式为，直线的解析式为， 联立得， 解得：，不符合题意，舍去； 综上所述，点的坐标为或； 证明：如图， 将点分别代入直线：，直线：，得：，，联立抛物线与直线，得：， ，则，点、分别为、的中点，， 同理：，， ，， 设直线的解析式为， 则， 消去，得：， ， ， 直线与直线平行， ， 即， ， 故为定值． 根据题意建立方程求解即可得出答案； 由平移和旋转可得新抛物线的解析式为，再求得，，，分三种情况：当时，当时，时，分别讨论求出点的坐标即可； 将点的坐标分别代入直线、的解析式，得出，联立抛物线与直线得出，利用根与系数关系可得，，同理可得同理：，，进而得出点、的坐标，再运用待定系数法即可求得直线的解析式，根据直线与直线平行，即可求得答案． 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，抛物线的平移和旋转，梯形的性质，根与系数关系的应用，熟练掌握相关知识是解题关键． 54.【答案】【小题】 解： 理由：，， ， 由旋转可得：，， ， ， ． 【小题】 解：，，， ， 同理， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，即， ， 如图，作，垂足为，则， 在和中，，， ， ，， ， ，， 又， ， ， ， ， 即； 【小题】 解：，， 和是等边三角形， ，， 点在的外接圆上， 如图，作的外接，连接，并延长交于点，则垂直平分，作点关于的对称点，则，连接、， ， ， ，， ， ， 连接、，在上截取，作，交于点，则， ， ， ， 是等边三角形，是的外接圆，， ，， ， ， ，， ， 点在以为圆心，以为半径的圆上，当点在边上运动时，当点与点重合时，点在边上，此时点与点也重合， ； 当点与点重合时，点与点也重合， 过点作于， ， ， ， ， 劣长， 优长． 即点的运动轨迹的长为．   【解析】  利用等腰三角形的性质与三角形内角和求得，，从而得，再由，，即可得出结论；   由，得，由平行线的性质失出，根据可求得，，进而得出与、与的数量关系．作，垂足为，则，分别证、，推出，即可；   证明点在以为圆心，以为半径的圆上，当点在边上运动时，当点与点重合时，点在边上，此时点与点也重合，当点与点重合时，点与点也重合，点运动路径为优，求出优的长即可． 55.【答案】，，；或；是一个定值，这个定值为；，的运动轨迹的长度之和为．  【解析】【分析】 先根据抛物线的解析式可求出点，，的坐标，再分别求出，，的长，根据勾股定理的逆定理可以得出的形状，从而得出结果； 先根据抛物线的解析式可得出抛物线的对称轴，从而可得出点的坐标，所以有，以为圆心，为半径作出，再得出，可知点在上，进而可得出点的坐标； 作，，先证明∽，得出；再证明∽，得出，从而有，在中，有，最后可得出，进而可得出结论；先证明≌，得出与重合，再根据点在以为圆心，为半径的圆上运动，再求出点从点到点的过程中，点运动的弧长所对应的圆心角的度数，即可得出结论． 【详解】 解：中，令得，； 令得，，解得，， ，，， ，，， ，，， ，； 由得抛物线的对称轴为， 点，， 以为圆心，为半径作出，如图， ，， ，，为等边三角形，， ， 点在上，，分以下两种情况： 若点在轴下方，点的坐标为； 若点在轴上方，点的坐标为． 综上所述，点的坐标或； 是一个定值，理由如下： 作，，如图，则，， 为的中点， ，． ，， ∽，． 又，，， ，∽，，， 在中，，，， ， 故是一个定值，这个定值为． 如图，将沿翻折至， ，， ， 又，， ≌， 将沿着翻折至，则与重合， 由于运动过程中有， 在以为圆心，为半径的圆上运动． 当在点时，与重合， 当在点时，如图所示， 此时为等边三角形，， ， ，， 的运动轨迹长度为：， ，的运动轨迹长度之和为． 【点睛】 本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角的性质，弧长的计算，折叠中点的轨迹问题等知识点，综合性较强，难度较大，综合运用基本性质进行推理论证是解题的关键． 