秒解17 见角度计算，想连接半径或弦-【荣恒专项】2026年初中数学几何辅助线秒解（初中通用）

专题公圆相关的辅助线 秒解7 见角度计算，想连接半径或弦 /5年413毫 眼看懂 辅助线秒解导图 见到什么》 想到什么 得到什么 连接OC D A B ∠D=3LA0C D 在同圆或等圆中同孤 (或等张)所对的圆周角 是对应圆心角的一半 连接BC D ①∠D=∠B; ②∠A=∠C 见角度计算 在同圆或等圆中 同泰（或等系）所 对的圆周角相等 连接OA,OB ①等腰三角形OAC, 等腰三角形OAB; ②∠AOD=2∠C; ③∠BOC=2∠BAC 连接AD,BD,BC A ①圆内接四边形ACBD; D ·②直径所对圆周角为90°，即 ∠CAD=∠CBD=90°： ③∠ACB+∠ADB=180° 圆内接四边形的对角互补 一学就会 辅助线秒解三步法 典例【山东模拟】如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C 是半圆上的点，D是AC上的点，连接AC.若∠BAC=20°，则 ∠D的度数为 ,∠D为圆周角，且是钝角 A.100° B.110° C.120° D.130° -45- 初中敏学？几何铺助线秒解 第一步：见到什么 第二步：想到什么 。第三步：得到什么 D AB是直径 ∠ADB=90°（或∠ACB=90°） 根据“直径所 20 对的圆周角是 B/直角”可构造 连接BD(或连接BC) 直角∠ADB ☑满分秒解 ⊙解法一（构造直径所对的圆周角）：如图1，连接BD. D AB是半圆的直径， .∠ADB=90° 都是为了构造圆周角，进 .·∠BAC=20°，∴.∠BDC=20° 而利用圆周角定理求解 .∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°+20°=110°. 图1 ⊙解法二（构造圆内接四边形）：如图2，连接BC .·AB是半圆的直径，.∠ACB=90°， ∠BAC=20°，.∠B=70°. .·四边形ABCD是圆内接四边形， .∠D=180°-∠B=110°. 图2 【答案】B 见圆中角度计算，就连接半径或弦，构造圆心角、圆周角或圆内接四边形， 9名师点晴 利用它们的数量关系，建立角之间的联系 参考答案见P84 练就对 辅助线秒解针对练 秒解精练 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°.若以点C 为圆心，CA长为半径的圆与AB,CB分别交于点D,E, 则∠AED的度数是 A.22.5° B.25° C.30° D.55° -46- 专题公圆相关的辅助线 2.(辽宁中考)如图，AD是⊙0的直径，弦BC交AD于点E,连接AB,AC,若 ∠BAD=30°，则∠ACB的度数是 () A.50° B.40° C.70° D.60° D 第2题图 第3题图 3.(黑龙江中考)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径， 若∠BEC=20°，则LD的度数为 () A.100° B.110° C.120° D.130° 且综合提升 4.如图，在半径为R的⊙0中，AC=BD,且AC⊥BD于点E, 0 连接AB,AD.若AD=22,则半径R的长为 E 5.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O,OC=4,AC=4W2. (1)求点0到AC的距离； (2)求弦AC所对的圆周角的度数. B -47-初中数学几何辅助线秒解 5.684如图，过0作0D⊥AB,垂足为D. B .AB=40 m,.'.AD=BD=20 m, .0D=√A02-AD=√(202)2-202=20(m). sin∠A0D=4D.20-V2 A02022’ ∴.∠A0D=45°，∴.∠A0B=90°， 六S明影=S前形08-SA04n= 90m×(202)2 360 ×40x20=(200m-400)(m2), 1 .(200π-400)×3≈684（名）. 秒解17见角度计算，想连接半径或弦 1.B在Rt△ABC中， ·∠ACB=90°，∠B=25°， ∴.∠BAC=90°-∠B=65. 如图，连接CD ·CA=CD, ∴.∠CDA=∠BAC=65° .∴.∠ACD=180°-65°× 2=50°， ∠AED=2∠ACD=25, 2.D如图，连接CD. .·∠BAD=30°， ∴.∠BCD=∠BAD=30°. ·AD是⊙0的直径， ∴.∠ACD=90°， .∴.∠ACB=∠ACD-∠BCD=60°. -84- 3.B如图，连接AC ,AB是⊙0的直径，.∠ACB=90°. .∠E=20°，.∠CAB=∠E=20°， ∴.∠ABC=90°-∠BAC=70° ,四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴.∠D=180°-∠ABC=110°. 4.2如图，连接0A,0D. AC=BD, .AC=BD,..BC=AD, ∴.∠ABD=∠BAC. 又.AC⊥BD, .∠ABE=∠BAE=45°， ∴.∠AOD=2∠ABE=90°. ,OA=OD,∴.AD=√2R=2√2，∴.R=2 5.解：(1)如图，过点0作0E⊥AC于点E,则 cB=24C=27, 在Rt△OCE中，OC=4, .0E=√0C2-CE2=√/42-(22)2=22， .点O到AC的距离为2√2 B (2)如图，连接OA.由(1)知，在Rt△OCE 中，0E=CE, .∴.∠0CE=∠E0C=45°. 0A=0C, .∠0AC=∠0CA=45°， .∠A0C=90°， .∠B 2∠A0C=45, .∴.∠D=180°-∠B=180°-45°=135°， .弦AC所对的圆周角的度数为45°或135°. 秒解18见圆中弦及半径，想垂径定理 1.23如图，连接M0交CD于点E,连接C0, ∴.A0=B0=M0=2. 对折后半圆弧的中点M与圆心O重合， ME-OE-T0M-1,CDLMO,CD=2CE. 2 在Rt△C0E中，CE=√C0-0E=√J22-12= √3(cm), .CD=2CE=2x√W3=2√5(cm). 2.13如图，标示字母，AB是⊙0的直径，过点 O作OC⊥TE于点C,延长TE交⊙O于点D, 连接OD.依题意，TE=10mm,ED=7mm. B 该圆形古钱币的正中间是一个正方形孔， 参考答案 cB-27B=5m,c0=2×10=5(mm, ∴.CD=5+7=12(mm). 在Rt△0CD中，0D=√0C2+CD=√/25+144= 13(mm), 3.2或14①当弦AB与CD在圆心同侧时， 如图1，过点O作OF⊥AB,垂足为F,延长 OF交CD于点E,连接OA,OC. .AB∥CD,∴.OE⊥CD. AB=16,CD=12, .∴.CE=6,AF=8. .0A=0C=10, .由勾股定理，得E0=√102-62=8，F0= √/102-82=6， .EF=0E-0F=2. RO 图1 图2 ②当弦AB与CD在圆心异侧时，如图2，过点 O作OE⊥CD于点E,延长EO交AB于点F, 连接OA,OC. 同理可得，E0=√/10-6=8，F0=√102-82=6， .EF=0F+0E=14. 综上，AB与CD之间的距离是2或14. 4.(1)证明：，OA⊥AC,.∠OAC=90°. ∠C=90°，∴.∠C+∠0AC=180°， .OA∥BC, -85-