秒解15 见角含半角，想旋转型全等-【荣恒专项】2026年初中数学几何辅助线秒解（初中通用）

专题四边形相关的辅助线 秒解15 见角含半角，想旋转型全等 5年265考 眼看懂 辅助线秒解导图 见到什么》 想到什么】】 得到什么 四边形ABCD 延长CB至点G,使 是正方形 得GB=DF,连接 AG D D ①△ADF≌△ABG; 想旋转型 15 45 ②△AGE≌△AFE; 全等 F ③EA平分∠BEF; ④BE+DF=EF B E G 见角含半角 ∠EAF=2∠BAD 延长CB至点M,使 得BM=DF,连接 ①△ADF≌△ABM; 想旋转型AM ②△AME≌△AFE; 全等 ③EA平分∠BEF; ④BE+DF=EF B 一学就会 辅助线秒解三步法 白典例如图，已知正方形ABCD的边长为5，点M,N分别在边A D BC,CD上，连接AM,MN,AN.若∠MAN=45°，BM=2,则线段 NC的长为 ( ) A.2 B.3 5 C.7 20 B M D 第一步：见到什么 第二步：想到什么 第三步：得到什么 D △ADN≌△ABE,△AMN≌ 1∠BAD=90 45 构造与△ADW 且∠MAN=45 △AME, MN=DN+BM N成旋转型全等 (夹在直角内) 的△ABE 2 E-- B M B M 在正方形ABCD中，∠MAN=45 延长CB至点E,使BE=DN -39- 初中敏学？几何铺助线秒解 乙满分秒解 ⊙解析：如图，延长CB至点E,使BE=DN,连接AE. ,·四边形ABCD是边长为5的正方形， ∴.∠ABC=∠C=∠D=∠BAD=90°，AB=BC=CD=5, ∴.∠ABE=90° D (AB=AD, 在△ABE和△ADN中， ∠ABE=∠ADN, BE=DN, B M .△ABE≌△ADN(SAS), ∴.AE=AN,∠EAB=DAN. .·∠MAN=45°，.∠BAM+∠DAN=45°， .∠BAM+∠EAB=45°，.∠EAM=∠NAM. (AE=AN, 在△AME和△AMN中， ∠EAM=∠NAM, AM=AM, ∴.△AME≌△AMN(SAS), ∴.MN=ME. 设CN=x,则DW=CD-CN=5-x,.MN=EB+BM=7-x. 在Rt△CMN中，MW2=CM2+CW2,CM=BC-BM=3, (7-x)2=32+2,解得x=9,即CN= 20 20 【答案】D P,名师点睛见到角含半角，就延长线段，构造旋转型全等三角形，实现线段或角的转化. 参考答案见P81 练就对 辅助线秒解针对练 秒解精练 1.如图，AB=AD,∠B=∠D=90°，∠BAD=120°，∠EAF=60°， 160 点E,F分别在BC,CD上，连接EF,则EF,BE,DF之间 的数量关系为 -40- 专题四边形相关的辅助线 2.如图，在正方形ABCD中，AB=6,动点E,F分别在边BC,CD上，且∠EAF= 45°，连接EF,连接BD分别交AE和AF于点M,N.若BM=2W2,求MW 的长 D B 且综合提升 3.（1)如图1，在等腰直角三角形ABD中，∠BAD=90°，AB=AD,点E,F在边 BD上，且∠EAF=45°.请写出EF,BE,DF之间的数量关系，并说明 理由. (2)如图2，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，点D,E在边BC上，且 ∠DAE=60°.当BD=10,EC=16时，求BC的长. B D E 图1 图2 -41-.∴.AM=DG,∴.DG=PH. .·∠CBD=45°，∠BPK=90°， .∠PBK=∠BKP=45°， .BP=PK. 由(2)知，△ABP≌△MGN, .BP=NG, ..PK=NG, .HK=DN. 又.HK∥DN, .∠HKF=∠NDF 又.∠HFK=∠NFD, .△HKF≌△NDF(AAS), .HF=NF, .EF=EH+HF=EM+FN. 秒解15见角含半角，想旋转型全等 1.EF=DF+BE如图，延长CB到点G,使BG= DF,连接AG 在△ADF和△ABG中， G 60 (AB=AD, B ∠ABG=∠D, BG=DF, ∴.△ADF≌△ABG(SAS), .∴.AG=AF,∠GAB=∠DAF. .·∠EAF=60°，∠BAD=120°， ∴.∠BAE+∠DAF=60°， .∠GAE=∠GAB+∠BAE=60°，.∠GAE= ∠FAE. ..AE=AE, 参考答案 .△AGE≌△AFE(SAS), .GE=EF,∴.EF=DF+BE. 2.解：如图，将△ADN绕点A顺时针旋转90°， 得到△ABG,连接GM, B E 则△ADN≌△ABG,∴.BG=DN,∠ABG= ∠ADN=45°，∠BAG=∠NAD. .∠EAF=45°， .∠DAN+∠BAM=45°， ∴.∠GAM=∠BAG+∠BAM=45°， ∴.∠GAM=∠NAM. AM=AM, .∴.△GAM≌△NAM(SAS), ∴.GM=MN. ·∠ABG=∠ABM=45°， ∴.∠GBM=90°， 在Rt△BCM中，BG+BM2=GM2, ∴.DW2+BM2=MW2 .AB=AD=6,∠BAD=90°， ∴.BD=√2AB=62 设MN=Y.BM=2√2， .DN=62-22-y=4w2-y, .(42-y)2+(22)2=y2, 解得y-32w-52 2 -81- 初中塑学几何铺助线秒解 3.解：(1)EF2=BE2+DF2 理由如下：如图1，把△AFD绕点A顺时针旋 转90°得到△AEB,连接EE」 则△AFD兰△AE'B, .BE'=FD,AE'=AF, ∠D=∠ABE',∠FAD= ∠E'AB. 图1 .AB=AD,∠BAD=90°， .∠ABD=∠D=45°， .∠ABD+∠ABE'=∠ABD+∠D=90°，即 ∠E'BD=90°， 在Rt△E'BE中，E'B2+BE2=EE2. 又.∠FAE=45°， .∠BAE+∠FAD=45°， ∴.∠E'AB+∠BAE=45°，即∠E'AE=45°. (AE=AE, 在△AEE和△AEF中 ∠E'AE=∠FAE, AE'=AF, .△AEE'≌△AEF(SAS), ∴.EE'=FE, .EF2=BE2+DF2. (2)如图2，把△ACE绕点A顺时针旋转 120°得到△ABP,连接PD,过点D作DHI BP于点H, E 图2 则△ACE≌△ABP, ∴.AP=AE,PB=CE=16,∠ABP=∠C,∠EAP= ∠BAC=120° .·AB=AC,∠BAC=120°， -82 ∴.∠ABD=∠C=∠ABP=30°， .∠ABD+∠ABP=60°，即∠PBD=60 又.∠DAE=60°， .∠PAD=∠EAP-∠DAE=120°-60°=60°. 在△AED和△APD中， (AD=AD, ∠EAD=∠PAD, AE=AP, ∴.△AED≌△APD(SAS), .ED=PD. DH⊥BP, ∴.∠HDB=90°-∠PBD=30°， .BH=1BD-1x10=5,HD=/B-B= 2 2 /102-52=53, .HP=BP-BH=16-5=11. 在Rt△HDP中，PD=√HP2+HD2=14, .DE=PD=14, ∴.BC=BD+DE+EC=10+14+16=40. 专题六圆相关的辅助线 秒解16见不规则面积，想割补 1.√3+T如图，过点0作OF⊥AB于点F, FD :.AF-BF-1AB. 在扇形A0B中，·∠A0B=120°，且0C⊥0A, .∠A0D=90°，.∠B0C=30°. OA=0B, ∴.∠OAB=∠OBA=30°，