秒解18 见圆中弦及半径，想垂径定理-【荣恒专项】2026年初中数学几何辅助线秒解（初中通用）

初中敏学？几何铺助线秒解 秒解18 见圆中弦及半径，想垂径定理僻 眼看懂· 辅助线秒解导图 见到什么》 想到什么】 得到什么》】 半径过弦端点 过，点O作OC⊥AB 于点C ①AC=BC; ②等腰三角形OAB 垂直于孩的直佐平分弦 见圆中弦及 半径 半径垂直于弦 连接OA,OB ①AC=BC; ②在Rt△OAC中，OA=OC2+AC2 B D 学就会。 辅助线秒解三步法 白典例【山东中考】如图，点A,B,C,D在⊙0上，OC⊥AB, ∠AOC=60°，则sinD的值为 第一步：见到什么 第二步：想到什么 第三步：得到什么 作出辅助线后， ∠BOC=∠AOC 可以利用垂径定 60 理与圆周角定理 建立∠AOC与 ∠D的裁量关系 连接OB -48- 专题公圆相关的辅助线 ☑满分秒解 ⊙解析（垂径定理）：如图，连接OB, :OC⊥AB,.C为AB的中点， .BC=AC ∴.∠B0C=∠A0C=60°， LD=2∠B0C=30, 1 ∴.sinD=sin30°= 【答案】2 (1)见到弦（非直径）及垂直于弦的半径，就想垂径定理，连接圆心与弦的端点； P1名师点睛 (2)见到弦（非直径）及过弦端点的半径，就想垂径定理，过圆心作弦的垂线， 参考答案见P85 一练就对· 辅助线秒解针对练 秒解精练 1.半圆形纸片的半径为2cm,用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的 中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为 cm. 第1题图 第2题图 2.(江苏中考)新选材古钱币)一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的 部分尺寸（单位：mm)如图所示，这枚古钱币的半径为 mm. 3.(四川中考)新考法分类讨论已知⊙0的半径是10，弦AB∥CD,AB=16, CD=12,则AB与CD之间的距离是 -49- 初中蚊学？几何铺助线秒解 4.如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，直角边BC与半圆O交于点E,OA⊥ AC,BA平分∠CBD,BD是半圆O的直径. (1)求证：AC与半圆0相切； (2)若BD=12,BE=8,求AC的长 且综合提升 5.如图，在平面直角坐标系中，⊙0经过点(0,10)，直线y=x+3-4与⊙0 交于B,C两点，则弦BC的最小值是 () A.102 B.103 C.85 D.8√3 6.新选材水车水车是我国古代重要的灌溉工具，某种型号水车的示意图如图所 示，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗， 这些水斗随轮盘转动而升降.在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点A处 放空水，同时有1个水斗刚好在点B处接触水面，中间还有2个水斗，已知外 围轮盘半径OA为5m,点A到水面的距离为7m,则水面宽度CB为 -50-.∴.∠0CE=∠E0C=45°. 0A=0C, .∠0AC=∠0CA=45°， .∠A0C=90°， .∠B 2∠A0C=45, .∴.∠D=180°-∠B=180°-45°=135°， .弦AC所对的圆周角的度数为45°或135°. 秒解18见圆中弦及半径，想垂径定理 1.23如图，连接M0交CD于点E,连接C0, ∴.A0=B0=M0=2. 对折后半圆弧的中点M与圆心O重合， ME-OE-T0M-1,CDLMO,CD=2CE. 2 在Rt△C0E中，CE=√C0-0E=√J22-12= √3(cm), .CD=2CE=2x√W3=2√5(cm). 2.13如图，标示字母，AB是⊙0的直径，过点 O作OC⊥TE于点C,延长TE交⊙O于点D, 连接OD.依题意，TE=10mm,ED=7mm. B 该圆形古钱币的正中间是一个正方形孔， 参考答案 cB-27B=5m,c0=2×10=5(mm, ∴.CD=5+7=12(mm). 在Rt△0CD中，0D=√0C2+CD=√/25+144= 13(mm), 3.2或14①当弦AB与CD在圆心同侧时， 如图1，过点O作OF⊥AB,垂足为F,延长 OF交CD于点E,连接OA,OC. .AB∥CD,∴.OE⊥CD. AB=16,CD=12, .∴.CE=6,AF=8. .0A=0C=10, .由勾股定理，得E0=√102-62=8，F0= √/102-82=6， .EF=0E-0F=2. RO 图1 图2 ②当弦AB与CD在圆心异侧时，如图2，过点 O作OE⊥CD于点E,延长EO交AB于点F, 连接OA,OC. 同理可得，E0=√/10-6=8，F0=√102-82=6， .EF=0F+0E=14. 综上，AB与CD之间的距离是2或14. 4.(1)证明：，OA⊥AC,.∠OAC=90°. ∠C=90°，∴.∠C+∠0AC=180°， .OA∥BC, -85- 初中塑学几何铺助线秒解 .∠OAB=∠CBA BA平分∠CBD,.∠CBA=∠OBA, ∴.∠OAB=∠OBA, ∴.OA=0B, .OA是半圆0的半径， .AC与半圆0相切. (2)解：如图，连接OE,过点O作OF⊥BE于 2 BE- 点F,则BF=EF=IB 8=4 1 BD=12,0B=2BD=6, 在Rt△OBF中，由勾股定理，得OF= √0B2-BF2=√62-42=25. ,OA⊥AC,∠C=90°，OF⊥BC, .∠OAC=∠C=∠OFC=90°， ∴.四边形OACF是矩形， .AC=0F=25. 5.B对于直线y=kx+3k-4=k(x+3)-4, 当x=-3时，y=-4,故直线恒经过点(-3，-4)， 记为点D. 由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直 的弦最短，即当OD LBC时，弦BC最短. 如图，连接OB. -86- D(-3,-4),∴.0D=√(-3)2+(-4)2=5. ⊙0经过点(0,10)，∴.0B=10, .BD=√0B2-0D2=√102-52=55， .BC=2BD=10W3. 6.6m或8m如图，分别作OD⊥BC于点D, AE⊥BC于点E,作OF⊥AE于点F 设OD=xm. .·OD⊥BC,AE⊥BC, OF⊥AE, .∴.∠ODE=∠DEA=∠OFE= Dh BE ∠OFA=90°， .四边形ODEF是矩形， ∴.∠D0F=90°，OD=EF=xm. .点A到水面的距离为7m, .AE=7 m,AF=AE-EF=(7-x)m. ,圆形轮盘分布了12个水斗，水斗A和B中 间还有2个水斗， .∠A0B=,×360°=90°， 12 ∴.∠FOA+∠BOF=90°. 又，∠D0F=90°，即∠D0B+∠B0F=90°， ∴.∠DOB=∠FOA. 在△DOB和△FOA中， ∠ODB=∠OFA, ∠DOB=∠FOA, OB=0A, .△DOB≌△FOA(AAS), .DB=AF=(7-x)m. 在Rt△DOB中，OB=5m, 则DB2+0D2=0B2,即(7-x)2+x2=52,解得 x1=3,x2=4, .DB=3m或DB=4m OD⊥BC, .D是BC的中点，即BC=2DB, ,.BC=6m或BC=8m. 秒解19见同弦等角或对角互补， 想四点共圆 1.A:AD,BE是△ABC的高， .A,B,D,E四点共圆， .∠ABD+∠AED=180 :∠CED+∠AED=180°， .∴.∠CED=∠ABD :∠C=∠C, ∴.△ABC∽△DEC, DE_DC,即DE_6 AB AC'AB 8' DE=B,即=子 2.30°如图1，连接AC与BD相交于点0，连 接OE, 图1 图2 :四边形ABCD是矩形， .∠BAD=∠BCD=90°，AB=CD,∴A,B,C,D 四点共圆， 又.DE⊥BF于点E, 参考答案 ∴.∠BED=∠BAD=90°， ∴.A,B,C,D,E五点共圆，作图，如图2所示 则有∠DEC=∠CAD. 由旋转的性质，可知AF=AB, 又·AF=√3，AB=CD, .CD=AF=√3 在Rt△ACD中，AD=3,CD=√3， an∠CAD=CDV3 AD 3' ·.∠DEC=∠CAD=30. 3.B如图1，过点E作EF⊥BC于点F. ∠C=90°，∴.AC∥EF, ∴.△ACD∽△EFD, DE EF AD AC' AE⊥BE, .A,B,E,C四点共圆. 设AB的中点为O,连接OE, 当且仅当O,E,F三点共线，即OE⊥BC时， EF有最大值，作图，如图2所示 图1 图2 .AC=6,BC=8, .AB=10,.0E=5. .:OE⊥BC, ∴.OF∥AC, -87-