56.【答案】【小题】 点为线段中点， 、点关于直线对称 点关于直线的对称点为， 以为圆心，为半径的圆上； 【小题】 【小题】   【解析】  本题考查圆的综合应用，熟练掌握对称的性质，能够确定点的运动轨迹是解题的关键； 利用对称性可知，再由圆的定义可得在以为圆心，为半径的圆上；   作点关于直线的对称点，则在以为圆心，为半径的的圆上，再求点的运动路径即可； 作点关于直线的对称点 点关于直线的对称点为， 点是上一动点， 在以为圆心，为半径的的圆上， 点的运动路径长   作点关于直线的对称点，在以为圆心，为半径的的圆上，当直线经过直径时，有最小值，当直线经过点时，有最大值． 作点关于直线的对称点 点关于直线的对称点为， 在以为圆心，为半径的的圆上 当直线经过直径时，有最小值， 当直线经过点时，有最大值 57.【答案】解：以为圆心，的长为半径的圆； 过点作直线平行于轴， 直线的解析式为， ，， ，点到直线的距离为：， 动点满足到直线的距离等于线段的长度， ， 动点轨迹的函数表达式， 如图， 设点点， 动点的轨迹与直线交于、两点， ， ， ，， 过、作直线的垂线，垂足分别是、， ，， ， ， ， ， 是直角三角形，为斜边， 取的中点， 点是的外接圆的圆心， ， ， 直线的解析式为， 直线的解析式为， ， 是外接圆的切线； 证明：点点在直线上， ，， ，，是的外接圆的切线， ，， ， 即：为定值，定值为．  【解析】【分析】 此题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，直角三角形的判定和性质，根与系数的关系，圆的切线的判定和性质，利用根与系数的确定出，是解本题是关键． 利用两点间的距离公式即可得出结论； 利用两点间的距离公式即可得出结论； 先确定出，，再确定出，，进而判断出是直角三角形，再求出直线的解析式为，即可得出结论； 先确定出，，再求出，，即可得出结论． 【解答】 解：设到点的距离等于线段长度的点坐标为， ， 直线交轴于点， ， 点关于轴的对称点为点， ， ， 点到点的距离等于线段长度， ， 即以为圆心，的长为半径的圆； 见答案； 见答案； 见答案． 58.【答案】证明：，， ， 在和中， ， ≌， ． 证明：在上截取，连接， ， ， ， ，且， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ，即， ． 解：如图，在上截取，连接， ，且， ， 是等边三角形， ，， ，且， ， ≌， ，， ， ， ， 平分， 如图所示，点在的内角的角平分线上上运动． 点的运动路程也就是的长度， 是等边三角形，是角平分线， ， ， ， ， 即点的运动路程为．   【解析】证≌即可得证； 在上截取构造≌，从而证出，，再用线段和差即可得证； 类比探究，根据前问思路，构造“一线三等角”的全等，证明平分，即可得出点的运动轨迹，再利用面积法求出的长度即可． 本题主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题的关键． 59.【答案】证明：四边形是正方形，是对角线， ， 在中，所对的圆周角是和， ， ， 又是的直径， ， ， 是等腰直角三角形；  ； 解：连接交于点，取、的中点、， 当点与点重合时，点与点重合； 当点与点重合时，点与点重合； 点是的中点， 是的中位线， 当点在边上运动时，圆心运动轨迹是， 同理，当点在边上运动时，圆心运动轨迹是， 圆心运动轨迹是， 圆心运动轨迹的长度为； 的值为秒或秒．  【解析】证明：四边形是正方形，是对角线， ， 在中，所对的圆周角是和， ， ， 又是的直径， ， ， 是等腰直角三角形； 解：当时，， 四边形是正方形，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：； 解：连接交于点，取、的中点、， 当点与点重合时，点与点重合； 当点与点重合时，点与点重合； 点是的中点， 是的中位线， 当点在边上运动时，圆心运动轨迹是， 同理，当点在边上运动时，圆心运动轨迹是， 圆心运动轨迹是， 圆心运动轨迹的长度为； 解：如图，当点在边上运动时，， ， ， ，， ， 设， ， 由对称的性质知， ，， ， ， ， ∽， ，即， 解得， ， ； 如图，当点在边上运动时，， 同理，， ， ； 综上，的值为秒或秒． 