秒解16 见不规则面积，想割补-【荣恒专项】2026年初中数学几何辅助线秒解（初中通用）

专题尔 圆相关的辅助线 秒解16 见不规则面积，想割补2 一眼看懂· 辅助线秒解导图 见到什么》 想到什么 连接OA,OB B 见圆心在不规则 图形外 连接OD ⊙ 连接OD 见圆心在不规则 D 图形边上 连接OB 见含三角形的 不规则图形 连接AD 见特殊的不规则 图形 0 -42- 考 得到什么】口 S阴影=S扇形A0B-S△OMB 将阴影面积转化为规 则图形的面积之差 S影=S&OCD-S扇形DoE 将阴影面积转化为规 则图形的面积之差 S阴影=S△OBD+S席形Doc 将阴影面积转化为规 则图形的面积之和 S阴影=S痛形coB=S痛形h0C S刷移=S△McD 专题公圆相关的辅助线 一学就会 辅助线秒解三步法 典例【江苏中考】如图，AB是⊙0的直径，AC是⊙0的 弦，过点C的切线交AB的延长线于点D.若LA=∠D,CD= B D 3,（则图中阴影部分的面积为 圆心在不规则图形外 已知切线，常连接切点与圆心，构造垂直关系 第一步：见到什么 第二步：想到什么 第三步：得到什么 利用规则图形 S月影=S△ocD-S扇形B0C 面积的和或 D B D差，求阴影部 分的面积 CD是⊙O的切线 连接OC ☑满分秒解 ⊙解析（割补法）：如图，连接OC. 通过辅助线构造规则图形 CD与⊙0相切， ∴.OC⊥CD,即∠OCD=90°，.∴.∠D+∠COD=90°. .A0=C0,∴.∠A=∠AC0,∴.∠C0D=2∠A. ∠A=∠D,.∠C0D=2∠D,∴.3∠D=90°， B D ∴.∠D=30°，∠C0D=60°..CD=3, OC=3X3=3,.S阴影FSa00-前形ac÷7 2×3x3-60mx（3)2-33-n 360 2 【答案】 33-π 2 (1)见到圆心在不规则图形外，就连接圆心与交点，构造规则图形的面积之差； P1名师点睛 (2)见到圆心在不规则图形的边上，就连接圆心与交点，构造规则图形的面积之和； (3)见到含三角形的不规则图形，就构造同底等高的三角形或全等三角形， 利用面积等量关系求解。 解决圆中不规则图形的面积问题，通常构造规则图形，利用割补法将不规则 ②万能模板 图形的面积转化为规则图形的面积之差（或面积之和）. -43- 切中蚊学？几问铺助线秒解 参考答案见P82 练就对 辅助线秒解针对练 秒解精练 1.(河南中考)如图，在扇形AOB中，∠AOB=120°，半径OC交弦AB于点D, 且OC⊥OA.若OA=2√3，则阴影部分的面积为 B 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，C为OA的中点，CE⊥OA交AB于点E, 以点0为圆心，OC的长为半径作CD交OB于点D,若OA=2,则阴影部分的 面积为 3.如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG,点D的旋转路径为 DG,若AB=1,BC=2,则阴影部分的面积为 4.（辽宁中考)如图，AB是⊙0的直径，C,D是⊙O上位于AB异侧的两点， DE⊥CB,交CB的延长线于点E,且BD平分∠ABE. (1)求证：DE是⊙0的切线； (2)若∠ABC=60°，AB=4,求图中阴影部分的面积. 且综合提升 5.新选材马戏○如图，有一个马戏帐篷，它的底面是圆形，其半 径是20√2m,从A到B有一笔直的栅栏，其长为40m.观众在 阴影区域里看马戏，如果每平方米可以坐3名观众，并且阴影区 A B 域里坐满了人，那么大约有 名观众在看马戏 -44-初中塑学几何铺助线秒解 3.解：(1)EF2=BE2+DF2 理由如下：如图1，把△AFD绕点A顺时针旋 转90°得到△AEB,连接EE」 则△AFD兰△AE'B, .BE'=FD,AE'=AF, ∠D=∠ABE',∠FAD= ∠E'AB. 图1 .AB=AD,∠BAD=90°， .∠ABD=∠D=45°， .∠ABD+∠ABE'=∠ABD+∠D=90°，即 ∠E'BD=90°， 在Rt△E'BE中，E'B2+BE2=EE2. 又.∠FAE=45°， .∠BAE+∠FAD=45°， ∴.∠E'AB+∠BAE=45°，即∠E'AE=45°. (AE=AE, 在△AEE和△AEF中 ∠E'AE=∠FAE, AE'=AF, .△AEE'≌△AEF(SAS), ∴.EE'=FE, .EF2=BE2+DF2. (2)如图2，把△ACE绕点A顺时针旋转 120°得到△ABP,连接PD,过点D作DHI BP于点H, E 图2 则△ACE≌△ABP, ∴.AP=AE,PB=CE=16,∠ABP=∠C,∠EAP= ∠BAC=120° .·AB=AC,∠BAC=120°， -82 ∴.∠ABD=∠C=∠ABP=30°， .∠ABD+∠ABP=60°，即∠PBD=60 又.∠DAE=60°， .∠PAD=∠EAP-∠DAE=120°-60°=60°. 在△AED和△APD中， (AD=AD, ∠EAD=∠PAD, AE=AP, ∴.△AED≌△APD(SAS), .ED=PD. DH⊥BP, ∴.∠HDB=90°-∠PBD=30°， .BH=1BD-1x10=5,HD=/B-B= 2 2 /102-52=53, .HP=BP-BH=16-5=11. 在Rt△HDP中，PD=√HP2+HD2=14, .DE=PD=14, ∴.BC=BD+DE+EC=10+14+16=40. 专题六圆相关的辅助线 秒解16见不规则面积，想割补 1.√3+T如图，过点0作OF⊥AB于点F, FD :.AF-BF-1AB. 在扇形A0B中，·∠A0B=120°，且0C⊥0A, .∠A0D=90°，.∠B0C=30°. OA=0B, ∴.∠OAB=∠OBA=30°， 0D=0A·tan30°=23×3=2,5A0= 3 20D=4,0F=20A=3,4B=2AF=2×23 6， 2 .BD=AB-AD=2, 23×2 .S阴影=SAAOD+S扇形BOc-S△BD0= 2 30mx(23)22xW5=3+m 360 2 5,如图，连接0E, 2.212 :C为0M的中点，.0C=20A= 0E=1, 2 ∴.∠CE0=∠BOE=30°， .CE=√30C=√3， 30m×221 .S阴影=S扇形B0B+S△c0B-S扇形C0D=360+2 1xV390mx12=3T 360-212 3π45 32 如图，设DG与EF交于点H,连 接AH. D H G B AB=1,BC=2,..AH=AD=BC=2, .∴.∠AHE=∠GAH=30°. 参考答案 AE=AB=1,.HE=√3， 30m×22,1 .S阴影=S扇形HMG+S△AHB= 360+ *1x3= π，3 32 4.（1)证明：如图，连接OD, ·OB=OD, ∴.∠OBD=∠ODB. BD平分∠ABE, ∴.∠OBD=∠EBD, ∴.∠EBD=∠ODB. ,DE⊥CB, ∴.∠EBD+∠EDB=90°， ∴.∠ODB+∠EDB=90°，即OD⊥DE, 又OD是⊙0的半径， ∴.DE是⊙O的切线 (2)解：如图，连接OC,过点0作OF⊥BC于 点F, AB=4,∴.OB=AB=2. .OB=OC,∠ABC=60°， ∴.△OBC为等边三角形， .∠B0C=60°，OB=0C=BC=2, 0F=0B·sin60°=2x)=3 60m×221 六S阴s=S0ac-5ae=3602×2xy5= 3m3 -83- 初中数学几何辅助线秒解 5.684如图，过0作0D⊥AB,垂足为D. B .AB=40 m,.'.AD=BD=20 m, .0D=√A02-AD=√(202)2-202=20(m). sin∠A0D=4D.20-V2 A02022’ ∴.∠A0D=45°，∴.∠A0B=90°， 六S明影=S前形08-SA04n= 90m×(202)2 360 ×40x20=(200m-400)(m2), 1 .(200π-400)×3≈684（名）. 秒解17见角度计算，想连接半径或弦 1.B在Rt△ABC中， ·∠ACB=90°，∠B=25°， ∴.∠BAC=90°-∠B=65. 如图，连接CD ·CA=CD, ∴.∠CDA=∠BAC=65° .∴.∠ACD=180°-65°× 2=50°， ∠AED=2∠ACD=25, 2.D如图，连接CD. .·∠BAD=30°， ∴.∠BCD=∠BAD=30°. ·AD是⊙0的直径， ∴.∠ACD=90°， .∴.∠ACB=∠ACD-∠BCD=60°. -84- 3.B如图，连接AC ,AB是⊙0的直径，.∠ACB=90°. .∠E=20°，.∠CAB=∠E=20°， ∴.∠ABC=90°-∠BAC=70° ,四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴.∠D=180°-∠ABC=110°. 4.2如图，连接0A,0D. AC=BD, .AC=BD,..BC=AD, ∴.∠ABD=∠BAC. 又.AC⊥BD, .∠ABE=∠BAE=45°， ∴.∠AOD=2∠ABE=90°. ,OA=OD,∴.AD=√2R=2√2，∴.R=2 5.解：(1)如图，过点0作0E⊥AC于点E,则 cB=24C=27, 在Rt△OCE中，OC=4, .0E=√0C2-CE2=√/42-(22)2=22， .点O到AC的距离为2√2 B (2)如图，连接OA.由(1)知，在Rt△OCE 中，0E=CE,