要证明三角形为等腰直角三角形，只要证明，即可，根据直径所对的圆周角是和同弧所对的圆周角相等，可以证明，，从而可以证明结论成立； 求得，，根据是等腰直角三角形，求得，再利用三角形面积公式求解即可； 连接交于点，取、的中点、，证明得到圆心运动轨迹是，据此求解即可； 分当点在边上运动和当点在边上运动时，两种情况讨论，当点在边上运动时，证明是等腰直角三角形，是等腰三角形，设，则，证明∽，利用相似三角形的性质列式计算即可求解；当点在边上运动时，同理求解即可． 本题主要考查圆的相关知识、三角形相似、勾股定理、图形的翻折变化，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 60.【答案】；   ，；   ； ．  【解析】解：小志的方法：当，，，点的坐标分别为：，，， 设过点，的直线的解析式为：， 则：， 解得：； ， 当时，， 点，在直线上， 点运动轨迹的函数表达式为； 小远的方法：令，， ， ， 点运动轨迹的函数表达式为； 故答案为：； ，， ，， 移动到点的位置需要的时间为：秒， 当时，，，，， 则：； 当时，，， ，，即：， 则：； 综上：， 连接，则：， 当，，三点共线时，的值最小， ，， ， 当时，的值最小值为， 此时的值最小为； ， 令，，则：； ， 点的轨迹为抛物线； ，令，，则：， ； 点的轨迹为直线； 联立，整理，得：， ， 方程没有实数根，即抛物线和直线没有交点， 小智的说法正确， 故答案为：． 把直线平移，直至平移后的直线与抛物线相切时，抛物线与平移后的直线的交点到直线的距离即为线段的最小值， 设平移后的直线为， 联立，整理，得：， 直线与抛物线只有一个交点， ， 解得：， ， 解得：， ， 平移后的直线与抛物线的交点为：， 当时，到直线的距离即为的最小值， ， ， 当时，的值最小，为． 小志的方法：求出，，时，的坐标，任选两个待定系数法求出解析式，再将代入，看解析式是否成立；小远的方法：用表示，进而得到关于的解析式即可； 分和两种情况，先求出，的坐标，利用中点坐标公式，求出点坐标，连接，则：，得到，当，，三点共线时，有最小值，利用两点间的距离公式，求出的最小值，即可得解； 利用中小远的方法，求出点，的轨迹，进行判断即可； 把直线平移，直至平移后的直线与抛物线相切时，抛物线与平移后的直线的交点到直线的距离即为线段的最小值，求出抛物线与平移后的直线的交点坐标，再用两点之间的距离公式，求出线段的最小值，即可． 本题考查坐标与图形，二次函数和一次函数的综合应用．熟练掌握两点间的距离公式，中点坐标公式，正确的求出函数的解析式，利用二次函数的性质进行求解，是解题的关键． 61.【答案】解：； 理由如下： 四边形是矩形， ，， 又， ， ， ， ∽， ， ， ； ；．  【解析】【分析】 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据正方形的性质，由条件利用三角形全等判定可得≌，即可证明； 证明∽，根据相似三角形的性质可得出结论； 根据三边关系可判断出的最小值，再判断出点在以点为圆心，在以半径为的圆上运动，再求点的运动轨迹即可． 【解答】 解：四边形是正方形， ，， 又， ， ， ， 在和中， ，，， ≌， ； 见答案； 如图，取的中点，连接，， 由题意知，， 由可得≌， 同理可得：， 是的中点，， ， 在中，； 在中， ， 的最小值是， ， 、、三点共圆， 点在以点为圆心，在以半径为的圆上运动， 点的运动轨迹的长为：， 故答案为：；． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $